CHUYÊN ĐỀ: CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA VẬT RẮN (CHUYÊN ĐỀ GIẢI NHÌ MÔN VẬT LÍ TẠI HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 20212022)

CHUYÊN ĐỀ: CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA VẬT RẮN (CHUYÊN ĐỀ GIẢI NHÌ MÔN VẬT LÍ TẠI HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 20212022) ĐÂY LÀ CHUYÊN ĐỀ MÔN VẬT LÍ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ CAO VÀ XẾP GIẢI NHÌ TRONG SỐ CÁC CHUYÊN ĐỀ GỬI VỀ TẠI HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 20212022 DỰ KIẾN TỔ CHỨC VÀO THÁNG 32022 TẠI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Mục đích của đề tài 1

NỘI DUNG 2

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

PHẦN I KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CỦA VẬT RẮN VỀ MẶT ĐỘNG HỌC 2

I - MỞ ĐẦU 2

II - PHÂN TÍCH MỘT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG TỔNG QUÁT 3

III - SỰ PHÂN BỐ VẬN TỐC CỦA CÁC ĐIỂM TRONG MỘT VẬT RẮN 5

IV - CHUYỂN ĐỘNG QUAY THUẦN TUÝ 6

V - CHUYỂN ĐỘNG QUAY TƯƠNG ĐỐI 7

VI - CHUYỂN ĐỘNG LĂN KHÔNG TRƯỢT 8

PHẦN II KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG VỀ MẶT ĐỘNG LỰC HỌC 10

I - KHỐI TÂM CỦA VẬT – MOMEN QUÁN TÍNH 10

II - CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG 13

PHẦN III CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 16

I - CƠ NĂNG VÀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 16

II - ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG 17

III - MOMEN ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG 18

PHẦN IV MA SÁT LĂN – LỰC PHÁT ĐỘNG 20

PHẦN V CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT 25

I DỰA VÀO LIÊN HỆ ĐƯỜNG ĐI 25

II CHUYỂN HỆ QUY CHIẾU – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC 27

B BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CHẤT ĐIỂM 29

I DỰA VÀO LIÊN HỆ ĐƯỜNG ĐI 29

II CHUYỂN HỆ QUY CHIẾU – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC 34

III BÀI TẬP LUYỆN TẬP 39

C BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG VẬT RẮN LIÊN KẾT 48

PHẦN I BÀI TẬP VÍ DỤ 48

I DỰA VÀO LIÊN HỆ ĐƯỜNG ĐI 48

II ĐỔI HỆ QUY CHIẾU – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC 49

PHẦN II BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 53

PHẦN III MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP 93

KẾT LUẬN 98

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Cơ học là khoa học về sự cân bằng và chuyển động của vật thể Nó làm phong phú thêm kiến thức của chính ta về hàng loạt quy luật cơ bản của thiên nhiên, về các phương pháp nghiên cứu nhiều hiện tượng trong thế giới xung quanh ta Nó giúp ta bắt các hiện tượng đó phục vụ con người, tạo khả năng phát triển tư duy và xây dựng thế giới quan đúng đắn Cơ học cũng là phần đầu tiên của chương trình vật lí chuyên Nó là cơ sở lý thuyết vững chắc của hầu hết các lĩnh vực của nền kỹ thuật

Theo tính chất của bài toán, người ta phân cơ học thành tĩnh học và động học Theo tính chất của đối tượng nghiên cứu người ta phân cơ học thành: cơ học chất điểm,

cơ học hệ chất điểm, cơ học vật rắn, cơ học các vật thể có khối lượng biến đổi, cơ học vật biến dạng, cơ học chất lưu

Cơ học vật rắn là phần quan trọng bậc nhất trong chương trình Vật lí chuyên; là phần kiến thức gây nhiều khó khăn cho học sinh; cũng là nền tảng cho một số phần kiến thức phía sau; đặc biệt để đánh giá tư duy sáng tạo, quan sát, nhận định trong vật lý Đặc biệt các bài tập về hệ các vật rắn, các vật rắn liên kết với nhau cần được chú trọng chuyên sâu

Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày tập trung vào các kiến thức và hệ thống bài tập phần “Chuyển động liên kết của vật rắn”

II Mục đích của đề tài

Đề tài đề xuất các kiến thức cơ bản đến nâng cao cần truyền đạt cho học sinh về

cơ học vật rắn, đồng thời đi sâu hơn vào kiến thức và bài tập chuyển động của các vật rắn

có liên kết

Đề tài mong muốn là giáo trình giảng dạy cho giáo viên chuyên và chuyên đề nghiên cứu của học sinh Qua đó học sinh hình thành các kiến thức và kĩ năng giải quyết các vấn đề vật lý

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1 PHẦN I KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CỦA VẬT RẮN VỀ MẶT ĐỘNG HỌC

I - MỞ ĐẦU

1 Định nghĩa

Chuyển động phẳng của một vật rắn là chuyển động trong đó mọi điểm của vật chuyển động song song với một mặt phẳng cố định cho trước

Ta quy ước gọi mặt phẳng này là mặt phẳng O, hệ quy chiếu (HQC) gắn với mặt phẳng O

là HQC O và người quan sát (NQS) đứng trong HQC O là NQS O

2 Chuyển động tịnh tiến song song với một mặt phẳng cố định và chuyển động quay

quanh một trục cố định là hai dạng chuyển động phẳng cơ bản, độc lập với nhau (đã học trong chương trình trung học phổ thông nâng cao)

3 Vận tốc góc và gia tốc góc

Muốn miêu tả đầy đủ chuyển động quay về mặt động học, ta phải coi vận tốc góc và gia tốc góc là những đại lượng đại số hoặc vectơ

a) Cách biểu diễn đại số (Hình 1.1a)

Chọn một chiều quay làm chiều dương và gọi  là góc quay

được

  = '(t)

 > 0 nếu vật quay theo chiều dương

 < 0 nếu vật quay ngược chiều dương

  = '(t)

 cùng dấu với  nếu vật quay nhanh dần

 trái dấu với  nếu vật quay chậm dần

Hình 1.1a

b) Cách biểu diễn vectơ (Hình 1.1b)

