HƯỚNG dẫn học SINH TRUNG học xây DỰNG mô HÌNH TOÁN học của một số TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN

Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường trung học trong giai đoạn hiện nay .... Rèn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN HỮU HẢI

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA MỘT SỐ TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được thực hiện từ tháng 8 năm 2013 và đã hoàn thành vào tháng 8 năm 2014, đánh một dấu mốc quan trọng trong sự nghiệp của tôi, hiện thực hóa phần nào ước mơ của tôi từ khi còn là học sinh trung học phổ thông, và mở ra cho tôi những cánh cửa tri thức mới rộng lớn hơn trong tương lai Tôi rất vui và tự hào vì điều đó Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người thân yêu của tôi, gia đình, bạn bè

và đồng nghiệp đã luôn ở bên cạnh động viên, ủng hộ và chia sẻ cùng tôi công việc cũng như những khó khăn trong cuộc sống để tôi vượt qua dấu mốc quan trọng này Bản luận văn cũng là lời tri ân sâu sắc nhất của tôi dành cho các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường

Đại học sư phạm Hà Nội, đặc biệt tới TS Chu Cẩm Thơ, người đã dìu dắt tôi

những bước đi chập chững đầu tiên trong sự nghiệp nghiên cứu và hướng dẫn

tôi hoàn thành luận văn này

Đây là công trình nghiên cứu đầu tiên nên chắc chắn luận văn thạc sĩ của tôi còn rất nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng

góp của các thầy giáo, cô giáo, của các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9 năm 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU…… 1

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Mô hình toán học và tình huống thực tiễn 6

1.1.1 Mô hình, mô hình toán học, mô hình hóa 6

1.1.2 Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học 10

1.1.2.1 Khái niệm về thực tiễn 10

1.1.2.2 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn 11

1.1.2.3 Toán học phản ánh thực tiễn 12

1.1.2.4 Toán học có ứng dụng thực tiễn 12

1.2 Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn 18

1.2.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường trung học trong giai đoạn hiện nay 18

1.2.2 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn có tác dụng tích cực trong việc dạy học môn Toán 20

1.2.2.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội tri thức 20

1.2.2.2 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học 21

1.2.2.3 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn giúp làm rõ ý nghĩa của việc học Toán 22

1.3 Quy trình mô hình hóa 24

1.4 Khảo sát thực tiễn dạy học môn Toán hiện nay ở bậc Trung học 28

1.4.1 Vấn đề liên quan đến thực tiễn trong Chương trình và Sách giáo khoa trung học nước ta 28

1.4.2 Tình hình dạy học môn Toán theo hướng liên hệ thực tiễn ở bậc Trung

học 30

1.4.2.1 Học sinh 30

1.4.2.2 Giáo viên 36

1.5 Kết luận chương 1 42

CHƯƠNG II XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA MỘT SỐ TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC………… 44

2.1 Mô hình “Ba điểm thẳng hàng” dành cho học sinh lớp 6 44

2.2 Mô hình “Đồ thị hàm số bậc hai” dành cho học sinh lớp 10 51

2.3 Mô hình “Thống kê toán học và việc chọn nghề” dành cho học sinh lớp 10…… 59

2.4 Mô hình “Xổ số hay là xác suất trong Toán học” dành cho học sinh lớp 11 67

2.5 Mô hình “Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng” dành cho học sinh lớp 12 77

2.6 Mô hình “Ứng dụng tích phân trong tính thể tích vật thể” dành cho học sinh lớp 12 86

2.7 Kết luận chương 2 98

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 99

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 99

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 99

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 99

3.2 Nội dung thực nghiệm 99

3.2.1 Kế hoạch 99

3.2.2 Đối tượng thực nghiệm 100

3.2.3 Đánh giá kế quả thực nghiệm 100

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 101

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 102

3.4.1 Bài “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng” 102

3.4.2 Bài “Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể” 105

3.4.3 Bài “Thực hành kiểm tra ba điểm thẳng hàng” 108

3.5 Kết luận chương 3 110

KẾT LUẬN CHUNG 112

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong

rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên cần thiết đối với nhiều ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học

1.2 Luật giáo dục năm 2009 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được

thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn ”

Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất nước Vì thế, việc dạy học nói chung và việc dạy học Toán nói riêng ở trường trung học phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

1.3 Toán học có tính trừu tượng hóa cao, diễn ra trên nhiều cấp độ Trong các

sách giáo khoa môn Toán hiện hành (các sách về Đại số, Hình học và Giải tích) ở trường trung học và các tài tham khảo về Toán đã có rất nhiều chủ điểm có thể lồng ghép các ứng dụng của Toán học trong thực tiễn vào để giảng dạy Nhưng trong thực tế dạy Toán ở trường trung học, các giáo viên chưa thường xuyên rèn

luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn Vì vậy học sinh chưa thấy được mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn khiến cho việc học Toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh Họ nghĩ rằng Toán học là mơ

hồ xa xôi, học chỉ là học mà thôi Học sinh học Toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi cử

1.4 Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán

học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trò quan trọng trong hoàn cảnh giáo dục của nước ta

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề này, ví dụ như:

1 Nguyễn Văn Bảo (2005) “Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Vinh

2 Lê Thị Thanh Phương (2008), “Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn Toán Đại số nâng cao 10-THPT” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên

3 Trần Thanh Nga (2011) “Khai thác những tư tưởng, bài toán của Pisa vào dạy học môn Toán (bậc trung học) theo hướng tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học sư phạm Hà Nội

4 Cai Việt Long (2012), “Dạy học Toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Giáo dục

Luận văn của tôi muốn góp phần làm sáng tỏ thêm cũng như kế thừa, phát triển, cụ thể hóa những kết quả nghiên cứu của tác giả đi trước vào việc giảng dạy Toán ở bậc THPT

Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: “Hướng dẫn học sinh trung học xây dựng mô hình toán học của một số tình huống thực tiễn”

huống thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đề tài cần trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

4.1 Vai trò và ý nghĩa của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến

thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn?

4.2 Tình hình việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán

học vào thực tiễn trong giảng dạy Toán hiện nay ở trờng trung học như thế nào?

4.3 Việc góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán

học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn trong giảng dạy Toán ở ường Trung học, nên và cần tuân theo những quan điểm nào?

tr-4.4 Nghiên cứu việc xây dựng một số mô hình toán học của một số tình huống

thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học

4.5 Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của các mô

hình toán học

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu thiết kế được một số mô hình toán học của một số tình huống thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học, đề xuất được những biện pháp hoặc một số tình huống, những gợi ý hợp lý về cách lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học, thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn Toán ở bậc Trung học

-Nghiên cứu chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa môn Toán, các tài liệu liên quan đến chương trình PISA, các luận văn, luận án có nội dung phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài

6.2 Quan sát – điều tra

-Đánh giá mức độ yêu thích quan tâm của giáo viên và học sinh về những ứng

dụng thực tế của Toán học và việc khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn Toán của giáo viên trung học

6.3 Thực nghiệm sư phạm

-Thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi và hiệu quả của phương án được

đề xuất trong luận văn

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương:

Chương I Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II Xây dựng một số mô hình toán học của một số tình huống thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học

Chương III Thực nghiệm sư phạm

Chương I Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn một số lí luận liên quan đến vấn đề " mô hình toán học của một số tình huống thực tiễn " , cụ thể sẽ làm rõ:

 Khái niệm về mô hình toán học

 Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học

 Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán

 Quy trình mô hình hóa

 Thực trạng dạy học hướng rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn

1.1 Mô hình toán học và tình huống thực tiễn

1.1.1 Mô hình, mô hình toán học, mô hình hóa

Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng, nhưng làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để trình bày, nghiên cứu Mô hình máy bay, triển lãm mô hình nhà ở kiểu mới Ngoài ra mô hình còn là hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy Mô hình của câu đơn [13,tr.665]

Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình, ta có thể thao tác

và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó Mô hình ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số,

đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu tượng hay thậm trí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [20]

Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình toán học là hệ thống các công thức, phương trình, ký hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng

để nghiên cứu đối tượng ấy [13,tr.665]

Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô

tả về một hệ thống nào đó Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lí, sinh học, và kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị)

