CAO TUẤN tổng hợp chuyên đề hàm số PHẦN 1 gửi tặng HS 99

nói ngắn gọn là “cô lập tham số” - Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái vế chứa ẩn với điều kiện ẩn đang xét.. 0  Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm

Trang 1

Ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Để xét tính đơn điệu của hàm số y f x , ta tiến hành theo các bước sau:

 Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số

 Bước 2: Tính đạo hàm y' của hàm số

 Bước 3: Tìm các điểm tới hạn của hàm số, tức là:

- Tìm x TXĐ để y 0

- Tìm x sao cho hàm số y f x  không xác định

 Bước 4: Tính các giới hạn

 Bước 5: Lập bảng biến thiên (hoặc bảng xét dấu của y) Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết luận

2 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên

- Hàm số f đồng biến trên khoảng  a b,  f x 0 với mọi x a b, và dấu bằng chỉ xảy ra

tại một số hữu hạn điểm

- Hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b,  f x 0 với mọi x a b, và dấu bằng chỉ xảy ra

tại một số hữu hạn điểm

Chú ý: Trong bài toán này còn sử dụng: Hệ quả của “định lí về dấu tam thức bậc hai”

Cho tam thức bậc hai: ax2bx c 0 với a0

 f x 0 với 0

0

x

a

 



    



 f x 0 với 0

0

x

a

 



    



Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên (a ; b)

(trong đó ít nhất a hoặc b hữa hạn)

- Bước 1: Đặt điều kiện: Hàm số y f x  có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên khoảng  a b ,  f x 0 với mọi x a b, và dấu bằng chỉ

xảy ra tại một số hữu hạn điểm

 Hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b ,  f x 0 với mọi x a b, và dấu bằng

chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

SĐT: 0975306275

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

Trang 2

Lưu ý: Trong nội dung chương trình thì điều kiện dấu bằng xảy ra tại một số hữu hạn điểm luôn

đúng nên bản chất bài toán chủ yếu là xử lí điều kiện “ f x 0 với mọi x a b, ” hoặc

“ f ' x 0 với mọi x a b, ”

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình f x 0 (hoặc f x 0) về bất phương trình mới mà một

vế chỉ chứa ẩn (giả sử là vế trái) và một vế chỉ chứa tham số (giả sử là vế phải) (nói ngắn gọn là

“cô lập tham số”)

- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (vế chứa ẩn) với điều kiện ẩn đang xét Lưu ý:

Tính hết tất cả đầu và cuối của các mũi tên bằng cách tính trực tiếp hay thông qua các giới hạn

cơ bản

- Bước 4: Sử dụng định lí sau để suy ra yêu cầu của bài toán: Cho hàm số y f x  liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là  

D

max

x f x

 , minD  

x f x



 f x g m  với    

D

x



 f x g m  với    

D

x



Chú ý: Ngoài việc sử dụng cách làm trên thì trong một số bài ta phải sử dụng định lí về dấu tam thức

bậc hai (khi không cô lập được tham số)

Bài toán 3: Xác định các giá trị của tham số để hàm số y f x  đơn điệu

trên một khoảng có độ dài K cho trước

Loại bài toán này thường xảy ra đối với hàm số bậc ba: 3 2

yax bx  cx d  1

' 3 2

y  ax  bx c

- Hàm số  1 đồng biến trên khoảng x x1; 2 có độ dài bằng K

' 0

y

  có hai nghiệm phân biệt x x và 1; 2 y'0 trên khoảng x x1; 2(hoặc y'0 trên đoạn

x x ) và 1; 2 x2x1 K





     

- Hàm số  1 nghịch biến trên khoảng x x1; 2 có độ dài bằng K

' 0

y

  có hai nghiệm phân biệt x x và 1; 2 y'0 trên khoảng x x1; 2(hoặc y'0 trên đoạn

x x ) và 1; 2 x2x1 K





     

3 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Cách 1 (thường dùng cho BĐT 1 biến):

 Bước 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f x 0, 0,  với xD

 Bước 2: Lập bảng biến thiên của f x với   xD Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: (thường dùng cho BĐT 2 biến):

