tong hop chuyen de khao sat ham so

Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung... Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.. Xác định m để đồ thị hà

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I.Kiến thức cơ bản:

1 Định lý:

) ( 0

)

(

* /

x f D x x

f     đồng biến trên D

) ( 0

)

(

* /

x f D x x

f     nghịch biến trên D

2 Định lý mở rộng:

D x x

f ( )  0  

* / và f /(x)  0 tại một số hữu hạn điểm f (x)đồng biến trên D

D x x

f ( )  0  

* / và f /(x)  0 tại một số hữu hạn điểm f (x)nghịch biến trên D

3 Chú ý:

 a b x

x

* /    và f(x) liên tục trên  a; b  f (x)đồng biến trên  a; b

 a b x

x

* /    và f(x) liên tục trên  a; b  f (x)nghịch biến trên  a; b

4 Điều kiện không đổi dấu trên R:

) (

) (

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Cách 2 ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m))

+ Xét sự biến thiên của g(x)

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Cách 3 ( Không làm được như hai cách trên )

+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

0 0

0 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 2 ;  

Vậy hàm số đồng biến trên 2 ;   khi m = 0 hoặc

1 0

1 2 1 2

/

m x

x m

x m x

4 0

4

0 1

b * Tập xác định: D = R

y/  x2  4xm

* Hàm số đồng biến trên 0 ;    /  0  0 ;  

x y

m x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT m 0

Vậy m 0 hàm số đồng biến trên 0 ;  

f/(x) - 0 +

 

f(x) -4 5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT m  4 d * Tập xác định: D = R y/  x2  4xm / 2

0 4 0 y  x  x m  Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 phương trình ý 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1x2  1                              1 4 4 1 2 0 4 1 0 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 / x x x x m x x x x m x x   4 3 4 3 4 1 ) ( 4 2 4 2                       m m m m m Vậy 4 3   m thỏa mãn điều kiện bài toán Ví dụ 3 Cho hàm số y x3 mx2  12x 1 a Xác định m để hàm số đồng biến trên R b Xác định m để hàm số đồng biến trên 1 ;  c Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1 ; 2 d Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2 Giải: a Tập xác định: D = R y/  3x2  2mx 12 Hàm số đồng biến trên R            0 0 0 / / a R x y 6 6 6 6 0 36 0 3 2                    m m R m m b Tập xác định: D = R y/  3x2  2mx 12 * Hàm số đồng biến trên 1 ;  y/  0 x1 ;               3 2 12 0 1 ; 2 3 12 1 ; 2 2 x x x m x mx x Xét hàm số ( ) 3 12 1 ;  2 trên x x x f Ta có / 3 2 212 ) ( x x x f              ) ( 2 ) ( 2 0 12 3 0 ) ( 2 2 / l x n x x x x f Ta có bảng biến thiên: x 1 2  

f/(x) - 0 +

15  

f(x) 12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m 12 m 6

Vậy m 6 thỏa mãn điều kiện bài toán c Tập xác định: D = R y/  3x2  2mx 12 * Hàm số nghịch biến trên  1 ; 2 y/  0 x 1 ; 2  1 ; 2 2 3 12  1 ; 2 0 12 2 3 2 2            x x x m x mx x Xét hàm số ( ) 3 12  1 ; 2 2 trên x x x f   Ta có / 3 2 212 ) ( x x x f              ) ( 2 ) ( 2 0 12 3 0 ) ( 2 2 / l x l x x x x f Bảng biến thiên: x 1 2

f/(x) -

15

f(x)

12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m 12 m 6

Vậy m 6 thỏa mãn điều kiện bài toán

d * Tập xác định: D = R

y/  3x2  2mx 12

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2

phương trình ý 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1x2  2



































































4 4

; 6 6

; 4

2

0 36 4

0

2 1 2 2 1 2

1 2 2 2 1

2 2

2 1

/

x x x

x

m x

x x

x

m x

x

m m

m

6 6

; 6 6

; 4

4 4 3

2

; 6 6

; 2

Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 4 Cho hàm số

m x

mx y

m y

m y

; 2

; 3 3

;

; 2

0 9 2

m m

m y

3

; 3 1

;

0 9 2

m m

m

Vậy:  3 m 1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5 (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)

Cho hàm số 3 2

y    x 3x  3mx 1 (1)  , với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)

Giải:

Ta có y’ = -3x2

+ 6x+3m Yêu cầu bài toán  y’   0, x 0; 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT   m 1

Vậy m  1 hàm số nghịch biến trên (0;  )

BÀI TẬP TỰ LÀM

1 Cho hàm số 3 2

y  x x mx có đồ thị ( )C Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;   ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)

x 3



 , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1; 

