Chuyen de Day so

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ trình bày những kiến thức chuyên sâu hơn về giới hạn dãy số, các phương pháp để chứng minh sự hội tụ của một dãy số và tìm giới hạn của dãy số ở mức độ n

Chuyên đề Giới hạn dãy số

Trong chương Dãy số và Giới hạn liên tục, chúng ta đã trình bày một số

định nghĩa, tính chất và định lý cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số Đây là những kiến thức căn bản trong chương trình phổ thông, chủ yếu phục vụ cho việc xây dựng khái niệm giới hạn hàm số và tiếp sau đó là khái niệm đạo hàm Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ trình bày những kiến thức chuyên sâu hơn về giới hạn dãy số, các phương pháp để chứng minh sự hội tụ của một dãy số và tìm giới hạn của dãy số ở mức độ nâng cao

Để độc giả dễ theo dõi và nghiên cứu nội dung chuyên đề, chúng tôi sẽ lặp lại một

số định nghĩa và kết quả (không chứng minh) đã nhắc tới ở các chương trước

x+ ≥x x + ≤x Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Dãy số { }x n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi

n ta có x n ≤M

Dãy số { }x n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi

n ta có x n ≥m

Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

Dãy số { }x n được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu x n k+ =x n với mọi n ∈ ℕ Dãy số tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng

Khái niệm giới hạn dãy số đã được đưa ra ở chương
Ta nhắc lại định nghĩa hình thức cho khái niệm này

Định nghĩa 3

Ta nói dãy số { }x n có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô cùng nếu với

mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0(phụ thuộc vào dãy số x nvà ε) sao cho với mọi 0

n>N ta có |x nưa| nhỏ hơn ε

limx n = ⇔ ∀ >a ε 0, ∃N0∈ℕ:∀ >n N0:|x n ư <a| ε

Ta nói dãy số { }x n dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số

thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0(phụ thuộc vào dãy số x n và M) sao cho với mọi n>N0, ta có |x n| lớn hơn M

limx n = ∞ ⇔ ∀M >0 :∃N ∈ℕ:∀ >n N : x n >M Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ

Để tính giới hạn dãy số, ta có thể dùng định nghĩa (nếu đã biết giá trị của giới hạn) hoặc sử dụng các định lý và tính chất dưới đây

Định lý 1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ)

Nếu { }, { }x n y n là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy

+ ư (Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn ≠ 0 và b ≠ 0)

Định lý 2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức)

Cho dãy số { }x n có giới hạn hữu hạn ℓ, nếu ∃N0∈ℕ: ∀ >n N0 ta có

Việc tìm giới hạn của một dãy số, đương nhiên, không đơn giản chỉ dừng lại

ở mức độ áp dụng định nghĩa hoặc các định lý 1, 2, 3 nói trên Trong khá nhiều trường hợp, việc tìm giới hạn của một dãy số được chia thành 2 công đoạn:

1) Chứng minh dãy số đó hội tụ;

2) Trên cơ sở sự hội tụ đó, tìm giới hạn của dãy số

Chúng ta hãy cùng tìm hiểu rõ điều đó qua ví dụ cụ thể sau:

Ví dụ 1 Với dãy số x1=1, x n+1= x n+2 (1), nếu ta chứng minh được dãy hội tụ và

có giới hạn là L thì rõ ràng, bằng cách chuyển đẳng thức (1) qua giới hạn, ta có

2

+

= L

L , từ đó suy ra L =2

Việc chứng minh sự tồn tại giới hạn trước khi chuyển sang giới hạn là cần thiết

Ví dụ, với dãy số 1 1, n 1 2 , 1, 2, 3,

Chính vì những lý do nói trên, việc tìm ra các điều kiện để một dãy số hội tụ

là rất quan trọng Các định lý tiếp sau sẽ nên lên các điều kiện cần, điều kiện đủ,

điều kiện cần và đủ để một dãy hội tụ

Trước hết, ta có một điều kiện cần đơn giản:

Mệnh đề 4 Nếu dãy số { }x n hội tụ thì { }x n bị chặn

Chứng minh Giả sử { }x n hội tụ và limx n =L Theo định nghĩa, với ε = 1, tồn tại

N0 sao cho với mọi n>N0 thì ư <1 x nư <L 1, suy ra Lư <1 x n < +L 1 Bây giờ nếu

với mọi n = 1, 2, 3, … Như vậy { }x n bị chặn

Dễ thấy rằng đây không phải là điều kiện đủ Chẳng hạn dãy 1, 2, 1, 2, 1, 2,
vừa nói tới ở trên là bị chặn nhưng không hội tụ

Tuy nhiên, nếu bổ sung thêm điều kiện đơn điệu thì ta sẽ có một dãy hội tụ

Đó chính là nội dung của định lý quan trọng sau

Chẳng hạn ta có thể sử dụng định lý này để chứng minh dãy số ở ví dụ 1 là hội tụ Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng:

i) x n+1>x n với mọi n=0, 1, 2, 3, .

ii) x < n 2 với mọi n=0, 1, 2, 3, .

Câu hỏi Hãy thực hiện các chứng minh trên

Như thế, áp dụng định lý 5, ta suy ra { }x n hội tụ Và, bằng cách chuyển qua giới hạn như đã nêu ở trên, ta tìm được giới hạn của dãy số đã cho là 2

Định lý 5, ngược lại, chỉ là điều kiện đủ để một dãy số là hội tụ Một dãy số hội tụ thì nhất thiết bị chặn nhưng không nhất thiết đơn điệu Ví dụ dãy số

= hội tụ về 0 khi n → +∞ nhưng không phải là dãy đơn điệu

Mệnh đề dưới đây đơn giản nhưng khá hữu ích trong các bài toán về tính giới hạn của dãy số

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh a), vì b) hoàn toàn tương tự

Giả sử ngược lại, tồn tại k sao cho x k >L Khi đó, vì dãy số an tăng nên ta có

x ≥x với mọi n>k áp dụng định lý 2, ta cóL=limx n ≥x k >L, mâu thuẫn

Định lý dưới đây là một kết quả quan trọng khác, xuất hiện nhiều trong việc chứng minh các tính chất của hàm số liên tục

Định lý 7 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau)

Cho hai dãy số thực { }, { }a n b n sao cho:

Theo định lý 5, tồn tại lima n =A và limb n =B Do b n ưa n →0 khi n → +∞ nên

A= =B L Theo mệnh đề 6 thìa n ≤ ≤L b n với mọi n, suy ra [ ]

[ ; ], [ ;x t t y ] phải chứa vô số các số hạng của { }a n Nếu đoạn [ ; ]x t1 chứa vô số các

số hạng của { }a n thì ta đặt x2 =x y1, 2 =t Nếu [ ; ]x t1 chỉ chứa hữu hạn các số hạng của { }a n (khi đó [ ;t y1] chứa vô số các số hạng của { }a n ) thì ta đặt x2 =t y, 2 =y1 Tương tự như thế, nếu ta đã xây dựng được đoạn [ ;x y k k] chứa vô số các số hạng của { }a n thì sẽ xây dựng được đoạn [x k+1;y k+1] là một trong hai nửa của [ ;x y k k] và cũng chứa vô số các số hạng của { }a n

Như thế, ta xây dựng được dãy các đoạn thẳng [ ;x y k k] lồng nhau, có

02

Việc chọn này luôn thực hiện được vì [x k+1;y k+1] chứa vô số các số hạng của { }a n

Theo định lý về dãy các đoạn thẳng lồng nhau thì tồn tại duy nhất số thực L là giao của tất cả các đoạn thẳng [ ;x y k k] và dễ thấy theo cách chọn, L chính là giới hạn của dãy con { }

j

i

a , tức là ta đã trích ra được một dãy con hội tụ từ { }a n

Định nghĩa 4

Dãy { }x n được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ >ε 0 : N∃ ∈ ℕ: ∀m n, >N0 thì |x mưx n |<ε