 Bước 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f a  f b 

 Bước 2:

Nếu ab thì ta chứng minh hàm số đồng biến trên  a b ; Nếu ab thì ta chứng minh hàm số nghịch biến trên  a b ;

Trang 3

Chú ý 1: Khi ta chứng minh BĐT có dạng f x k với  x  a b; :

 Nếu k  f a  thì ta chứng minh hàm f đồng biến trên  a b ;

 Nếu k  f b  thì ta chứng minh hàm f nghịch biến trên  a b ;

Chú ý 2: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định trên K được

gọi là:

 Đồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2K, x1x2  f x 1  f x 2

 Nghịch biến trên K nếu với mọi x x1, 2K, x1x2  f x 1  f x 2

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Cách 1 (Sử dụng quy tắc 1):

 Bước 1: Tìm tập xác định D

 Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (tìm các nghiệm của phương trình f x 0 và các điểm

x  mà tại đó hàm f liên tục nhưng f x0 không tồn tại

 Bước 3: Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra kết luận

Cách 2 (Sử dụng quy tắc 2 – thường dùng đối với hàm lượng giác):

Sử dụng kết quả sau:

 Nếu  

  0

0

0 0

f x



 



 thì hàm số f x đạt cực đại tại   x 0

 Nếu  

  0

0

0 0

f x



 



 thì hàm số f x đạt cực tiểu tại   x 0

Chú ý:

 Hàm số f x phải liên tục tại   x mới có thể đạt cực trị tại 0 x 0

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó

hàm số không có đạo hàm

Trong cách 2 nếu  

  0

0

0 0

f x



 



 thì quay trở lại làm theo cách 1 chứ không được tùy tiện kết luận có hay không có cực trị Do đó, trước khi định làm theo cách 2 học sinh nên thử xem có xảy ra

 0 0

f x  hay không?

Trang 4

2 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI x0

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x  đạt cực trị tại điểm x :0

 Bước 1: Điều kiện cần

Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0 f x0 0  *

Giải phương trình  * tìm được các giá trị của tham số m.

 Bước 2: Điều kiện đủ

Với từng giá trị tham số m vừa tìm được ở bước 1 thử lại xem x có đúng là điểm cực trị thỏa 0

mãn yêu cầu bài toán không?

 Bước 3: Kết luận

Chú ý: Không dùng trực tiếp kết quả sau để giải bài toán này mà chỉ dùng để thử lại (tức là dùng

trong bước 2)

 Hàm số f đạt cực đại tại điểm  

 

0 0

0

0 0

f x x

f x



  



 Hàm số f đạt cực tiểu tại điểm  

 

0 0

0

0 0

f x x

f x



  



Ví dụ: Hàm số 4

yx đạt cực tiểu tại x0 nhưng f 0 0 chứ không phải là f 0 0

Từ chú ý và ví dụ trên, ta nhân thấy rằng:

 Chúng ta chỉ sử dụng được kết quả trên khi chúng ta chứng minh được rằng f x0 0

 Ngoài việc không dùng kết quả trên để giải thì ta còn không dùng quy tắc 2 để thử lại ở bước

2 trong trường hợp f x0 0

3 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Loại 1: Cực trị của hàm đa thức bậc ba: 3 2

yax bx  cx d a0

y  ax  bx c  x  x A a 0

Hàm số đa thức bậc ba chỉ xảy ra 2 trường hợp là hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị

 Hàm số có cực trị (hay có 2 cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

0

y

  có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

y

   (nếu hệ số A có tham số thì ĐK là

'

0

y

a

 



 

Khi đó x x là nghiệm của phương trình 1, 2

1 2

0

C

b

x x

a y

c

x x

a

     



   



 Hàm số không có cực trị  y không đổi dấu với     x y b23ac0

Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x thỏa mãn một hệ thức cho trước 1, 2

 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

 Bước 2: Phân tích hệ thức đề cho để áp dụng định lí Vi – ét

 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu

 Hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu A.C3ac0

Trang 5

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y'0 có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

1 2

0

B

A C

A

y

x x





 