Ví dụ 1:

 Trong sinh học: Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798) Giả sử tỷ lệ

người sinh ra là b và tỷ lệ người chết là d, b và d đều là những hằng số, thì tỷ

lệ gia tăng dân số là r b d cũng là một hằng số Giả sử thời kỳ đầu (t 0) dân số là N0, thì dân số tại thời điểm t là N t N e0 rt cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với mô hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này Vì thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế Bởi

vì nó đã không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài nguyên thiên nhiên … chỉ hạn chế trong một giới hạn Dân số quá đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễn môi trường nghiêm trọng và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và

sự tăng lên của tỷ lệ chết

 Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng

Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có

Trong mô hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2, ,n, mỗi thứ có giá

là p1, p2, , pn Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích

là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2, , xn Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2, , xn) Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối

ưu hóa, nghĩa là: maxU x x 1 ; 2 ; ;x n thỏa mãn:

1

.

n

i i i

 Trong khoa học máy tính: các mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu,

mô hình toán trong đồ họa máy tính

 Trong điện tử: mô hình quang phổ, mô hình năng lượng,

 Trong cơ học cổ điển: mô hình dao động của dây, của màng; mô hình

chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm…

 Trong toán học: Phương trình chuyển động của chất lỏng không nén được

biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes như sau:

Kết hợp với phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:

Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Mô hình sử dụng trong dạy học Toán có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm

số, đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử.[20]

1.1.2 Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học

1.1.2.1 Khái niệm về thực tiễn

Theo từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa với

“thực tế”) là “tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên

và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống của con người”, với nghĩa động từ

“thực tiễn” được hiểu là “những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)” [13,tr.1006]

Như vậy thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế nhằm một mục đích nào đó

Từ điển Tiếng Việt giải thích “tình huống” là “sự diễn biến của một tình hình,

Dựa trên quan điểm này ta có thể hiểu: Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của con người)

1.1.2.2 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao Theo [4, tr.35] tính trừu tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối tượng của toán học quy định Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” Hình dạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong những không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều là n hoặc

vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toán và tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy

ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình, …

Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó Theo [4, tr.62] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên

lí giáo dục Cụ thể là:

1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nile (Ai Cập),…

2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm vecto phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,… trong Toán học có những chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”,…

3) Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân

để tính thể tích, diện tích, …

1.1.2.3 Toán học phản ánh thực tiễn

Bên cạnh việc Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, với vai trò là môn học công

cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của môn Toán được sử dụng cho việc học tập các môn khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoa học khác nhau và trong đời sống thực tế Chẳng hạn trong Vật lí, chúng ta gặp mối liên hệ giữa quãng đường đi được S và thời gian chuyển động t trong một chuyển động đều biểu thị bởi: S=v.t, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cường độ dòng điện I khi điện trở R không đổi được biểu thị bằng công thức: U=I.R, trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của chất khí đó với không khí là: M=29.d, mối quan hệ giữa giá tiền P với chiều dài n

của tấm vải được biểu thị bằng công thức: P=a.n,… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt

bỏ ra một bên các đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới mối quan hệ của các đại lượng

tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…

Ví dụ 2:

 Trong quân sự: Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu trong chiến tranh,

nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chục kilomet Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến trường đã được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu) Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ 13 Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm bắn, tính chính xác lẫn sức công phá Với sự phát triển của toán học, người ta đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng pháo:

 Trong thiên văn học: Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện ra các

hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định, và các nhà thiên văn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn hoàn hảo Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kepler thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt Trời cũng phải có quỹ đạo elip Ba định luật Kepler (1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy đã được chấp thuận từ rất lâu,

và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Nicolaus Copernicus (mặc dù quỹ đạo elip theo Kepler khác với các quỹ đạo tròn theo Copernicus), bằng chứng

tỏ Trái Đất quay quanh Mặt Trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có hình elip hơn là hình tròn

 Trong anh ninh quốc phòng: Toán học đã làm nên một cuộc cách mạng

trong công nghệ mật mã, trước hết là bằng sự hiện thực hóa các ý tưởng về mật mã mà các nhà mật mã chuyên nghiệp đã ấp ủ từ lâu và sau đó đưa ra một số kết quả của Toán học Ví dụ: Trong phép mã hóa Caesar, mỗi ký tự của bảng chữ cái được dịch đi một khoảng nhất định, ví dụ với bước dịch là