Câu hỏi Chứng minh rằng nếu { }x n là dãy Cauchy thì { }x n bị chặn

Định lý 9 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

Chứng minh Nếu dãy { }x n hội tụ về giới hạn hữu hạn L thì ∀ >ε 0 : N∃ ∈ ℕ sao cho m>N0 ta có| |

Suy ra { }x n là dãy Cauchy

Ng−ợc lại, giả sử { }x n là dãy Cauchy Khi đó dãy { }x n bị chặn Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại dãy con { }

k

i

x của { }x n có giới hạn hữu hạn L

Ta chứng minh L cũng chính là giới hạn của { }x n Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại 0

k sao cho với mọi k>k0, ta có| |

2

k i

Tiêu chuẩn Cauchy dùng để khảo sát sự hội tụ của một dãy số mà ta không tính

đ−ợc (hoặc dự đoán đ−ợc) giới hạn (và do đó không thể dùng định nghĩa)

Ví dụ 2 Chứng minh rằng dãy số xn xác định bởi 2 12

2

1 1

2 Một số dạng dãy số đặc biệt

2.1 Dãy số dạng x n+1 = f x( )n

Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0 Do vậy sự hội tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f x( )và x0 Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x= f x( )

Từ đây, chúng ta có thể sử dụng hai “kịch bản” sau để tìm giới hạn của dãy số: 1) Chứng minh sự hội tụ của dãy số, sau đó giải phương trình x= f x( ) để tìm giới hạn

2) Giải phương trình x= f x( ) để tìm nghiệm (chẳng hạn L), sau đó chứng minh limx n =L bằng cách sử dụng định nghĩa

Theo “kịch bản” thứ nhất, chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:

Định lý 1 Cho I là một khoảng đóng của R và hàm số f I: →I Xét dãy số { }x n

xác định bởi: x0 = ∈a I,x n+1 = f x( )n với mọi n=0,1, 2, 3,

1) Nếu f là hàm số tăng trên I thì { }x n sẽ là dãy đơn điệu Dãy số này tăng hay giảm tuỳ theo vị trí của x0 so vớix1

2) Nếu f là hàm giảm trên D thì các dãy con { } {x2k , x2k+1} là các dãy đơn điệu (và ngược chiều nhau)

3) Giả sử f liên tục trên I Nếu limx n =L thì L∈I, chuyển qua giới hạn trong biểu thức x n+1 = f x( )n , ta suy raL= f L( )

Ta nói một phần tử x của I là một điểm bất động của f khi và chỉ khi: x= f x( )

Chứng minh

1) Giả sử f là hàm số tăng trên I Khi đó nếu x0≤x1 thì ta có f x( )0 ≤ f x( )1 , tức

là x1≤x2 Tiếp tục như thế, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được rằng

1

x ≤x+ với mọi n, suy ra dãy { }x n tăng

Trường hợpx0 >x1, chứng minh tương tự ta được dãy { }x n giảm

Ví dụ 1 (Vô địch sinh viên Moskva, 1982) Cho dãy số { }x n xác định bởi

tăng từ [0,1] vào [0,1] nên từ đây, { }x n n≥2 là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1

do đó có giới hạn Giả sử giới hạn là a thì ta có 1 1

Ví dụ 2 Cho dãy số { }x n xác định bởi x0 = 2 và x n+1 =( )2 x nvới n=0,1, 2,

Chứng minh rằng dãy { }x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Suy ra { }x n là dãy số tăng

Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp rằng x < n 2 với mọi n

Thật vậy, điều này đúng với n = 0

Giả sử ta đã có x < k 2 thì rõ ràng ( ) ( )2

k

x + = < = Theo nguyên lý quy nạp, ta có x < n 2với mọi n

Vậy dãy { }x n tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn

Gọi a là giới hạn đó thì chuyển đẳng thức truy hồi: x n+1 =( )2 x n sang giới hạn, ta được ( )2

