Tích phân perron

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 0 .... Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số the

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thị Mộng Thường

TÍCH PHÂN PERRON

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin trân trọng gởi đến TS Lê Thị Thiên Hương tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Cô đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cô trong khoa Toán của trường Đại học sư phạm TP HCM đã tận tình giảng dạy để tôi có những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi - những người đã luôn ở bên tôi, động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn

MỤC LỤC

0

LỜI CẢM ƠN 0 2 0

MỤC LỤC 0 3 0

M Ở ĐẦU 0 4 0

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0 6 0

1.1 Khái niệm “hầu khắp nơi” 0 6 0

1 2 Đạo hàm của một hàm số đơn điệu 0 6 0

1.3 Đạo hàm của tích phân bất định 0 7 0

1.4 Vấn đề tìm lại nguyên hàm 0 7 0

1.5 Các tính chất của tích phân 0 7 0

1.6 Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó 0 9 0

1.7 Tập phạm trù thứ nhất 0 16 0

CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 0 18 0

2.1 Định nghĩa tích phân Perron 0 18 0

2 2 Các tính chất cơ bản của tích phân Perron 0 20 0

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON 0 26 0

3.1 Tích phân bất định Perron 0 26 0

3.2 Tích phân hẹp Danjua 0 29 0

3 3 Định lý G HACE 0 32 0

3.4 Định lý P X ALECXANDROV – G LOMAN 0 41 0

CHƯƠNG 4 SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 0 48 0

KẾT LUẬN 0 53 0

TÀI LIỆU THAM KHẢO 0 53 0

PHỤ LỤC 0 55

M Ở ĐẦU

Vào cuối thế kỷ XIX, người ta đưa ra ví dụ hàm số

2

x

có đạo hàm hữu hạn '( )

f x khắp nơi trên đoạn [ ]0;1 nhưng hàm số '( )

f x lại không khả tích theo nghĩa Lebesgue

Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn

bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó

Vào năm 1912, nhà toán học Pháp A Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hóa tổng quát

hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài toán nêu trên

Mặt khác, năm 1914 nhà toán học Đức O Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân

khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài toán

tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nó

Các công trình tiếp theo của G Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G Loman (1925)

đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron Như vậy Perron đã đưa ra dạng

mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đó ngày nay tích phân này được gọi là tích phân

Danjua - Perron

Vào năm 1916, A.Danjua và nhà toán học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân

tổng quát hơn, hoàn toàn độc lập với nhau Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm không chỉ

từ đạo hàm thông thường mà còn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận)

Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số f x tại điểm ( ) x0 nếu tồn tại tập hợp E nhận

0

x làm điểm trù mật sao cho với x ∈ E v à x → x0 ta có

( ) ( ) 0

0 0

lim

→

−

=

−

x x

f x f x

A

x x

Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân

Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”

Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron Còn tích phân Danjua – Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa Bạn đọc quan tâm có thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” của S.Sacs, 1949

Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thông qua

lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P X Alecxandrov- G Loman và so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue

Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng

ở các chương sau

Chương 2 nêu định nghĩa và chứng minh các tính chất của tích phân Perron Đây là một trong các kết quả quan trọng của luận văn

Chương 3 xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron và chứng minh các tính chất của

nó

Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue

Trong luận văn còn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 1 Khái niệm “hầu khắp nơi”

Cho khơng gian độ đo (X M, , µ)

a/ Giả sử E là tập hợp thuộc M và P là một tính chất mà mỗi x E ∈ hoặc thỏa mãn hoặc

khơng thỏa mãn Ta nĩi P xảy ra hầu khắp nơi trên E nếu tập hợp

{x E x∈ , không thỏa mãn P} được chứa trong tập thuộc M, cĩ độ đo khơng

b/ Ta nĩi hai hàm số , :f g X → R là tương đương (kí hiệu f : g) nếu f x( ) ( )= g x

hầu khắp nơi, nghĩa là tập hợp {x X f x∈ : ( ) ( )≠ g x } chứa trong tập cĩ độ đo khơng

