Tổng hợp một số phương pháp giải hệ phương trình điển hình

Liệu ở đây có một cách gì đó đáng lưu ý để sau này gặp một tình huống tương tự, ta có thể áp dụng được không?" Tất cả những câu hỏi đó đều hay cả, và cũng còn nhiều câu hỏi bổ ích khác n

số Phương

pháp đánh giá

Phương

pháp đặt

ẩn phụ

Phương pháp hệ số bất định

Kỹ thuật dùng tổng- hiệu

huyên đề là kết quả thu được qua một thời gian học tập và nghiên cứu của bản thân về hệ phương trình Tuy nhiên có thể nói rằng, đó là sự kết tinh qua nhiều thế hệ, là sự giúp đỡ, là

sự học hỏi từ những người bạn của mình cũng như rất nhiều yếu tố khác

Để đạt hiệu quả cao khi tham khảo chuyên đề này, xin được trích dẫn mấy lời của nhà giáo

Nếu chịu khó, gắng sức giải một bài toán nào đó thì dù không giải nổi đi chăng nữa, bạn đọc cũng thu hoạch được nhiều điều bổ ích Chẳng hạn, bạn đọc có thể giở ra xem (ở cuốn sách) phần đầu mỗi lời giải, đem đối chiếu với những suy nghĩ của bản thân mình, rồi gấp sách lại và thử gắng tự lực tìm ra phần còn lại của lời giải

Có lẽ thời gian tốt nhất để suy nghĩ, nghiền ngẫm về phương pháp giải bài toán là lúc bạn vừa tự lực giải xong bài toán hay vừa đọc xong lời giải bài toán trong sách, hay đọc xong phần trình bày phương pháp giải trong sách Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, và các ấn tượng hãy còn "nóng hổi", nhìn lại những nổ lực vừa qua của mình, bạn đọc có thể phân tích sâu sắc tính chất của những khó khăn đã vượt qua Bạn đọc có thể tự đặt cho mình nhiều câu hỏi bổ ích: "Khâu nào trong quá trình giải là quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu là ở chỗ nào? Ta có thể làm gì cho tốt hơn? Chi tiết

ấy mình cũng đã liếc qua mà không chú ý đến - muốn "nhìn thấy" chi tiết này thì đầu óc phải có tư chất ra sao? Liệu ở đây có một cách gì đó đáng lưu ý để sau này gặp một tình huống tương tự, ta có thể áp dụng được không?" Tất cả những câu hỏi đó đều hay cả, và cũng còn nhiều câu hỏi bổ ích khác nữa, nhưng câu hỏi hay nhất chính là câu hỏi tự nhiên nảy ra trong óc, không cần ai gợi ý cả!"

(trích "Mấy lời khuyên và chỉ dẫn" -G.Polya trong "Sáng tạo toán học")

Đây là cuốn tài liệu đầu tiên do tôi và bạn đồng nghiệp cùng biên soạn, cũng vì lần đầu tiên nên sẽ không tránh khỏi thiếu sót về trình bày cũng như kiến thức, rất mong bạn đọc chia sẻ và góp ý để tài liệu có thể hoàn thành và tốt hơn Mọi ý kiến bạn đọc gửi về địa chỉ

gmail:tinhmadrid@gmail.com và NguyenDung98smile@gmail.com Xin cảm ơn!

Tác giả

C

1) KỸ THUẬT 1: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

 Lý thuyết:

- Hệ số bất định là phương pháp tối ưu cho nhiều bài toán khó và đẹp Tài liệu này sẽ đề cập đến những biến đổ trong phương trình hữu tỉ dựa vào hệ số bất định Mục đích cuối cùng của phương pháp này là sau khi biến đổi hệ số bất định ta sẽ thu được một phương trình có

thể phân tích được nhân tử hoặc denta có dạng chính phương (nếu là bậc 2) Để hiểu rõ

và đi sâu vào phương pháp ta thực hành một số ví dụ sau

 Đánh giá: Ta không thể dùng phép thế để giải hệ trên Vì thế ta hy vọng từ hai phương trình

của hệ ta đưa được về dạng  3 3

Vậy nghiệm của phương trình  x y ; (2; 3);(3; 2). 

