Chuyên đề về đa thức - Diễn đànc

được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là Ta quy ước bậc của đa thức hằng với mọi là bằng nếu và bằng nếu Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức bậc thì vẫn có

Trang 1

Ngày 25 tháng 8 năm 2014 Chuyên đề về đa thức - Diễn đàn Toán học

Chuyên mục: Đại số và Giải tích - Olympic

Chuyên đề về đa thức

Minh Huyền

Thứ tư, 18 Tháng 9 2013 07:35

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học Trong chương trình phổ thông, chúng ta

đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số

Bài giảng này sẽ hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về

đa thức Ở cuối bài sẽ đề cập 1 cách sơ lược nhất về đa thức nhiều biến

1 Đa thức và các phép toán trên đa thức

1.1 Định nghĩa Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng

trong đó và được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó được gọi là hệ số cao nhất và được gọi là hệ số tự do được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là Ta quy ước bậc của đa thức hằng với mọi là bằng nếu và bằng nếu

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức bậc thì vẫn có các hệ số với

nhưng chúng đều bằng

Tập hợp các đa thức biến trên trường các số thực được kí hiệu là Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp

1.2 Đa thức bằng nhau

P(x) = anxn + an−1xn−1+ + x + , a1 a0 ai ∈ R an ≠ 0.

0.

Q[x], Z[x].

Trang 2

http://diendantoanhoc.net/home/toan-olympic/%C4%91%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-v%C3%A0-gi%E1%BA%A3i-t%C3%ADch/883-chuy%C3%AAn-%C4%… 2/8

1.3 Phép cộng trừ đa thức

Cho hai đa thức Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức và

được thực hiện theo từng hệ số của tức là

Ví dụ:

1.4 Phép nhân đa thức

có các hệ số xác định bởi

Ví dụ:

1.5 Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức

Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây

Đinh lý 1 Cho là các đa thức bậc tương ứng Khi đó

a) trong đó nếu thì dấu bằng xảy ra Trong trường hợp

thì có thể nhận bất cứ giá trị nào

b)

k=0

m

k=0

n

bkxk

m = n ak = ∀k = 0, 1, 2, , m bk

k=0

m

k=0

n

,

xk

k=0

max{m,n}

ak bk xk

( + 3 − x + 2) + ( + x − 1) = x3 x2 x2 x3 + 4 + 1 x2

k=0

m

k=0

n

=

i=0

k

aibk−i

( + x3 x2 + 3x + 2)( + 3x + 1) = (1.1) + (1.3 + 1.1) + (1.1 + 1.3 + 3.1) x2 x5 x4 x3

+ (1.1 + 3.3 + 2.1) + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x2 x5 + 4 + 7 + 12 + 9x + 1 x4 x3 x2

deg(P Q) = m + n

Trang 3

1.6 Phép chia có dư

Định lý 2 Với hai đa thức và bất kỳ, trong đó tồn tại duy nhất các đa thức và thoả mãn đồng thời các điều kiện:

Chứng minh Tồn tại Ta có thể chứng minh bằng quy nạp theo Nếu thì ta có thể chọn và thoả mãn đồng thời các điều kiện và Giả sử và định lý đã được chứng minh với đa thức có bậc nhỏ hơn Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc Giả sử

Xét đa thức

Do hệ số của ở hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc của không vượt quá

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức và sao cho

Nhưng khi đó

mãn điều kiện ii) Khi đó

R(x)

i) P(x) = Q(x) S(x) + R(x)

ii) deg(R) < deg(Q)

m = deg(P) deg(P) < deg(Q)

k=0

m

k=0

n

bkxk

n xm−n

= ( amxm + am−1xm−1+ + x + ) − a1 a0 am ( + + )

bn xm−n bnxn b0

= ( am−1 − ambn−1 ) + .

S ∗ (x) R ∗ (x) H(x) = S ∗ (x) Q(x) + R ∗ (x)

n xm−n

P(x) = S(x) Q(x) + R(x) P(x) = S ∗ (x) Q(x) + R ∗ (x) Q(x) (S(x) − S ∗ (x)) = R ∗ (x) − R(x).

Trang 4

không đồng nhất bằng thì

Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau

Theo ký hiệu của định lý thì được gọi là thương số và được gọi là dư số trong phép chia cho

Phép chứng minh nói trên cũng cho chúng ta thuật toán tìm thương số và dư số của phép chia hai đa thức, gọi

là phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner

1,7 Sự chia hết Ước và bội

Trong phép chia cho nếu dư số đồng nhất bằng thì ta nói rằng đa thức chia hết

cho đa thức Như vậy,

chia hết cho nếu tồn tại đa thức sao cho Trong trường hợp này ta cũng nói chia hết là

ước của hoặc là bội của Ký hiệu tương ứng là và

Cho và là các đa thức khác Ước chung lớn nhất của và là đa thức thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng

Nếu cũng là ước chung của và thì cũng là ước của

Tương tự, ta có khái niệm bội chung nhỏ nhất của hai đa thức

Cho và là các đa thức khác Bội chung lớn nhất của và là đa thức thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng

Nếu cũng là bội chung của và thì cũng là bội của

Hai đa thức được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu

0 deg(Q(x) (S(x) − S ∗ (x))) = deg(Q(x)) + deg(S(x) − S ∗ (x)) ≥ deg(Q).