1 2 Đạo hàm của một hàm số đơn điệu

Bổ đề 1.1 Cho A là một tập bất kỳ nằm trong khoảng ( ) a b , , J là một lớp khoảng sao cho

mỗi điểm x A ∈ đều là mút trái của ít nhất một khoảng ∆ = (x x h, + x)∈ J

Khi ấy tồn tại một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆ ∆1, 2, ,∆ ∈ phủ lên một tập con A’ s J

của A, với độ đo ngồi µ* '( )A > µ*( )A − , và ε ε là một số dương tùy ý cho trước

Bổ đề 1.2 Giả thiết thêm rằng với mọi số η > nhỏ tùy ý, tại mỗi điểm 0 x A∈ đều cĩ ít nhất một khoảng (x x h, + x)∈ với J hx< η Khi ấy, cho trước một tập mở bất kỳ G ⊃ A, ta

cĩ thể chọn những khoảng ∆ ∆1, 2, , ∆ trong bổ đề 1.1 sao cho chúng đều nằm trọn trong tập s

G

Định lý 1.3 Một hàm số F x ( ) đơn điệu trên một đoạn ,a b thì cĩ đạo hàm hầu khắp nơi trên đoạn ấy

Định lý 1.4 Nếu f x( ) là hàm tăng xác định trên ,a b thì đạo hàm f ' ( ) x của nĩ là hàm

đo được và ∫b f '( )x dx≤ f b( ) − f a( ) nên f '( )x khả tích

1.3 Đạo hàm của tích phân bất định

Bổ đề 1.5 Nếu F x ( ) không giảm (trên ,a b ) thì F x khả tích và '( )

'

b a

F x dx F b≤ − F a

Bổ đề 1.6 Nếu g x( ) khả tích và với mọi x trong đoạn a b,  ta đều có x ( ) 0

a

g t dt =

g x = hầu khắp nơi

Định lý 1.7 Đạo hàm F x'( ) của tích phân bất định ( ) x ( ) ,

a

F x = ∫ f t dt của một hàm số khả tích f x( ), bằng f x( ) hầu khắp nơi

1.4 Vấn đề tìm lại nguyên hàm

Bổ đề 1.8 Nếu một hàm số F x( ) liên tục tuyệt đối có đạo hàm F x ='( ) 0 hầu khắp nơi thì

( )

F x phải là một hằng số

Định lý 1.9 Nếu F x( ) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì đạo hàm F x'( ) của nó khả tích

và ta có ( ) ( ) x '( )

a

1.5 Các tính chất của tích phân

1.5.1 Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân

Định lý 1.10 Nếu { }g n là một dãy hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì

=

Định lý 1.11 Giả sử

1 n

n

A ∞ A

=

= U , trong đó các A n là những tập hợp đo được đôi một rời nhau

a/ Nếu tồn tại

A

f dµ

∫ thì

1

n

f dµ ∞ f dµ

=

=∑

∫ ∫ (1.1)

b/ Nếu f khả tích trên A thì

1 n

f dµ

∞

=

< ∞

∑ ∫ (1.2)

Do đó chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối

Đảo lại nếu có (1.2) thì f khả tích trên A và có (1.1)

Định nghĩa 1.12 Giả sử (X M, , µ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm số

σ - cộng tính Ta nói hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu λ( )A = 0 với mỗi tập hợp A

có độ đo µ( )A = 0

Giả sử f là một hàm số khả tích trên không gian X Từ định lý 1.8 suy ra rằng hàm

: M R

λ → , xác định bởi:

( )

A

A f d

λ =∫ µ (1.3)

là một hàm σ - cộng tính Nếu µ( )A = 0 thì λ( )A = 0

Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ

Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp X0 ={x X f x∈ : ( ) ≠ 0} có độ đo σ - hữu hạn, tức là

( )

0 1 n, n , 1, 2,

n

X ∞ X µ X n

=

Hiển nhiên nếu A M∈ và A∩ X0= ∅ thì λ( )A = 0

Định lý 1.13 (Radon – Nikodym)

Giả sử (X M, , µ) là một không gian độ đo và λ: M→ R là một hàm σ - cộng tính , liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ và λ( )A = 0 với mọi tập hợp A thuộc M nằm ngoài một tập hợp X0

nào đó thuộc M, có độ đo σ - hữu hạn Khi đó tồn tại một hàm số f đo được trên X sao cho

