luận văn trình bày một số dạng tổng quát của bất đẳng thức thuộc loại Ostrowski . Áp dụng các bất đẳng thức tìm được để nghiên cứu sự hộ tụ của công thức cầu phương tổng quát và đánh giá sai số trong một công thức tính tích phân số
Trang 1mal rlril~? t/uh: {kit jt!lfin kJqi (lJ;j!,t{Jft)ki Trao g 17
CHUaNG II
cAc BAT DANG THUC TICH PHAN
Trong chuang nay, chung toi mu6n sa d\:1l1gcac d~ng thuc tkh philo trlnh bay d chlfc1ng1 dS pluit triSn cac ba't d~ng thuc tich philo biSu di~n thee gia trj ham va cac d£.loham cua no t£.limOt sO'diSm trong cae khoang tuang ling Ke"t qua trong ph§n nay cho phep Om l1;1icac b§t d~ng thuc thuQc 101;1iOstrowski va cac b§t d~ng thuc lien quan khac
Dinh If:2.1
Cho h : a= Xo < Xl < < Xk-l < Xk =: b la mQf phep phan hot;Lch
a; E [x;-px,] 0= 1, ,k) va crk+l =b Ne'u /: [a,b]~ IR co d(Io hilm de'n clip n-1 vil /(11-1) lien f(lc fuy~f d(Ii f(Ii \Ix; E [a,b] saD cho /(11)E L",[a,b].
Khi de; fa co bitt dang t/ulc:
(2.1) Iff(i)d' +t ()i [t(x, -a.)' - (x, -a", Ylf(JI)(X,)]
11
/(11)
11
k I
< '" ~ i( - )'1+1 +( -. )II+I }
- ~ ~a;+1 x, X;+1 a,+1 (n + 1)! ;=0
Il f(I1)
11
k-I
~ '" Lh;,+1
Il l(I1)
11
~ '" (b - a)\I" (h),
(n + 1)!
trang do 11/(11)11= ess supl/(I1)(t)/, hi =X;+I-x" v(h) = maxh, ,
(2.2)
Chung minh:
Tli h~ qua 1.1, ta co thS vie"t :
fJV)dl +~(-;r [~(ex,-a,)' -(x, -a", Jl}f(J-"(X,)]
h
= I(-1)" J K,:,k(t)/(I1) (t)dt
II
va
Trang 2tlMr drt,,!/- (/uh' (fr,/' fi/'dn ( )(U'(fJ;i!;()rtlk" Tran~t8.
(-dr J KIIJ (1)/(11) (I)dl ::;11.r(II)II~~KII.k (1)1dt.
M~t khac
(2.4 )
h
flKlI,k (t)~t
.
-,
[
cr'
f
'
.
"(t-a.)" Xi+! (t- )11
]
1=0, , n! cr" I n'
1 k-I
~
(n+I)!t; (a'+1-xJ + (Xi+1-a;+J }
va nhti v~y
(2,5)
h
Il f(II)
11
k I
(- KII,k t , t t S; ,~ ~ai+1- X; + Xi+'- a'+1 J .
V~y, tu (2.2) - (2.5), phfin th(( nhitt cua bitt dang tht1'c(2.1) dti<;1Ccht1'ng
minh,
Sa dt,lng bilt dftng thuc
(2.6) (A- Bt+1 + (C - At+1 ::;(C - B t+1, ne'u 0 < B < A < C,
ta tho dti<jc cac ba't dang tht1'tht1'hai va thu ba cua (2.1) nhti sau:
11 /(11)
II
k-I
II (11)
11
k-I
00 "~ (a - X )"+1 +(x- a. )/HI } S; , 00 v" (h)"h
( l)'~~ 1+1 1 1+1 1+1,
( 1)' ~ 1
11
(11)
11
=' 00 (b-a)v"(h),
(n + 1)!
voi v(h) = max{hJ i = O, ,k-1} va khi d6 bitt dang {huc thu ba clla (2.1)
dung Do d6 dinh 1:92.1 dti<;1cchang minh hoan titt
Chti thich 2.1
Tli ba't d5ng th((c th(( nha't cua (2.1) ta c6 th€ Hm l~i bfft d5ng thuc
Ostrowski (0.1) Thlfc v~y ta tig'n hanh mQt s6 btioc nhti sau:
Tn(oc he't ta vie't l~i bfft d5ng th((c thu nhfft cua (2.1) voi n= k =1,
n = k = 1,Xo - ao = a ::;al = x ::;XI = a2 = b
nhti sall:
Trang 3:1Jdl diml.>(Iu": (kit .1'/,,/11 (()(Ji fMiOftJii Trang 19
(2.7) Iff(t)dt-((Xo -ao)-(xo -a,))f(xo)-((x) -a))-(x) -a2))f(xt)
(/
hay
(2.8) Iff(t)dt a - (x - (I)f«(I) - (b - X)f(b)1 ~ ~11f'IIJ(x - a)2 + (b - x)2 ]
Th~t fa ta cling co th6 tlm l'.li hilt dAng thti'c (2,8) tit (0.2) vdi n =1
Trang (2.8) ta Itly x=b, ta dt(Qc
(2.9) Iff(t)dt(/ - (b- (I)f(a)1 ~ ~11f'1100 (b - a)2.
Trang (2.8) ta lay x=a, ta dU<;fC
(2.10) Iff(t)dt -(b-a)/(b){f ~21If'lt.,cb-a)2..
Ap d~lfig(2.9) cho a = x
IJ,/(t)dl - (h - x)f(x) ~ -~esssllPII.l'(t)II(b - X)2
~ ~1If'lIoo(b - x)2.
