các bất đẳng thức tích phân thuộc loại Ostrowski và các áp dụng của nó 4_2

luận văn trình bày một số dạng tổng quát của bất đẳng thức thuộc loại Ostrowski . Áp dụng các bất đẳng thức tìm được để nghiên cứu sự hộ tụ của công thức cầu phương tổng quát và đánh giá sai số trong một công thức tính tích phân số

';1],;1 rlrf)~(jI/"ff: lfell flldJ/ !mi (il,J!tortJki Trang 24

c HUONGIll

Stj HOI T{) eUA CONG THue

CA U PHUONG TONG QUA T

Ml;!Cdich cua cJllJ'ongnay la nhhm trtnh bay mOt s6 cac ap dl;!ng vao vi<$cnghien CUllst,t hOi tl;!cua cong th((c c~u phuong t5ng quat va danh gia cac sai s6 nay thong qua cac b§t d5ng th((c duQc phat tri~n d trong cac chuang trudc

Cho tJ.nr : a = X6nr)< x~nr) < < X~;'~)1< X~;') = b la mOtday cac phan ho~ch

cua do~n [a,b], va xet day cac cong th((c tich phan s6:

(3.1) Inr(f,f', ,f(II),tJ.III'wm)

III

= Iwjm)f(xjlll»)- I (-1)'

x[~{(X)'" -0- ~ w~""J+~"" -0- ~W;"") k.,"(xj"" J]

m

)=0

b

wjm)(j = O, "m)sao cho 1m(f,f', ,f(II) ,tJ.m, WIll) x§p xi tich phan ff(x)dx vdi

, a

mOt sai s6 duQc bi~u thj theo Ilf(II)IL

l>inh If 3.1:

Clzof: [a,b] ~ IR Lien tf:lCtren [a,h], saD chof<n-l) La lien tf:lCtUYft

d(/i (ren [a,bl Ne'u cac trQng c£1uplU{dng wjm)t/1(3adiiu ki~l1:

.[llrfl rMJ~fJIlute lid, jil/(ln loaf f);j{lo,ttJi,. Trang 25

(3.2)

I

X(m) - a <"\' w(m) < X (m) - a

./=0

Vi=O, ,m-l.

Khi eM fa co danh gid

(3.3)

h

[1I/(/,/', ,/(I1),611/'WII/)- ff(t)dt

a

II

[(11)

II '

I1+1

"+1

]

:::;' if) 'II a + :tw;m) - X~III) + x~::) - a - t w;m)

:::;IIJ(I1)L 'I1Vlilll)t'

(11+1)! i=O

11

[(11)

11

:::;' if) [v(h(III))J1(b-a),

(n + I)!

trong do [(II) E L [a b] v(h(m)= max {h(m) }h(m) =x(m)-x(m)

'" -' , i=O, m-1 I , I 1+1 I'

h

D(ic biet, ne'u

11 /(11)

11 < CXJ thE Jim 1 ([,/', ,/(11),6 ,w ) = fJ(t)dt

a

dJ u theo cae tron g. w(m). J

Chun,g minh:

I

Ta dinh nghTa day cae s6 thlfc ai(:?= a +Lw;m),

)=0

i = 0, , m.

m a(m)m+1=a + "\' w(m) = a + b - a = bL J .

)=0

Do giii thie't (3.2), ta co:

(m)

at+1 E X, ,Xi+1 Vi = 0, , m-1.

D)nh nghla at) =a va Hnh,

a (m) (m) - (m)

ai(:;)-a;m) =0+ Lw;m)-o- Lwt) =w;m),(i=o,,:.,m-l)

III+I III L , J L , Jill'

va do d6

"\'

( (m) - (1I1)

)r( (m) ) ="\' ,(111)

/( (m) )

Wlril rlrfJlrjjl"tr f;,.;'-AI,,;)/, 4x.!i fMiOftJi; Trang 26

va

m

I w;m)f(xj"'»)

)=0

III (-I) r

[I

m

{(

(m)

I)-I (m)

]

r

(

(m) t. (m)

]

r

f (r-I) ( ("'»

)1]

=lm(f,f', ,f(II),6.m'~Vm)'

Ap d~Jngba'"td~ng thuc (2.1) ta thu du<)cdanh gia (3.3),8

nieJng <)p 11P an O':lC a ell: ;"/11=Xi =a + 1 -' , (1 = 0, ,111)