 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình 'y 0 có hai nghiệm dương phân biệt

'

1 2

0

B

A C

A

y

x x



 





 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x thỏa mãn: 1, 2

 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị x x 1, 2

Khi đó, áp dụng định lí Vi – ét ta có: 1 2

1 2

B S

A C

A

x x

    







 Bước 2:

Hai cực trị x x thỏa mãn 1, 2

x   x  x  x   x x  x x   Hai cực trị x x thỏa mãn: 1, 2





Hai cực trị x x thỏa mãn: 1, 2





Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu

nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu '

0

y

x x

 



 

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y'0 có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt và y cđ.y ct 0 (hoặc đồ thị cắt trục Ox tại 1 điểm)

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox  phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt và 0

c ct

c c

đ t đ

y y



Trang 6

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt và y cđ.y ct 0 (hoặc đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt)

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox  phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt và 0

c ct

c c

đ t đ

y y



Bài toán 3: Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị và ứng dụng

Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

yax bx  cx d

 Bước 1: Tìm TXĐ

 Bước 2: Tính 'y

 Bước 3 (Tìm điều kiện để đồ thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu):

Đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu

Phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt 0

0

a



  



 Bước 4: Khi đó, hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2  

  1

2

y x





 



 Bước 5:

Thực hiện phép chia y cho y' (làm ra nháp và không trình bày vào bài giải)

Ta có: y y g x'    h x Suy ra:          

'

y x y x g x h x h x







Hay các điểm cực đại, cực tiểu x y x1,  1  và x y x2,  2  cùng thuộc đường thẳng yh x  Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là: yh x 

Bài toán 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị thỏa mãn tính chất hình học

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2

3

yx  x m (m là tham số) có đồ thị là  Cm Tìm m để đồ thị  Cm có hai điểm cực đại, cực tiểu A, B sao cho 0

AOB 120

Ví dụ 2 [ĐH, khối B – 2012]: Cho hàm số 3 2 3

yx  mx  m  1 với m là tham số thực Tìm m để

đồ thị hàm số  1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2

yx  x mx  1 Xác định m để hàm số  1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  1 tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

Loại 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn trùng phương: 4 2

yax bx c a0

Bài toán 1: Tìm điều kiện về số cực trị của hàm số

Hàm số có một cực trị  y' chỉ đổi dấu một lần

 phương trình y'0 có 1 nghiệm 0

2

b a

Hàm số có ba cực trị  y' đổi dấu 3 lần

phương trình y'0 có ba nghiệm phân biệt 0

2

b a

Trang 7

Bài toán 2: Các bài toán liên quan đến tính chất cực trị của hàm số 4 2

yax bx c a0

Trường hợp mà hàm số có ba cực trị

 Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị: 0

2

b a

   *

 Với điều kiện  * ta có: 2

0 0

' 0

2 2

2

x x

b

a x

a

b x

a



 







  



 Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị: A 0; y A; B ; B

2

b y a



b y a

 

Vì hàm số đã cho: 4 2

yax bx c là hàm chẵn nên với xB xC thì yB  yC

Do đó, hai điểm B, C đối xứng với nhau qua Oy

Mà A  Ox nên tam giác ABC luôn là tam giác

cân tại A

Một số trường hợp hay gặp trong giải toán

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân (hoặc vuông)

 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại A

Do đó, tam giác ABC vuông cân  ABC vuông cân tại AAB.AC0  1

2

b

a

   

b

a

    

 B A B A 0

2

b

a

     (vì yB  yC)

2

b

a

Với m tìm được đối chiếu với điều kiện  * để suy ra giá trị của m cần tìm

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC đều

AB BC AB BC

2

b

a

   

b a

   

y y

         

Trang 8

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng

120 0

 Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên tam giác ABC có một góc bằng 1200 0

BAC 120

 Gọi H là trung điểm của BC H 0; y B và HAB300

cos HAB cos 60 AB 2AH AB 4AH

2

b

a

   

  và AH0; yByA

 Gọi H là trung điểm của BC H 0; y B và HAB300

2

b

a

   

  và AH0; yByA

Loại 3: Cực trị hàm

2

y

mx n



 a m, 0

TXĐ: D \ n

m

  

