- Biết sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang.. - Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.. Biết cách giải h
Trang 1GIÁO ÁN ĐH A2 Số tiết 6
TÊN BÀI GIẢNG:
CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT) CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC
MỤC ĐÍCH :
- Có kĩ năng thực hiện các phép toán trên ma trận
- Nhận biết được ma trận bậc thang
- Biết sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang
- Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan
- Biết được ma trận khả nghịch và biết tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông bằng thuật toán Gauss-Jordan Biết cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình, n ẩn bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo
- Hiểu được định thức của một ma trận, hiểu và vận dụng được công thức Laplace để tính định thức Nắm được các tính chất cơ bản của định thức
4
4.1
Bài tập: 13, 15, 17, 23, 28, 30 trang 44, 45, 46
Phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình đại số tuyến
tính.
Hệ Phương trình đại số tuyến tính.
* Dạng:
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
n n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a a
x a
b x a x
a x a
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 1
2 12 1 1
Trong đó:
A =
mn m m
n n
a a a
a a a
a a a
2 1
2 22 21
1 12 11
n x
x x
2
1
, B =
m b
b b
2 1
A gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận hằng số
Ngoài ra ta còn thiết lập ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở rộng
của hệ phương trình
Các ví dụ 1, 2 trang 27
45’
10’
Hướng dẫn giải
Diễn giải
Trang 24.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
+ Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: b1 = b2 = … = bm = 0
+ Nghiện của hệ (1)
+ Hệ phương trình tương thích, ẩn số tự do, ẩn số cơ sở
+ Hệ phương trình tương đương
Các phép toán sơ cấp trên hàng của ma trận.
1) Hoán vị hai hàng Ri↔ Rj
2) Thay một hàng bằng chính hàng đó sau khi nhân với một số khác 0:
λRi→ Ri (λ≠ 0)
3) Thay một hàng bằng chính hàng đó cộng với một hàng khác sau khi
đã nhân với một số bất kì: λRj + Ri→ Ri
Ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang chính tắc
Sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng ta có thể đưa ma trận mở
rộng của một hệ phương trình tuyến tính về dạng bậc thang chính tắc
là ma trận mở rộng của một hệ phương trình mới tương đương với hệ
phương trình đã cho
+ Giới thiệu ma trận có dạng bậc thang chính tắc (GT trang 28)
Phương pháp Gauss-Jordan.
Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính ta dùng phương pháp
Gauss-Jordan theo các bước sau:
* B1: Thiết lập ma trận mở rộng
* B2: Dùng các phép toán sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A’ về
dạng bậc thang chính tắc A’’
* B3: Giải hệ phương trình với ma trận mở rộng A’’
Ví dụ: 1, 2, 3 trang 29, 30, 31
Ma trận Nghịch đảo.
Định nghĩa: Cho A∈Mn(|R), A được gọi là khả nghịch (không suy
biến), nếu tồn tại ma trận B∈Mn(R), sao cho A.B = BA = In
B gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là A-1, ta có:
AA-1 = A-1A = In
Nếu A không khả nghịch ta nói A là ma trận suy biến
Định lí: * Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo A-1 là
duy nhất
* (A-1)-1 = A
* (A1A2)-1 = A2-1A1-1
* (AT)-1 = (A-1)T
[Giáo trình trang 32]
Thuật toán Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của một ma
trận vuông cấp n.
* B1: Lập ma trận M = [A | In]
* B2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để biến đổi [A | In]
10’
10’
30’
30’
Diễn giải
Diễn giải minh họa
Diễn giải Hướng dẫn giải
Diễn giải Hướng dẫn
Trang 31
1.1
về dạng bậc thang [In| B]
* Kết luận: A-1 = B
Các ví dụ: 1, 2, 3 trang 34, 35, 36 giáo trình
Giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính bằng cách sử dụng ma trận
nghịch đảo.
* Định lý: Cho hệ phương trình n phương trình, n ẩn số AX = B
Nếu A không suy biến thì phương trình đã cho có một nghiệm duy
nhất X = A-1B
(Giáo trình trang 37)
* Ví dụ: trang 37
* Bài tập: 73, 74 trang 48; 77, 80 trang 49
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC Hoán vị cấp n.
Hoán vị cấp n.
* Định nghĩa 1: Cho X là một tập hợp có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách
sắp xếp n phân( tử của X theo một thứ tự nhất định được gọi là hoán
vị của X
Ví dụ: X = {a, b, c}
Có 6 cách sắp xếp:
c b a
c b a
,
b c a
c b a
,
c a b
c b a
a c b
c b a
,
b a c
c b a
,
a b c
c b a
Theo ngôn ngữ ánh xạ ta có định nghĩa sau:
* Định nghĩa 2: Cho X là một tập hợp có n phần tử, một hoán vị cấp n
là một song ánh từ X lên chính nó.
