Tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGÔ THỊ SINH

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGÔ THỊ SINH

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội – Năm 2015

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM 4

1.1 Định nghĩa nguyên hàm 4

1.2 Các tính chất của nguyên hàm 4

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số 5

1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 5

1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp 5

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ 6

1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần 13

1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức 16

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác 22

1.5 Bài tập tự luyện 34

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 35

2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35

2.2 Điều kiện khả tích 35

2.3 Tính chất của tích phân xác định 35

2.4 Công thức Newton – Leipnitz 36

2.5 Ứng dụng 36

2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz 36

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 39

2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay 50

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng 55

2.6 Bài tập tự luyện 58

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN KHÁC 60

3.1 Tìm giới hạn bằng tích phân 60

3.1.1 Đặt vấn đề 60

3.1.2 Một số ví dụ minh họa 60

3.2 Bất đẳng thức tích phân 63

3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân 63

3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng 66

3.2.3 Định lý về giá trị trung bình 74

3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 76

3.2.5 Tìm cực trị bằng phương pháp tích phân 80

3.3 Tính tổng 84

3.3.1 Lý thuyết 84

3.3.2 Một số ví dụ minh họa 85

3.4 Bài tập tự luyện 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy

cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi

có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này

Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là

PGS TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về

nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Sinh

MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình

và số." Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Môn Toán

được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về

các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng

Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…

Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Nguyên hàm

Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2

Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng

Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong

việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy

Chương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

a Giả sử hàm y f x  liên tục trên khoảng a;b Khi đó hàm số yF x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số y f x  khi và chỉ khi

F' x  f x ,  x a b; 

b Nếu yF x là một nguyên hàm của hàm số y f x thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y f x  là tập IF x c c, R và tập này còn được ký hiệu là: I f x dx  F x c

1.2 Các tính chất của nguyên hàm

a Nếu y f x  là hàm số có nguyên hàm thì

 

  f x dx'  f x ; d  f x dx   f x dx 

b Nếu F x  có đạo hàm thì d F x   F x c

c Phép cộng Nếu f x và g x  có nguyên hàm thì  f x dx  g x dx  f x g x dx

d Phép trừ Nếu f x và g x  có nguyên hàm thì  f x dx  g x dx  f x g x dx

e Phép nhân với một hẳng số khác 0

    , 0

kf x dxk f x dx  k

f Công thức đổi biến số Cho y f u  và ug x .Nếu  f x dx  F x c thì

 

  '     

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số

0dxC; dx x c

a x  a a 



   

1

1

1

ax b

a















1 ln 2

c





ln

a

 1

ax b ax b

e dx e c

a

 

a





1 ln

a





a

a



 

a









2

2 ln

dx



tan



1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp

a Phương pháp

Sử dụng biến đổi f ' x dx d f x   

Ví dụ: adxd ax b  ;   1  2 

2 2

ax b dx  d ax  bx c

sin x dx dcosx; cos x dxdsinx

b Một số ví dụ

Ví dụ 1.1.1 ([1])

2 3

dx



Ví dụ 1.1.2 ([1])

   2 

2



Ví dụ 1.1.3 ([1])

 

4

sin cos cos cos

4

x

I x xdx  xd x   c

Ví dụ 1.1.4 ([1])

 

5

cos sin sin sin

5

x

I x xdx xd x  c

Ví dụ 1.1.5

e d x  dx e x x c

Ví dụ 1.1.6

2

tan 2

ln tan

x d

x

Ví dụ 1.1.7

cos

I

x

2

tan

ln tan

x d

c







Ví dụ 1.1.8

3 2

1 tan tan tan

I x d x x c

x x x

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ

a Các định nghĩa

 Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng  

 

P x

Q x với P x Q x ,   là các đa thức với các hệ số thực

 Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ  

 

P x

Q x với degP x  degQ x 

 Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:

2

 Định lý tổng quát về phân tích đa thức Mọi đa thức Q x   0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức   0, tức là ta có

   1    2  1  2 

1 n n k 1 1 m m s

trong đó: A 0; , ,a1 a klà các nghiệm thực phân biệt của Q x ; p i, qilà các

số thực thỏa mãn

b Phương pháp tính

 Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản:

+ I dx ln x a c

x a









+

    1  

1

1 1

dx



2

Bx C

 

2

2

2 2 2

1

C





Bx C











 

2

1

2

=

2

2 1

C



Đặt

2

=

4

p

d x

J

x



Với

2

4

; a=

p

t x  , ta sẽ tính

dt J





 theo 2 cách sau đây: Cách 1 ( Phương pháp lượng giác)

Đặt

2 2

1 cos

m

ad ad

a a







Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác

Cách 2 ( Phương pháp tích phân từng phần)

1

1

2

2 2 m

t dt J





 Đặt u t dudt

và

2 2 2 2

1

.