111

va djnh nghla day cac cong th((c c~u phuong Hnh sf):

1",(1,; , ,f(n) ,6.111'w/11)

= fwt) Ja+}(b-a)

)

- I(-Ir

[

f

{(

}(b-a) IW~/11»

)

(}(b-a) - tw.~II1» )

r

}

fr-I)

(a+}(b a) ) l

Khi do ta thu du<)ch~ qua sau:

He qua 3.1:

ClIo f: [a,b] ~ IR lien t{lC tren [a,b], sao clIo fen-I) la lien t~lC tuy~t d/;'i tren [a,b] Ne'u cac trQng c6.u phl1ang w;/II)thoa diJu ki~n:

I' (/II) i+1 0 1

11j - , T - , ,111 ,

Khi de) ta C()danh gia:

h

1/11(f,f', ,f(II),6./II,w/ll)- ff(t)dt

a

Ilf(II) 11

[(

.

J

"+1

(

.

J

"+I

]

b-~

) + (i+l) (

b-a

)~twY")

~ Ilf(lI)I\"

(

~

)II+l, .

trong. eM fell) E L,,[a,b].

f/JriZ rl<fJld/lftr (kit flt4J1 (oqi (iM~o,t}t; Trang 27

h

Dgc bi~t, ne'll 11/(11)11",< co, thi J,~~ImC/,f', ,/(II), Wm)= Jf(t)dt d~u theo cae

It

trQng \I,~III).

Chung minh h~ qua (3.1) suy tn!c tie'p tu dinh 19

(3.1).-w

:1],;1 mfl'flI/If"'~.Jf('f, hf",n kx,; (if.)/;(J(t)/d Trang 28

CHUaNG 4

BA.T DANG THUC THUQC LO~I GRUSS

BJt d~ng thuc thuQc lo~i GrUss la bfft d~ng thuc tich phan chos\.f

lien h~ giC'(atkh phan cua mOt tich hai ham sf{va tich clIa cac tich phan

clla tung ham sf{.Trudc he"tta co bfft d~ng thuc sail:

Dinh If 4.1:

ClIo h, g [a,b]~ IR Ld /wi helm khd tfch saD cha r/Js hex) s CP

va y sg(x) s Tve!i 111Qi x E [a,b], r/J,</J,y, va r Lacae hang s6: Khi do,

ta c6

4

trong dr5

thi thay the' no bang mQt s6' khac n/1() /1(}n.

Vi~c chung minh bfft d~ng thuc nay duQc tlm thffy trong [7].

Trong nhi~u tai li~u [4, 5, 6, 11] va cac tai li~u tham khao trong do, thl

btlt d~ng thuc (4.1) g9i la btlt c1~ngthuc GrUss T6ng quat hdn, btlt d~ng

thuc GrUss c1uQcphat bi~u nhu sail:

Dinh If 4.2:

Chofvd g La/wi ham khd (ich tren [a,b] va y s g(x) s r wJinu/i xE[a,h] Khi dr5ta cd:

(4.3) IT(f,g~~ r; r (T(f,f))i,

.3M, d(f/~r; flute fff'/" I!./'rin !rxr( (!jdtt(J(~k( Tran&.J9

(rong de) T(f,f), T(f,g) dur;c xac dinh nhu (4.2).

[

ff2(X)dx -~

(ff(X)dx J

2

]

~ O.

Dinh 19 4.2 dfi dU<;1cchung minh bdi Malic, Pecaric, va Ujevic [8] va bfft d~ng th((c nay cho ta mQt danh gia t6t han b§t d~ng thuc cua Gruss (4.1)

Th~t v~y, gia sa h, g thoa cac gia thj.e"t,cua Dinh 19 4.1 Ap dl;1ng(4.3)

voif= g = h, ta co:

T(h,h) 5 <D-~ {T(h,h»)'I2,

2 hay

2

Ap d1,lng (4.3) mQt l~n nua cho h, g ta co:

2

va nhlfv~y ta co (4.1) nh(j vao (4.4) va (4.5)

Dinh ]9 sau day d1ja vao b§t d~ng thuc (4.3)

Dinh Ii 4.3:

Cho h : a= Xo < Xl < < Xk-l < Xk = b la mi)t phep chia cua dogn

[a,b], aj (i =0 , , k+l) la " k+2" diim saD cho ao =a, aj E[Xi-j,xd

(i= 1, ,k) va ak+l = b.