3, A trở thành D, B trở thành E Mật mã Vigenère là sự kết hợp xen kẽ vài phép mã hóa Caesar với các bước dịch khác nhau

Để mã hóa, ta dùng một hình vuông Vigenère (hình dưới) Nó gồm 26 hàng, mỗi hàng dịch về bên trái một bước so với hàng phía trên, tạo thành 26 bảng

mã Caesar Trong quá trình mã hóa, tùy theo từ khóa mà mỗi thời điểm ta dùng một dòng khác nhau để mã hóa văn bản

Ví dụ, ta có văn bản cần mã hóa như sau:

Chữ cái đầu tiên của văn bản, A, được mã hóa bằng bảng bắt đầu với chữ

L (chữ cái đầu tiên của từ khóa) Nó sẽ được mã hóa thành chữ cái trên dòng L và cột A của hình vuông Vigenère, đó là chữ L Tương tự như vậy, chữ cái thư hai của văn bản sẽ được mã hóa bằng chữ cái thứ hai của từ khóa: chữ trên dòng E và cột T là X Sau đây là bản mã:

Văn bản: ATTACKATDAWN

Từ khóa: LEMONLEMONLE

Bản mã: LXFOPVEFRNHR

 Trong hội họa – kiến trúc:Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi tính, thẻ tín

dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựa

trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối Dường như vũ trụ đang tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của tự nhiên

- một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoàn hảo

Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên cứu một số cá thể từ các dân tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những số đo khác nhau của hình chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một con số cân đối nhất Con

số hoàn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi là “vàng” Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn công trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp, những cuốn sách,

và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con người cảm thấy

nó phù hợp Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà là những dẫn chứng điển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng Trên thực tế, đền thờ Panthenon có rất nhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này

Nàng Mona Lisa - Leonardo da Vinci Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng (hình tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ vàng đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu, khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của chúng ta… thậm chí cả con ốc sên Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng Rất nhiều loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng trong độ dày giữa

giữa cành thấp với cành cao

Những bức ảnh tuân theo “Đường xoắn ốc vàng”

Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực

lượng sản xuất Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những công cụ Toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra

1.2 Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn

1.2.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường trung học trong giai đoạn hiện nay

Luật giáo dục năm 2009 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn ” , “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” Nói một cách tổng quát, mục tiêu của nhà trường phổ thông nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới, phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam

Theo ý kiến của PGS.TS Nguyễn Công Khanh, Giám đốc trung tâm ĐBCLGD&KT [3], Trường Đại học Sư phạm Hà Nội về xây dựng khung chuẩn năng lực học sinh phổ thông Năng lực của học sinh gồm: năng lực chung và năng lực chuyên biệt Năng lực chung của học sinh lại có thể phân thành 2 nhóm:

(1) nhóm các năng lực nhận thức: đó là các năng lực thuần tâm thần gắn

liền với các quá trình tư duy (quá trình nhận thức) như năng lực ngôn ngữ; năng lực tính toán và suy luận logíc/tư duy trìu tượng; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực tri giác không gian; năng lực sáng tạo; năng lực cảm xúc; năng lực tương tác; năng lực ghi nhớ, năng lực tự học; năng lực ngoại ngữ; năng lực công nghệ và năng lực nghĩ về cách suy nghĩ – siêu nhận thức) Mỗi năng lực nhận thức này lại gồm một nhóm các năng lực cụ thể/ năng lực thành phần

(2) nhóm các năng lực phi nhận thức: đó là các năng lực không thuần tâm

thần, mà có sự pha trộn các nét/phẩm chất nhân cách như năng lực vựợt khó; năng lực thích ứng; năng lực thay đổi suy nghĩ /tạo niềm tin tích cực; năng lực ứng phó stress, năng lực quan sát; năng lực tập trung chú ý; năng lực quản lý/lãnh đạo/phát triển bản thân)

