tính ổn định hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯỜNG THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái nguyên, năm 2010... ĐẠI HỌC THÁI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯỜNG THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái nguyên, năm 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯỜNG THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Möc löc

Möc löc 2

Mët sè k½ hi»u dòng trong luªn v«n 3

Líi mð ¦u 4

1 Cì sð to¡n håc 7 1.1 B i to¡n ên ành v  ên ành ho¡ 7

1.1.1 B i to¡n ên ành 7

1.1.2 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov 9

1.1.3 B i to¡n ên ành ho¡ 11

1.2 B i to¡n ên ành, ên ành ho¡ h» câ tr¹ 12

1.2.1 B i to¡n ên ành h» câ tr¹ 12

1.2.2 B i to¡n ên ành ho¡ h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  i·u khiºn câ tr¹ 13

1.3 Mët sè bê · bê trñ 14

2 T½nh ên ành v  ên ành ho¡ h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng ætænæm câ tr¹ 16 2.1 T½nh ên ành v  ên ành ho¡ h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm 16

2.1.1 T½nh ên ành cõa h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm 162.1.2 T½nh ên ành ho¡ cõa h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm 202.2 T½nh ên ành v  ên ành ho¡ h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm câ

tr¹ 232.2.1 T½nh ên ành h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm câ tr¹ 232.2.2 T½nh ên ành ho¡ cõa h» i·u khiºn khæng ætænæm câ

MËT SÈ K HI›U DÒNG TRONG LUŠN V‹N

• R+: Tªp c¡c sè thüc khæng ¥m

• Rn: Khæng gian v²c tì n - chi·u vîi k½ hi»u t½ch væ h÷îng l  h., i v chu©n v²c tì l  ||.||

• Rn×r: Khæng gian c¡c ma trªn (n × r) - chi·u

• C([a, b], Rn): Tªp c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] v  nhªn gi¡ trà tr¶n Rn

• L2([a, b], Rm): Tªp c¡c h m kh£ t½ch bªc hai tr¶n [a, b] l§y gi¡ trà trong

Rm

• AT: Ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A

• I: Ma trªn ìn và

• λ(A): Tªp t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A

• λmax(A) :=max {Reλ : λ ∈ λ(A)}

• BM+(0, ∞): Tªp c¡c h m ma trªn èi xùng, x¡c ành khæng ¥m v  bàch°n tr¶n (0, ∞)

• A > 0: Ma trªn A x¡c ành d÷ìng

• A ≥ 0: Ma trªn A x¡c ành khæng ¥m

• ||A|| =pλmax(ATA): Chu©n phê cõa ma trªn A

Líi mð ¦u

Lþ thuy¸t ên ành ÷ñc b­t ¦u nghi¶n cùu tø cuèi th¸ k¿ 19 bði nh to¡n håc ng÷íi Nga A.M Lyapunov Tr£i qua qu¡ tr¼nh ph¡t triºn hìn mëttr«m n«m, lþ thuy¸t n y khæng h· tä ra cê iºn m  tr¡i l¤i v¨n l  mët lþthuy¸t to¡n håc ph¡t triºn m¤nh m³ v  thu ÷ñc nhi·u th nh tüu rüc rïtrong nhi·u thªp k¿ qua v¼ sü ph¡t triºn µp ³ c£ v· lþ thuy¸t v  ùng döngphong phó cõa nâ Cho ¸n nay lþ thuy¸t ên ành ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v ph¡t triºn nh÷ mët lþ thuy¸t to¡n håc ëc lªp v  ÷ñc ùng döng nhi·u trongc¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ kinh t¸ khoa håc k¾ thuªt, sinh th¡i håc, i·ukhiºn tèi ÷u, i·u khiºn h» thèng

Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, câ nhi·u ph÷ìng ph¡p º nghi¶n cùu t½nh ên ànhcõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  méi ph÷ìng ph¡p l¤i câ nhúng ÷u, nh÷ñc

iºm ri¶ng Trong luªn v«n n y, chóng tæi nghi¶n cùu t½nh ên ành, ên ànhho¡ cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  i·u khiºn câ tr¹ b¬ng ph÷ìng ph¡p

h m Lyapunov (cán gåi l  ph÷ìng ph¡p Lyapunov thù hai), l  mët ph÷ìngph¡p r§t húu hi»u trong vi»c nghi¶n cùu t½nh ch§t ên ành cõa c¡c h» ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n çng thíi, ph÷ìng ph¡p n y công l  mët cæng cö quan trångtrong lþ thuy¸t ành t½nh c¡c h» i·u khiºn, c¡c h» ëng lüc

B£n luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u v  3 ch÷ìng Cö thº l :

Ch÷ìng 1: Cì sð to¡n håc.