Chọn trục quay làm phương của vectơ  Chiều của vectơ  được

xác định bằng quy tắc nắm tay phải (Hình 1.1b) hay quy tắc cái đinh

ốc thuận Vectơ  được gọi là vectơ trục

 = '(t) cũng là vectơ trục

 cùng chiều với  nếu vật quay nhanh dần

 ngược chiều với  nếu vật quay chậm dần

Tuy hai cách biểu diễn là như nhau nhưng ta ưu tiên chọn cách biểu diễn đại số vì sau này ta thường lập và giải hệ phương trình dưới dạng đại số khi làm bài tập

4 Các công thức (đại số) của chuyển động quay biến đổi đều

Chuyển động quay đều khi  = 0 hoặc  = hằng số

II - PHÂN TÍCH MỘT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG TỔNG QUÁT

động từ vị trí 1 đến vị trí 2 (Hình 1.2) Xét một đoạn thẳng AB bất kì trên vật Ta có thể dịch chuyển vật từ vị trí 1 sang vị trí 2 theo một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Thực hiện chuyển động tịnh tiến với vận tốc vA để chuyển vật từ vị trí 1 đến vị trí 1' (được biểu diễn bằng nét đứt ở Hình 1.2a) Ta có: AA ' BB'  vA t. Tiếp theo, giữ A' đứng yên và thực hiện chuyển động quay quanh A' để chuyển vật từ vị trí 1' đến vị

trí 2 Người ta gọi điểm A' là cực Theo Hình 1.2a ta có:

quay quanh một điểm" Khi đó, phải hiểu điểm này là giao điểm của trục quay với mặt phẳng O

2 Kết luận

a) Chuyển động phẳng tổng quát trong HQC O có thể phân tích thành hai chuyển động

thành phần trong HQC đó

- Chuyển động tịnh tiến với vận tốc của một điểm tuỳ ý mà ta chọn làm cực

- Chuyển động quay quanh cực đó

b) Khi phân tích chuyển động phẳng thành chuyển động tịnh tiến và quay thì vận tốc của

chuyển động tịnh tiến có thể khác nhau tuỳ thuộc vào việc chọn điểm nào làm cực, nhưng vận tốc góc thì vẫn như nhau

Tóm lại, chuyển động phẳng tổng quát có thể xem là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thành phần, tịnh tiến và quay hoặc là chuyển động vừa tịnh tiến vừa quay

III - SỰ PHÂN BỐ VẬN TỐC CỦA CÁC ĐIỂM TRONG MỘT VẬT RẮN

1 Xét một vật rắn mỏng, phẳng chuyển động trong HQC O A và B là hai điểm bất kì

của vật Tại thời điểm xét, điểm A có vận tốc vA, điểm B có vận tốc vB và mọi điểm của vật có một vận tốc góc chung  Ta hãy xét xem vA, vB và  liên hệ với nhau như thế nào

Nếu chọn điểm A làm cực (Hình 1.3) thì ta có:

OB  OA  AB.

Lấy đạo hàm theo thời gian ta được:

Công thức (1.1) cho thấy, vận tốc của một điểm bất kì trên vật

bằng tổng vectơ vận tốc của một điểm khác nào đó trên vật mà ta

chọn làm cực và vận tốc của điểm ấy trong chuyển động quay

quanh cực

Công thức (1.1) được gọi là công thức phân bố vận tốc

2 Hệ quả

Công thức (1.1) cũng cho thấy, hình chiếu của vectơ vận tốc của hai điểm lên một trục X

đi qua hai điểm ấy luôn bằng nhau (Hình 1.4):

IV - CHUYỂN ĐỘNG QUAY THUẦN TUÝ

1 Tâm quay (hay trục quay) tức thời

Ta tưởng tượng có một mặt phẳng O' gắn với vật và cùng

chuyển động với vật (Hình 1.5) Tại mỗi thời điểm ta đều có thể

tìm thấy một điểm của mặt phẳng O' này có vận tốc bằng 0 (đối

với mặt phẳng O), còn các điểm khác có vận tốc khác 0 Tại thời

điểm xét, mặt phẳng O' (bao gồm cả vật) quay quanh điểm này

Ta gọi điểm này là tâm quay tức thời, còn trục đi qua tâm quay tức thời và vuông góc với mặt phẳng O gọi là trục quay tức thời Tâm quay tức thời có thể nằm trong vật hoặc

Các điểm A, B, C của vật đều quay quanh K với vận tốc góc 

Như vậy, chuyển động phẳng tổng quát còn có thể xem là chuyển động quay thuần tuý quanh tâm quay tức thời

2 Cách xác định tâm quay tức thời

Nếu biết vận tốc của hai điểm của vật, A và B chẳng hạn, thì theo hai công thức (a) và (b), ta suy ra:

Từ đó, ta có thể xác định được tâm quay tức thời K bằng cách vẽ

a) Trường hợp 1: Hai vectơ vA và vB khác phương (Hình 1.6a)

b) Trường hợp 2: Hai vectơ vA và vB song song với nhau và vuông góc với đoạn thẳng

AB (Hình 1.6b và c)

V - CHUYỂN ĐỘNG QUAY TƯƠNG ĐỐI

1 Như đã biết, trong HQC O, hai chuyển động thành

phần, tịnh tiến và quay, xảy ra đồng thời Muốn nhận ra

chuyển động tịnh tiến, NQS O đánh dấu điểm mà người

đó chọn làm cực, như điểm A chẳng hạn, rồi theo dõi sự

chuyển động của nó Muốn nhận ra chuyển động quay,

NQS O đánh dấu một điểm khác B nào đó rồi theo dõi

chuyển động quay của vectơ AB quanh A Nhưng việc

theo dõi chuyển động này khó hơn vì A luôn chuyển

động Nó chỉ tựa hồ như đứng yên tại mỗi thời điểm

mà thôi (Hình 1.7a) Vì thế, NQS phải làm như sau:

Chọn một điểm bất kì O1 trong HQC O làm tâm quay, rồi vẽ các vectơ O B1 1, song song, cùng chiều và cùng độ lớn với các vectơ AB tại các thời điểm t1, t2 (Hình 1.7b)

Chuyển động quay của vectơ O B1 1 quanh O1 miêu tả chuyển động thành phần quay của vật quanh A trong HQC O

2 Chuyển động quay tương đối

Thật là có ích nếu ta tách được chuyển động quay ra khỏi chuyển động

tịnh tiến Muốn thế, ta làm như sau:

Chọn HQC O' có gốc toạ độ O' tại cực A còn các trục toạ độ O'x' và

O'y' thì có hướng không đổi Đối với HQC O thì HQC O' là HQC

chuyển động tịnh tiến với vận tốc của cực Trong HQC O' thì cực

đứng yên, tức là chuyển động tịnh tiến bị khử, chỉ còn chuyển động

quay của vật quanh cực Chuyển động quay của vật trong HQC O' là

chuyển động quay tương đối (Hình 1.8)

3 Công thức cộng vận tốc

Hình 1.7

Hình 1.8

Xét chuyển động của một điểm B của vật vB là vận tốc tuyệt đối của B trong HQC O O'B và '

So sánh công thức (1.10) với công thức (1.1) ta suy ra    '

Nói một cách khác, chuyển động quay tương đối của vật trong HQC O' có cùng vận tốc góc  và do đó cùng gia tốc góc  với chuyển động thành phần quay trong HQC O

VI - CHUYỂN ĐỘNG LĂN KHÔNG TRƯỢT

1 Định nghĩa

Một vật rắn (hình cầu hoặc hình trụ) lăn không trượt trên bề mặt S một vật rắn khác, nếu tại mỗi thời điểm vận tốc của điểm K ( v K ) của vật rắn tiếp xúc với S bằng 0 (xét trong HQC gắn với S)

Nếu vK  0 thì vận tốc này được gọi là vận tốc trượt

Ví dụ: Bánh xe, thùng phuy, quả bóng lăn không trượt trên mặt đường Các viên bi lăn

không trượt trong các ổ bi

2 Điều kiện lăn không trượt

Ta hãy xét một bánh xe có khối tâm G và bán kính R, lăn không

trượt trên mặt đường (Hình 1.9)

a) Trước hết, chuyển động của bánh xe có thể xem là chuyển động

tổng hợp của chuyển động tịnh tiến với vận tốc vG và chuyển động

quay quanh G với vận tốc góc  (Hình 1.10a, b)

Hình 1.10

Hình 1.9

Theo công thức (1.1), ta có: vK  vG  vKG  0 vK  vG   GK  0

hay viết dưới dạng đại số: vK  vG   R 0 vG  R (1.11)

Lấy đạo hàm theo thời gian (1.11), ta được: aG  R (1.12)

Các công thức (1.11) và (1.12) được gọi là điều kiện lăn không trượt

Từ công thức (1.11) và từ Hình 1.10, ta suy ra, trong chuyển động lăn không trượt, đường đi được của khối tâm bằng đường đi được quanh khối tâm của các điểm tiếp xúc của vật với mặt đường

b) Ta có thể tìm ra các công thức trên đây nếu ta coi chuyển động lăn không trượt là

chuyển động quay thuần tuý quanh điểm tiếp xúc K Khi đó các điểm khác, kể cả khối tâm, đều quay quanh K với cùng  và  như trong chuyển động thành phần quay quanh

3 Xét về mặt động lực học, khi vật chuyển động lăn không trượt trên mặt của một vật

khác S0, thì phản lực của bề mặt của S0 bao gồm một phản lực vuông góc N và lực ma sát nghỉ F msn Còn lực ma sát lăn rất nhỏ bỏ qua

Ví dụ: Ta đẩy một thùng phuy cho chuyển động bằng một lực F nằm

ngang có giá đi qua khối tâm Lực F chỉ có tác dụng làm cho vật

chuyển động tịnh tiến nếu như mặt đường nhẵn Nhưng vì mặt đường

nhám nên nó tác dụng vào thùng phuy một lực ma sát nghỉ giữ cho

điểm tiếp xúc K đứng yên và thùng phuy quay quanh nó (Hình

1.11)

Hình 1.11

PHẦN II KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG VỀ MẶT ĐỘNG LỰC HỌC

I - KHỐI TÂM CỦA VẬT – MOMEN QUÁN TÍNH

1 Khi vật chuyển động dưới tác dụng của lực, người ta phát hiện ra rằng vật có một điểm

đặc biệt khác hẳn các điểm còn lại Ta đã biết điểm này là trọng tâm của vật và kí hiệu là

G Sở dĩ có tên gọi này là vì khi xét chuyển động của vật trong trường trọng lực là trường lực đều thì ta không thể bỏ qua vai trò của trọng lực và điểm đặt của nó

Tuy nhiên, trong một số trường hợp khác thì điểm này mất ý nghĩa là trọng tâm của vật

Ví dụ:

- Vật chuyển động trong "trạng thái không trọng lượng"

- Vật chuyển động trong trường hấp dẫn là trường lực không đều Trong trường lực này điểm đặc biệt không trùng với trọng tâm của vật

- Vật mỏng, phẳng chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát dưới tác dụng của những lực nằm ngang Trong trường hợp này, điểm đặc biệt không mang ý nghĩa là trọng tâm vì trọng lực của từng phần tử của vật đều bị khử bởi phản lực của mặt bàn nên trọng tâm của vật không có vai trò gì đối với chuyển động của vật

