Tuyệt đỉnh hệ phương trình

tổng quát hs yếu vẫn làm được.

Trang 1

Câu 1.[ĐCC] Giải hệ phương trình:

2





Điều kiện :

2

0 1

y

  





1

x

y

x y







  



3

TH3: x+y=1

2

 







Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=  1 3 5 3 5

2





2

(4) 2

xy





Thay (4) vào (3) ta được :

2 2

2

x x      x 

Trang 2

4 3 2 2

2

4

0

17 ) 4; (2) y

4

x







   

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 4;17

4





Điều kiện:

2

1 1

x

y

  

 



    



 1  (x 3y1) y 2(x 1) y x(3 4y 3)

Đặt : a 2(x 1)a b, 0





Vì:

x  x x  x  x 

Trang 3

Đặt t x 3 x1(t0)

Khi đó (4) trở thành:

2

4 2

t

 





        

Với t=4 x 3 x  1 4 x  3 4 x1

13

4

x

 





Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 13 17;

2

1

x y

 





Điều kiện:

2 0

3 0

1 0

x y

y

  



   



  



    



Đặt t= 2(x y 2)(t 0)

2

1(l)

2

t



 





Thay y=x vào (2) ta được :

Đặt : 2 3( , 0)

1

a b





Trang 4

2 ( )(a b)(a 2 b) (a b)(a 2 b) 0 (a b)(a 2 b)(a b 1) 0

1

a b





2

3

x

 



Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 1 1    

 

(1)

x y







Điều kiện:

x

xy x

 



   





Cách 1.(tư duy cao-dành cho hs giỏi)

Ta có:

2

x xy y

Từ (*) và (**) ta có :

x y

      dấu “=” xáy ra khi và chỉ khi :x=y

Cách 2 (tổng quát hs yếu vẫn làm được)

Trang 5

 

2

6

x y

Đặt :

b xy





2

Khi đó ta thay y=x vào (2) ta được: 2

3 6x    x 1 5 8x 2x 1 4 3x 1



3

  



    

TH1: b=3-a  2x  1 3 3x 1 2x 1 3x  1 3 ( ; )x y (1;1)

TH2:b=-2a-2( vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1)

Câu 6.[ĐCC] Giải hệ phương trình :





1 (x x) x  y 8 3(x      x) (x y 1) 0 2  

(x x) x y 8 3 (x y 1) 0

Trang 6

 

2 2

2

1

Ta có:

2

Khi đó ta có: x-y-1=0  y x 1 thay vào (2) ta được :

(x2) x    x 1 (x 1) x   x 2 2x 1

Đặt :

2 2

1

2

a b



Khi đó ta có:

a    b     a b

(a b a)( ab b ab 3 2a 2 )b 0 (a b) ( a b) 2(a b) 3 0

3

a b





2

TH2: a=3-b

2

    





   



Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(-1;-2), 7; 1 , 1; 1

1

x







Trang 7

 1 1 4 ( ) 2 3 0

1

x y

 

1

2x 5x 4 (2x 5) x

2 2

2

1

4

x



  



          





x

 





2

4

x



 





Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 1 3   4 3 2 3 2

2

x





Trang 8

Điều kiện:

2

0 1 2

xy

y





 







1  x  (y 2)(xy) y xy  y 0

2

0

xy y



2

0

xy y



x y

xy y

x

2

y

Do đó:

2

0

xy y



Nên : x-y=0  thay vào (2) ta được: y x 2

2x 1 x   x 5 2x

Đặt : t 2x1(t0) 1 4 9 2

1

2t t 19 2(t 1)

3 (t t 3) t t( 3) t t( 3) 5t 3 0

Với t=3 2x  1 3 2x     1 9 x 4 y 4

3





Trang 9

Điều kiện:

2 3

x

x y



 





 



(*)

x x y



x

Ta có :

3

5

2

x

Khi đó ta có: x-y=0  thay y=x vào (2) ta được: y x

3

5 6x 2 7 3x  2 3 0 (3)

Đặt :

3





2 3

7

a b

a



 







Ta có:

49a 50a 60a312 0 (a2)(49 a 48a156)  0 a 2

Với a=2 3

Trang 10

2

1 0

xy

xy x y

 







Điều kiện: x0,y0,xy1

 1  y 2x y x xy  0  y x y2 x  1 0  y  x  y x

Thay y=x vào (2) ta được: 2

1x      0 x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1)

Câu 11.[ĐCC] Giải hệ phương tình:





Đặt : a x 1

b y

 



 

 Khi đó hệ phương trình trở thành:









 

Lấy (1)-(2) ta được: (a-b)(a+b-2ab+7)=0

a b

a b ab





TH1: a=b thay vào (1) ta được: 2 2

(a1)(a  6) a(a 1)

  



TH2:

a b ab





      





;

    

  (hệ đối xứng loại 1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;2),(2;3),(1;3),(2;2)

Trang 11

5

2

x y









Điều kiện: 1, 0 2

5

x  y

Đặt : a x y

 







1 2a 3a b ab 2b 0

2

a

b

        thay vào (2) ta được:

x

  







5x 1 2 2 x 1 

    (vô nghiệm vì:

1

2

5 x ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1)

2





Đặt : a x y

b x y

 



  

 khi đó hệ phương trình trở thành:

2

3 2

ab





2 3 2

ab



 





2

3(2) 2

ab





Thế (1) vào (2) ta được: ab8 ab 9 ab 3 2

Trang 12

Khi đó ta có hệ: . 0

4

a b





  



2 2

x y





  