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· h» ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n h m v  i·u khiºn câ tr¹, b i to¡n ên ành, ên ành ho¡ h»ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  i·u khiºn câ tr¹, mët sè bê · dòng º chùng minhc¡c k¸t qu£ ð c¡c ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2: T½nh ên ành v  ên ành ho¡ h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm câtr¹

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü ên ành mô,mët sè i·u ki»n mîi º mët h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng ætænæm câtr¹ l  ên ành ti»m cªn mô, α - ên ành mô, v  mët sè v½ dö minh ho¤.Ch÷ìng 3: T½nh ên ành v  ên ành ho¡ h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm câtr¹ hén hñp

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü ên ành mô,mët sè i·u ki»n mîi º mët h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng ætænæm câtr¹ hén hñp, v  mët sè v½ dö minh ho¤

Tæi xin b y tä láng kh¥m phöc v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi GS TSKH Vô NgåcPh¡t, ng÷íi th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n.Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn tîi c¡c th¦y, c¡c cæ trong Vi»n To¡n håc ¢ch¿ b£o, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y

çng thíi, tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng th¦y cæ ð khoaTo¡n, khoa Sau ¤i håc, tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m, HTN, ¢ gióp ï, t¤o

i·u ki»n cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng

Cuèi còng, tæi xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n, b¤n b±, nhúng ng÷íi luæn

ëng vi¶n, õng hë v  l  ché düa tinh th¦n cho tæi trong cuëc sèng, håc tªp

v  nghi¶n cùu.

M°c dò ¢ cè g­ng r§t nhi·u nh÷ng v¼ thíi gian v  tr¼nh ë cán h¤n ch¸n¶n luªn v«n n y khæng tr¡nh khäi nhúng sai l¦m, thi¸u sât Tæi r§t mongnhªn ÷ñc sü ch¿ b£o v  nhúng þ ki¸n âng gâp cõa qu½ th¦y cæ v  c¡c b¤n.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Ch֓ng 1

Cì sð to¡n håc

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· t½nh ên

ành v  ên ành ho¡ ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v  h» ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n câ tr¹ [3], [5], [8]

1.1 B i to¡n ên ành v  ên ành ho¡

1.1.1 B i to¡n ên ành

× Rn

→ Rn, vîi méi t ≥ t0, x(t) ∈ Rn.Chóng ta gi£ thi¸t h» (1.1) luæn câ nghi»m duy nh§t x(t, x0) tr¶n [0, ∞)

ành ngh¾a 1.1.1 Nghi»m x0(t) cõa h» (1.1) l  ên ành n¸u vîi måi sè

ε > 0, vîi måi t0 ≥ 0, tçn t¤i sè δ > 0 sao cho vîi måi nghi»m y(t) kh¡c

x0(t) vîi y(t0) = y0 cõa h» (1.1) tho£ m¢n ||y0 − x0|| < δ th¼ b§t ¯ng thùc

sau nghi»m óng:

||y(t) − x0(t)|| < ε, ∀t ≥ t0

ành ngh¾a 1.1.2 Nghi»m x0(t) cõa h» (1.1) l  ên ành ti»m cªn n¸unghi»m â l  ên ành v  tçn t¤i sè δ0 > 0 sao cho vîi ||y0 − x0|| < δ0 th¼lim

t→∞ky(t) − x0k = 0

Vªy ta câ: Nghi»m x0(t)l  ên ành ti»m cªn n¸u nâ ên ành v  måi nghi»my(t) kh¡c câ gi¡ trà ban ¦u y0 g¦n vîi gi¡ trà ban ¦u x0 s³ ti¸n g¦n x(t)khi t ti¸n tîi væ còng