Theo ý kiến của TS Chu Cẩm Thơ, Khoa Toán Tin, Trường ĐHSP Hà Nội [15] trong bài viết về xây dựng chuẩn năng lực môn Toán phổ thông thì một trong những năng lực mà giáo dục Toán học phổ thông cần hướng tới:

(4) Năng lực vận dụng Toán học vào giải quyết vấn đề:

- Năng lực vận dụng các tri thức Toán (chủ yếu là tri thức chuẩn) như công

cụ trong học tập

- Năng lực giải một số bài toán có tính thực tiễn điển hình

- Năng lực vận dụng tri thức Toán, phương pháp tư duy Toán vào thực tiễn

- Khuynh hướng, khả năng Toán học hóa các tình huống

Hiện nay, thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa Với

sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, người lao động buộc phải chủ

động dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng xã hội; đặc biệt phải luôn học tập, học để có hành và qua hành phát hiện những điều cần phải học tập tiếp Chính vì thế, trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực cùng sống và làm việc với tập thể, cộng đồng cũng như năng lực tự học

Việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn có ý nghĩa to lớn trong việc thực hiện yêu cầu của mục tiêu giáo dục nói chung và mục tiêu môn Toán nói riêng

1.2.2 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn có tác dụng tích cực trong việc dạy học môn Toán

1.2.2.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội tri thức

Toán là môn học trừu tượng nhiều cấp độ, chính vì vậy để học sinh tiếp thu tốt, rất cần sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế Những hoạt động thực tế đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn, vừa giúp học sinh tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức

Ở các lớp dưới, giáo viên thường dùng những cách như cho điểm, khen chê, thông báo thành tích về cho gia đình, … để kích thích học sinh học tập Nhưng càng lên cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh thì các cách kích thích này tỏ

ra kém hiệu quả, bên cạnh đó các em thường xuyên có một câu hỏi là “Học cái này

để làm gì, nó có ứng dụng gì trong thực tiễn?” Việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong giảng dạy Toán học giúp học sinh có được câu trả lời cho bản thân từ đó tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức

Ví dụ 3: Có thể thay bài toán “Cho đường thẳng d và hai điểm A và B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là d Hãy tìm điểm M trên d sao cho MA+MB là nhỏ

nhất.” bằng tình huống sau “Giả sử nhà em nằm cạnh một dòng sông và nhà em có hai mảnh vườn nằm về cùng một phía so với bờ sông Để tưới nước cho hai mảnh vườn, bố em quyết định đặt một máy bơm nước ở bờ sông để lấy và dẫn nước tới hai mảnh vườn Bố em đưa cho em tiền và yêu cầu em thiết kế đường dây dẫn nước Biết hai mảnh vườn cách bờ sông là a và b mét, hai mảnh vườn cách nhau là

c mét và chi phí cho 1 mét dây bơm là h nghìn Hãy tìm vị trí đặt máy bơm để em

có thể thu được nhiều tiền còn dư nhất (số tiền còn lại sau khi hoàn thành công

việc) từ số tiền bố em đưa.”

1.2.2.2 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực

tiễn giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học

Trong thực tế nhà trường hiện nay, một vấn đề nổi lên là giáo viên thường chỉ chú trọng, quan tâm việc hoàn thành những kiến thức, lí thuyết quy định trong Chương trình và Sách giáo khoa, mà quên hoặc sao nhãng việc giúp các em thực hành kiến thức Toán vào thực tế Dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn, lúng túng trong việc vận dụng kiến thức Toán vào tình huống thực tiễn Điều này tạo nên trong suy nghĩ học sinh môn Toán là môn khô khan, khó học, lý thuyết và không

có nhiều ứng dụng trong thực tế

Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: Tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhẫn Trong thực tiễn lao động sản xuất, hoạt động xã hội, việc tính toán đo đạc với độ chính xác cần thiết thường xuyên diễn ra Ngoài ra, cần giải quyết nhiều vấn