( )

A

A f d

λ =∫ µ, với mỗi A M∈

Nếu λ ≥ 0 thì f ≥ 0

Định lý 1.14 Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A Khi đó với mỗi số dương

ε, tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E A⊂ nếu µ( )E < δ thì

E

f dµ ε<

1.5.2 Tính bảo toàn thứ tự

Định lý 1.15 Nếu f g≤ trên A và các tích phân

A

f dµ

∫ ,

A

gdµ

∫ tồn tại thì

f dµ≤ gdµ

1.5.3 Tính tuyến tính

Định lý 1.16 Các đẳng thức sau là đúng nếu các vế phải có nghĩa

i c f d c f d c R

ii f g d f d gd

1.5.4 Tính khả tích

Định lý 1.17 Các khẳng định sau là đúng

(i) Nếu

A

f dµ

∫ có nghĩa thì

f dµ ≤ f dµ

(ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A,

(iii) Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A,

(iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f ± g cũng khả tích trên A Hơn nữa nếu f khả tích còn g

bị chặn trên A thì f g. khả tích trên A

1.6 Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó

Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày

lý thuyết tích phân Danjua

Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron) Các tích phân này có một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đó vào một sơ đồ chung

Giả sử mỗi đoạn thẳnga b, , trong đó a≤b, sẽ tương ứng với một lớp T( [a b, ] ) không rỗng gồm các hàm số nào đó xác định trên đoạna b, 

Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi c∈[ ]a b, đều có

[ ]

( , )= ( [ ], )∩ ( [ ], )

T a b T a c T c b (Điều kiện này được hiểu như sau:

Hàm số f x( ) xác định trên [ ]a b, sẽ chứa trong lớp T( [ ]a b, ) khi và chỉ khi cả hai hàm số thu được từ f x( ) khi xét trên từng đoạn [ ] [ ]a c, , c b, , đều chứa trong các lớp T( [ ]a c, ),T( [ ]c b, )

tương ứng )

Giả sử M ={T( [ ]a b, ) } là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp T( [ ]a b, ) có một phiếm hàm

( )

b

a

T f cho tương ứng mỗi hàm số f ∈T( [ ]a b, ) với một số xác định Phiếm hàm này sẽ được gọi

là tích phân nếu với mọi f ∈T( [ ]a b, ) và mọi c∈[ ]a b, đều có b( )= c( )+ b( )

T f T f T f (1.4)

Và (với x∈[ ]a b, )

( ) ( )

lim

→ x = c

x c a T f T f a (1.5) Nói một cách khác, tích phân là một hàm đoạn thẳng cộng tính và liên tục

Đặc biệt, nếu f ∈T( [ ]a a, ) thì a( )= a( )+ a( )

T f T f T f nghĩa là a( )= 0

a

T f

Tất cả các hàm số chứa trong lớp T( [ ]a b, ) đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ ]a b, Từ

điều kiện của họ đúng các lớp T( [ ]a b, ) suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ ]a b, đều T –

khả tích trên mỗi đoạn [ ]p q, chứa trong a b,  và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm c∈[ ]a b,

Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa

Giả sử hàm số f x( ) xác định trên a b,  và c∈[ ]a b, Nếu với mọi δ > 0 hàm số f x( )

không T – khả tích trên đoạn [c−δ,c+δ] [ ]∩ a b, thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối

với hàm số f x( ) Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của f x( ) được kí hiệu là S T(f;[ ]a b, ),

hoặc S T( [ ]a b, ), hoặc S T ( )f , hoặc chỉ đơn giản là S T

Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên a b,  thì S T( [ ]a b, )= 0

Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng

Bổ đề 1.18 Nếu f x( ) xác định trên a b,  và không thuộc T( [ ]a b, ) thì

[ ]

( ; , )≠ 0

T

Chứng minh

Đặt

2

= Khi đó f(x) không T – khả tích trên ít nhất một trong hai đoạn [ ] [ ]a d, , d b,

mà ta kí hiệu lại là [a b, ]