Ở phần sau ta sẽ biết vị trí của điểm đặc biệt này chỉ phụ thuộc vào sự phân bố khối

lượng trong vật, nên từ nay ta sẽ gọi nó là khối tâm của vật

2 Tính chất đặc biệt của khối tâm

Đặt một vật mỏng, phẳng có khối tâm G đã biết lên một mặt

bàn nằm ngang và nhẵn (trong trường hợp này khối tâm trùng

với trọng tâm) Buộc sợi chỉ vào một điểm A ở mép vật rồi

kéo dây theo các phương khác nhau Thí nghiệm cho thấy,

nếu kéo dây theo phương AG thì vật chuyển động tịnh tiến,

còn nếu kéo dây theo các phương khác thì vật vừa quay vừa

tịnh tiến

3 Ta có thể chứng minh rằng trong thí nghiệm trên, tác dụng

của lực F có giá không đi qua khối tâm (Hình 1.12) tương

đương với một lực đặt tại khối tâm và một ngẫu lực

Thật vậy, vật sẽ không chịu thêm một tác dụng nào nữa (xét về

Hình 1.12

bằng F' và F', trong đó lực F' song song, cùng chiều và cùng

độ lớn với F (Hình 1.13) Như vậy, tác dụng của lực F tương

đương với một lực F' đặt tại khối tâm và một ngẫu lực (F,F')

Momen của ngẫu lực này bằng momen của lực F đối với khối

tâm: M(G) = Fd

4 Vị trí của khối tâm

Ta coi vật rắn là một hệ chất điểm m1, m2, , mN có vị trí được

xác định bằng các vectơ r1, r2, , rN (Hình 1.14) Lí thuyết và

thực nghiệm cho thấy, vị trí của khối tâm của vật được xác

định bằng công thức sau đây:

khối lượng của vật

5.1 Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính (sức ì)

của vật đó đối với chuyển động quay quanh trục đó

Công thức: I = 

i

2 i

i r

m Đơn vị I: kg.m2

I phụ thuôc khối lượng và sự phân bố khối lượng

Mômen quán tính của một số vật đồng chất

* Vành tròn hay trụ rỗng bán kính R: I = mR2

Hình 1.15 Hình 1.14

5.2 Định lí về trục song song (còn gọi là định lí Stê-nơ – Huy-ghen)

a) Về lí thuyết, ta có thể tính được momen quán tính của vật rắn đối với một trục qua

khối tâm theo công thức đã học IG  m r i iG2

Đối với những vật đồng chất và có dạng hình học đối xứng thì trục đối xứng đi qua khối tâm Ta đã biết momen quán tính của một số vật này đối với trục của nó (xem SGK nâng cao hay tài liệu tự chọn nâng cao)

Trong khi đó, momen quán tính IK thường không có giá trị xác định vì vị trí của tâm quay tức thời K luôn luôn thay đổi

Định lí về trục song song cho phép ta tính được IK nếu biết IG Định lí này được diễn tả bằng công thức sau đây:

2

I  I  md (1.8) trong đó d là khoảng cách giữa hai trục quay song song

đi qua G và K và vuông góc với mặt phẳng O

b) Ta có thể chứng minh định lí này như sau:

Giả sử tại thời điểm xét, K trùng với O Từ Hình 1.16 ta có:

IK = IG + md2

5.3 Định lí về trục vuông góc

a) Xét một vật mỏng, phẳng nằm trong mặt phẳng xy như

Hình 1.17 Ix, Iy và Iz là momen quán tính của vật đối với

các trục x, y và z Định lí về trục vuông góc được diễn tả

II - CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG

1 Xét vật rắn là quả cầu m nhỏ gắn đầu thanh nhẹ, dài r

Lưu ý:Momen lực là đại lượng đại số, dấu của các momen cho biết mômen lực này làm

cho vật rắn quay theo chiều nào

3 Giả sử vật chịu một hệ lực phẳng F1, F2 song song với mặt phẳng cố định O và đặt vào các chất điểm m1, m2, Theo mục I.3 ở trên, tác dụng của hệ lực này tương đương với một lực F' đặt tại khối tâm và một ngẫu lực có momen M

a) Hợp lực F' của các lực F1', F'2, đặt tại khối tâm được gọi là tổng của các lực F1, 2

F và được kí hiệu là F Sở dĩ gọi như vậy là vì tổng các lực F chỉ gây ra gia tốc của chuyển động tịnh tiến giống như toàn bộ khối lượng của vật tập trung tại khối tâm Vì thế, định luật II Niu-tơn cho chuyển động tịnh tiến được viết như sau:

Hình 1.17

Nếu biết thêm điều kiện ban đầu (vG0,0) ta suy ra được vG và  Biết vG và  ta suy

ra được vận tốc của mọi điểm khác của vật theo công thức (1.1)

c) Ta có thể dùng công thức (1.3a) để suy ra công thức (1.5a)

Thật vậy, lấy đạo hàm theo thời gian của rG, ta được: G 1 mi i

d) Vì chuyển động phẳng tổng quát còn có thể xem là chuyển động quay thuần tuý quanh

tâm quay tức thời K, nên ta có thể áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay quanh K

(K ) K

M  I 

trong đó IK là momen quán tính của vật đối với trục quay tức thời K

e) Phương trình động lực học của chuyển động quay tương đối

Để tìm gia tốc góc  của vật trong chuyển động quay tương đối ta áp dụng phương trình:MA  IA

trong đó IA là momen quán tính của vật đối với cực A, MA lấy đối với cực A, trong đó

có momen của lực quán tính Fq  maA

Nếu chọn HQC O' có gốc đặt tại khối tâm, ta được HQC khối tâm Trong HQC này ta bỏ

qua momen của lực quán tính vì lực này đặt tại khối tâm Đó là ưu điểm của HQC khối tâm

Tóm lại, muốn xác định gia tốc góc  của vật ta có thể chọn một trong các cách sau đây:

Cách 1: Chọn khối tâm làm cực: MG  IG

Cách 2: Chọn tâm quay tức thời K làm cực: MK  IK

PHẦN III CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

I - CƠ NĂNG VÀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

Theo công thức (1.3b), ta suy ra:Wt  mgzG  mghG (1.13)

Thế năng của một vật rắn bằng thế năng của toàn bộ khối

lượng của vật tập trung tại khối tâm

2 Động năng của một vật rắn chuyển động phẳng tổng quát

a) Động năng của một vật rắn bằng tổng động năng của các chất điểm tạo nên vật

  (1.16)

b) Định lí biến thiên động năng

Độ biến thiên động năng của một vật rắn bằng công của các ngoại lực tác dụng lên vật:

3 Cơ năng Định luật bảo toàn cơ năng

a) Cơ năng của vật

Hình 1.18

b) Điều kiện để cơ năng của vật được bảo toàn là

- Không có ma sát và lực cản của môi trường

- Nếu có ma sát thì phải là ma sát nghỉ

Khi ấy, cơ năng của vật được bảo toàn Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại

W = Wt + Wđ = const (1.18a) hay Wđ = -Wt (1.18b)

II - ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG

1 Động lượng của một vật rắn bằng tổng động lượng của các chất điểm tạo nên vật

3 Định luật bảo toàn động lượng

Từ công thức (1.20), ta suy ra, nếu không có ngoại lực tác dụng vào vật rắn hoặc khi tổng các ngoại lực bằng 0 thì động lượng của vật được bảo toàn: p m v G  const.