m

tdt

m







Vậy thay vào ta có

    1 2 1

m





 Nguyên hàm hàm phân thức  

 

P x

Q x với degP x  degQ x  và

   1    2  1  2 

1 n n k 1 1 m m s

 

1 1

1

11

11 11

k k

s

n k

A A

B x C



c Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.1 ([4])

2

3 2

2

x x

I dx

x x x

 



 



Ta có Q x x x  1x 2

Giả sử  

 

2

3 2

,

x

        

2

Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định)

 *  2x2  5x  3 A B C x   2 A 2B C x   2 ,A x

Do đó

   

Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt) Thay x 0 vào  * suy ra: 2A  3 A 3 / 2

Thay x 1 vào  * suy ra: 3B   6 B  2 Thay x  2 vào  * suy ra: 6C  15 C 5 / 2

   

Ví dụ 1.2.2 ([4])

Tính

3

4 2

2

x

I dx

x x







10

Ta có Q x   x 1x 1x 2x 2

 

 

3

4 2

2

,

x



x3   2 A x 2  4 x 1B x 2  1 x 2C x 2  4 x 1 Dx2  1 x 2 , x *

Thay x 1 vào  * suy ra:  6A  3 A  1 / 2

Thay x 2 vào  * suy ra: 12B 10 B 5 / 6 Thay x  1 vào  * suy ra: 6C   1 C  1 / 6

Thay x  2 vào  * suy ra:  12D   6 D 1 / 2

Ví dụ 1.2.3 ([4])

Tính

2 3

3 2

x x

I dx

x x

 



 



Q x x  x  x x

Giả sử  

2

2 3

,

x

      2 2  

A x B x x C x x x x

Thay x 1 vào  * suy ra: 3A  9 A 3

Thay x  2 vào  * suy ra: 9C  9 C 1 Thay x 0 vào  * suy ra: 3  2A 2BCB 2

 

2

2 3

x x dx dx dx

x x x x x x

Ví dụ 1.2.4 ([4])

Tính

x







11

Ta có  

   2 2  2  2

,

x



x



x x c

x x

Ví dụ 1.2.5 ([4])

4 2

1 1

x







Q x x x   x  x x  x

Giả sử  

 

2

1

,

x

       

0

1

2



x

c

12

Ví dụ 1.2.6 ([4])

Tính

2

2 2

x







Giả sử  

     

2

,

x

       

2x 18 Bx C Dx E x 6x 13 , x *

 

 

 

2

2

2

I

x

x



Xét

 2 2  2 2

4

M

t x

d

t dt  t

4

cos

t









2

Ví dụ 1.2.7 ([4])

Tính

   

2

2 2





Giả sử  

         

2

,

x

13

     

2

2

2

2

x

Xét

1

dx M

x





cos

d

x dx d 



2

2

2

x



Do đó

=

I



2 2

2

x

1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần

a Công thức tính nguyên hàm từng phần

Giả sử uu x v ; v x  có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:

14

Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác

nhau

Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong

nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm)

Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên

hàm vdu đơn giản hơn nguyên hàm udv

b Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u, dv

 .sin 

P x ax b dx

 .cos 

 .max b

P x  dx

 .logm 

 .ar sin 

P x c ax b dx

 .arctan 

P x ax b dx

 

x sin logk a x dx

 

a x dx

 

sin

ax b

m  x  dx



 

cos

ax b



 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.1 ([1])

1

A x cosxdx Cách làm chậm: Đặt

3 sin



Khi đó ta có

15

A x  x xdx Đặt

cos

s inx





 



Khi đó ta có



Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng P x L x dx    udv

 

1

Ví dụ 1.3.2 ([3])

Tính 3 5 1

2

x

A x e dx

Ta có 3 5 1 3  5 1 3 5 1 5 1  3

2

1 3 5 1 2 5 1 1 3 5 1 3 2  5 1

3

1 3 5 1 3 2 5 1 5 1  2 1 3 5 1 3 2 5 1 6 5 1

3 5 1 2 5 1 5 1

3 5 1 2 5 1 5 1 5 1



Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần

Ví dụ 1.3.3 ([1])

Tính A3xsin xdx

Đặt t xt2 x2tdtdx

Ta có

16

6t d sint  6 sint t 6 sin td t  6 sint t 12tsintdt 6 sint t 12td cost

 3

2

Ví dụ 1.3.4 ([1])

4 cos

2 2

4

x

 

2

sin 2 x cos 2 x c

x x

Ví dụ 1.3.5 ([3])

5

2

1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức

a Nguyên hàm dạng m np

Ix a bx dx với m, n, p hữu tỉ

 Nếu pZ thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m, n Khi đó đặt xt k

 Nếu m 1 Z

n



 thì gọi s là mẫu số của p và đặt a bx n t s

 Nếu m 1 p Z

n



  thì gọi s là mẫu số của p và đặt

n s n

a bx

t x