Không mất tính tổng quát, bằng cách đánh số các phần tử; một hoán vị cấp n thường được viết như sau:
=
) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (
3 2
1
n
n
σ σ
σ σ
σ
Chú ý: Nếu X có n phần tử thì ta có n! hoán vị cấp n của X Tập tất cả
các hoán vị cấp n được kí hiệu là Sn Như vậy Sn có phần tử
45’
10’
Hướng dẫn giải
Diễn giải Minh họa
Trang 42
2.1
Hoán vị chẵn, hoán vị lẻ.
a) Nghịch thế: Cho σ ∈ Sn Một cặp phần tử (i, j) được gọi là nghịch
thế Nếu ta có i < j => σ(i) > σ(j)
b) Hoán vị chẵn, hoán vị lẻ:
Gọi S(σ) là tổng tất cả các nghịch thế của σ
* Nếu S(σ) là số chẵn, ta nói σ là hoán vị chẵn
* Nếu S(σ) là số lẻ, ta nói σ là hoán vị lẻ
Ví dụ: Cho σ =
5 1 3 4 2
5 4 3 2 1
σ có 4 nghịch thế, S(σ) = 4, vậy σ lá hoán vị chẵn
Định thức:
Định nghĩa: Cho ma trận vuông cấp n (n ≥ 1)
A =
nn
n n
a a a
a a a
a a a
12 11
2 22 21
1 12 11
Định thức của ma trận A, kí hiệu det A, D(A) hoặc |A| được xác định như sau:
det A = ∑
∈
−
n
σ
) ( )
2 ( 2 ) 1 ( 1 ) (
) 1
(Tổng này có dạng n! số hạng) Chẳng hạn:
* A =
22 21
12 11
a a
a a
n = 2 ta có 2 hoán vị
2 1
2 1
1
σ và
1 2
2 1
2 σ
Trong đó có 1 hoán vị lẻ là σ2 ; từ (1) ta có:
) 0 ( 12
11 )
) 1 (− S σ a a + − S σ a a
det A = a11a22−a12a21
* A =
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
n = 3 ta có 6 hoán vị σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6 Trong đó có 3 hoán vị
σ1, σ2, σ3 chẵn, có 3 hoán vị σ4, σ5, σ6 lẻ
Từ (1) ta có:
) 0 ( 31
23 12 ) 0 ( 33
22 11 )
) 1 (− S σ a a a + − S σ a a a + − Sσ a a a
10’
15’
Diễn giải
Diễn giải Hướng dẫn tính
Trang 54
4.1
12 21 33 ) 0 ( 13
31 22 ) 0 ( 33
22 11 )
) 1 (− Sσ a a a + − Sσ a a a + − S σ a a a
=> det A = a11a22a33 +a12a23a31+a13a32a21
−a11a23a32−a22a13a31−a33a12a21
Để dễ nhớ ta dùng qui tắc Sarrus sau:
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo chính mang dấu cộng
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ mang dấu trừ
Tính chất cơ bản của định thức.
1) Ta có D(A) = D(AT) ; D(AB) = D(A) D(B) = D(BA)
2) Nếu đổi chổ 2 hàng (cột) bất bì cho nhau thì định thức đổi dấu.
Đặc biệt: Nếu 1 ma trận có 2 hàng (2 cột) giống nhau thì định thức bằng 0
3) Nếu có một hàng (cột) của định thức mà mỗi phần tử trên hàng đều
là một tổng của hai số thì ta có thể tách định thức đã cho thành tổng
của hai định thức
4) Nếu có một hàng (cột) của định thức mà mỗi phần tử đều là tích
của λ với một số thì ta có thể đưa λ ra ngoài dấu định thức
5) Định thức không đổi khi ta cộng vào một hàng với một hàng khác
sau khi đã nhân với một hằng số
Cho các ví dụ minh họa
Định lý Laplace.
Định thức con bù, phần bù đại số.
Cho ma trận A =
nn n
n
n n
a a a
a a a
a a a
2 1
2 22 21
1 12 11
* Định thức con bù của phần tử aij, kí hiệu Mij là định thức của
ma trận con có được từ A bằng cách bỏ hàng i, cột j
Ví dụ: cho A =
9 8 7
4 5 6
3 2 1
M23 = 8 14 6
8 7
2 1
−
=
−
=
* Phần bù đại số của phần tử aij Kí hiệu Aij là một số được xác định như sau:
Aij = (-1) i+j Mij
Ví dụ: A = (-1)2+3 M = -M = 6
20’
15’
Diễn giải Minh họa
Trang 64.2 Định lý Laplacce:
Cho A = [ ] aij i i n n
,
1,
1
=
=
Ta có:
* det A = ∑
=
n
j ij ij A a
1 (khai triển theo hàng thứ i)
* det A = ∑
=
n i ij
ij A a
1 (khai triển theo cột thứ i)
Ví dụ: Giáo trình trang70
15’
TỔNG KẾT : (5 phút).
- Ma trận nghịch đảo, thuật toán Gauss để tìm ma trận nghịch đảo, để giải hệ phương trình đại số tuyến tính
- Cách tính định thức cấp 2, cấp 3, công thức Laplace
- Bài tập về nhà trang 48, 49, bài 92, 93 trang 50; bài 105, 106 trang 51
RÚT KINH NGHIỆM :
Ngày tháng năm 2006
Khoa Tổ bộ môn Ngày tháng năm 2006 Giảng viên