Ap dt:lfig(2.10) cho b = x,
Xl'
f/(t)dt - (x - a)f(x) ~ -ess supllf'(t)ll(x - a)2
1
~ '211/'1100 (x - a)2.
(2.11 )
(2.12)
Dung btlt dAng thac tam gicic va ke"th<;fpvdi (2.11) va (2.12) ta duQc
Trang 4fiJal drbl4 tlui'~ Itclt Itlwt v . Ioai (/}aIiouMd Trang 20
b
fJ(t)dt - (b - a)J(x)
a
= IfJ(t)dt - (x - a)J(x) + fJ(t)dt - (b - x)J(x)
(2.13) ~ 'fJ(t)dt - (x~ a)J(x)1+ IjJ(t)dt - (b - x)J(x)
~ 2111'Iloo(x - a)2 + 2111'1100 (b - X)2
[
2 + b2
)
=111'IlooX2 -(a+b)x+ a 2
=II/1I.[(x- a~b)' +(b~a)')l
d'
) 2
Do 0
I
!_-b-a J(x) ~ (b-aJI[('ll. (b-a)' ,4
Day la ba't d~ng thuc Ostrowski.
Khi cac di~m chia Xicua Ik la c6 dinh, ta thu du'<Jcba't d~ng thuc sail:
He qua 2.1:
Cho ham j: [a,b]-+ IR co dflO ham den cap n-1 va J<n-l)lien t1:lC tuy?t dOl tren [a,b] sao cho j<n)ELoo[a,b] va h dU:(Jc xac dinh nhu:trong H? qua 1.2 Khi do ta co:
(2.14)
!J(t)dt +~ ~}j;[~{-hl+ (-l)j hl+l}JU-l)(XJ]
~ IIt<n)IL Ih~+I.
(n + 1)!2n ;=0 I
Chung minh:
Tli h~ qua 1.2, ta ch9n cac di~m ai (i=0, ,k+1) nhu'sau :
Trang 5/iJdl r/dJlf/ t/lff<:licit Jiltd41 !rJai ([J.1tWf,:}/.-i Trang21
Bay gio sti' d1,lng ba't d~ng th((c thu nha't cua (2.1), ta dt«;1c:
(
h
)
'1+1
~{(ai+l-xl)"+1 +(xi+l-ai+I)"+I}= ~2 i
va do d6 ba't d~ng thuc (2.14) du<;1cchung minh xong.8
Truong h<;1pta la'y cac di~m chia Xi cua Ik cach d~u, ta thu du<;1cbtt d~ng
thuc:
He gmi 2.2:
Cho /: [a,b] -} 1R co d(lo hilll1 din cap n-1 va /(11-1)lien tl;lc tUYft
dc/i tren [a,b] va h dll(/Cxac dinh b(fi (1.14) Khi do ta co:
(2.15) h 11
(
b
)
[
k-I
]
-~ 11/(I1)t
Ill) (n+l)!(2k
)" (b-a)"+1
E Lw [a,b].
V(ji
Chung minh:
Sti' d\:mg (1.15 ) va tli' (2.1), ta chu yding:
ho =XI-XO =-, hi =Xi+l-Xi =~, i=l, ,k-l
ma tli' day ta suy tli'd~ng thuc (2.15)
Ba't d~ng thuc sau day cho khai.tri~n gi6ng Taylor cling dung.
He gmi 2.3:
Cho g :[a,y] ~ IR co d(lo ham din cap n va g(n) lien tl;lc tuYff d()'i
Khi do, VXjE [a,y], fa co ba't acing LIlac:
Trang 6, {J;J,;,1drfu;ftJ/utf' (kit /i/uJn t'Jai (iM/~()(rI)l.:i
(2.16)
trong do
Tran~~2
g(y) - g(a) +~ (-;n~{ex; - a;)' - (x; - aHI)' jg<1)(X;)]
II (11+1)11
~ g CO~{(ai+l-Xir+1+(Xi+l-ai+lr+I},
(n + I)! i=O Ilg(lI+l)IL = esssup!g(II+I)(t)! < 00, va g(I1+I)E L",[a,y].
fE[a,y]
Chung n1inh:
Suy tnjc tie'p tu (1.18) va sa dl,lng(2.1).8
Khi cac di€m chia Xicua h la c6 dinh, ta thu duQc ba't d~ng thuc sail :
He qua 2.4:
Cho g :[a,y] ~ IR co dc;lOham din c~p n va g(n) lien tl:fCtuy~t d6'i
[a,y] Khi do ta co bd't acing thac:
11 (-IY
[
k
]
g(y)-g(a)+ f; 2Jj! t;{-h/ +(-IYhi~l}g(j)(x;)
II
(11+1)
11
k 1
~ g 00 ~ h"+I g (I1+1) E L [a y].
(n +1)1.2" ~1=0 1 , 00 , (2.17)
Chung minh:
Suy tn,ic tie'p tu (2.14).8
TruCfng hQp ta la'y cac di€m chia Xicua Ik cach dSu, ta thu duQc h~ qua sail:
He qua 2.5:
11
[
k-l
]
(2.18) Ig(y)-g(a)+ I y-a 1-g(f)(a)+ I{c~I)J -l}g(f)(x;) + (-l)ig(f)(y)
-Il g(I1+I)
11
< '" ( )"+1
- (n+I)!(2k)" y-a ,
Trang 7':JiM, rld'J/f/j/'rh'-1!i'/1Jl/uln lord fJ;jt~()(4ki Tran~11
A' (11+1)
L [ ]
neu g E if) a,y .
Chung minh:
Ch((ng minh cua (2.18) du'<Jcsuy tn!c tiSp tu (215)f = g' va b = y.11
OJ