Khi ấy, khối tâm của vật chuyển động thẳng đều, còn các điểm khác thì quay đều quanh khối tâm

III - MOMEN ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG

Công thức (1.23) được gọi là định lí Kơ-níc Nó cho phép tìm momen động lượng đối

với một trục bất kì nếu biết momen động lượng đối với trục đi qua khối tâm

Hình 1.19

Hình 1.20

3 Định lí biến thiên momen động lượng

Lấy đạo hàm biểu thức (1.21) theo thời gian, ta được:

4 Định luật bảo toàn momen động lượng

Từ (1.24) ta suy ra, nếu

ngo¹ i lùcM t  0

 thì L  const

Nếu không có ngoại lực tác dụng hoặc nếu tổng momen xung lượng của các ngoại lực bằng 0 thì momen động lượng của vật rắn (hay của hệ chất điểm) được bảo toàn

PHẦN IV MA SÁT LĂN – LỰC PHÁT ĐỘNG

1 Ví dụ

Ta hãy xét một quả cầu lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang Thực tế cho thấy, khi không chịu một lực chủ động nào theo phương ngang thì quả cầu lăn không trượt chậm dần rồi dừng lại Vận tốc vG của chuyển động tịnh tiến và vận tốc góc  của chuyển động quay quanh khối tâm đều giảm dần đến 0 theo đúng hệ thức vG = R

Ví dụ trên cho thấy, khi một vật lăn không trượt trên mặt sàn, ma sát lăn xuất hiện cản trở cả hai chuyển động thành phần của vật là chuyển động tịnh tiến với vận tốc của khối tâm và chuyển động quay quanh khối tâm

2 Giải thích

a) Ở các phần trước, khi giải các bài toán về chuyển động lăn không trượt, ta đã bỏ qua

sự biến dạng của các vật Còn ở ví dụ trên, nếu ta bỏ qua sự biến dạng này thì sẽ gặp điều nghịch lí Thật vậy, nếu quả cầu và mặt sàn đều rắn tuyệt đối thì quả cầu chỉ tiếp xúc với mặt sàn ở một điểm Phản lực N và lực ma sát nghỉ Fmsn đều đặt tại điểm tiếp xúc Khi

ấy, lực Fmsn dù ngược chiều hay cùng chiều với vG thì cũng đều dẫn đến kết quả trái với thực tế (Hình 1.24a, b)

a)

b)

b) Muốn khắc phục điều nghịch lí trên đây thì ta phải từ bỏ khái niệm vật rắn tuyệt đối

Thật vậy, ở chỗ tiếp xúc, quả cầu bị dẹt một ít, mặt sàn bị lõm một ít, hình thành một diện tích tiếp xúc Hơn nữa, trong khi lăn, phần trước của quả cầu ép mạnh vào sàn, còn phần

sau do dịch chuyển lên nên ép nhẹ hơn Do đó điểm đặt của phản lực N dịch về phía trước một ít, tạo ra một momen cản chuyển động quay của quả cầu (Hình 1.25)

M  M nên  giảm cùng với vG theo hệ thức vG = R

Vậy, ma sát lăn của mặt sàn cản trở chuyển động lăn không trượt bao gồm:

- Lực ma sát nghỉ giữ cho điểm tiếp xúc không bị trượt và cản trở chuyển động tịnh tiến của vật Chính lực ma sát nghỉ này bị hiểu sai là lực ma sát lăn

- Momen của phản lực N đối với khối tâm cản trở chuyển động quay của quả cầu quanh khối tâm (do điểm đặt của phản lực N dịch về phía trước một đoạn: KK' = l)

Người ta gọi Mmsl  lN là momen ma sát lăn, trong đó KK' = l được gọi là hệ số ma sát lăn Nó có thứ nguyên của chiều dài

Thí nghiệm cho thấy hệ số l không phụ thuộc vào bán kính của quả cầu hay con lăn và

tăng ít khi phản lực tăng

Sau đây là một số giá trị của l:

- Con lăn bằng gỗ trên gỗ: 0,5  1,5mm

- Bánh xe lửa trên đường ray: 0,5  1mm

Hình 1.25

- Bánh xe ô tô, xe đạp trên đường nhựa: 10  20mm

3 Cơ năng và ma sát lăn

a) Lực nào trong hai lực Fmsn và N thực hiện công âm?

Khi quả cầu lăn không trượt, điểm tiếp xúc K đóng vai trò là tâm quay tức thời Trong chuyển động quay thuần tuý này, điểm đặt của lực ma sát nghỉ không dịch chuyển trong khi đó thì điểm đặt K' của phản lực N dịch chuyển xuống dưới

Do đó, lực ma sát nghỉ không thực hiện công mà chính

phản lực N mới thực hiện công âm làm giảm cơ năng của

quả cầu (Hình 1.26)

Amsl =N s   Nl

msl msl

trong đó  là góc mà vật quay được quanh K (và cũng là góc mà vật quay được quanh G)

b) Trong những trường hơp nào thì bỏ qua ma sát lăn?