2 Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:

x x

2 sin 2 cos 1 )

x

x x

x f

) 2

; 0 (

0 2

2

0 2 sin 0 ) (

k x k x x

x f

Suy ra, f (x) đồng biến trên 







 2

Vậy: sinx < x 















2

;

0 

x

b Ta có: x tanxx tanx 0

Xét hàm số f(x) x tanx trên 







 2

;

0 























2

; 0 0

tan cos

1 1 )

x x

x x

f

) 2

; 0 (

0 0

tan 0

) ( /

























x Do x

k x x

x f

Suy ra, f (x) nghịch biến trên 







 2

;

0 















2

;

0 

x

Ta có 0  x f 0  f(x)  0  x tanxx tanx Vậy          2 ; 0 tan  x x x c x4  2x2  0 x 1 ; 1 Xét hàm số 4 2 2 ) (x x x f   với x  1 ; 1 Ta có f/(x)  4x3  4x  

                 1 1 0 0 1 4 0 4 4 0 ) ( 3 2 / x x x x x x x x f Bảng biến thiên: x -1 0 1

f/(x) + 0 -

0

f(x)

-1 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  x4 2x2  0 x 1 ; 1 (đpcm)

CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:

Cách 1 ( Thường dùng cho hàm đa thức )

* f(x) đạt cực trị tại x = x0















0 ) (

0 ) ( 0 //

0 /

x y

x y

* f(x) đạt cực đại tại x = x0















0 ) (

0 ) ( 0 //

0 /

x y x y

0 ) ( 0 //

0 /

x y

x y

Cách 2 ( Thường dùng cho hàm phân thức )

* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì y/(x0)  0

* Giải phương trình y/(x0)  0tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số

* Lập bảng biến thiên và kết luận

1 2

0 2 3 0

) 0 (

0 ) 0

m m y

2 2

5 5 2

5 5

0 2 4

0 5 5 0

) 1

(

0 ) 1

m m

m m y

m m y

y

4 0

2 8

0 17 9 0

) 3

(

0 ) 3

1 3

(

0 ) 1

(

0 ) 1

3 2

2 2

1

0 2

0 1

b a a

b a

b a a

b a

4 12

4 4

m x y

x m x y

4 12

0 4

4 0

) 1 (

0 ) 1 (

2 2 //

/

m m m m

m y

4 12

4 4

m x y

x m x y

2 0

4 48

0 8 32 0

) 2 (

0 ) 2 (

2 2 //

m y

y

Ví dụ 4 Xác định m để hàm số

1

5 2 2

y

/ 3

0

5

x y

x





    



x   - 5 3  

y/ + 0 - 0 +

CĐ  

y   CT Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 Ví dụ 5 Xác định m để hàm số 2 2 2 2 2      x x m x x y đạt cực đại tại x 2 Giải: TXĐ: D = R *  2 2 2 / 2 2 2 2 4 4        x x m mx x x y * Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x 2 thì y/( 2 )  0     0 2 2 2 2 4 2 1 2 8 2 4 2          m m * Với m  2 2 ta có    2 2 2 / 2 2 2 4 2 4 4 4        x x x x y        1 2 0 / x x y Bảng biến thiên: x   1 2  

y/ - 0 + 0 -

1 CĐ

y

CT 1

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2

Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài toán

2 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước:

Ví dụ 1 Cho hàm số 2 1 1 4  1

3











y

a Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2  4

c Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1x2  4

d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12 x22  2

e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

x

m x

x

4 1

1 2 2 2 1

2 1Theo đề ta có x1x2  4 x12x22 2x1x2  16 x1x22 4x1x2  16

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

) 1 ( 1 2 2 2 1

2 1

m x

x

m x

x

m x

4 1 3 4

1 2 2 2 4

1 1

) 3 ( 2 3 2 1 1

1

m x

x

m x

Thay x1  3  2m vào (4) ta được 43  2m  3 3  2m2  1  4m

) ( 3

2 0

16 32

12 2

n m

n m

m m

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

x

m x

x

4 1

1 2 2 2 1

2 1 Theo đề ta có x12 x22  2 x1x22  2x1x2  2 22m 1 2 21  4m 2

2

1 0

0 8

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

x

m x

x

4 1

1 2 2 2 1

2 1

Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

4

1 0

4 1 0 2

b Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

c Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều

d Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng

1

Giải:

a TXĐ: D = R

y/  4x3  4mx

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4 0

2 2

3 /

m x

x m

x x

mx x

y

Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

0 0

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4 0

2 2

3 /

m x

x m

x x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

0 0

m

* Với m 0, ta có ( 2 ) x  m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị

A( 0; 2), B(  m; 2 m2), C( m; 2 m2)

Ta có AB m4 m AC  m4 mAB AC

; nên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông tại A AB.AC  0(**)

) ( 0 0

0 ) ).(

( m

n m

l m m

m m

m m

Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4 0

2 2

3 /

m x

x m

x x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

0 0

m

m m m m BC

AC

AC AB BC

AC

4

4 4

4 4

) ( 0 3

0 3

3 3

4

n m

l m m

m m

m

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4 0

2 2

3 /

m x

x m

x x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

0 0

1 4

.