Vîi x0(t) l  mët nghi»m cõa h» (1.1), b¬ng ph²p êi bi¸n z(t) = x(t) −

tø b¥y gií ta x²t h» (1.1) vîi gi£ thi¸t h» câ nghi»m 0, tùc l :

f (t, 0) = 0, t ∈ R+

ành ngh¾a 1.1.3 H» (1.1) ÷ñc gåi l  ên ành n¸u b§t ký sè ε > 0, t0 ≥ 0tçn t¤i sè δ > 0 sao cho b§t ký nghi»m x(t) vîi i·u ki»n ban ¦u x(t0) = x0

H» (1.1) ÷ñc gåi l  ên ành ti»m cªn n¸u h» l  ên ành v  tçn t¤i sè

δ0 > 0 sao cho n¸u ||x0|| < δ0 th¼ lim

t→∞||x(t)|| = 0

H» (1.1) ÷ñc gåi l  ên ành ti»m cªn mô (ên ành mô) n¸u tçn t¤i sè

N > 0 v  sè α > 0 sao cho måi nghi»m x(t) cõa h» tho£ m¢n i·u ki»n ban

¦u x(t0) = x0 th¼ b§t ¯ng thùc sau nghi»m óng:

kx(t)k ≤ N e−α(t−t0 )||x0||, ∀t ≥ t0 (1.3)Khi â:

N ÷ñc gåi l  h» sè ên ành Lyapunov, α gåi l  sè mô ên ành v  α, N ÷ñcgåi chung l  c¡c ch¿ sè ên ành Lyapunov

Ngay tø nhúng cæng tr¼nh ¦u ti¶n, Lyapunov ¢ ÷a ra mët ti¶u chu©nquan trång cho t½nh ên ành mô cõa h» tuy¸n t½nh døng:

düa tr¶n phê cõa ma trªn A Nâi mët c¡ch ch½nh x¡c l  h» ph÷ìng tr¼nhtuy¸n t½nh døng (1.4) ên ành mô khi v  ch¿ khi ph¦n thüc cõa t§t c£ c¡c gi¡trà ri¶ng cõa A ¥m Mët ti¶u chu©n cê iºn quan trång kh¡c l  ti¶u chu©ndüa v o ph÷ìng tr¼nh Lyapunov Cö thº l , h» tuy¸n t½nh døng (1.4) ên ànhkhi v  ch¿ khi vîi b§t k¼ mët ma trªn Q èi xùng, x¡c ành d÷ìng, ph÷ìngtr¼nh Lyapunov ATP + P A = −Q câ nghi»m P èi xùng, x¡c ành d÷ìng.1.1.2 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov

trong â: x(t) ∈ Rn l  v²c tì tr¤ng th¡i cõa h», f : R+

× Rn

→ Rn l  h mv²c tì cho tr÷îc v  gi£ thi¸t f(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0

Kþ hi»u: K l  tªp c¡c h m li¶n töc t«ng ch°t ặ) : R+

→ R+, ă0) = 0; Vîimët h m V (t, x) : R+

(i) V (t, x) l  h m x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a

∃ặ) ∈ K : V (t, x) ≥ ă||x||), ∀(t, x) ∈ R+

× Rn.(ii) ˙V (t, x(t)) ≤ 0, vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.5)

N¸u h m V (t, x) tho£ m¢n th¶m i·u ki»n:

(iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+

× Rn.(iv) ∃c(.) ∈ K : ˙V (t, x(t)) ≤ −c(||x(t)||), vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.5)th¼ ta gåi l  h m Lyapunov ch°t

Sau ¥y l  ành lþ cì b£n Lyapunov:

ành lþ 1.1.5 N¸u h» (1.5) câ h m Lyapunov th¼ h» l  ên ành Hìn núa,n¸u h m Lyapunov l  ch°t th¼ h» l  ên ành ti»m cªn

Düa tr¶n ành lþ (1.1.5), ành lþ sau ¥y cho ta mët i·u ki»n õ v· t½nh

ên ành mô cõa h» (1.5):

(ii) ∃α > 0 : ˙V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)), vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.5),th¼ h» (1.5) l  ên ành mô vîi α, N = qλ 2

λ1 l  c¡c ch¿ sè ên ành punov

Lya-1.1.3 B i to¡n ên ành ho¡

→ Rm sao cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (th÷íng gåi

l  h» âng, close-loop system)

H m u(t) = g(x(t)) ÷ñc gåi l  h m i·u khiºn ng÷ñc

ành ngh¾a 1.1.8 H» i·u khiºn (1.6) ÷ñc gåi l  ên ành ho¡ mô ÷ñcn¸u nh÷ tçn t¤i h m g : Rn

→ Rm sao cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (1.7) l 

ên ành mô

Nh÷ vªy, hai v§n · °t ra º gi£i b i to¡n ên ành ho¡ l  vîi i·u ki»n

n o th¼ h» câ i·u khiºn ng÷ñc º h» âng cõa nâ l  ên ành ti»m cªn hay

ên ành mô v  c¡ch x¡c ành i·u khiºn ng÷ñc n y nh÷ th¸ n o?

1.2 B i to¡n ên ành, ên ành ho¡ h» câ tr¹

1.2.1 B i to¡n ên ành h» câ tr¹

Chóng ta nhªn th§y r¬ng h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng (1.1) mæ t£mèi quan h» giúa bi¸n thíi gian t, tr¤ng th¡i cõa h» thèng x(t) v  vªn tècthay êi cõa tr¤ng th¡i x(t) t¤i còng mët thíi iºm t Song tr¶n thüc t¸, c¡cqu¡ tr¼nh x£y ra trong tü nhi¶n th÷íng câ sü li¶n quan ¸n qu¡ khù, ·umang ½t nhi·u t½nh di truy·n V¼ vªy, khi mæ t£ qu¡ tr¼nh n y, chóng s³ ÷ñcbiºu di¹n b¬ng lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹

Gi£ sû mët h» thèng phö thuëc v o qu¡ khù vîi ë tr¹ (0 ≤ h ≤ +∞).Vîi x(t) l  mët h m câ tr¹ li¶n töc tr¶n R+, nhªn gi¡ trà trong Rn, chóng tax¥y düng h m xt ∈ C nh÷ sau xt(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0], trong â, khænggian h m C := C([−h, 0], Rn) Nh÷ vªy, xt l  mët o¤n quÿ ¤o tr¶n [t − h, t]cõa h m x(.) vîi chu©n trong C ÷ñc x¡c ành bði ||xt|| = sup

s∈[−h,0]

||x(t + s)||.Khi â, h» ph÷ìng tr¼nh câ tr¹ mæ t£ sü phö thuëc cõa vªn tèc thay êi t¤ithíi iºm t v o tr¤ng th¡i cõa h» thèng trong kho£ng thíi gian tr÷îc [t−h, t]

÷ñc cho d÷îi d¤ng têng qu¡t







˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (1.8)trong â: f : R+

× C → Rn

Ta k½ hi»u: x(t, φ) l  nghi»m cõa (1.8) tho£ m¢n i·u ki»n ban ¦u

x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0]

T÷ìng tü nh÷ c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng chóng ta công câ c¡ckh¡i ni»m ên ành, ên ành ti»m cªn, ên ành mô cho h» (1.8)

ành lþ 1.2.1 N¸u h» (1.8) câ h m Lyapunov V (t, xt) : R+ × C → R saocho:

(i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1||x(t)||2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2||xt||2, ∀t ≥ 0

(ii) ˙V (t, xt) ≤ 0 vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.8) th¼ h» (1.8) l  ên ành v måi nghi»m x(t) l  bà ch°n, tùc l :

∃N > 0 : ||x(t, φ)|| ≤ N ||φ||, ∀t ≥ 0

N¸u i·u ki»n (ii) ÷ñc thay b¬ng i·u ki»n

(iii) ∃λ3 > 0 : ˙V (t, xt) < 0 vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.8) th¼ h» (1.8) ên

ành ti»m cªn

N¸u i·u ki»n (iii), ÷ñc thay b¬ng i·u ki»n

(iv) ∃λ4 > 0 : ˙V (t, xt) ≤ −2λ4V (t, xt) vîi måi nghi»m x(t) cõa h» (1.8) th¼h» (1.8) l  ên ành mô v  c¡c ch¿ sè ên ành mô l  λ4 v  qλ 2

l  ên ành ti»m cªn.

ành ngh¾a 1.2.3 Cho sè α > 0 H» i·u khiºn (1.9) ÷ñc gåi l  α - ên

ành ho¡ n¸u tçn t¤i h m g : Rn

→ Rm sao cho h» âng (1.10) l  α - ên

ành ngh¾a 2.1.1 H» (2.1) ÷ñc gåi l  α - ên ành mô n¸u tçn t¤i sè N > 0sao cho måi nghi»m cõa h» tho£ m¢n x(0) = x0 ·u tho£ m¢n b§t ¯ng thùc:

V1 = hP (t)x(t), x(t)i,

V2 = β||x(t)||2

Ta câ:

H m V (t, x) l  x¡c ành d÷ìng, v  tho£ m¢n:

||P ||||x(t)||2 ≥ V (t, x) ≥ β||x(t)||2.L§y ¤o h m cõa V1, V2 theo t dåc theo nghi»m cõa h» tr¶n ta câ:

= h[ ˙P (t) + [P (t) + βI]A(t) + AT(t)[P (t) + βI]]x(t), x(t)i+ 2αh[P (t) + βI]x(t), x(t)i

= h[ ˙Pβ(t) + Pβ(t)A(t) + AT(t)Pβ(t) + 2αPβ(t)]x(t), x(t)i.M°t kh¡c, v¼ P (t) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n:

Tø â:

˙

V (t, x) + 2αV (t, x) = −hQx(t), x(t)i ≤ 0, t ≥ 0,hay

˙

V (t, x) ≤ −2αV (t, x), t ≥ 0 (2.3)Vªy h» (2.1) l  α - ên ành mô theo ành lþ (1.1.6)

º t¼m c¡c ch¿ sè ên ành Lyapunov, ta l m nh÷ sau:

L§y t½ch ph¥n 2 v¸ cõa (2.3) tø 0 ¸n t ta câ:

V (t, x) ≤ V (0, x0)e−2αt.Theo tr¶n:

||x(t)|| ≤

s

p0 + β

β ||x0||e−αt.Vªy h» sè ên ành N = qp 0 +β

ành ngh¾a 2.1.4 H» (2.4) ÷ñc gåi l  α - ên ành mô ho¡ ÷ñc n¸u tçnt¤i h m i·u khiºn ng÷ñc u(t) = K(t)x(t) sao cho h» âng:

A(t) =



a(t) 0

sin2t 0

trong â:

x(t) ∈ Rn l  v²c tì tr¤ng th¡i cõa h», A(t), Ai(t), i = 1, , p, l  c¡c ma trªn

h m li¶n töc tr¶n R+, hi(t) l  c¡c h m câ tr¹ tho£ m¢n:

0 ≤ hi(t) ≤ hi, ˙hi(t) ≤ δi < 1, i = 1, 2, , p, (2.7)

v 

τ = max

1≤i≤p{hi},φ(t) ∈ C([−τ, 0], Rn) l  h m i·u ki»n ban ¦u cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ chovîi chu©n:

Pβ(t) = P (t) + βI,R(t) =

ành lþ 2.2.2 Cho α > 0, h» (2.6) l  α - ên ành mô n¸u tçn t¤i β > 0

v  P ∈ BM+[0, ∞) tho£ m¢n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati (2.8) Hìn núa,nghi»m x(t, φ) cõa h» (2.6) tho£ m¢n i·u ki»n ên ành:

V (t, x) + 2αV (t, x) = h[ ˙P (t) + AT(t)P (t) + P (t)A(t)]x(t), x(t)i

+ βh[A(t) + AT(t)]x(t), x(t)i+ 2h(P (t) + βI)

(2.10)

= h[ ˙Pβ(t) + AT(t)Pβ(t) + Pβ(t)A(t)]x(t), x(t)i+



||φ||2

Suy ra:

||x(t, φ)|| ≤

vuuut

β ||φ||e−αt

Vªy h» sè ên ành l 

N =

vuuut

l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati (2.8).