đề trong thực tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm tư duy, thời gian, tiền của và sức lao động Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt nghiên cứu khoa học trong đó có các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế,

mò mẫm, dùng quy nạp không hoàn toàn để dự kiến quy luật, rồi dùng quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của các quy luật dự kiến; thu thập tài liệu

thống kê trong sản xuất, quản lí kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung, ước lượng một số dấu hiệu từ mẫu thống kê đến tập hợp tổng quát về năng suất vụ mùa, năng suất lao động, bình quân nhân khẩu, phế phẩm, số lượng cỡ hàng,

Chính vì vậy, việc tăng cường rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn một mặt giúp học sinh thực hành tốt các kỹ năng toán học (như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc biểu đồ, kỹ năng suy diễn toán học, tính có căn cứ đầy đủ của các lập luận, ) Mặt khác, giúp học sinh thực hành làm quen dần với các tình huống thực tiễn gần gũi trong cuộc sống, góp phần tích cực trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh phổ thông, đáp ứng mọi yêu cầu của xã hội

1.2.2.3 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn giúp làm rõ ý nghĩa của việc học Toán

Lịch sử đã cho thấy rằng, Toán học có nguồn gốc thực tiễn, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh,

phát triển và hoàn thiện các lí thuyết Toán học

Ví dụ 4: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật Tập hợp số nguyên được xây dựng để cho phép trừ luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng a + x =

b luôn có nghiệm Trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh Hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau

Hệ thống số thực được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số

đo

Như vậy, học sinh sẽ hình thành được quan điểm duy vật về nguồn gốc Toán học, thấy rõ Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được

phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế cuộc sống Đồng thời cũng giúp học sinh nghiệm ra rằng mâu thuẫn biện chứng là động lực của sự phát triển

Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn thúc đẩy thực tiễn phát triển Với vai trò là công cụ, Toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do thực tiễn đặt ra

Ví dụ 5: Để tính thể tích của một cái hồ trong tự nhiên, người ta không thể sử dụng các công cụ đo thể tích như bình tràn hay bình chia độ, cũng không thể dùng công thức tính thể tích của một số hình đã biết Nhưng nhờ những kiến thức Toán học, cùng sự hỗ trợ của máy móc, người ta đo lấy số liệu một số điểm của hồ rồi dùng phương pháp xấp xỉ để xấp xỉ bề mặt lòng hồ thành đồ thị của một hàm số nào

đó, rồi dùng công thức tích phân để tính thể tích của cả cái hồ Việc làm này không chỉ giúp ta ước lượng gần đúng thể tích của hồ mà còn giúp ta ước lượng gần đúng thể tích nước đang có trong lòng hồ

1.3 Quy trình mô hình hóa

Phần này được trình bày theo [20]

Quy trình mô hình hóa gồm bốn giai đoạn sau đây

 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu

tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề

 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn

của Toán học Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng

 Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để mô

hình hóa các vấn đề và phân tích mô hình

 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và kết

luận

Quy trình phát hiện và giải quyết vấn đề gồm bốn bước cơ bản sau [4]

 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

 Tìm giải pháp

 Trình bày giải pháp

 Nghiên cứu sâu giải pháp

Qua đây ta có thể nhận thấy quá trình giải quyết vấn đề và mô hình hóa có những đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện cho học sinh những kỹ năng Toán học cần thiết Do đó, chúng hỗ trợ và bổ xung cho nhau Mô hình hóa có thể xem là một quy trình kép kín Nó được nảy sinh từ các tình huống thực tiễn và kết quả của

nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dưới đây:

Hình 1.1: Quy trình mô hình hóa kép kín [20]

Thực hiện quy trình trên, trong quá trình dạy học Toán, giáo viên cần giúp học sinh nắm được yêu cầu cụ thể của từng giai đoạn:

Kết luận Thông báo

Mô hình toán học

Kết luận toán học

Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình

Áp dụng

Hiểu và thông dịch

Phân tích Tình huống

thực tế

 Toán học hóa: Hiểu vấn đề thực tế, thành lập các giả thuyết để đơn giản hóa

vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng ngôn ngữ toán học

Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng Quá trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề,

có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau Lâp các giả thuyết, đơn giản hóa các vấn đề để có thể giải được bài toán Xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình, công thức toán học

 Giải bài toán: Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để

giải bài toán, bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Yêu cầu học sinh lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học