Vì 2 là một nghiệm của phương trình nên rõ ràng chỉ có một nghiệm duy nhất của phương trình thoả mãn điều kiện không v−ợt quá 2 Từ đó suy ra a =2 Vậy giới hạn của { }x khi n dần đến vô cùng là 2

Trong trường hợp f x( ) là hàm giảm, ta có thể chứng minh dãy hội tụ bằng cách chứng minh hai dãy con trên cùng hội tụ về một giới hạn như định lí 1

Ví dụ 3 Khảo sát sự hội tụ của dãy số { }u n xác định bởi 0 1 2

2 0,

Một phép quy nạp đơn giản chỉ ra rằng u ≥ n 0với mọi n

Xét hàm số f :[0;+∞ →) [0;+∞), 2

1

2 ) (

x x

)1(2)(

2 2

2 2

++

+

=

x

x x

g thì glà một hàm tăng vì f giảm

Ta tính:

4)1(

)2(

)1(4

)1(

25422)

(

2 2

2 3 2

2

2 3 4 5

++

++

ư

ư

=+

+

ư+

ư+

x

x x x x x x x

Vì u1= f u( )0 = f a( ) [0,1]∈ ta quy về trường hợp trên (bằng cách thay u0 bởi u1) và

có cùng một kết luận limu = n 1

Trong một số trường hợp, hàm số đã cho không đơn điệu trên cả tập xác

định mà chỉ đơn điệu trên miền giá trị mà các số hạng của dãy nhận được Ta cần xác định miền đó càng hẹp càng tốt để trên đó, hàm số đã cho đơn điệu và áp dụng phương pháp đánh giá này trên dãy số đã cho

Ví dụ 4 Cho dãy số(u n) thỏa mãn:

1 2

Suy ra là hàm này nghịch biến trên ( )1; 2

Dãy số đó cho có thể viết dưới dạng: 1

f f

Ta thấy, t phải thỏa mãn đẳng thức:

2

3 2

Trong các nghiệm này, chỉ có 2 cos [ ]1; 2

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số { }x n xác định bởi:

x = ưa <x nên dãy số { }x n giảm Nếu dãy { }x n bị chặn dưới thì nó hội tụ

về nghiệm của phương trình f x( )=x, điều này mâu thuẫn vì dãy giảm và x < ư0 2 Vậy {xn} không bị chặn dưới, tức không có giới hạn hữu hạn

Nếu a >2 thì x < ư1 2 và ta cũng suy { }x n không có giới hạn hữu hạn

+ Với a = ư2hoặc a =1 thì dãy số có giới hạn Xét x ∈ ư0 [ 2, 2] Ta chứng minh dãy

số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại n sao cho x = ư n 2 hoặcx = n 1

Thật vậy, giả sử xn có giới hạn hữu hạn là b và x ∉ ư n { 2,1} với mọi n Khi đó b = ư2hoặcb =1 Giả sử b = ư2 thì tồn tại N0 sao cho xn nằm trong lân cận - 2 với mọi n ≥

1<x n <x n+ < < x n+ k < , mâu thuẫn với giả thiết b =1 Vậy điều giả sử là 2, tức

là dãy số chỉ có giới hạn khi tồn tại n sao cho x = ư n 2 hoặc x = n 1

Sau khi thu được kết quả này, ta sử dụng hàm ngược fư1( )x = ± 2ưx để xây dựng tất cả các giá trị a thoả mãn điều kiện đầu bài

Trong ví dụ trên, ta đã sử dụng giả thiết tồn tại giới hạn để thu gọn miền D, từ đó một hàm có biến thiên phức tạp trở thành một hàm đơn điệu