Đặt 1 1

1

2

+

= a b

d và gọi [a d2 , 2] là một trong hai đoạn [a d1 , 1] [, d b1 , ] sao cho f x( ) không T – khả tích trên [a d1 , 1] Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy các đoạn thẳng lồng vào nhau:

[ ]a b, ⊃ [a b1 , 1] [⊃ a b2 , 2]⊃ sao cho f x( ) không T – khả tích trên từng đoạn

Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [a b n, n] Nếu δ > 0 thì với n đủ lớn ta sẽ có

[a b n, n] [⊂ c−δ,c+δ] [ ]∩ a b,

Từ đó suy ra f ∉T( [c− δ ,c+ δ] [ ]∩ a b, ) và điểm c là điểm T – bất thường

Bổ đề 1.19 Tập hợp S T = S T(f ; [ ]a b, ) là tập đóng

Chứng minh

Giả sử c n ∈ S T và c n→c

Lấy δ > 0 Nếu n đủ lớn thì

2

δ

− <

n

c c nên

Vì f x( ) không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế trái của bao hàm trên nên f x( ) cũng không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế phải

Do δ tùy ý nên c∈S T, đây là điều phải chứng minh

Dưới đây ta xét trường hợp S T không lấp đầy đoạn[ ]a b, Khi đó phần bù [ ]a b, \ S T sẽ gồm hữu hạn hoặc đếm được các khoảng không giao nhau đôi một

Thật vậy, nếu S T = ∅ thì [ ]a b, \ S T= [ ]a b,

Nếu S T≠ ∅ và [ ]p q, là đoạn nhỏ nhất chứa S T thì

[ ]a b, \ S T=[ ] [ ]a p, ∪{ p q, \ S T}∪ [ ]q b,

Để ý rằng [ ]p q, \ S T hoặc là tập rỗng, hoặc là hợp của các khoảng không giao nhau đôi một (khi p = a thì [a p, )= ∅)

Trong phần bù của S T có thể có những khoảng không phải là khoảng mở, nếu xét một cách chặt chẽ thì khá phức tạp nên dưới đây ta vẫn kí hiệu các khoảng này là (a b n, n), mặc dù trên thực tế chúng có thể là (a b, ] hoặc [a b, )hoặc thậm chí là [a b, ] (nếu S = ∅)

Giả sử ta có hai tích phân T v1 à T 2 Nếu mọi hàm số T - 1 khả tích đều là hàm T - 2 khả tích

và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân T 2 tổng quát hơn T 1

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa

ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích T( [ ]a b, ) ) đều có thể xây dựng được một tích phân

*

T khác tổng quát hơn

Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới

Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ ]a b, vào lớp T a b*[ ], khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) Tập hợp S T= S T(f;[ ]a b, ) không trù mật khắp nơi trên [ ]a b, và hàm số f x( ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này

(Điều kiện này luôn thỏa mãn khi m S T = 0 và càng thỏa mãn khi S T = ∅ )

2) Nếu { [a b n, n] } là dãy các khoảng là phần bù của S T thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu

β

3) Nếu sup ( ) ( )

β

= < < <

n

W < + ∞

∑

(Điều kiện này đảm bảo các số W n đều hữu hạn)

Ta đi chứng minh họ T a b*[ ], là họ đúng

Giả sử f x( )∈T a b[ ], Khi đó S T(f;[ ]a b, )= ∅ và mọi hợp ∪[a b n, n] đều được đưa về một số hạng là [ ]a b, Do đó điều kiện 1) được thỏa mãn

Điều kiện 2) cũng thỏa mãn vì theo(2) ta có lim ( ) ( )

β

a

T f T f

nếu a< < < α β b, α →a, β →b

Cuối cùng điều kiện 3) cũng thỏa mãn đối với f x( ) vì chỉ có một số hữu hạn W

Vậy T( [ ]a b, )⊂T*( [ ]a b, ) và tất cả các lớp T*( [ ]a b, ) đều khác rỗng

Tiếp theo ta giả sử f x( )∈T*( [ ]a b, )v aà < <c b (Trường hợp c = a và c = b là hiển nhiên vì nếu f x( ) xác định tại x0 thì f x( ) sẽ chứa trong lớp T*( [x x0 , 0] ) cho dù f x( ) có T- khả tích tại x0 hay không)