 Nhận xét: Bài toán trên cho ta một cái nhìn tổng quát về phương pháp hệ số bất định, tuy

nhiên bài toán trên là trong trường hợp x, y độc lập Chúng ta tiếp tục theo dõi các ví dụ tiếp theo để hiểu rõ hơn

Bài 2: (VMO 2010) Giải hệ phương trình sau

 Đánh giá: Ta cũng thấy như ví dụ trên, các biến x, y độc lập với nhau nên ta cũng hi vọng

từ 2 phương trình ta đưa được về dạng   4 2

x  y Công việc tiếp theo của ta là nhân một số k nào đó cho phương trình (2) và tìm   như ví dụ trên , , k

Hệ phương trình đã cho tương đương:

2 3

4

16240

 Nhận xét: Ở bài này hay tương tự các bài khác với số mũ lớn hay nhỏ nếu không chứa

hạng tử x y ta đều có thể sử dụng phương pháp trên Tuy nhiên qua một phép biến đổi m n

hệ sẽ không còn đẹp nữa Ta xét bài toán sau

Bài 3: Giải hệ phương trình sau

2 2

2

1(1)557

 Đánh giá: Để ý thấy cả 2 phương trình đều có hệ số mũ bậc 2 va có xuất hiện nhân tử xy

nên việc dùng HSBĐ sẽ gặp nhiều khó khăn Một hướng đi cho ta đối với dạng này là đưa

về phương trình bậc hai theo ax by  Để làm được như vậy ta nhân (1) cho rồi cộng

 Nhận xét: Những hệ có chứa hạng tử 2 2

, ,

x y xy phần lớn có thể đưa về phương trình bậc hai

dạng ax by Bài trên còn có thể giải theo phép thế và đặt ẩn phụ tổng-hiệu Ta theo dõi ví

22

Để cho đơn giản ta chọn    1  2

 Chi tiết: Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ (2).2 ta được:

Bài 5: Giải hệ phương trình sau

 Đánh giá: Ở đây hệ có bậc 4 khá cao nhưng có thể giảm bằng cách đặt t=x2 Để ý ta thấy vì

từ cả hai phương trình ta có thể đặt nhân tử chung là x2 và giải denta cho phương trình bậc 2

ẩn x Để đảm bảo denta chính phương ta dùng hệ số bất định như sau:

Vậy ta có nghiệm của hệ     x y ; 2;3 ; 2;3 ;  2;5 ;  2;5

Bài 6: Giải hệ phương trình sau

13

38

224

c d

b c

d b

Nếu x= -1, y=4 thay vào hệ thấy thõa

(Qua cách trên từ nhận xét bản thân tôi, ngay cả khi là người viết tài liệu này tôi vẫn cảm thấy phần đặt như trên có phần khó hiểu Do đó nó cũng sẽ rất khó hiểu cho bạn đọc, đối với các bạn đọc còn lạ lẫm về phương pháp này, vì vậy dưới đây tôi xin trình bày lại về một phương pháp hệ số bất định khác trên nhưng lại dễ nhìn hơn cho các bạn)

 Ý tưởng: Để ý rằng hệ có bậc 3 theo x và bậc 2 theo y, nên ta sẽ lấy (1) + (2).a để đưa về bậc 2 theo y;

   , muốn vậy 16a249aphải là -3 lần

của một số chính phương Để đơn giản ta chọn a  trước Ta phải đi giải phương trình nghiệm nguyên: 16a249a 3b2

 Nhận xét: Ta thấy cả hai phương pháp đều lấy (1) + (2).a và đều a=3, tuy hai cách ý tưởng

khác nhau Cách 1 rất hiệu quả cho những phương trình có nghiệm, còn cách 2 mang this

tổng quát và ta thấy cách 2 làm ta có cảm giác dễ chịu hơn

 Kết luận phương pháp: Nhìn chung đây là một phương pháp khá hay để giải một hệ

phương trình nếu hệ đó giải được bằng phương pháp hẹ số bất định, tuy nhiên nó cũng rất khó khăn cho những bạn có kiến thức chưa vững Chỉ là những ví dụ điển hình nhất cho

phương pháp, đối với những bài tập khác rơi vào dạng này các bạn có thể giải tương tự

2) KỸ THUẬT 1: PHƯƠNG PHÁP DÙNG TỔNG-HIỆU

 Lý thuyết:

- Trong việc giải hệ phương trình thì đặt ẩn phụ là phương pháp hiệu quả và gọn nhẹ nhất Phương pháp đặt ẩn phụ tổng-hiệu tuy không phải là phương pháp tối ưu nhất nhưng nhờ phương pháp nay mà ta đưa hệ về được về một hệ giải bằng phương pháp thế

- Cái vấn đề cốt lõi của phương pháp này là từ một hệ 2 ẩn x, y ta đặt:

 Phép đặt (**) dùng cho những hệ mà ta có thể khử một trong hai hạng tử nào đó sau khi khai triển (Lưu ý rằng hệ phương tình hữu tỷ mà 2 ẩn tách được thì ta giải được bằng phương pháp hệ số bất định)