Như vậy, tính đơn điệu đã giúp chúng ta giải quyết khá nhiều các trường hợp cho dãy số dạng x n+1= f x( n) Tuy nhiên, gặp một số dãy số có sự biến thiên phức tạp, phương pháp hàm đơn điệu có thể sẽ không áp dụng được Trong trường hợp đó ta

có thể nghĩ đến nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1 Cho I là một khoảng đóng Hàm số f I: →I được gọi là một hàm

số co trên I nếu tồn tại số thực q, 0< <q 1 sao cho f x( )ư f y( ) ≤q x ưy với mọi x,

y thuộc I

Định lý 2 Cho I là một khoảng đóng bị chặn Nếu f x( ) là một hàm số co trên I thì dãy số { }x n xác định bởi x0 = ∈a I , x n+1= f x( )n hội tụ Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên I của phương trình x= f x( )

q x ư ưx <ε Suy ra { }x n là dãy Cauchy và do đó nó hội tụ

Ví dụ 6 (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực { }x n xác định bởi:

x =a x+ = + x + x ư với mọi n=0, 1, 2, 3,

Chứng minh rằng dãy số { }x n có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng

Giải Đặt f x( )=ln(3 cos+ x+sin ) 2008x − thì:

x x

x x x

f

cos sin

3

sin cos )

( '

+ +

Từ đó suy ra f x( )− f y( ) ≤q x −y với mọi x, y thuộc ℝ

Bây giờ áp dụng định lý 2, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7 (Việt Nam, 2000) Cho dãy số { }x n xác định nh− sau:

Ví dụ 8 Cho dãy số { }x n xác định bởi x ∈1 (1, 2)và

Giải Giả sử x n có giới hạn là a thì

Ta cã |

2

1 2

||

2

|

| 2 2 1

|

| 2

|

2 1

− +

−

=

−

− +

=

−

+

n n

n n n

x x

x x

2

12

|2

12

|2

2.2 Dãy số dạng x n+1 =x n± (x n)α và định lý trung bình Cesaro

Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng x n+1= f x( n) Tuy nhiên, với dãy số dạng này vấn đề hội tụ của { }x n thường không được đặt ra (vì quá đơn giản và giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc ∞) ở đây, ta sẽ có một yêu cầu cao hơn là tìm bậc tiệm cận của { }x n , cụ thể là tìm β sao cho x n =O n( β) Với các dãy số có dạng này, định

lý trung bình Cesaro sẽ tỏ ra rất hữu hiệu

Định lý 3 (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số { }x n có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng

x n

x x x

x x

ư+

n

x n

có giới hạn hữu hạn, theo

định lý trung bình Cesaro, ta chỉ cần tìm γ sao cho γ γ

Ví dụ 1 Cho dãy số { }x n được xác định bởi 2

1,

1)

(

11

2 2 1

1 1

n

n n n

x x

x

x x x x

Từ đó áp dụng định lý trung bình Cesaro, suy ra lim 1 = 1

sin1

1

2 2

2 2 2 2

n

x x

x x

(áp dụng quy tắc L’Hopitale cho giới hạn

x x

x x

2 2

2 =

n

nx , suy ra lim n x n = 3 Như vậy, ta có thể tìm γ nếu biết β Trong trường hợp không biết β thì ta phải dự

n n n

a a a

Từ đó a n2+1 > 1 + 2n suy ra điều phải chứng minh

Trở lại bài toán, xét biểu thức:

2 3

2 2 3 2

3 2 3 2

3 2

n

n n

n n n n

a

a a

a a a a

2 3 0

2 3 2

3 2

3

→ +

x

x x

x a

a

x n

n n

§Þnh lý 4 NÕu d·y sè d−¬ng { }x n cã giíi h¹n h÷u h¹n lµ a th× d·y sè c¸c trung b×nh nh©n {n 1 2 }

n

x x

n

x x

lim ln

ln

ln ln

Đây là một kết quả khá nổi tiếng Từ kết quả này có thể suy ra công thức tiệm cận

! Sự xuất hiện của hằng số e gợi cho chúng ta đến

giới hạn đặc biệt lim 1 1 e.

1) Hãy thực hiện chi tiết chứng minh trên

2) Dựa theo chứng minh trên, hãy chứng minh lim 0

!

n

a n

=