Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Bài 1.. Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox.. Tính thể tích vật thể nhận

Phạm Hồng Phong

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

khongbocuoc.com

Hà Nội – 2012

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 3

Loại 1 Khái niệm nguyên hàm 3

Loại 2 Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm 5

Loại 3 Phương pháp đổi biến số 9

Loại 4 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 11

CHỦ ĐỀ 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13

Loại 1 Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và tính chất của tích phân 13

Loại 2 Phương pháp đổi biến 15

Loại 3 Phương pháp tích phân từng phần 21

CHỦ ĐỀ 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 22

Loại 1 Tính diện tích hình phẳng 22

Loại 2 Tính thể tích vật thể 25

khongbocuoc.com

Nếu chỉ nói F là nguyên hàm của f (không nói rõ K là tập nào) thì ta hiểu F là nguyên hàm

của f trên tập xác định của f

* Chú ý: Khi K a;b thì các đẳng thức F' a   f a và F' b   f b được hiểu

Cho hai hàm số f và F liên tục trên  a;b Nếu F là nguyên hàm của f trên  a;b thì ta có thể

chứng minh được F cũng là nguyên hàm của f trên  a;b

* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm nào đó của hàm số f trên K Khi đó

+) Với mỗi hàng số C, hàm số yF x C cũng là một nguyên hàm của f trên K

+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K đều tồn tại hằng số C sao cho

G x F x C với mọi xK

Từ đó suy ra F x C, C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K Họ tất cả các nguyên

hàm của f trên K được ký hiệu là f x dx  Như vậy

Để F có đạo hàm tại 1 thì trước hết F liên tục tại 1       

* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 0dxC

neáu

1 x

xdx x dx x xC

2 2x

x e x

ln 6C

6) e 2 5x 1

x e

3) sin x cos xdx ĐS: cos 2x

4  16 C 6)  sin 2x cos 2x dx 6  6  ĐS: 5x 3sin 8x

8  64 C 7) cos 2x 3 .cos 2x4dx ĐS: 1   1

8 sin 4x12 2 x sin 12 C 8) 2 x

2

sin dx

2 2 C 9) 2 x

2

cos dx

2 2 C 10) sin xdx 3 ĐS: 3cos x cos 3x

  

11) cos xdx 3 ĐS: 3sin x sin 3x

4  12 C 12) sin xdx 4 ĐS: 3x sin 2x sin 4x

1 2x

dx 3

20) sin x cos xe 3 sin x 2 dx

21) cos x e sin xcos x dx

22) x tan x e  sin x cos x dx

dx 2010x 1

2010

8)

2 2 0

x dx

x 1

9)

2 2 0

13)

0 2

x x m dx

3m 2

, khi m 1 6

24)

3 4 0

e 2

dx e



4 2

2 8

e e

 

28)

4 3 0

sin x dx cos x

n 2 0

sin x

dx cos x

cos x dx sin x

Diễn giải phương pháp: Xét tích phân

b a

I g(x)dx Giả sử bằng một số biến đổi nào đó, ta thu được

2 2 0

x dx

Bài 7 Tính tích phân e

1

ln xdx x(ln x 1)(ln x 2)

Bài 8 Tính tích phân

e 1

ln x 2 ln x 1

dx x(ln x 1)(ln x 2)

Bài 10 [ĐHD05] Tính tích phân 2 sin x

tan xdx I

Bài 21 [ĐHB08] Tính tích phân 4

0

sin x dx

4 sin 2x 2(1 sin x cos x)

sin x cos x

dx sin x cos x

cos 2x

dx (sin x cos x 3)

2 Phép đổi biến tn f (x)

Bài 1 Tính tích phân

1

3 2 0

Bài 9 [ĐHB04] Tính tích phân

e 1

1 3 ln x ln xdx x

3 2

3 3 2

2 0

Bài 7 Tính tích phân

1 2 0



Bài 2 [ĐHD08] Tính tích phân

2 3 1

ln x dx x

2 0

x e dx

x2

khongbocuoc.com

2 4 0

S f y dy

khongbocuoc.com

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y  g x 

Bài 5 Tính diện tích của hai phần đường tròn 2 2

(C) : x y 8 chia bởi parabol (P) : y 22x

Bài 8 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2

(P) : y4xx và các tiếp với (P) tại

Bài 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

V f (x)dx

khongbocuoc.com

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 1 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y xln x , y0 và xe Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS:

3

5e 2 27

 và y 27

x

 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS: 972

5



(đvtt)

Bài 3 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2xx 2 và y0 Tính thể tích vật thể nhận

được khi cho hình phẳng nói trên

Bài 4 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 28x và x2 Tính thể tích vật thể nhận

được khi cho hình phẳng nói trên

1) quay quanh Ox

2) quay quanh Oy

khongbocuoc.com

Bài 6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 2 x và y0 Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Oy

ĐS: 32

15



(đvtt)

Bài 7 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x , y0 và x2 Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

2 (ln 2 1)  (đvtt)

Bài 8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y   y 5 0 và x  y 3 0 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS: 153

5



(đvtt)

Bài 9 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 2 và y x Tính thể tích vật thể nhận

được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS: 3

10



(đvtt)

Bài 10 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 24x6 và y x 22x6 Tính thể

tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS: 3 (đvtt)

Bài 11 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx(x 1) 2 và y0 Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

Bài 12 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x

yxe , y0 và x1 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS:  e 21 (đvtt)

Bài 14 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  3

yx ln 1 x , y0 và x1 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS:

2

3 8



(đvtt)

khongbocuoc.com