  Đạo hàm:

y

y  g x  x  x 

Điều kiện để tồn tại cực trị

Hàm số có cực trị (hay hàm số có cực đại, cực tiểu)

 phương trình y'0 có 2 nghiệm phân biệt

 phương trình   2

g x  x  x  có 2 nghiệm phân biệt khác n

m





0

g

n g

m

 





  

  



Công thức tính nhanh cực trị Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Bổ đề: “Nếu f x  u x   

v x

 

0

f x

v x









 thì      0    0

0

' '

u x u x

f x

v x v x

Trang 9

Áp dụng: Cho hàm số

2

y

mx n



 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực

tiểu của đồ thị hàm số

Giải:

 Bước 1: Tìm TXĐ: D

 Bước 2: Tính 'y , thiết lập phương trình ' y 0

 Bước 3: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại  

 

1

2

,

y x

x x

y x





 



Áp dụng kết quả của bổ đề trên, ta có:  

 

1 1

2 2

2

ax b

y x

m

ax b

y x

m







Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị x y x1,  1  và x y x2,  2  là: y 2ax b

m





VẤN ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x  trên D, ta làm như sau:

 Bước 1: Tính y và tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc D (tức là tìm các điểm x x1, 2, ,x n

mà tại đó y 0 hoặc hàm số không có đạo hàm)

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra GTLN, GTNN.

2 TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên  a b thì:,

max max ,

a b f x a b f a f b và

 ,    ,      

min min ,

a b f x a b f a f b

Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b và có đạo hàm trong khoảng ,  a b thì luôn có GTLN, , GTNN trên đoạn  a b và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau: ,

 Bước 1: Hàm số y f x  xác định và liên tục trên  a b ,

 Bước 2: Tính y và tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc  a b (tức là tìm các điểm ,

1, 2, , n

x x x mà tại đó y 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

 Bước 3: Tính f x   1 ,f x2 , , f x     n ,f a ,f b

Khi đó:

,

max max , , , n , ,

a b f x  f x f x f x f a f b

,

min min , , , n , ,

a b f x  f x f x f x f a f b

3 TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT GIÁN TIẾP

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x  trên D

 Bước 1: Biến đổi hàm số đã cho về dạng yFu x  

 Bước 2: Đặt tu x  Khi đó, ta tìm được tE với  x D

 Bước 3: Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x  trên D quy về việc tìm GTLN, GTNN của hàm số yF t trên E

Trang 10

4 SỬ DỤNG ĐƠN ĐIỆU VÀ GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Bài toán 1: Tìm m để f(x;m) = 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D?

 Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x A m

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D  

 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A m sao cho đường thẳng  

 

A

y m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x 

 Bước 4: Kết luận giá trị của A m để phương trình   f x A m có nghiệm (hoặc có k nghiệm)

trên D

Chú ý:

- Nếu hàm số y f x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình

- Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào

bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng yA m nằm ngang cắt đồ thị hàm số

 

y f x tại k điểm phân biệt

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x;m)  0 hoặc F(x;m)  0 có nghiệm trên miền D?

 Bước 1: Tách tham số m ra khỏi biến số x và đưa về dạng A m  f x  hoặc A m  f x 

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D  

 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có

nghiệm:

o A m  f x  có nghiệm trên D    

D

x



o A m  f x  có nghiệm trên D    

D

x



Chú ý:

- Bất phương trình A m  f x  nghiệm đúng    

D

x



- Bất phương trình A m  f x  nghiệm đúng    

D

x



- Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không sẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm là hiển nhiên

VẤN ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MỘT SỐ SAI LẦM HAY MẮC PHẢI

 Quên ghi tập xác định

 Tính sai đạo hàm; giải sai phương trình đạo hàm; kết luận sai tính đồng biến và nghịch biến

 Vẽ đồ thị bằng bút chì

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y f x 

1 TXĐ

 D = (đối với hàm bậc ba, trùng phương)

 D = \ x (đối với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất)  0

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	5,03 MB