giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá thầy đinh xuân hùng

“Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief.. Allow life to replenish you.

CHUYÊN

Gi i Ph ng Trình Vô T

B ng Ph ng Pháp ánh Giá Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình

WWW.TOANMATH.COM

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

I.L I NÓI U

Ph ng trình-H ph ng trình-B t đ ng th c có m i quan h ch t ch v i nhau ây c ng chính là nh ng

ph n quan tr ng nh t c a đ i s Nó th ng xuyên xu t hi n trong kì thi tuy n sinh i H c (THPT QG) hay các kì thi HSG.Ta c n có nh ng ph ng trình,h ph ng trình đ d đoán đ c đi m r i c a B T hay trong quá trình sáng tác m t B t đ ng th c s n y sinh ra nhu câu tìm nghi m c a Ph ng trình-H

ph ng trình-B t đ ng th c.Qua đ y có th nói vi c gi i t t PT-HPT là r t quan tr ng.Nhi u bài toán v PT-HPT-B T là s che d u c a m t B T nào đó.Chúng ta c n ph i linh ho t khi s d ng B T vào gi i PT-HPT.Vì n u không dùng đúng thì s d n đ n k t qu không nh mong mu n.Gi i PT b ng ph ng pháp b ng đánh giá chính là m t s k t h p tuy t v i gi a B T và PT

ã có r t nhi u tài li u,sách vi t v PT.Tuy v y,nh ng bài vi t v Gi i PT b ng ph ng pháp b ng đánh giá ch a đ c p toàn di n v nh cách gi i hay là ph ng pháp sáng tác.Vì v y,trong tài li u này s đ đi sau vào cách gi i PT b ng ph ng pháp đánh giá (M t trong nh ng ph ng pháp hay và khó khi GPT)

Hy v ng nó s là tài li u hay giúp cho các b n hi u rõ h n v Ph ng pháp này

Trong tài li u này s có ba m c:

M c 1:Nh c l i m t s B T hay dùng khi gi i ph ng trình,ph ng pháp gi i PT vô t b ng ph ng pháp đánh giá

Các thành viên tham gia vi t chuyên đ

Ch biên: inh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

Các thành viên tham gia vi t chuyên đ :

1.Nguy n Khánh Tr ng (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

2.Hoàng Trung Hi u (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

3.V Minh H nh (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

4.T ng c Kh i (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

5.Nguy n Th Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

6.Bùi Th Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

7.Ph m Th Ph ng Loan (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

8 ào Th Thanh Huy n (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

9.Lê Anh Quang (Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình)

Xin c m n cô Ngô Th Hoa (Cô giáo ch nhi m Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình) đã h ng d n c ng nh các ví d v Ph ng Pháp Gi i PT b ng đánh giá.Cô chính là ng i

kh i x ng vi c vi t chuyên đ này

Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

II Nh c l i m t s B T hay dùng khi gi i ph ng trình,ph ng pháp gi i PT vô t b ng ph ng pháp đánh giá

2

2 1 2 2

a b

a b

a   

2

2 1 1

M t h qu c a b t đ ng th c Cauchy-Schwar r t hay dùng:

n

n n

n

b b

b

a a

a b

a b

a b

2 2

1 2 2

2 2 1

2 1

V i đi u ki n b1;b2; ;b n là các s d ng

D u “=” x y ra khi

n

n b

a b

a b

2

2 1 1

2 1 1 2

2 2

2 1 2

2 2

a b

a b

a   

2

2 1 1

[4].B t đ ng th c Holder

V i m dãy s d ng a1,1;a1,2; ;a1,n , a2,1;a2,2; ;a2,n , , a m,1;a m,2; ;a m.n ta có

m n

i m m

đ ng th c Holder v i m=2

V i a,b,c,x,y,z,m,n,p là các s th c d ng ta có:a3 b3 c3x3 y3 z3m3 n3  p3axmbynczp3