Gid 'Iiiding f :fa,b] -7 IR lien t~c tuy~t d6'i tren [a,b], saD cho

&;10 ham f(n) :(a,b) f IR tl1(3a m 5 f(n)(x) 5 M vdi lriQi X 'E( a,b) Khi db, ta

co bitt ddng tIU1C:

'$41 clJJI// (Ilfre ((elt Af,';n l(Ja; (iJ.)(;(Jf~'i

(4.6)

Trang 30

Jf(t)dt +I (- ~;/

a /=I)'

x[ ~{(/;-°.rf(j-')(X,.,)-(-I)J(~ +o,) f(j~I)(X,)}]

_

(fCn-')~) - jCn-I),(a) )~ ( ~

)

'I+I

[

IC;+1

(

28;

)r {1 + (-1)n+r}]

M-n

[

b- k-l

(

h

)

2IHI

[

2n+1

(

28.

)

r

]

(

I

1 k-I h n+1 1 r 2 "2

- (n+I)!t=.hc) [~c;.,(~~;J (1+(-l)"H)]] 1

trang a i - Xi+/ - Xi va Vi= ai+J- , 1= , , -

2

Chung minh :

Sa dl;}ng (4.2) va (4.3) nhan vaG bdi (b-a) va chQn h(t) = Kn,dt}nhu dinh

nghTabdi (1.2) va gO) =j(II)(t} , t E [a,b], saG cho:

I

(4.7) afKn,k(t)j(n)(t)dt- b~a fj(n) (t)dt fKn.k(t)dta a

2

]

.!.

~ ~m (b-a)fK,~.k(t)dt- fKn,k(t)dt , Bay gio ta danh gia

h

fjcn)(t)dt = jcn-I)(b) - j(I1-I)(a)

a

va

G1

h

= fKn,k (t)dt

a k-I Xi,l 1

=2:: J,(t-ai+l)"dt 1=0 x/ n.

1 k-I

= '" J (x - a ) n+l

(n+1)!to'~ i+1 i+1 - xi-ai+l)

1 k-I

= (11+ l)IL {cX;+l -ai+I)"+1 + (-1)" (a;+1_X)"+I }

",0 1 ,

.'1141 r1rf'~11//(h: Ifr/'-/l.!"l" 4m' (J.)6(J((':Jii Trang 31

Dung djnh nghTa cua hj va OJ, ta co:

xi+l-ai+I= u, va ai+l-xi=-+u,

{(

h

)

"+1

(

h'

)

,1+ 1

}

=(11+1)'i~o 2,L ! <'5, + (-I)" -: + 8,2

[~ C'~+I (-(ji r (hi

)"+I-r + (-1)" ~C~+1 «(j,r ( ~ )

11+1-r

]

= (-1)" ,I (hi

)

I1+'

[

~c~+,

(

2(ji

J r {1+(-l)"H} ]

.

(n + 1).i=() 2 r=() hi

h

= IK';.k (1)dt

a

=IX}(t -ai+I)2/1 dt

1 ~S ( )2/1+1

( )211+1}

= (2 1)( 1)2 ~ ~Xi+1 - ai+1 + ai+1 - Xi

11+ 11. ,~O

{(

hi

)

211+1

(

hi

.

)

211+1

}

(

/

)

211+1

[

211+1

(

2(j_

J

r

]

(2n + 1)(n,)2 t=u 2 ~ 2,HI hi { ( )}

Tv d~ng th(fc (1.1), ta co th€ vie't:

fK/I.k(1)/(11> (t)dt = (-1)" fl(t)dt + (-1)" I (- ~;j

[

k-I

]

j (j-I) j (j-I)

X t;{(Xi+1 -a'+I) / (X'+I)-(Xi -ai+l) I (xJ}

va tv ve' tnii cua (4.7), ta tho duQc:

= aIK/I.k (t)/(I1) (t)dt - b - a I/(I1)(1)dtI KI1.k a a (t)dt

G]

= (-1)" fl(t)dt + (-1)"I (-~r

x[~{('; -O.)'fU."(x",>-(-l)J(; +0,)' !U"(X,>}]

-( -1)"

)I ( !2

)

[~C';+I

(

2(ji

J

r {I+ (-I)"H }

]

(b-a)(I1+I). ,~() 2 r~O hi

flJal d;h'fl Illftr Ifrl!_/!/uiJ/ I(}(,; (!Job(}((ok,. Trang 32

sail khi thay v~lOG1.

