mot so dang toan ve GTTD lop 7

chuyen de toan GTTĐ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

A Đặt vấn đề:

Giá trị tuyệt đối của một số là một phạm trù kiến thức rất hẹp, tơng đối trừu tợng Đây là một vấn đề mà học sinh đã đợc học ở chơng trình lớp 6 (đối với số nguyên) và tiếp tục đợc học ở lớp 7 (đối với số thực) nhng không phải

là vấn đề đơn giản đối với học sinh Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay sở ra sao Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã đợc học phần lý thuết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh

Qua giảng dạy phần “Giá trị tuyệt đối của 1 số” tôi tự rút ra một số vấn

đề trọng tâm sau:

1 Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối

2 Phơng pháp giải bài toán trong đó có chứa giá trị tuyệt đối

3 Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối

4 Một số bài toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối

Để học sinh nắm bắt đợc kiến thức một cách chặt chẽ và lô gíc, giúp học sinh có năng khiếu nâng cao kiến thức một cách có mọi hệ thống theo

ch-ơng trình đợc tiếp thu ở trên lớp học hàng ngày

B Nội dung:

I Một số vấn đề về lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối.

Trớc khi đa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phơng pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ đợc định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập

1 Định nghĩa:

Với a ∈ R thì |a| = a nếu a ≥ 0

- a nếu a ≤ 0

2 Tính chất:

Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau:

* |a| = 0 < = > a = 0

* |a| = |- a| với ∀a∈ R

* |a| ≥ 0 với ∀a ∈ R Dấu “=” xảy ra < = > a = 0

* |a| ≥ a với ∀a ∈ R Dấu “=” xảy ra < = > a ≥ 0

* |a| ≥ - a với ∀a ∈ R Dấu “=” xảy ra < = > a ≤ 0

* |a +b| ≤|a| +|b| với ∀a,b ∈ R

Dấu “=” xảy ra < = > ab ≥ 0

II Phương phỏp giải bài toỏn trong đú cú chứa giỏ trị tuyệt đối.

Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là

định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc

III Một số dạng toỏn về giỏ trị tuyệt đối của một số.

1 Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức:

Đối với dạng toán này giáo viên phải cho học sinh thấy đợc sự giống và khác nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối

a Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức.

A = 3x2 - 2x + 1 với |x| = 2 thì x = 2 hoặc x = -2 từ đó sẽ có 2 giá trị của biểu thức A tơng ứng

Bài giải:

Vì |x| = 2 => x = 2

x = -2

* Với x = 2 ta có : A = 3.22 - 2.2 + 1 = 9

* Với x = -2 ta có : A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 17

Vậy với |x| = 2 thì : A = 9; A = 17

b Ví dụ 2: Tìm giá trị của các biểu thức.

B = 2 |x - 2| - 3 |1- x| tại x = 4

Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào biểu thức B sau

đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B

Bài giải:

Với x = 4 ta có:

B = 2 |4 - 2| - 3 |1 - 4| = 2.2 - 3.3 = - 5

2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt

đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm) Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của

1 biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dơng hay âm Dấu của các biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu

a Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - |x - 8|

ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trờng hợp của biến x làm cho x - 8 ≥ 0; x - 8 < 0

|x - 8| = x - 8 với x - 8 ≥ 0; <=> x ≥ 8

- (x -8) = - x + 8 với x - 8 < 0 <=> x <8

* Với x ≥ 8 thì A = 3(2x - 3) - (x - 8)

A = 6x - 9 - x +8

A = 5x - 1

* Với x < 8 thì:

A = 3(2x - 3) - (-x + 8) = 6x - 9 + x - 8 = 7x - 17

Vậy A = 5x - 1 nếu x ≥ 8

7x - 17 nếu x < 8

b Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

A = |x - 3| - |x - 4|

ở đây biểu thức A có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên , cần hớng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu

x - 3 - 0 + +

|x - 3| = x - 3 nếu x ≥ 3

3 - x nếu x < 3

|x - 4| = x - 3 nếu x ≥ 4

3 - x nếu x < 4

Xét 3 trờng hợp tơng ứng với 3 khoảng giá trị của biến x

* Nếu x < 3 thì

A = (3 - x) - (4 - x) = 3 - x - 4+x = -1

* Nếu 3 ≤ x ≤ 4 thì

A = (x - 3) - (4 - x) = x - 3 - 4 + x = 2x - 7

* Nếu x > 4 thì.

A = (x - 3) - (x - 4) = x - 3 - x + 4 = 1

Vậy: A = - 1 nếu x < 3

2x - 7 nếu 3 ≤ x ≤ 4

1 nếu x > 4

Hoặc có thể cho học sinh lập biểu biến đổi sau:

Vậy: A = - 1 nếu x < 3

2x - 7 nếu 3 x ≤ 4

1 nếu x > 4

3 Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị

tuyệt đối.