Theo ành lþ (2.2.2), ta câ h» tr¶n l  1 - ên ành mô

Cho c¡c sè α > 0, β > 0, hi > 0, 1 ≤ i ≤ p Ta °t:

Pβ(t) = P (t) + βI, Q = pI,R(t) =

p döng ành lþ (2.2.2), ta câ h» âng (2.15) l  α - ên ành mô.

Tø â, h» (2.13) l  α - ên ành mô ho¡ ÷ñc

V½ dö 2.2.6 X²t h» i·u khiºn khæng ætænæm câ tr¹:

Vîi h m i·u ki»n ban ¦u φ(t) ∈ C([−1

2, 0], R2),trong â: p = 1 v 

l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati (2.14)

Sû döng ành lþ (2.2.5), ta câ h» tr¶n l  0.5 - ên ành mô ho¡ ÷ñc

trong â:

x(t) ∈ Rn l  v²c tì tr¤ng th¡i cõa h», A(t), Ai(t), i = 1, , p, Dk(t), k =

1, 2, , q l  c¡c ma trªn h m li¶n töc tr¶n R+, hi(t), rk(t) l  c¡c h m câ tr¹

l  h m i·u ki»n ban ¦u cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho vîi chu©n:

Chóng ta câ k¸t qu£ sau ¥y v· t½nh α - ên ành mô cõa h» (3.1).

ành lþ 3.1.2 Cho α > 0, h» (3.1) l  α - ên ành mô n¸u tçn t¤i β > 0

v  P ∈ BM+[0, ∞) tho£ m¢n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati (3.3) Hìn núa,nghi»m x(t, φ) cõa h» (3.1) tho£ m¢n i·u ki»n ên ành

L§y ¤o h m cõa V1 v  V2 dåc theo nghi»m cõa h» (3.1) ta câ:

Z t

x(s)ds

!

Z t

||x(s)||2ds − 2αV4

(3.10)

Tø (3.5), (3.8),(3.9), (3.10) ta câ:

˙

V (t, xt)+2αV (t, xt)

= h( ˙Pβ(t) + AT(t)Pβ(t) + Pβ(t)A(t))x(t), x(t)i+ 2

º t¼m h» sè ên ành, ta l§y t½ch ph¥n 2 v¸ cõa (3.12) tø 0 ¸n t ta câ:

V (t, xt) ≤ V (0, x0)e−2αt, t ∈ R+,K¸t hñp vîi (3.4) ta ÷ñc:

l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati (3.3).

Sû döng ành lþ (3.1.2), h» (3.14) l  ên ành mô vîi h» sè α = 1

3.2 Sü ên ành ho¡ cõa h» tuy¸n t½nh khæng ætænæm

(3.15)

trong â: u(t) ∈ Rm l  h m i·u khiºn

A(t), Ai(t), Dk(t), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ k ≤ q v  B(t) l  c¡c ma trªn h m li¶n töctr¶n [0, ∞), hi(t), rk(t) l  c¡c h m câ tr¹ tho£ m¢n (3.2)

ành ngh¾a 3.2.1 H» (3.15) l  α - ên ành mô ho¡ ÷ñc n¸u tçn t¤i h m

i·u khiºn ng÷ñc u(t) = K(t)x(t) sao cho h» âng:

ành lþ 3.2.2 Cho α > 0, h» (3.15) l  α - ên ành mô ho¡ ÷ñc n¸u ∃β > 0

v  P ∈ BM+[0, ∞) tho£ m¢n ph÷ìng tr¼nh Riccati (3.17) H m i·u khiºnng÷ñc ên ành ho¡ ÷ñc cho bði :

p döng ành lþ (3.1.2), ta câ h» âng (3.18) l  α -ên ành mô.

hay h» (3.15) l  α - ên ành mô ho¡ ÷ñc

k=1Dk(t))Rt−rt

k (t)x(s)ds, t ∈ R+,

,