BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hìnhtoán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.Một trong những mục đích chính của bài toán điều khi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN DUY KHÁNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

HÀ NỘI- 2015

Mục lục

Các kí hiệu dùng trong luận văn 4

1.1 Hệ phương trình vi phân 6

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 8

1.2.1 Các khái niệm về ổn định 8

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 9

1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định 11

1.3 Bài toán ổn định hóa 18

2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 23

2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 37

Lời mở đầu

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiểnthường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán họcvới thời gian liên tục dạng

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,

trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điềukhiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống Những dữ liệu đầu vào cótác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệthống Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hìnhtoán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống làtìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mongmuốn Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọngcủa lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong cáclĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói một cách hình tượng,một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếucác nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệthống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó Sự nghiên cứu bàitoán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học

V Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trình

vi phân và ứng dụng Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổnđịnh, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định củacác hệ phương trình vi phân thường Đó là phương pháp số mũ Lyapunov

và phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụngphương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động

lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứngdụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ màkhông thể giải quyết được bằng các phương pháp khác Từ đó đến nay lýthuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi độngcủa Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong

lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùngvới sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiêncứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóacác hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn địnhhóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phươngpháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã vàđang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm củanhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một

số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gianliên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứngdụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.Luận văn gồm hai chương:

 Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phươngtrình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyếnbằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơbản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên vềbài toán ổn định hóa

 Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụngTrong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổnđịnh của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một sốứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phituyến

Các kí hiệu dùng trong luận văn

- λmin(A): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A

- λ(A): Tập các giá trị riêng của A

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảotrong suốt thời gian qua Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các côkhoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tựnhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn này

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiệnkhông nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôikhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý

và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015

Học viênNguyễn Duy Khánh

trong đó

f (t, x(t)) : I × D 7→ Rn, D = {x ∈ Rn: ||x − x0|| ≤ a}

Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:a) (t, x(t)) ∈ I × D,

b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1)

Giả sử hàmf (t, x(t)) liên tục trên I × D, khi đó nghiệmx(t) cho bởi dạngtích phân:

x(t) = x0 +

Z t

t 0

f (s, x(s))ds

Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân(1.1) trong đó giả sử hàm f (t, x) : I × D 7→ Rn là liên tục theo t và thỏamãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là

∃K > 0 : ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ K||x1 − x2||, ∀t ≥ 0

Khi đó với mỗi (t0, x0) ∈ I × D ta luôn tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [t0 − d, t0 + d]

Định lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+×Rn → Rn

là hàm liên tục theo t và thỏa mãn các điều kiện sau:

∃M0, M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1||x| |, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn,

∃M2 sao cho kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ M2kx1 − x2k, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn

Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; +∞)

Đối với hệ tuyến tính



˙x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.2)

trong đó A(t) là hàm đo được hoặc liên tục theo t và ||A(t)|| ≤ m(t),với m(t) là hàm khả tích và g(t) cũng là hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng

có nghiệm duy nhất Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không biểu diễn theocông thức Cauchy như hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm cơbản Φ(t, s) của hệ thuần nhất

˙x(t) = A(t)x(t), (1.4)

nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

Z t

t0

Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5)trong đóΦ(t, s)là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.4) thỏa mãn hệ phươngtrình ma trận

( d

dtΦ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,Φ(t, t) = I

(1.6)

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov

Trong phần này, luận văn trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản

về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, vànghiên cứu về tính ổn định của chúng bằng phương pháp hàm Lyapunovđồng thời đưa ra một số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định của hệ tuyếntính

1.2.1 Các khái niệm về ổn định

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân



˙x = f (t, x(t)), t ≥ 0,x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0, (1.7)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái của hệ f (t, x(t)) : R+×Rn →Rn.Giả sử hàm f (t, x(t)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm củabài toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0 luôn cónghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệmcận nếu nó là ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho ||x0|| < δ thì

lim

x→∞||x(t)|| = 0

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mũnếu tồn tại các hằng số α > 0, K > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.7)với x(t0) = x0 thỏa mãn

hệ phi tuyến

Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng

˙x(t) = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.8)Xét hàm số V (x) : Rn →R được gọi là xác định dương nếu

a) V (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn

b) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆Rn → R, D là lân cận mở tùy ý của

0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu

d) ∃c > 0 : DfV (x) < 0, x ∈ D \ {0}.

Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý sau

Định lý 1.2.1 Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa, nếuhàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

Ví dụ 1.2.2 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Ví dụ 1.2.3 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân sau

= −2(x41 + 2x42 + x43) < 0

Vậy nghiệm 0 của hệ ổn định tiệm cận.

Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được địnhnghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x) Trước hết ta xét lớp hàm K làtập các hàm tăng chặt ặ) : R+ →R+ với ă0) = 0

Hàm V (t, x) : R+× D → R gọi là hàm Lyapunov nếu:

a) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ

(1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

Định lý 1.2.4 Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực củatất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

Reλ < 0, với mọi λ ∈ λ(A)

Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức sylvester áp dụngcho f (λ) = eλ, ta có

Vì Reλk < 0 nên ||x(t)|| → 0 khi t → +∞ Ngược lại nếu hệ là ổn định

mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0) = x0 của hệ (1.9) thỏa mãn điều kiện

||x(t)|| ≤ µ||x0||e−δ(t−t0 )

, (1.11)với µ > 0, δ > 0 nào đó Bây giờ, ta giả sử phản chứng rằng có một

λ0 ∈ λ (A) sao cho Reλ0 Khi đó với véc tơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có

Ax0 = λ0x0,

và khi đó nghiệm của hệ ứng với x0(t) = x0 là x0(0) = x0eλ0t, khi đó tacó

||x0(t)|| = ||x0||eReλ0 t

Vậy nghiệm x0(t) này tiến tới +∞ khi t → ∞, mâu thuẫn với điều kiện

−1 − λ 31

4 −2 − λ

λ − 1 3 1

−1 λ − 1 3

−1 5 λ + 3