ở dạng này giáo viên cần lu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau:

3.1 |f(x) | = a (a ≥ 0) < => f(x) = a

f(x) = - a

3.2 |f (x) | = | g(x) | <= > f(x) = g(x)

f(x) = - g(x)

3.3 |f(x) + g(x) = a

Phải xét 2 trờng hợp:

* f(x) ≥ 0 thì |f(x)| = f(x)

* f (x) < 0 thì |f(x)| = - f(x)

3.4 |f(x)| + |g(x)| = a

ở dạng này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trờng hợp xảy ra (lu ý học sinh số trờng hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1)

a Ví dụ 1: Tìm x biết: |2x - 1| = 3

Bài toán này thuộc dạng 3.1.

Cách giải:

|2x - 1| = 3

=> 2x - 1 = 3 = > 2x = 4 = > x = 2

2x - 1 = - 3 2x = - 2 x = -1

Vậy x ∈ - 1; 2

b Ví dụ 2: Tìm x biết: |x - 3,5| = |4,5 - x|

Bài toán này thuộc dạng 3.2

Cách giải:

|x - 3,5| = |4,5 - x|

=> x - 3,5 = 4,5 - x => x + x = 4,5 +3,5

x - 3,5 = x - 4,5 x - x = - 4,5 + 3,5

=> 2x = 8 => x = 4

ox = -1,5 vô lý

VËy x = 4.

c VÝ dô 3: T×m x biÕt: | x-7| + x - 5 = 3

Bµi to¸n nµy thuéc d¹ng 3.3.

C¸ch gi¶i.

|x - 7| + x - 5 = 3 (1) XÐt 2 trêng hîp

* NÕu x - 7 ≥ 0 < => x ≥ 7 th× |x - 7| = x - 7

Tõ (1) => x - 7 + x - 5 = 3

= > 2x - 12 = 3

=> 2x = 15

=> x = 7,5 > 7 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

* NÕu x - 7 < 0 < => x < 7 th× |x - 7| = 7 - x

Tõ (1) = > 7 - x + x - 5 = 3

=> ox + 2 = 3

=> ox = 1 v« lý

VËy: x = 7,5

d VÝ dô 4: T×m x biÕt: |x - 3| + |4 - x| = 6

Bµi to¸n nµy thuéc d¹ng 3.4.

C¸ch gi¶i:

|x - 3| + |4 - x| = 6 (2)

* LËp b¶ng xÐt dÊu:

-* Nếu x < 3 thì |x - 3| = 3 - x; |4 - x| = 4 - x.

Từ (2) => 3 - x +4 - x = 6

= > - 2x + 7 = 6

= > - 2x = -1

= > x = 0,5 < 3 TMĐK

* Nếu 3 ≤ x ≤ 4 thì |x - 3| = x - 3

|4 - x| = 4 - x

Từ (2) => x - 3 + 4 - x = 6

=> 0x = 6 + 3 - 4

=> 0x = 5 vô lý

* Nếu x > 4.

Thì |x - 3| = x - 3 ; |4 - x| = x - 4

Từ (2) => x - 3 + x - 4 = 6

= > 2 x = 6+3+4

=> 2x = 13

=> x = 6,5 > 4 TMĐK

Vậy x ∈ 0 6,5; 0,5

e Ví dụ 5: Tìm x biết |x - 3| + |5 - x| = 0

Dạng này phải vận dụng |f(x)| ≥ 0

Cách giải.

Vì |x-3| ≥ 0 và |5-x| ≥ 0 với ∀x ∈ R

Do đó: |x - 3| + |5-x| = 0 khi và chỉ khi x = 3 và x = 5 Điều này không thể đồng thời xảy ra Vậy không tồn tại x thoả mãn yêu cầu của đề bài

4 Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.

ở dạng này giáo viên lu ý quy tắc sau:

|f(x) | = f(x) nếu f(x) ≥ 0

- f(x) nếu f(x) < 0

Sau đó lần lợt giải tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt đợc để có toàn

bộ các giá trị của biến

a Ví dụ 1: Tìm x biết: |3x - 2| < 4 (1)

ở dạng này cần vận dụng với a là hằng số dơng

Nếu |f(x)| < a thì - a < f(x) < a; (f(x) (Nằm trong khoảng)

Cách giải:

Cách 1: |3x - 2| < 4

<= > - 4 < 3x - 2 < 2 < 4 <= > - 2 < 3x < 6

< => -

3

2

< x < 2

Cách 2: |3x - 2| = 3x - 2 nếu x ≥Error! Not a valid link.