2

n m m

Do đó (1) có cực đại và cực tiểu

 phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt  1 - m  1 + mm 0

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

a Xác định m để hàm số có cực trị

b Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Giải:

a TXĐ:

 2

2 2

/

1

3 3 2

) 1 ( 1

/

m m x x

x y

Hàm số có cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 1

0 2 3

0 2 3 0

3 3 1

2 1

0

2 2 2

m m m

; 0

2 3 0

0 1 0

3 3 2

1 0

3 3 2

1 0

2 /

2 2

2 2

/

m m

m R

x m

m x x

x m

m x x x

y

Ví dụ 5 Cho hàm số

m x

mx x y

m x

m mx x

) 1 (

/

m mx x

m x y

Hàm số có cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

0 1 0 1 )

.(

2

0

2 2

Hàm số có 3 cực trị  phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt

phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0

Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán

3 Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số:

A Kiến thức cơ bản:

a/ Cho hàm số yax3 bx2 cxd

Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y/ ta được:y y/.AxBCxD

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó,

y1 = Cx + D và y2 = Cx + D

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D

b/ Cho hàm số

e dx

c bx ax y

 1 1

2

và

d

b x

 2 2

c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Khi đó,

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành y1.y2  0

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành y1.y2  0

3 2

/  x  mx

y

(*) 0 7 2 3

21 2 /

m

m m

21

m

m

hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Thực hiện phép chia đa thức y cho y/

ta được:

m x

m m

x y

y

9

7 3 9

2 3

14 9

1 3

2 3

14

1 2

2 3

14

2 2

2 3

a Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu

b Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

c Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục tung

18 9 36

/      

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chia /

y cho

2 1

m x x

x x

17 4 2 0

1

m m

m m

m y

18 9 36

/      

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chia /

y cho

2 1

m x x

x x

Do đó y1.y2 m 2 2 4m 17

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

2 17 2

17

2 0

a Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)

b Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O Tính diện tích tam giác đó

c Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Giải:

a TXĐ: D = R

6 3 /

2 /

x

x y

x x y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Thực hiện phép chia đa thức /

y cho

y ta được

x m x

y

3

1 3

Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d: y m 2x

Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1)  1 m 2 2 m 3

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán

6 3 /

2 /

x

x y

x x y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)

) ( 0 0

4 0

.

m

O A Do l

m m

m OB

OA

Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán

* Với m = 4A( 0 ; 4 ) và B( 2 ; 0 )

4 2 4 2

1

6 3 /

2 /

x

x y

x x y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt y A.y B  0 m(m 4 )  0

a Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

b Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

c Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng 2 5

Giải:

a TXĐ: D = R

y/  3x2  6mx

x mx

x y

2

0 0

6 3

1 0

2 4

m

m m

m x

x mx

x y

2

0 0

6 3

x mx

x y

2

0 0

6 3

*Với m 0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu

Thức hiện phép chia đa thức y cho y/

x mx

x y

2

0 0

6 3

a Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

b Xác định m để hai cực trị cùng dấu

c Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox

d Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

) 1 ( 1 0

1

2 2

2 /

m x x

x x

m x x y

*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

3

3 0

2 1

2 1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x





Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

) 1 ( 1 0

1

2 2

2 /

m x x

x x

m x x y

*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

3

3 0

2 1

2 1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x

1 2

1 2

2 1

m x x

x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2 /

m x x

x x

m x x y

*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

3

3 0

2 1

2 1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x

2 1 2

1 2

1 2

2 1

m x x

x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2 /

m x x

x x

m x x y

*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

3

3 0

2 1

2 1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

 x1.x2  0 m 2  0 m 2

Đối chiếu với điều kiện m 3 ta được m 2

Vậy m 2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

a Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

b Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng 2 5

2

) 1 ( 1 0

1

1 2

2 /

m x

x

x x

m x

x y

* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1

0 0

1 ) 1 (

2 1

0 2

m

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2 1

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

Vậy m >0 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

2

) 1 ( 1 0

1

1 2

2 /

m x

x

x x

m x

x y

* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1

0 0

1 ) 1 (

2 1

0 2

m

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2 1

1 2 2 1

Đồ thị h/s có 2 cực trị  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 (x  2)2 m = 0 có 2 nghiệm phân biệt  2  m > 0