Khi có mặt của các lực khác tác dụng lên vật, gây ra chuyển động lăn không trượt của vật

thì thường thường người ta bỏ qua momen ma sát lăn vì nó quá nhỏ so với momen của các ngoại lực khác Ví dụ, khi một quả cầu hoặc một xilanh lăn trên một mặt phẳng

nghiêng xuống dưới, thì Mmsl = lN nhỏ hơn rất nhiều so với MP của trọng lực Như thế, trong đa số trường hợp (chứ không phải tất cả), người ta có thể giả thiết rằng quả cầu (hay xilanh) rắn tiếp xúc với mặt sàn rắn tại một điểm và lực ma sát tại đó là lực ma sát nghỉ được tính bằng công thức Fmsn  nN

3 Bánh xe phát động Phân biệt lực phát động với kéo của đầu tàu

1 Ta hãy xét sự khởi hành của một đoàn tàu trên một đoạn đường nằm ngang Để cho

đoàn tàu chuyển bánh thì cần phải tác dụng vào đoàn tàu một lực nằm ngang Các ngoại lực tác dụng lên đoàn tàu chỉ là trọng lực của nó và các phản lực từ phía các đường ray Chính nhờ các phản lực này mà đoàn tàu chuyển bánh được và các phản lực được sử

Hình 1.26

(Hình 1.27)

Động cơ đốt trong thông qua cơ chế truyền chuyển động để tác dụng vào bánh xe phát động của đầu tàu những lực có xu hướng làm cho bánh xe quay quanh trục của nó Nhưng do có lực ma sát tại điểm tiếp xúc K với đường ray mà điểm tiếp xúc K được giữ yên, tạo thành tâm quay tức thời để cho tâm O tiến được về phía trước (Hình 1.28) Chuyển động lăn không trượt chỉ xảy ra khi mà phản lực ma sát của đường ray chống lại được sự trượt của bánh xe gây ra bởi chuyển động quay

Muốn tăng lực ma sát nghỉ này thì ta phải tăng trọng lượng đặt lên các bánh xe phát

động Lực ma sát nghỉ mà đường ray tác dụng lên các bánh xe phát động của đầu tàu hướng về phía trước gọi là lực phát động

2 Bây giờ ta xét riêng đầu tàu và giả sử rằng tất cả bánh xe đều là bánh xe phát động

Gọi P là trọng lượng của nó, F K là lực kéo của đầu tàu tác dụng vào toa xe thứ nhất

Theo định luật III Niu-tơn, đầu tàu chịu một lực cản Fc từ phía toa thứ nhất (Hình 1.28)

Ở giới hạn của cân bằng, lực ma sát nghỉ Fmsn tác dụng tại điểm tiếp xúc K (tức lực phát động) cân bằng với lực cản Fc

Cần nhớ rằng, trong trường hợp này ta bỏ qua momen cản của ma sát lăn vì quá nhỏ so với momen khởi động

Muốn bánh xe không trượt, nói cách khác, muốn có sự khởi hành thì phải có:

c msn

F  F  P

Hình 1.27

Hình 1.28

3 Nếu đầu tàu không kéo các toa mà chạy không tải thì sao? Khi ấy ngoại lực tác dụng

vào đầu tàu chỉ là trọng lượng P của nó và phản lực của đường ray Khi đầu tàu bắt đầu chuyển bánh thì động cơ đốt trong của đầu máy tác dụng vào bánh xe phát động một ngẫu lực có momen phát động lớn đến mức có thể bỏ qua momen ma sát lăn Khi ấy, mặt đường bị biến dạng làm xuất hiện một phản lực N tại K' và một lực ma sát nghỉ hướng về phía trước Các định luật động lực học được áp dụng như sau:

4 Xét về phương diện công và năng lượng, thì đầu tàu chạy không tải, động cơ đốt trong

thực hiện công để thắng công cản của lực ma sát lăn ở tất cả các bánh xe của đầu tàu Còn khi kéo các toa thì đầu tàu thực hiện công để thắng công cản của toa thứ nhất Công của đầu tàu chính là công của lực kéo (A = FKs) Còn công của động cơ bao gồm hai công đó

PHẦN V CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT

Cách giải truyền thống các bài toán cơ học là dùng các công thức động học, động lực học và các định luật bảo toàn Nhưng có những tình huống trong đó các phương trình không đủ tìm ra nghiệm đơn giá của bài toán Khi đó cần có những phương trình phụ tính đến các liên kết hoặc các hạn chế đang áp đặt lên chuyển động hệ đang xét Những hạn chế đó có thể liên quan đến độ cứng của vật, đến tính không dãn của dây, đến chuyển động theo một bề mặt hay sự có mặt các điểm đặc biệt trên quỹ đạo Biểu diễn các hạn chế đó bằng phương trình cụ thể, mà ta gọi là phương trình liên kết là một nhiệm vụ bắt buộc trong một số bài toán.2

Đối với chất điểm, hệ chất điểm, tuy các liên kết có thể rất đa dạng và phong phú nhưng có thể sử dụng hai phương pháp chính để giải quyết đó là dựa vào liên hệ đường đi hoặc chuyển hệ quy chiếu, ngoài ra cũng có thể sử dụng tính chất của khối tâm hệ vật

Đối với vật rắn, hệ vật rắn ngoài các phương pháp với chất điểm thì thường phải kết hợp thêm với các kiến thức khác: như chuyển động lăn không trượt, lăn có trượt, định luật bảo toàn và định lí biến thiên mômen động lượng, nên sẽ tăng thêm tính phức tạp của bài toán

Bài tập chuyển động liên kết vật rắn có thể chia theo nhiều cách :

- Theo phương trình liên kết (dựa vào liên hệ đường đi, công thức cộng vận tốc do đổi

hệ quy chiếu)

- Theo dạng liên kết (liên kết bằng dây không dãn, dây dãn, thanh cứng, …) ;

- Theo mặt tiếp xúc (vật tròn lăn trên mặt phẳng, vật tròn lăn trên mặt tròn,…);

- Theo dạng chuyển động (chuyển động lăn không trượt, lăn có trượt) ;

- Theo cách giải quyết với điểm đặc biệt (khối tâm, tâm quay tức thời)