- 3x + 2 nếu x <

3 2

* Nếu x ≥ 32(*) thì (1) trở thành 3x - 2 < 4 => x < 2 (**)

Từ (*) (**) =>

3

2

≤ x < 2 (2)

* Nếu x <

3

2 (3)

thì (1) trở thành - 3x + 2 < 4 <=> x > -

3

2

(4)

Từ (3) và (4) => -

3

2

< x <

3

2

(5)

Từ (2), (5) => -

3

2

< x < 2

Cách 3: Lập bảng biến đổi |3x - 2| < 4 <=> |3x - 2| - 4 < 0

x

3 2

Nghiệm thích hợp -

3

2

< x <

3

2

3

2

≤ x < 2

Vậy -

3

2

≤ x < 2

b Ví dụ 2: Tìm x biết |x + 5| >7

Với bài toán trên giáo viên hớng dẫn học sinh làm theo các cách sau:

Cách giải.

Cách 1:

Ta có: |x + 5| = x + 5 nếu x ≥ - 5.n

- x - 5 nếu x < - 5

* Với x ≥ - 5 thì (1) trở thành x + 5 > 7; x > 2 (Thoả mãn điều kiện

đang xét)

* Với x < - 5 thì (1) trở thành - x - 5 > 7

x < 12 (Thoả mãn điều kiện đang xét)

Vậy: x < -12 hoặc x > 2

Qua cách làm trên giáo viên chỉ ra cho học sinh vấn đề sau:

Với a là hằng số dơng

Nếu |f(x) | > a thì f(x) > a

f(x) < - a

(f(x) nằm ngoài khoảng)

Cách 2: |x + 5| > 7

<=> x + 5 > 7 <=> x > 2

x + 5 < -7 x < - 12

Vậy x < - 12 hoặc x > 2

Cách 3: Lập bảng biến đổi.

|x + 5| > 7 < => |x +5| - 7 > 0

x

Nghiệm thích hợp x < - 12 x > 2

5

Vậy x < - 12 hoặc x > 2.

Giáo viên chốt lại: Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng với a là hằng số dơng

* Nếu |f(x) | < a thì - a < f(x) < a

* Nếu |f(x) | > a thì f(x) > a

f(x) < - a

Hoặc chuyển hết về 1 vế là 1 biểu thức, vế kia bằng O sau đó lập bảng xét dấu

5 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa

dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức: A = 5|3x - 2| - 1

ở đây học sinh phải biết vận dụng đợc kiến thức | a| ≥ 0 với ∀a ∈ R để giải

Cách giải.

Ta có |3x - 2| ≥ 0 với ∀x ∈ R

= > 5|3x - 2| ≥ 0 với ∀x ∈ R

= > A = 5 |3x - 2| - 1 ≥ = - 1 với ∀x ∈ R

Dấu “=” xảy ra < = > 3x - 2 = 0 < => hay x =

3

2

Min A = - 1 <= > x =

3 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x - 5| + |x - 7|

Dạng bài này giáo viên giới thiệu cho học sinh 4 cách giải sau:

Cách 1: Bài toán phụ:

Chứng minh rằng: |a|+|b| ≥ |a + b|

Dấu “=” xảy ra < = > ab ≥ 0

Giáo viên hớng dấn cho học sinh chứng minh dựa vào | a | > a ; | a | > - a

CM ta có: | a | > a

| a | > b

=> | a | + | b | > a+b (1)

| a | > - a

| b | > - b

Từ (1) và (2) => - (| a | + | b |) < a + b < | a | + | b |

=> | a + b | < | a | + | b |

Dấu “=” xảy ra <=> ab > 0

áp dụng bài toán phụ, ta có:

B = | x - 5 | + | x - 7 | = | x - 5 | + | 7 - x | > | x - 5 + 7 - x|

B > | 2 | = 2

Dấu “=” xảy ra: <=> (x - 5) (7 - x) > 0 < => 5 < x < 7

(Lập bảng xét dấu)

Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7

Cách 2: Ta có 3 trờng hợp sau (dựa vào bảng xét dấu).

* Nếu x < 5 thì

B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12

Vì: x < 5 <=> -2x > -10 <=> -2x + 12 > 2

Ta có: | x - 5 | + | x - 7 | > 2

* Nếu 5 < x < 7, ta có:

B = x - 5 - x + 7 = 2

* Nếu x > 7, ta có:

B = x - 5 + x -7 = 2x - 12

Vì x > 7 <=> 2x >14 nên 2x - 12 > 2

Do đó: | x - 5 | + | x - 7 | > 2

Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7

Cách 3:

=> | a | + | b | > - (a+b) => - (| a | + | b |) ≤ a+b (2)

B = | x - 5 | + | x - 7 | là tổng các khoảng cách từ điểm x đến điểm 5 và

điểm 7 Tổng này nhỏ nhất khi x ở giữa 5 và 7 hoặc trùng với 5, hoặc trùng với 7

Khi đó: | x - 5 | + | x - 7 | = 7 - 5 = 2

Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7

Cách 4: | x - 5 | > x - 5

Dấu “=” xảy ra <=> x - 5 > 0 <=> x > 5

| x - 7 | = | 7 - x | > 7 -x

Dấu “=” xảy ra <=> 7 - x > 0 <=> x < 7

Do đó: B = | x - 5 | + | x - 7 | > x - 5 + 7 - x = 2

Dấu “=” xảy ra <=> x > 5 và x < 7 <=> 5 < x < 7

Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7

c Ví dụ 3: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất.