ây chính là h qu hay dùng c a B T Holder khi m=3

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

C C x g

C x g x f C C x f

x g x f

Ho c đánh giá tr c ti p f(x) g(x);f(x) g(x)

T đó tìm d u “=” x y ra c a đ ng th c (t c là giá tr c a bi n đ th a mãn đi u ki n x y ra d u b ng) Ngoài ra trong m t s bài ta có th s d ng đi u ki n c a nghi m đ đánh giá

ôi khi tôi mu n hét to v i c th gi i r ng tôi m i may m n làm sao khi tôi đ c làm b n v i b n,

nh ng đôi khi tôi mu n im l ng, s r ng ai đó s đem b n r i kh i tôi

Khuy t danh

Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y-Ninh Bình

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

III M t s ví d và phát tri n ph ng trình vô t b ng ph ng pháp đánh giá

( ) 4 6

)(

1 1

u đi m:Cách gi i nhanh,g n nh ,không ph i tính toán v t v

Nh c đi m:Không nh nh ng ph ng pháp gi i PT vô t khác thì ph ng pháp đánh giá không ph i bài nào c ng dùng đ c.B n nào không t nh táo đ s d ng thì ch c ch n d n đ n vi c thi u nghi m

ho c không d n đ n k t qu nh mong đ i.“Tr m nghe không b ng m t th y” th làm m t bài PT t ng

n đây thì làm sao ti p đây nh ?Vì c 2 v đ u nh h n 10 và ph ng trình còn xót nghiêm x=0 n a

úng là cùng m t d ng mà n u bài n u c ng dùng ph ng pháp đánh giá đ gi i s d n đ n vi c không

gi i đ c ho c thi u nghi m

Chú ý:D ng ph ng trình: a xmb nx P (v i a,b,m,n là các s b t kì).P có th là m t s c ng có

th P=f(x)

- u tiên chúng ta dùng máy tính Casio (cách nh m th nào ch c các b n c ng bi t nh  ) đ nh m

VD2 v i VD1 đ u có đ c đi m chung đó là cùng có ( 6 x x 4 ) v trái và đ u có nghi m duy nh t

là 5.Nh ng bài này n u dùng ph ng pháp bình ph ng ho c liên h p thì PT VD2 ch c ch n s khó x

lí h n so v i VD1.T i sao chúng ta không dùng ph ng pháp đánh giá nh ?(D ng PT v a nêu trên mà)

Th nhé!

Bài làm

Áp d ng B T C-S cho b s  6 x; x 4 và (1;1) ta có:

2 ) 4 6

( ) 4 6

)(

1 1

Ph ng trình này có s m 2 v khá là to.Nh ng cái hay chính là ph ng trình này có nghi m duy nh t

là 5 và bên v trái đ c tách thành 4  4 3 3 3 (x 2 ).Sao chúng ta không th s d ng B T AM-GM nh ?

Bài làm

Áp d ng B T AM-GM cho 4 s không âm 3;3;3 và (x-2) ta đ c:

7 3

3 3 2 )

2 (

3 3 3

T (1)(2)(3)x 5

Chú ý:Cách sáng tác nh ng PT d ng này:

Ta s xét hai B T có cùng d u “=” x y ra ch ng h n khi x=3 và x  1 ta có:

13 4

) 4 4 ( 2 2 2 ) 4 4

) 4 4 ( 2 2 2 ) 4 4 (

2 2

1 1

0 2

1 1

3 3

x x

0 2

1 1

3 3

x x

0 4 3

0 1 5 3

0 2

0 3 7 3

x x

x x

x

x x

Chú ý: i v i nh ng bài mà KX khó gi i thì t t nh t không nên gi i ra.Ch c n tìm đ c nghi m r i Thay l i là đ c

Bình lu n:Ý t ng khai thác y u t hình h c n ch a trong bài toán ch v trái ph ng trình đ c cho

d i d ng x 1 1  (x 3 ) 1 t đó giúp ta nh đ n bi u th c t a đ c a tích vô h ng c a hai vect trong

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

3 ( )

; 3

v

x x

u v

x x

u

Theo b t đ ng th c:u.v  u.v ta có:

) 2 ( 2 2 ) 3 ( 2 ) 3

10 7

3 0

3

1 0

3

1

x x

x x

x k

Th c ch t ph ng pháp trên c ng ch là B T Minkowski mà thôi.Tuy v y bài toán trên trình bày v i

ph ng pháp t a đ Oxy thì trông v a đ p v a ng n.N u b n s d ng B T Minkowski thì các b n s

2 1

2 1

2 2 1

2 1

v u

1   

y

y x

OC OB OA MC

MB

MA     v i O là tâm c a đ ng tròn.D u b ng x y ra khi và chi khi M trùng O

•Cho tam giác ABC có ba góc nh n và m t đi m M tùy ý trong m t ph ng thì MA+MB+MC nh nh tkhi và chi khi đi m M nhìn các c nh AB,AC,BC d i cùng m t góc 120 

n đây ch c các b n c ng t sáng tác đ c nhi u bài GPT s d ng tính ch t c c tr hình h c r i nh 

; 3 1

(

) 1

; 1 3 (

) 2 1

; 1

v u x

x w

x x v

x u

Ta có:uvw  u  v  w

) 2 ( 2 3 ) 1 ( ) 1 3 ( ) 1 ( ) 1 3 ( 1 )

1 ( 1

) 3 1 ( 1 3

) 2 1 ( 1

1 1 3

0

x l x

x l

x

x k x

k x w

l v

u k v

13 2  4  2  4 

5

4 5

4 1

2

1 2

2

2

TM x

x x

x

x x

N u nh các b n đ c l i gi i thì ch c h n s ngh bài toán này khá d úng v y mình c ng đ ng ý v i ý

ki n c a các b n.Tuy nhiên quá trình tìm ra l i gi i thì l i khác ây là quá trình khá khó và ph i s d ng

đ n các n  ;  đ tìm ra đ c l i gi i hoàn ch nh.Sau đây mình xin n u ra ý t ng khi làm bài này:

1 ( 13 ) 1 (

1 13

1 9

9 2  4  2 2  2  2  

x x x

13 2

) 1 (

9 2

) 1 ( 13 9

) 1 (

9 2

2 2

2

2 2

đ c m t nghi m nh ng còn bên trong c n thì quá kho x lý n ph thì r t khó phát hi n đ tìm ra n

2

D u “=” x y ra khi 2  2  2x

) ( 1

2 2 4

TM x

x x x

x2   10  4 2  2  2   10  6  2



4 2

2 4

4 4

2 2 4 10

D u “=” x y ra khi 2  3 x x  1 (TM)

x x

x x

x x

7

(

2

x x

1 ) 9 ( 1

1 1

1 2

x

x x

x x

x x

8

1 2

2 1

1 1

2

x

x x

x x

1 3 2

1 3

a x

3 2

1

3

2

3 2

2

1 3 2

2 Mà f t   3 t

2

1 3 ) ( là hàm đ ng bi n trên (  0 ; ) nên suy ra a xax Hay x  3 x

2

1 3 2

3

) (

1

0 3

0 2 3

0 1 2

x x x

Th l i x=-2 là nghi m c a ph ng trình

V y ph ng trình có nghi m duy nh t x=-2

ó là m t s Ví d đ làm rõ ph ng pháp đánh giá khi gi i ph ng trình vô t Hy v ng nh ng ví d trên ph n nào giúp các b n có th hi u và v n d ng đ c ph ng pháp đánh giá khi gi i ph ng trình các b n có th n m rõ c ng nh luy n k n ng thì mình xin đ c nêu ra m t s Bài t p và các l i

28 24 27

x x

2 4

2 4

V y VP <1; VT>1 nên ph ng trình vô nghi m

+ N u x>0 thì VP<1; VT>1 nên ph ng trình vô nghi m

V y x=0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình

13)

9 2 1

23 2

2

x

x x

Do đó:x  2

M 6 hai v c a PT ta đ c:x9  6x6 x4  12x3  4x2  4  0

PTVN x

VP x

x x x

Do đó: 2 4 9 2 4 9 2 6

3

x

x  x  x  x  

D u”=” x y ra khi và ch khi x 0

V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x 0

V y ph ng trình đã cho vô nghi m

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

29)

x2  2x 2 1x  3x2  4 1x (đi u ki n:

1 2 2 0 1 1 3

x x x x x

D u”=” x y ra khi và ch khi x 0

2

2 2

( 1) ( 1) ( 1) 0

1 ( 1) ( 1) ( 1) 0

2 2 2

“Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you

When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void.”

_Pam Brown _

S m t mát khi n chúng ta tr ng r ng - nh ng hãy h c cách không đ s đau kh đóng l i trái tim và tâm h n mình Hãy đ cu c đ i đ đ y l i b n D i đáy u s u, d ng nh đi u đó là không th - nh ng

nh ng ni m vui m i đang ch đ i đ l p đ y kho ng tr ng

Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop

Tình yêu b t đ u v i n c i, l n lên v i n hôn, và k t thúc b ng gi t n c m t

Khuy t danh _

"Các bài gi ng c a giáo s , cho dù có đ y đ , xúc tích đ n đâu, có ch a chan tình yêu tri th c c a b n thân giáo viên đ n đâu, thì v th c ch t, mà nói, đó ch ng qua c ng v n ch là ch ng trình, là nh ng

l i ch d n tu n t đ đi u ch nh tr t t nh n th c c a sinh viên Ng i nào ch bi t ng i nghe giáo s

gi ng ch b n thân mình trong lòng không c m th y khát khao đ c sách, thì có th nói t t c nh ng

đi u ng i y nghe gi ng tr ng đ i h c c ng s ch nh m t tòa nhà xây trên cát mà thôi."

- I.A Gontcharov -

Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

V.L i K t

L n đ u tiên mình xin c m n các b n c ng nh các th y cô giáo đã đ c tài li u này.Hy v ng nó s

là tài li u hay v ph ng pháp s d ng k thu t đánh giá c ng nh giúp m i ng i có thêm cho mình

m t ph ng pháp m nh khi gi i ph ng trình

M c dù đã dành r t nhi u th i gian c ng nh s trau tru t v chuyên đ Tuy v y,tài li u có th g p

nh ng sai sót trong ví d ,bài t p,l i gi i.Mong m i ng i thông c m và góp ý vào gmail c a nhóm Chúc m i ng i luôn m nh kh e và thành công

Thay m t,

INH XUÂN HÙNG

CHÚC M I NG I M T N M M I 2016 H NH PHÚC VUI V ,AN KHANG,TH NH V NG

Happy New Year-2016

C m m i hình th c sao l u trong tài li u khi ch a có s cho phép

M t s tài li u tham kh o:

[1].Chinh ph c ph ng trình-B t ph ng trình-Lovebook

[2].Sáng t o ph ng trình,b t ph ng trình,h ph ng trình

[3].T p chí toán h c và tu i tr

M t s trang web h c t p hay

[1].Di n đàn Toán h c:http://diendantoanhoc.net/forum/index

[2].Di n đàn K2pi: http://k2pi.net.vn/

[3].Di n đàn BoxMath: http://boxmath.vn/forum/

[4].Di n đàn THPT:http://diendanthpt.16mb.com/index.php

Và m t công c r t t t cho các b n khi nh m nghi m c a m t ph ng trình

https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html

Mình xin k t thúc chuyên đ t i đây.Mong nh n đ c nhi u s ng h c a các b n 

TRY YOUR BEST AND YOU WILL SUCCEED

Toán K57-THPT Chuyên L ng V n T y