(x 2)

 

y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m > 0

Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là

0 (1)

So với điều kiện m3 nhận m= 4

Vậy m = 4 thỏa điều kiện bài toán

) ( 1 0

7 6 9

14 6

9

n m

n m m

m m

m

Vậy m = 1; m = - 7 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 10: Cho hàm số 3 2

y  2x  3(2m 1)x   6m(m 1)x 1 (Cm)   (1) Chứng minh rằng ,  mhàm số (1) luôn đạt cực trị tại x , x1 2 với x1 x2 không phụ thuộc m

Giải:

TXĐ: D = R

Vậy:x1 x2 khơng phụ thuộc m

Ví dụ 11: Cho hàm số : 3 2 2

y  x  3x  m x  mTìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

So với điều kiện:  3  m  3 nhận m = 0

Vậy m = 0 thỏa điều kiện bài tốn

1 0

5 2 ) 1 ( 2 3

/

m x

x m

x m x

1 3

2

5

1 3

2

5

m

m m

điểm cực trị nhỏ nhất

Giải:

Tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)

Xét biểu thức P=3x-y-2

Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0

Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2,

MA+MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng

Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x + 2

(ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2013)

2(x m)



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số (1)

2/ (Dự bị 1 khối A 2002) Cho hàm số:y x 42m x2 21, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

3/ (Dự bị 1 khối D 2002) Cho hàm số:

2 mxy

1 x





 , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10

4/ (Dự bị 1 khối B 2002) Cho hàm số:y mx 4(m29)x210, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

5 Cho hàm số yx3 3mx2 4m có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

và hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số đã cho cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8

x m



 , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

CHUYÊN ĐỀ 3: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT

PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 Cho phương trình x3 12xm 0 Tìm m để phương trình

a Có ba nghiệm phân biệt b Có nghiệm thuộc   ; 0

) ( 2 0

12 3

0 )

/

n x

n x

x x

) ( 2 0

12 3

0 )

/

n x

l x

x x

Chú ý: Nếu yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt trên 0 ;  

) ( 2 0

12 3

0 )

/

l x

l x

x x

y    trên  2 ; 2

2

2 /

4

4

x

x x y

4 0 4

x x x x

x x

x x y

Xét hàm số 2

4 x x

y    trên  2 ; 2

2

2 /

4

4

x

x x y

4 0 4

x x x x

x x

x x y

a Có nghiệm b Nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

c Có nghiệm duy nhất d Vô nghiệm

1 )

x f

 5

Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình có nghiệmm 5

b Dựa vào BBT ở câu a ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

5





Ví dụ 4 Cho bất phương trình x 3 m x2  1 Xác định m để bất phương trình

a Nghiệm đúng xR b Vô nghiệm c Có nghiệm thuộc  0 ; 4

Xét

1

3 )

f trên R

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

) (

2 2

x x

Xét

1

3 )

f trên  0 ; 4

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

f

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

)

(

2 2

/

n x

x x

x x

x 0

3

1

4

f/(x) + 0 -

10 f(x)

3

17 7Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình có nghiệm thuộc  0 ; 4

17

7



Xét

1

3 )

f trên 0 ;  

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

f

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

)

(

2 2

/

n x

x x

x x

x   0

3

1  

Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A,

B CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M

a

a a





Giao điểm với tiệm cận đứng x 1 là 1;2 10

1

a A

Giao điểm với tiệm cận ngang y2 là B2a1;2

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)





Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

Giải:

Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0- 1) thì 0

0 0

1

x y x





Tiệm cận đứng d: x = - 1



 - 2| = | 0

1 1

x  | Theo Côsi thì d( M; d ) +d( M; )= |x0+1| +

0

1 1

tiệm cận của nó là hằng số.( Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007)

Phương trình tiệm cận xiên y        x 2 x y 2 0

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là x y 2 7 d1

 

 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d2  x 2

Vectơ pháp tuyến của d v d1 à 2 lần lượt là: n1  (1;0),n2  ( ; 1)m

Góc giữa d1 và d2 bằng 450 khi và chỉ khi

1 2 0

Vậy m  1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sốy 2x2 x 1

x có đồ thị (C) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= - x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 0

(Do x = 1 không là nghiệm)

+ Đường thẳng y= - x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Û Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x





 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận A là điểm trên (C) có hoành độ

a Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q Chứng minh A là trung điểm của PQ Tính diện tích tam giác IPQ