C = | x + 5 | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 |

Để giải bài toán này giáo viên cần lu ý học sinh vận dụng định nghĩa và các tính chất sau:

- A nếu A < 0

* | B | > B dấu “=” xảy ra <=> B > 0

* | C | > - C dấu “=” xảy ra <=> C < 0

* | D | > 0 dấu “=” xảy ra <=> D = 0

Cách giải:

| x + 5| > - ( x + 5) = - x - 5

| x + 13 | > - ( x + 13) = - x - 13

| x + 20 | > 0

| x + 77 | > x + 77

| x + 2005 | > x + 2005

| A | =

Do đó C > - x - 5 - x - 13 + 0 + x + 77 + x + 2005 = 2064.

Dấu “=” xảy ra <=> x + 5 < 0; x + 13 < 0; x + 20 = 0; x + 77 > 0; x + 2005 > 0

Từ đó ta có x = - 20

Vậy với x = - 20 thì Min C = 2064

6 Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thì hàm số y = | x |

Giải:

x nếu x > 0

- x nếu x < 0 + Với x > 0 đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần t thứ I + Với x < 0 thì đồ thị hàm số y = -x là tia phân giác của góc phần t thứ II

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y =

2

1

(x + |x|)

Giải:

+ Với x > 0 thì y = x

+ Với x < 0 thì y = 0

Đồ thị hàm số gồm tia phân giác của gốc phần t thứ I và tia Ox’

Qua 2 ví dụ này giáo viên cho học sinh thấy đợc khi vẽ đồ thì hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đa về dạng đồ thị hàm số đã học

IV Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối:

Bài 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho | x | + | y | = 2

Giải:

ở đây x và y có vai trò bình đẳng

Ta xét x chẳng hạn ta có: 0 < | x | < 2 vì x ∈ Z nên | x | ∈N.

Do đó: | x | ∈ {0; 1; 2}

+ Nếu | x | = 0 thì | y | = 2 => x = 0; y = + 2

+ Nếu | x | = 1 thì | y | = 1 => x = + 1; y = + 1

+ Nếu | x | = 2 thì | y | = 0 => x = + 2; y = 0

Vậy có tất cả 8 cặp số thoả mãn đề bài là:

( x = 0; y = 2); ( x = 0; y = -2); ( x = 1; y = 1)

y = | x | =

A nếu A

( x = 1; y = -1); ( x = -1; y = 1); ( x = -1; y = -1) ( x = 2; y = 0); ( x = -2; y = 0);

Bài 2: Trong 3 số nguyên a, b, c có 1 số âm, 1 số dơng, 1 số bằng 0

ngoài ra còn có thêm | a | = b2 (b - c)

Hỏi số nào dơng, số nào âm, số nào bằng 0?

Giải:

+ Nếu b = 0 thì | a| = 02 ( 0 - C)

=> | a | = 0 => a = 0 tức a = b trái với đề bài

+ Nếu a = 0 => b2 ( b - c) = 0

=> b2 = 0 => b = 0 => a = b trái với đề bài

b - c = 0 => b = c trái với đề bài

Vậy c = 0 => | a | = b2 ( b - 0)

=> | a | = b3 mà | a | > 0 ∀a

=> b3 > 0 => b > 0 => a < 0 Vậy a < 0; b > 0; c = 0 thì thoả mãn đề bài

Bài 3: Cho đẳng thức | a | - 1 = b2007 (a, b ∈Z)

a Xác định dấu của a và b biết rằng chúng là 2 số nguyên khác 0 và trái dấu nhau

b Tính a nếu b = 0

c Tính b nếu a = 0

Giải:

a Giả sử a > 0 thì b < 0 (vì a, b trái dấu)

=> b2007 < 0 mà | a | - 1 = b2007

=> | a | - 1 < 0 => | a | < 1 => -1 < a < 1 mà a∈Z

=> a = 0 trái vớu đề bài là a, b ≠ 0 Vậy a < 0; b > 0

b Khi b = 0 có | a | - 1 = 02007 => | a | - 1 = 0