2 2

2

1 8

( )

2

y x

x y











Điều kiện: x y

Khi đó (1) trở thành: 2 2 2x2  16y21 6 y3 x 2 16 2 1

2.2x 3 x 2 y  6 y

2

Xét hàm f(t)= 22 3 ,

2

t

t t R

F’(t)=4 ln 4 3 0

4

t

Khi đó hàm f(t) đồng biến trên R khi đó : 3  

3 2

f  x  f y

Với x=4y thay vào (2) ta được: (5 )2 3 7

y

2.2 y 3 5y 7(4)

Đặt : 5y  a a2 5 y khi đó (4) trở thành :2a413a7(5)

Xét hàm f(a)=2a413 ,a aR , f’(a)=2a41.ln 2.4a3  3 0, a

Khi đó hàm f(a) đồng biến trên R.Nên (5) có tối đa 1 nghiệm duy nhất với a=-1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 4 1;

5 5

Câu 15.[ĐCC] Giải hệ phương trình: 2 2 3 5 7





Trang 13

Điều kiện:

x y



   



   



Đặt : 5 ( , 0)

a b





Khi đó hệ trở thành :





7 2

7

2

a b

a



 



 





Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(3;-1)

Câu 16.[ĐCC] Giải hệ phương trình: 4 2 4

x y x y





    

Điều kiện: 4 0

x y

 



  

Đặt : 4

2

x y a

x y b





 



2 2

4

2 2

2

Khi đó hệ phương trình trở thành: 2 2

4

2

a b

 





4

a b

 



 

4

a b

 



 

4

 



 

2

4

 



 







Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(4;-7),(32;-28)

Trang 14

3 3

2





Điều kiện: 1 3 2

,

x y

Khi đó (1) trở thành: x 2 y 2 x22y2 4 3y2 4 0

0

x y

Thay x=y vào (2) ta được:

3

2

x  x      x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi ; 2x 1 3x3     2 1 x 1 y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)

3(1)







Điều kiện: 0

2

x

y x





 (*)

Ta có :









 



Trang 15

Nên ta có:

3

Dấu ‘=’ xáy ra khi và chỉ khi : x=y

0

x



 





0

x





3 31 7

x xy y



 



Điều kiện: x  y

Khi đó hệ phương trình trở thành:

3 31 7

x xy y



 



3

x xy y



 

Nhân chéo 2 vế ta được 1 phương trình đồng bậc :

21(x y )31(x xyy )(x y )

      (1),rõ rang ta thấy x,y=0 ,không phải là nghiệm của

hệ phương trình:

Đặt : x=ty,thay vào (1) ta được: 5 5 4 3

y t  t  t  t 

1 04 3 2

t

 



+) với t=-1,hay y=-x  x y 0 (loại)

+) với : 4 3 2

10t 21t 10t 21t100 vì t=0 không phải là nghiệm của phương trình nên :

2

Đặt : a t 1

t

Trang 16

Khi đó (*) trở thành: 2

10a 21a100

2 ( ) 5 5 2

a

 



 



 



Với a= 5

2

t

 



 



+ với t=-2, ta có : x=-2y   y 1    x 2

+ với t= 1

2



,ta có: y=-2x      x 1 y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;-2),(-1;2),(2;-1),(-2;1)

1 (2) 2





Từ phương trình (2) ta có:

y x









Từ (1): + xét hàm f(x)= 3 2

f x  x  x ;f’(x)=0

0 1 6

x x







 



Ta có : f(0)=0; 1 1

f   

f    

+ xét hàm số g(y)= 3 2

4y 2y y 32

   ; g’(y)=0

1 6 1 2

y y

 



 



 



Ta có: 1 63; 1 1733; 1 63; 3 79

Từ trên ,ta có hệ phương trình có nghiệm (x;y)= 3 1; , 3; 1



Trang 17





x  x  x  y  y y

(x 1) (x 1) x 2 (2 )y 2y 2y 1

Xét hàm f(t)= 2

1

t  t t ;f(t)=2 1 1

t

 



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2( 1) 1 1 3 1 1

t

Khi đó hàm f(t) đồng biến trên R

Nên x+1=2y suy ra: x=2y-1 Thay vào (2) ta có:

(2y1) 2y 2(2y    1) y 2 0 6y 7y 1 0

  





   



Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=  2 1

3 6



( )

y x

I x y











Điều kiện: 1; 1

x y

Lấy (1)-(2) ta được: 1 1 2 1 2 1 0

0

xy

   

0

xy



Trang 18

TH1: y-x=0,suy ra: y=x Thay vào (1) ta được: 1 2 1 2(*)

x

Đặt: t 1 (t 0)

x

  khi đó (*) trở thành : 2

2   t 2 t

1

t

TH2:

xy

( vô nghiệm)

2

x









Điều kiện: 1; 2

xy x



   

0

Do : x1;y2 nên : x=2y Thay vào (2) ta được:

2y 1 y  2 1 2y 5y1 (*)

Đặt : 2 1( , 0)

2

a b



    a b 1 ab (a1)(b 1) 0

3

2 1

y y

     Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(6;3)

Trang 19

3





Điều kiện:

0

x y

   



  



1

y

x y x y

 



Khi đó ta có: y=x thay vào (2) ta được: 3

1 2 3 x 2 4x3 (*)

Đặt :

3

( 0)

a



3

2

b a

b



 







Ta có:

2

0

2

b b

b







TH1: b=0 1( )

2

a  l

TH2: b=1 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1), 11 11;

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	886,8 KB