 Thông hiểu: Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn

(bài toán ban đầu)

Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn

 Đối chiếu: Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình

toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng Đây là giai đoạn đòi hỏi học sinh có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải bài toán

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông Cơ chế điều chỉnh này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn :

Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [20]

Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình

Kiểm chứng lại mô hình

và quy trình mô hình hóa

- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó;

- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn;

- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;

- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

1.4 Khảo sát thực tiễn dạy học môn Toán hiện nay ở bậc Trung học

1.4.1 Vấn đề liên quan tới thực tiễn trong Chương trình và Sách giáo khoa trung học nước ta

Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thực tiễn

và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn Từ đó có thể thấy mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và thực tiễn Trong các sách giáo khoa môn Toán hiện hành (các sách về Đại số, Hình học và Giải tích) ở trường trung học và các tài tham khảo về Toán đã

có rất nhiều chủ điểm có thể lồng ghép các ứng dụng của Toán học trong thực tiễn vào để giảng dạy Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi nghiên cứu trình này ở lớp

2 Quan hệ song song trong không gian

3 Quan hệ vuông góc trong không gian

4 Vecto trong không gian

12 Giải tích 1 Tính đơn điệu của hàm số

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

45 học sinh thông qua kết quả điều tra trên mạng ở các trường Trung học tại Hà Nội Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu học sinh sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được thể hiện qua các biểu đồ dưới đây :

Hình 1.3 Thống kê về mong muốn được biết thêm những ứng dụng thực tế của những kiến thức Toán học của học sinh

Hình 1.4 Thống kê về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những

ứng dụng trong thực tiễn của Toán học của học sinh

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số học sinh đều muốn biết những ứng dụng của toán học vào thực tiễn, nhưng ngược lại thì hầu hết các em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học Việc học sinh không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học có thể do các nguyên nhân sau:

1 Toán là môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải dành một lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn tới việc các em ít quan tâm tới các vấn đề khác của Toán học

2 Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu

3 Do tính ỳ của học sinh, luôn trông chờ vào thầy cô hay còn do phương pháp dạy học của thầy cô ảnh hưởng đến cách học của học sinh

89,69%

Hình 1.5 Thống kê đánh giá của học sinh về mức độ thường xuyên

giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của giáo viên

Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy các giáo viên đã có những sự quan tâm nhất định đến việc giảng giải về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhưng sự quan

tâm này còn dừng lại ở cấp độ thấp, mức độ chưa thường xuyên

Hình 1.6 Thống kê về mối liên hệ giữa Toán học và các môn học khác Hình 1.7 Thống kê về tầm quan trọng của Toán học

15,1 0%

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số học sinh đều đánh giá môn toán là môn học quan trọng không chỉ với các môn học khác mà còn trong cả đời sống

Hình 1.8 Thống kê về mức độ khô khan của môn Toán

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số học sinh đều đánh giá môn toán

là môn học khô khan Điều này có thể thấy thông qua bảng 1.9 dưới dây

Bảng 1.9 Bảng thống kê về khó khăn của học sinh khi học môn Toán

1 Khó hiểu, nhiều công thức phải ghi nhớ, không thực tế, quá áp đặt lý thuyết

2 Dễ nản lòng bởi bài khó, khó kiềm chế khi thua bạn bè, lớp ồn khó tập trung

3 Có nhiều bài tập khó, không biết làm xong bài đấy để làm gì

4 Môn hình học không gian rất khó tưởng tượng, nhưng lại rất ít mô hình trực quan

5 Không thấy có ứng dụng gì trong thực tế, không áp dụng được gì cho cuộc sống hàng ngày

6 Chương trình học quá nặng, khô khan, khó tiếp thu

7 Giáo viên ít đổi mới phương pháp, vẫn thiên về dạy lý thuyết và giải bài tập

8 Yêu cầu các kì thi đòi hỏi phải làm nhiều bài tập,

9 Học nhiều kiến thức khó mà lại ít áp dụng vào trong cuộc sống

10 Học không thực tiễn, quá nhiều và thừa thãi, tốn nhiều thời gian học vô ích, không có sự đầu tư vào các hoạt động ngoại khóa, chương trình dạy lỗi thời, không có hứng thú