Tli vS phai ClIa (4.7) ta thay v~lO G1 va O2 nhu v~y:

h

(

h

J

2

G~ =(b - a)fK,~,k(t)dt - fKlI,k (t)dt

b - a k-]

(

h

)

211+1

[

211+1

(

25

)

'

]

2

- ,I (-.!

2/S;

(n+l)o;=o 2 ,=0 hi

, IG11s 2 (G4)2,

va dinh 1y 4.3 du<;jcchung minh.8

He !1m'!4.1:

Cho of,h Wl ak du:qexae djnh nhu:trong djnh ly 4.3 va hdn nila ta djnh nghia

(4.9)

)" == - Xi+l + Xi

(, ai+1

2

wJi mQi i = 0, o ,k-l saG eho

1(5ils~min{hi:i=l, ,k} 2

Khi do heft dcing tluxe sau

II J=I J.

(4.8)

x[ ~ {(~W(: ~8, J fu>',(x,.,)-C~ +8, J fU"(xJ}]

(f

<II-')

(b)- f <II-')

(

)J

k

-III+I

(

h

)

"+I-'

j

- a ,,"C' /S' ! {I + (-1 )"+'

(b-a)(n+l)! ~~ 'HI i 2

M

[

b k-12,HI

211+1-,

]

- 2 (2n+l)(n!)2 t;~ 211+1 i 2 {() }

I

!2

)"+I-'{1+(-1)"H}J

2

]

2.

{!1M, eMJ/!!I/,,!', I(~/I(;J/ (oa; (!j.)/ifJrtJl; Trang 33

Chung minh dl(Qc suy tr~(c tie'"ptu (4.6) (j tren b~ng cach thay (4.8)

va lam mQt sf) it phep tinh don gian

Cho /)(1'tky phiin hog.ch h : a =Xo < Xl < < Xk-l < Xk =b cua dog.n

[a,bl, chQ/1 c5;=0 trong (4.8), ta co ba't dcing tluie:

(4.11) Iff(t)dt +~ ;!~(/~ r{(-I)' fC;-I)(X;+I)- jC;-I)(x;)}

-{I + (-1)" {j(II-I) (b) - j(II-I)(a»

)I (h;

)

"+1

Jl (17- a)(n + I)! ;=0 2

1 2

]

-<M-m 2(b-a) k-I ~ 211+1- {l+(-lr}k-I !i 11+1 2

- 2 [ (2"+1)("!)'t=,(2) (n +l)l t=J 2) )

Chung minh duQc trifc tie'"psuy tu (4.10)

Chu thich 4.1: Tnt/J/1g lu!p n ie, ta sur ta (4.11) rang

(4.12) Ifj(/)d' +t ;!~(~ r{r -1)1 ju-n {x,.,):" jU-" (x')1

1

~ (M -m)~

[I ( !i

)

211+1

]

2.

-fin! J2n + 1 ;=0 2

Tnt(lng lu!p n chcfn, ta suy tll (4.11) rang

J/(t)dt +t;!~(~Jk -1)1/(1" (x ,)- /(j~" (x,)j

-2

(

j(II-1) (b) - j(II-I) (a»

)I ( !i

)

/HI

(b - a)(n + I)! ;=0 2 (4.13)

He gml 4.3:

1 2

]

hogch d~u eua GOgHla,b], trong d6

(

b - a

)

Ek :x; =a+i k' i=O, ,k

'Mal rlrfJ~11/"f(" Ilr/' f/'/in Ime (iJdbf}rtJk" Trang 34

Khi do, ta co b5t d~ng thuc sau:

(

b

)

J

Jf(t)dl +L 1 ~

X~{(-IJJ fCH'(a + (i + IJib -aJ) - f(j~"(a + i(b~ aJ)}

- {I+ (-1)" (r(II-I) (b) - /(11-1)(a)

J

k

(

b - a

)

/H1

Jl (b - a)(n + I)! 2k

k

(

b-a )

II+1

n!-J2n+l 2k

(

b - a

)

m