Q(x).

(P(x), Q(x)), [P(x), Q(x)].

Trang 5

1.8 Thuật toán Euclide

Để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức ta sử dụng thuật toán Euclide sau đây:

Định lý 3 Giả sử có hai đa thức trong đó Thực hiện phép chia cho được thương số là và dư số là Khi đó

Chứng minh: Nếu thì Khi đó đa thức rõ ràng thoả mãn tất cả các điều kiện của

suy ra là ước chung của theo định

là ước chung của theo định

nghĩa của ta có là ước của Từ đây, do và đều là các đa thức đơn khởi, ta suy ra

Định lý trên giải thích cho thuật toán Euclide để tìm của hai đa thức theo như ví dụ dưới đây:

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức và

Ta lần lượt thực hiện các phép chia

Vậy

Lưu ý, trong quá trình thực hiện, ta có thể nhân các đa thức với các hằng số khác Ví dụ trong phép chia cuối cùng, thay vì chia cho ta đã chia cho

1.9 Tính chất của phép chia hết

Nhắc lại, hai đa thức được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu Ta có định lý thú vị

và có nhiều ứng dụng sau về các đa thức nguyên tố cùng nhau:

P(x), Q(x),

R(x) ≠ 0 (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))

UCLN.

(x),

P(x), Q(x),

D = D′.

UCLN

− 5x + 4

– 3 + 2

354 625

( – 5x + 4, – 3 + 2) = x– 1 x5 x3 x2

0.

Trang 6

sao cho

Chứng minh Giả sử tồn tại các đa thức và thoả mãn điều kiện

ra

Ngược lại, giả sử Ta chứng minh tồn tại các đa thức và sao cho

Nếu thì điều cần chứng minh là hiển nhiên Chẳng hạn nếu thì là hằng số và ta chỉ

ta được

Giả sử ta đã chứng minh định lý đúng đến Xét hai đa thức có

Không mất tính tổng quát, giả sử Thực hiện phép chia cho được thương là

và dư là Không thể xảy ra

Lúc này, do nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức

sao cho

Hay

Tính chất của phép chia hết

suy ra hay tổng quát hơn với là các đa thức bất kỳ

suy ra (tính bắc cầu)

D(x) = 1.

U(x) = 0, V (x) = q−1

P(x) U(x) + Q(x) V (x) = 1.

min{ deg(P), deg(Q) } = m + 1

1 = (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))

min(deg(Q), deg(R)) = deg(R) < m + 1

U ∗ (x), V ∗ (x)

Q(x)V ∗ (x) + R(x)U ∗ (x) = 1 R(x) = P(x)– Q(x) S(x),

Q(x)V ∗ (x) + (P(x)– Q(x)S(x))U ∗ (x) = 1

P(x)U ∗ (x) + Q(x)(V ∗ (x)– S(x)U ∗ (x)) = 1 U(x) = U ∗ (x), V (x) = V ∗ (x)– S(x)U ∗ (x)

iii) Q|P, P|Q

Trang 7

suy ra tồn tại số thực khác a sao cho (ta gọi và là các đa thức đồng dạng)

Chứng minh Các tính chất là hiển nhiên xuất phát từ định nghĩa tồn tại sao cho

Để chứng minh các tính chất và ta sẽ áp dụng định lý Bezout

Từ giả thiết và suy ra tồn tại sao cho và sao cho

nên theo suy ra chia hết cho

1.10 Các ví dụ có lời giải

Bài toán 1 Tìm tất cả các cặp số sao cho là bình phương của một đa thức Giải: Nếu là bình phương của một đa thức thì đa thức đó phải có bậc Giả sử

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử suy ra C có thể bằng hoặc Nếu thì

Nếu thì Vậy có hai cặp số thoả mãn yêu cầu bài toán là và

Bài toán 2 Cho đa thức và hai số phân biệt Biết rằng chia cho dư chia cho

dư Hãy tìm dư của phép chia cho

iv) Q1| P1 Q2| P2 Q1 Q2| P1 P2

v) vi),

P U + Q V = 1

R = (P U + Q V ) R = (P R)U + Q V R = Q S U + Q V R = Q (SU + V R)

Q|R.

a, b x4 + 4 + a + bx + 1 x3 x2 + 4 + a + bx + 1

+ 4 + a + bx + 1 = (A + Bx + C

⇔ x4 + 4 + a + bx + 1 = x3 x2 A2x4 + 2AB + (2AC + x3 B2) + 2BCx + x2 C2

Trang 8

Từ đó suy ra

Bài toán 3 Tìm dư trong phép chia cho

Lấy đạo hàm hai vế rồi cho , ta được

Từ đó suy ra dư là

Trần Nam Dũng

-Mời bạn thảo luận thêm tại đây

A = Ca + D, B = Cb + D

ab

a ab

aB– bA ab

x100 (x − 1)2

1 = A + B

x = 1

100 = A 100x– 99

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	1,16 MB