I DỰA VÀO LIÊN HỆ ĐƯỜNG ĐI

Trong một khoảng thời gian nhỏ, một vật dịch chuyển một đoạn nhỏ nào đó, thì các vật liên kết dịch chuyển các đoạn tương ứng Từ mối liên hệ hình học giữa chúng, có thể suy

ra liên hệ các thông số chuyển động

Khi có dịch chuyển nhỏ trong khoảng thời gian Ät rất nhỏ thì theo định nghĩa:

  , trong đó  là vectơ đơn vị tiếp tuyến, s là hoành độ cong tính từ một điểm gốc đã chọn

Hai thành phần gia tốc của chuyển động cong, phẳng:

+ Gia tốc tiếp tuyến: t dv

a dt

Một số liên kết điển hình thường xuất hiện trong bài tập:

- Các vật có bề mặt tiếp xúc với nhau: thì dịch chuyển theo

phương vuông góc với mặt tiếp xúc bằng nhau

- Các vật nối nhau bởi sợi dây có chiều dài không đổi: Sử dụng

phương pháp chiều dài sợi dây không đổi Từ liên hệ toạ độ của

các vật với chiều dài của dây trong quá trình chuyển động rồi đạo

hàm hai vế theo thời gian sẽ tìm được liên hệ gia tốc các vật

- Các vật nối nhau bởi sợi dây có chiều dài thay đổi Đoạn dây

thay đổi quấn trên một trục hình trụ: dây có phương tiếp tuyến với

mặt trụ và hình chiếu của vận tốc của điểm nằm trên mặt trụ tại

tiếp điểm lên phương của dây bằng vận tốc kéo ở đầu dây tự do

- Các vật liên kết bởi thanh cứng nối qua các bản lề hoặc các vật rắn chuyển động Trong trường hợp này ta sử dụng một số tính chất chuyển động song phẳng của vật rắn như:

+ Hình chiếu vận tốc của hai điểm trên vật rắn lên đường thẳng nối hai điểm ấy phải có cùng độ lớn

II CHUYỂN HỆ QUY CHIẾU – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC

Việc thay đổi hệ quy chiếu làm cho chuyển động của các vật trong hệ mới đơn giản và dễ khảo sát hơn Trong trường hợp này ta thường phải sử dụng quy tắc cộng vận tốc và công thức biến đổi gia tốc

Cần nhắc lại rằng:

- Chuyển động có tính tương đối

- Theo định nghĩa: tập hợp cứng các điểm cố định đối với một người quan sát kết hợp với một đồng hồ là HQC của người quan sát đó

- Tồn tại vô số hệ tọa độ gắn vào một HQC cho trước, mặc dù chỉ cần một hệ tọa độ không gian gắn vào người quan sát là đủ để đặc trưng cho HQC

- Quỹ đạo chỉ được xác định đối với một HQC xác định

Giả sử XOY là một HQC đứng yên, gọi đơn giản là HQC (O) , còn X’O’Y’ là một HQC vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay đối với HQC đứng yên, gọi là HQC (O’) M là chất điểm chuyển động, vận tốc của M đối với HQC (O) gọi là vận tốc tuyệt đối, ký hiệu là

O '

d(O 'M) dx ' dy '

   (vì đối với người này thì i ' và j' là không đổi)

Đối với quan sát đứng yên trong HQC (O) thì:

Ta có ở mọi thời điểm: r OMOO' O'M

nên: vO d(OM) d(OO ') d(O 'M)

  chính là vận tốc tương đối của M trong (O’), tức là vận tốc

mà người quan sát đứng yên trong HQC (O’) nhìn thấy M chuyển động đối với anh ta

Còn tổng của 2 số hạng d(OO ') r ')

dt     được gọi là vận tốc kéo theo Nó gồm 2 thành phần:

+ Thành phần d(OO ')

dt là vận tốc tịnh tiến của HQC (O’) đối với HQC (O)

+ Thành phần  r ') là vận tốc quay của HQC (O’) đối với HQC (O)

1) Nếu O’ chỉ chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong), thì vận tốc kéo theo chỉ còn

B BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CHẤT ĐIỂM

Chuyên đề tập trung vào phần kiến thức chuyển động liên kết của vật rắn, tuy nhiên tôi sẽ dành mục B để trình bày về chuyển động liên kết của chất điểm Mục đích để học sinh có thể làm quen với các phương trình liên kết, sau đó có thể vận dụng vào với vật rắn, hệ vật rắn phức tạp

I DỰA VÀO LIÊN HỆ ĐƯỜNG ĐI

Bµi 1: Điểm sáng S cách màn một khoảng L Một vật chắn sang AB có chiều cao là h

chuyển động với vận tốc v0 từ điểm sáng S về phía màn Hỏi ở thời điểm t thì bóng của đầu B của vật ở trên màn dịch chuyển với vận tốc tức thời là bao nhiêu?

Bµi 2: Một thanh cứng có thể quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một bản lề ở một

đầu của thanh Thanh tựa lên một hình lập phương có cạnh là a Cho hình lập phương chuyển động trên mặt phẳng ngang, ra xa bản lề với vận tốc không đổi là v Tìm vận tốc góc của thanh khi nó hợp với phương ngang một góc là á

Bµi 3: Trên mặt đất nằm ngang có một ngọn đèn chiếu sáng một bức tường thẳng đứng

Khoảng cách từ đèn đến bức tường là L Từ chân tường có một hòn đá nhỏ ném về phía đèn Quỹ đạo của hòn đá nằm trong mặt phẳng vuông góc với tường và hòn đá rơi sát cạnh đèn

a Tìm vận tốc ban đầu nhỏ nhất của hòn đá

b Tìm vận tốc dịch chuyển của bóng hòn đá trên tường Xem là tường đủ rộng

Lời giải

L xxL

Bài 4: Một thanh cứng nhẹ AB chiều dài 2L trượt dọc theo hai thanh định hướng vuông

góc với nhau nằm trong mặt phẳng thẳng đứng: B trượt theo thanh Ox nằm ngang, A theo thanh Oy thẳng đứng ở trung điểm C của thanh có gắn một vật nhỏ khối lượng m Đầu B của thanh chuyển động với vận tốc không đổi v từ O Khi thanh hợp với Ox một góc α, hãy tìm:

a Tìm phương trình chuyển động của đầu A?