- Khi gặp một bài hệ phương trình thì ta nên thử (*) trước, vì phương pháp này sẽ giúp ta đưa được về một hệ đơn giản hơn

- Một trường hợp đặt biệt hơn là dùng phép đặt a mx ny

từ một phương trình bậc 2 có dạng: m x1 2m xy2 m y3 2m x4 m y5 m6 0 ta có thể đưa

về dạng n ab n a n b n1  2  2   từ đó ta tính được theo a, b 3 0

 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

 Đánh giá: Nếu ta đặt a=x+y, b=x-y thì ta được phương trình ab=3 nên việc đặt phần nào

cũng dễ thấy Việc còn lại là đưa phương trình đầu về 2 ẩn a, b nữa là xong Thật vậy, ta có:

Bài 2: Giải hệ phương trình

2 2

2

2(1)557

 Đánh giá: Đánh giá 2 phương trình của hệ ta thấy không thể phân tích thành nhân tử Tuy

nhiên nếu nhìn kỹ thì ta có thể thay đổi hệ số x2 và y2 của (2) bằng phép thế của (1) Như vậy ta sẽ nghĩ tới việc đặt (*) như đã nêu trên, nhưng việc khó là ta không biết phân tích

như thế nào Ta hướng tới một phương pháp sau:

Ta sẽ thế (1) vào (2) và biến đổi biểu thức bậc 2, như sau:

f x phải có dạng bình phương Ta xét:

9y 4 (4 )y y (9 16 4 )

Như vậy ta phải tìm 2

9 16  4 là số chính phương, hay ta phải tìm nghiệm nguyên của phương trình:

 Ý tưởng: Đây là bài ta đã gặp ở phần phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta giải nó

ở một phương pháp khác

Xét hạng tử bậc 2 là x28xy ta thấy không thấy phân tích thành nhân tử cũng không y2

có cách nào khác biến đổi nó Đến hạng tử bậc 3, dù 3 2  2 2

x  xy x x  y nhưng cũng không dễ gì đưa về bậc 3 theo a, b với phép đặt (*) Vậy ta chuyển snag phép đặt (**) Ta

Do đặt u=v hay u= -v đều cùng cách nên ta đặt u=v=1

 Chi tiết: Đặt x a b y,  a bta có hệ sau:

mx mxy my mx y thì ta có thể đặt x a b y,  a b Ta xét bài tương tự sau

Bài 4: Giải hệ phương trình

Tương tự, (2) trở thành: 2 2

6a 9a4b 4b0Vậy ta có hệ phương trình

3 3

358

Bài 5: Giải hệ phương trình

Suy ra hệ có hai nghiệm     1 2

Giải hệ phương trình

2 2

2 2

32

3) Kỹ thuật 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẬT ẨN PHỤ

 Lý thuyết:

- Phương pháp này là phương pháp rất quen thuộc đối với học sinh trong việc giải hệ phương

trình Đặc biệt trong phương pháp này chúng ta chú ý đến việc chia để xuất hiện ẩn phụ Kỹ

thuật này thường dựa vào các dấu hiệu phương trình có dạng tích 2 2    

xy x y f x g y

Bên cạnh đó còn có phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác,…tuy nhiên tất cả các phương pháp

này thường không đặc trưng dễ thấy mà chủ yếu là dựa vào tư duy và kỹ năng làm bài của

từng người Ta hãy theo dõi một số bài tập ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về phương pháp

này

 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải hệ phương trình

 Ý tưởng: Ở đây ta dễ thấy phương trình (1) của hệ có tổng hai bình phương và phương trình

(2) của hệ có 4xy2.2xynghĩa là bóng dáng của công thức lượng giác Nên ta bắt đầu đặt

 Nhận xét: Ta thấy nếu đặ ẩn phụ như vậy thì việc giải bài toán này rất gọn và dễ dàng hơn

Từ đó ta cũng thấy được sự ngắn gọn trong phương pháp đặt ẩn phụ giaiar hệ phương trình

Bài 2: Giải hệ phương trình    

2 2

2 2

315

 Ý tưởng: Ta thấy nếu đặt như trên thì cả hai phương trình đều khá rắc rối trong việc khai

triển hàm lượng giác Nhìn kỹ nếu khai triển hết các tích của hai phương trình thì ta sẽ thấy

điều đặc biệt (phần nháp dành cho bạn đọc)

 Nhận xét: Ta thấy việc trước khi đặt ẩn phụ thì ta cũng nên thử khai triển các phương trình xem thế nào Như ví dụ trên thì việc triển khai hệ sẽ cho ta thấy đặt ẩn phụ dễ dàng hơn

Bài 3: Giải hệ phương trình

 Ý tưởng: Hệ này nhìn vào ban đầu ta nghĩ ngay tới việc biến đổi phương trình (2) sao cho

có những biểu thức dưới căn của phương trình (1)

 Chi tiết:

Điều kiện

010

3 0

y

x y

Khi đó hệ trở thành:

2 2

21

x y x

Vậy hệ có nghiệm sau     x y ; 3;1 , 5; 1 , 4    10;3 10 , 4   10;3 10

Bài 4: Giải hệ phương trình

2 2

2

21

x

x y y

y u

Bài 5: Giải hệ phương trình

2 2

2 2

11

24

ab x

9

2 3

3111

1319

1

a b

a

b x y a

Khi

y x y a

Bài 6: Giải hệ phương trình

 Ý tưởng: Ta vẫn giữ suy nghĩ như những bài tập trên, nhưng nhìn qua hai phương trình của

hệ ta thấy hệ có nghiệm    x y ; 0;0 và chúng có dạng tích nên ta sẽ nghĩ ngay đến việc

chia một trong hai phương trình cho x hoặc y Ta đi theo dõi bài giải sau đây

 Chi tiết:

Xét x   0 y 0    x y;  0;0 là một nghiệm của hệ

Xét x  , chia hai vế của phương trình (1) cho 0 x, chia hai vế của phương trình (2) cho x2,

ta được hệ phương trình sau:

2 2

2

2

33

11

4

z y

x y z

Vậy hệ đã cho có nghiệm      x y ; 0;0 , 1;1

 Ý tưởng: Ta thấy cả hai phương trình của hệ đều có hạng tử 2x  ngoài ra không còn gì 1

ấn tượng để ta liên tưởng đến việc đặt như các ví dụ trên Do đó ta thử đặt khác bài tập trên

y y

t

x x

 Nhận xét: Ở bài này tuy cũng đặt ẩn phụ nhưng ta thấy chỉ cần đặt một ẩn đối với một hạng

tử trong hệ Về việc đặt như vậy là dựa vào sự quan sát, đánh giá và kỹ năng trong quá trình làm bài của mỗi người, nhưng ở bài này thì không quá khó để ta có thể nhận ra như vậy Ta

theo dõi tiếp một ví dụ sau đây

Bài 8: Giải hệ phương trình 2   2

(Lời giải chi tiết cho bạn đọc)

Vậy hệ đã cho có nghiệm         7 3

12

27

4) Kỹ thuật 4: KỸ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ

- Phân tích phương trình bậc hai hai ẩn thành nhân tử:

Phương trình bậc hai hai ẩn có dạng:

Dấu hiệu: Cách nhận biết một phương trình thế nào để đưa về dạng tích:

- Hệ có một hoặc hai phương trình bậc hai (đối với bậc 4 hoặc bậc 6 thì có thể đặt

 Bài tập minh họa:

 Đánh giá: Ở đây khi nhìn qua hệ, ta để ý nếu ở phương trình (1) chúng ta khai triển hằng

đẳng thức ở vế phải thì sẽ xuất hiện nhân tử 2 2

Tập trên là nghiệm của hệ phương trình

 Nhận xét: Nhìn chung hệ trên giải theo phương pháp đã nêu, chúng ta chỉ chú trọng trong khâu biến đổi các phương trình của hệ cẩn thận

Bài 2: Giải hệ phương trình  

 Nhận xét: Nhìn chung qua cách trình bày như trên thì việc giải bài toán có vẻ nhẹ nhàng

Tuy nhiên ngay ở bước thứ hai, việc ta nhìn ra bước thế thì là điều rất nhạy bén, nó đòi hỏi

ta phải có kỹ thuật, kinh nghiệm làm bài mới thấy được Ngoài ra hệ này còn giải bằng phương pháp rút thế, đặt ẩn phụ Tuy nhiên chỉ có cách này là trình bày tự nhiên và đơn giản

nhất Ta tiếp tục xét một ví dụ đơn giản dưới đây

 Đánh giá: Dễ dàng nhận ra rằng ta sẽ khai thác ở phương trình (1) Nếu đặt

t xy t thì phương trình sẽ trở thành phương trình bậc 2 ẩn t Ta giải tìm t, từ đó

suy ra mối quan hệ giữ x và y

Thay y 1 2x vào (2) ta được:

 Đánh giá: Ta quan sát phương trình (1), nếu để ý thấy chúng chứa nhiều hạng tử có dạng

bình phương và bậc 4, điều này làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức Thật vậy, phương