11 Vì không thấy mối liên hệ với thực tiễn nên thấy Toán rất khó và cũng không muốn học nhiều

12 Quá nhiều công thức, dạng bài, bài tập khó, nhiều kiến thức không cần phải học

13 Nói chung em thấy toán là môn rất khó

Trên đây là những tâm sự về khó khăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán Khó khăn này không chỉ dừng lại ở mức độ trừ tượng của Toán học, hay ở

sự quá tải của chương trình, mà nó còn bao gồm cả nhu cầu muốn được biết mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn không được thỏa mãn Để giải quyết khó khăn này, các em đã đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học môn toán

Bảng 1.10 Bảng thống kê về mong muốn của học sinh

trong quá trình học Toán

1 Được ứng dụng những gì mình học vào thực tế cuộc sống

2 Giảm tiết, không tạo áp lực

3 Học cái gì thực tế, áp dụng được cho cuộc sống, các vấn đề chuyên sâu, cao siêu dành cho các giáo sư

4 Được giảng về mối quan hệ giữa lí thuyết và ững dụng kĩ càng hơn

5 Học theo khả năng và điều kiện cho phép

6 Học thêm nhiều kiến thức có thể ứng dụng trong đời sống

7 Giảm tải một số kiến thức, chú trọng nhiều hơn tới diễn đạt cho học sinh

8 Có nhiều ví dụ sinh động hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn

9 Giảm bớt kiến thức, thêm bài tập thực tế

10 Dễ hơn, thực tế hơn

11 Học những kiến thức thật cơ bản để thi đại học

12 Thực hành, áp dụng nhiều trong thực tế, kiến thức cơ bản đủ để thi đại học

13 Có thêm nhiều hình vẽ, mô hình, ứng dụng trong các giờ học

14 Môi trường mọi người thật sự tập trung, im lặng

15 Giống ở các nước phát triển

Thông qua điều tra ta cũng thấy được nhu cầu muốn biết mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn của học sinh là rất lớn Việc không được thỏa mãn nhu cầu này cũng là một rào cản để các em có sự yêu thích với môn toán

1.4.2.2 Giáo viên

Dựa vào Phiếu điều tra dành cho giáo viên (xem phần phụ lục 2), tôi đã tiến hành trao đổi, điều tra 28 giáo viên dạy toán (trong đó cấp cơ sở có 8 giáo viên, cấp phổ thông có 20 giáo viên ) thuộc các trường Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành Xuân Thủy - Quận Cầu Giấy Hà Nội, Alpha School - Quận Thanh Xuân Hà Nội, Trung học cơ sở Xuân Lũng – Huyện Lâm Thao Phú Thọ, Trung học phổ thông Phong Châu - Huyện Lâm Thao Phú Thọ về việc hiểu biết và khai thác ứng dụng thực tế vào dạy học môn Toán Đối với mỗi câu hỏi được hỏi ý kiến giáo viên được sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng

ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được thể hiện qua các biểu đồ dưới đây :

Hình 1.11 Thống kê về mức độ thường xuyên đến quan tâm đến vệc dạy học

theo hướng tăng cường mối liên hệ Toán học và thực tiễn

Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy các giáo viên đều quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường mối liên hệ Toán học với thực tiễn Có nhiều giáo viên thường xuyên quan tâm tới vấn việc này (2 giáo viên cho 9 điểm và 5 giáo viên cho

Hình 1.12 Thống kê về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu về những

ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống

Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy để có thể dạy học theo hướng tăng cường Toán học với thực tiễn các giáo viên đã chú trọng tới việc tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống Sự tìm hiểu này đã được diễn ra thường xuyên và sâu sắc, nhưng vẫn có nhiều giáo viên chưa chú ý tới vấn đề này

(21,24% là chưa thường xuyên tìm hiểu)

Hình 1.13 Thống kê về tầm quan trọng của việc đưa những tình huống thực tiễn vào dạy học Toán học

Hình 1.14 Thống kê về mức độ thường xuyên đưa tình huống thực tiễn vào dạy học Toán

35,72%

0,00

%

28,57%

67,86%

3,57

%