aht = aC.sinα =

2 C

vLVậy aC =

2 3

v4Lsin 

c ở mỗi thời điểm toàn thanh như một vật rắn đang quay quanh I với vận tốc góc  Như vậy vận tốc của B là vB = v = .RB = .2L.sinα →  = v/(2L.siná)

d Gia tốc của vật m là aC hướng theo phương thẳng đứng từ trên xuống và m chịu 2 lực tác dụng: trọng lực P hướng theo phương thẳng đứng và lực N cần tìm (lực tác dụng từ thanh lên vật) Như vậy N cũng hướng phương thẳng đứng Định luật II Newton cho ta: P – N = m.aC

Vậy: N = m

2 3

vg

Bài 5: Lõi cuộn chỉ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là R Một sợi chỉ quấn vào lõi

trong và vắt qua một cái đinh đóng trên tường Đầu sợi chỉ được kéo với vận tốc không đổi là v (hình 24) Tìm vận tốc v0 của tâm lõi ở thời điểm khi sợi chỉ hợp với phương thẳng đứng một góc á Biết rằng lõi cuộn chỉ lăn không trượt trên mặt phẳng ngang

Lời giải

Điểm tiếp xúc B giữa dây và lõi tham gia vào hai chuyển động: tịnh tiến với vận tốc v0

của trục và quay quanh trục với vận tốc góc  Tổng đại số các hình chiếu của các vận tốc trên lên phương của dây phải bằng vận tốc v kéo dây: v = v0sinα – .r

Do có sự lăn không trượt nên: v0 – .R = 0 Vậy: v0 v R

R sin r



 

Bài 6: Một đĩa nặng bán kính R có 2 dây không dãn quấn vào Các đầu tự do của dây gắn

chặt (hình 22) Khi khối đĩa chuyển động thì dây luôn căng ở một thời điểm vận tốc góc của đĩa bằng  và góc giữa các dây là  Tìm vận tốc của tâm đĩa ở thời điểm này

Lời giải

Gọi v0 là vận tốc của tâm O của đĩa Tại các điểm tiếp xúc C và D của dây và đĩa vận tốc

Bài 7: Cho hệ như hình vẽ Các dây nhẹ không giãn và thẳng đứng Các ròng rọc có khối

lượng rất nhỏ Bỏ qua ma sát Tìm gia tốc của ròng rọc A khi kéo nó thẳng đứng lên trên bởi lực F đặt vào trục ròng rọc

Lời giải

Do ròng rọc không có khối lượng nên lực căng dây là T liên hệ với F theo hệ thức F = 2T

Còn liên hệ đường đi của các vật với ròng rọc:

x2 = 2.xA + 2x1

Suy ra mối liên hệ gia tốc: a2 = 2.aA + 2a1

Phương trình định luật II Newton cho từng vật:

Bài 8: Cho hệ như hình vẽ Các ròng rọc là lý tưởng, bán kính của chúng được chọn sao

cho các đoạn dây thẳng đứng (tức là những đoạn dây không chạm ròng rọc) Tìm gia tốc các vật và nút A xoắn trên dây

Lời giải

Do các ròng rọc không khối lượng nên ta có: TA = TB = T; TC = TD; TD = TA = T Tổng hợp lực tác dụng lên ròng rọc nhỏ nhất:

TA + TB – TC = T + T – T = 0  T = 0

Vậy các vật đều có gia tốc g vì lực tác dụng lên mỗi vật bằng chính trọng lực

Tổng chiều dài của các đoạn dây thẳng liên quan đến tọa độ x1, x2 và x3 (xem hình vẽ):

L = (x1 – 0) + (x3 – 0) + (x3 – x1) + (x2 – x1) = 2x3 + x2 – x1  2a3 + a2 – a1 = 0

Mà a2 = a3 = g  a1 = 3g Mặt khác a1 = 1(aA a )B

2  với aB = g, do đó aA = 5g

II CHUYỂN HỆ QUY CHIẾU – CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC

Bài 1: Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong không gian ở một thời điểm nào đó vận tốc

của 2 điểm A và B trên tấm gỗ là vA vB v và nằm trong mặt phẳng của tấm Điểm C

(tam giác ABC đều: AB = AC = BC = a) có vận tốc 2v Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở cách đường thẳng AB là bao nhiêu?

Lời giải

Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc vA vB v thì A và B đứng yên còn

C quay quanh AB Như vậy trong HQC gắn với đất: v C   , trong đó v v q v là vận tốc C q

quay quanh AB Vì vA vB v và nằm trong mặt phẳng của tấm nên v vuông góc với q

Bài 2: Trên mặt phẳng ngang nhẵn có hai khối lập phương cạnh H, cùng khối lượng M

đặt cạnh nhau (giữa chúng có khe hở nhỏ) Đặt nhẹ nhàng một quả cầu có bán kính R, khối lượng m = M lên trên vào khe nhỏ Bỏ qua mọi ma sát và vận tốc ban đầu của quả cầu Tìm vận tốc quả cầu ngay trước khi va đập xuống mặt phẳng ngang

  2 2

v gR cos sin  gR cos 1 cos 

Còn quả cầu cách mặt đất: h H R 1 cos   

- Nếu HR 1 cos    0, 404R thì sau khi rơi, quả cầu chuyển động rơi tự do:

Bài 3: Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vòng tròn C bán kính R tiếp xúc với mặt

phẳng ngang Một chiếc vòng M có bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng ngang tiến về phía vòng tròn C (hình 3) Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v Mặt phẳng của M nằm sát mặt phẳng P Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R

b) Trong khoảng thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại A) trên vòng có thể coi

là một cung tròn Vòng lăn không trượt nên có thể xem như nó đang quay quanh điểm tiếp xúc với vận tốc góc  = v/R

Ta có: IA1 = 2R.cos, với  = á/2 → cos = 2

Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v2/R

Gia tốc hướng tâm của A1 lại là: aht1 = a1.cos =

2 1 1

v

R Vậy: R1 = 2R

2 2

a A1 và A2? b A1 và B2?

c B1 và B2? d B1 và A2?

Lời giải: