Một số đồng nhất thức của số fibonacci và ứng dụng

Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction... 1.5.ăăCỌNGăTH CăT NGăQUÁTăC AăS ăFIBONACCI.ă 1.5.1ăT ăs ăvàng.. Côngăth căt ngăquátăc aăs ăFibonacci... S ăL NGăCÁCăT PăH PăSINHăC AăSn

B GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

B GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

1

L I C M N

Lu n v n này đ c th c hi n t i Tr ng i h c Th ng Long d i s

h ng d n và ch b o t n tình c a PGS-TS V Th Khôi - Vi n Toán H c Nhân d p này, tác gi xin đ c bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y h ng

d n

Tác gi xin trân tr ng c m n t i các Th y Cô giáo trong Tr ng i

H cTh ng Long đã giúp đ , gi ng d y và t o đi u ki n cho tôi trong quá trình

h c t p t i l p Cao H c Toán khóa 3 Tác gi xin bày t l i c m n t i Ban

ch nhi m Khoa đào t o Sau đ i h c, Khoa Toán đã t o đi u ki n cho tôi trong th i gian h c t p t i tr ng

Tác gi xin trân tr ng c m n t i S Giáo d c - ào t o Hà N i Ban Giám hi u, các đ ng nghi p Tr ng THPT Cao Bá Quát Qu c Oai đã t o

đi u ki n cho tôi tham gia h c t p và hoàn thành khóa h c

Tác gi xin c m n t i b n bè, t p th l p Cao H c Toán khóa 3 tr ng

i h c Th ng Long Hà N i, đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p

v a qua

Tuy nhiên, do s hi u bi t c a b n thân, nên trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong nh n đ c s ch b o và đóng góp Ủ ki n c a quỦ Th y Cô và b n bè đ ng nghi p

Hà N i, ngày… tháng… n m 2016

Tác gi

Th H ng

M C L C

M t s kỦ hi u 3

M U 4

CH NGă1:ăGI I THI U 7

1.1 TI U S NHÀ TOÁN H C FIBONACCI 7

1.2 BÀI TOÁN CÁC C P TH 9

1.3 NH NGH A TRUY H I 12

1.4 S FIBONACCI V I CH S ỂM 14

1.5 CỌNG TH C T NG QUÁT C A S FIBONACCI 16

1.5.1 T s vàng 16

1.5.2 Công th c t ng quát c a s Fibonacci 16

1.6 M T S NG NH T TH C C A S FIBONACCI 18

CH NGă2.ăM T S NG D NG C A S FIBONACCI 26

2.1 T P CON C A Sn KHỌNG CH A HAI S NGUYểN LIểN TI P 26

2.2: S L NG CÁC T P H P SINH C A Sn 1 28

2.3: CHU I NH PHỂN DÀI n KHỌNG Cị HAI S 1 LIểN TI P 30

2.4: S L NG CÁC HOÁN V C A Sn 31

2.5: S L NG CÁC T P CON LUỂN PHIểN C A Sn 33

2.6 S L NG CÁC T P CON BÉO C A Sn 34

2.7 T P CON A C A SnCị PH N T NH NH T B NG A 36

CH NGă3:ăM T S BĨIăT PăÁPăD NG 38

K T LU N 58

TĨIăLI U THAM KH O 59

M U

1 Lý do ch n đ tài lu n v n

S Fibonacci n m trong ch ng trình toán trung h c ph thông, d dàng

d y cho h c sinh hi u đ c các s Fibonacci có r t nhi u tính ch t đ i s và

s h c đ p đ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci có vai trò quan tr ng trong ki n th c c a th c ti n nói riêng, có ng d ng trong các bài toán dãy

s - t h p, có ng d ng trong th c t : toán kinh t ầ Do đó vi c n m v ng

v n đ này là n i dung quan tr ng đ i v i vi c h c c a h c sinh và vi c d y

c a giáo viên trung h c ph thông

Tr c Fibonacci, đã có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci ắm t ph n là

t Pingala (200 BC), sau đó đ c k t h p v i Virahanka (kho ng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)Ằ Sau Fibonacci, còn có r t nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci nh : Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), và r t nhi u tính ch t c a dãy s trên đã đ c mang tên các nhà Khoa h c này Hi n nay, tài li u b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci, cùng

v i các tính ch t, ng d ng ch a có nhi u và còn t n m n

Vì v y, vi c tìm hi u sâu và gi i thi u dãy Fibonacci v i các tính ch t

và ng d ng là r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c và s hi u

bi t c a con ng i C n c vào nh ng lí do trên nên tôi ch n đ tài:

“ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci và ng d ng”

B n lu n v n ắ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci và ng d ngẰ đ c

ti n hành vào cu i n m 2015 ch y u d a trên tài li u tham kh o:

5

Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012

2 M c đích c a đ tài lu n v n

H c t p, gi i thi u và tìm hi u l ch s c a nhà khoa h c Fibonacci, m t

s đ ng nh t th c c a s Fibonacci, dãy Fibonacci cùng v i các tính ch t c

b n, các tính ch t s h c c ng nh các tính ch t liên h gi a chúng c bi t, giúp m i ng i n m đ c nh ng ng d ng quan tr ng và s xu t hi n đa

d ng c a dãy Fibonacci trong bài t p

+ Phát tri n kh n ng t duy logic, phân tích các bài toán s d ng dãy

Trong ch ng này, trình bày ti u s c a nhà toán h c Fibonacci Bài

toán các c p th nh ngh a truy h i c a dãy Fibonacci, m t s tính ch t s

h c c a dãy Fibonacci, công th c t ng quát c a s Fibonacci M t s đ ng

nh t th c c a s Fibonacci Khác v i nhi u tài li u tham kh o, b n lu n v n này gi i thi u cách ch ng minh đ n gi n

Ch ng 2 M t s ng d ng c a s Fibonacci

Trong ch ng này, trình bày m i liên h c a dãy Fibonacci v i toán

h c S xu t hi n c a dãy Fibonacci trong m t s ví d ng d ng quan tr ng

Ch ng 3 M t s bài t p áp d ng

Trong ch ng này, trình bày m t s bài t p d ng ch ng minh các đ ng th c,

đ ng nh t th c c a s Fibonacci Các bài t p d ng dãy s c n áp d ng các

ki n th c c a dãy s Fibonacci đã đ c trình bày ch ng 1 và ch ng 2

K t lu n và tài li u tham kh o

7

Trong ch ng này trình bày ti u s nhà toán h c Fibonacci, bài toán các c p th , đ nh ngh a truy h i, m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci d a trên tài li u tham kh o [1], [3], [4]

1.1 TI U S ăNHĨăTOÁNăH CăFIBONACCI

Leonardo Pisano Bogollo sinh ra vào nh ng

n m 1170 (kho ng 1170 ậ1240) Ọng còn đ c bi t

đ n v i tên Leonardo c a Pisa, hay ph bi n nh t

d i cái tên Fibonacci Ọng là m t nhà toán h c

ng i ụ và ông đ c m t s ng i xem là ắnhà

toán h c tài ba nh t th i Trung C Ằ Fibonacci n i

ti ng trong th gi i hi n đ i vì có công truy n bá h

th ng s Hindu - R p châu Ểu, và đ c bi t là dãy s hi n đ i mang tên ông Dãy Fibonacci trong cu n Sách Liber Abaci - Sách v Toán đ n m

1202

c sinh ra trong gia đình nhà Bonacci Pisa, Leonardo c a Pisa là con c a th ng gia phát đ t Guglielmo, ông đã h ng con trai ông theo nghi p c a mình Vì v y, khi Guglielmo đ c b nhi m là ng i thu h i quan

c a thành ph Algerian Bugia (nay là Bejaia), vào kho ng n m 1190, ông mang Leonardo theo mình ó là n i chàng trai tr h c v i m t th y giáo

ng i H i giáo Th y giáo đó đã gi i thi u ông đ n v i h th ng s Arabic, cùng v i các ph ng pháp tính toán Hindu- Arabic Sau đó, ông l i

Hindu-ti p t c cu c s ng c a mình v i ngh buôn bán kinh doanh Leonardo tìm

th y chính mình khi đ n các n c Constantinople, Ai C p, Pháp, Hy L p, Rome và Syria ó là nh ng n i ông ti p t c nghiên c u các h th ng s h c

khác nhau mà sau đó đ c s d ng Vì v y, Ọng nh n đ c s chào đón nhi t tình khi tr v quê h ng Pisa vào kho ng nh ng n m 1200 Leonardo a thích và ng h s đ n gi n, tao nhã, và tính th c ti n c a h th ng s La Mã

c bi t, khi so sánh l i ích th c t c a h th ng ch s Hindu-Arabic, cùng

v i h th ng ch s La Mã sau đó đ c s d ng ụ K t qu là, tính đ n th i

đi m ông qua đ i vào kho ng n m 1240, nhà buôn ng i ụ b t đ u nh n ra giá tr c a h th ng ch s Hindu ậArabic, và d n d n b t đ u s d ng nó cho các giao d ch kinh doanh n cu i th k th m i sáu, h u h t các qu c gia châu Ểu đã đi u ch nh theo h th ng này

N m 1202, Leonardo công b ki t tác đ u tiên c a mình, cu n Liber Abaci ( Cu n sách v Tính Toán hay cu n sách v Bàn Tính) Trong đó ông

đã gi i thi u h th ng ch s Hindu-Arabic và các thu t toán s h c v i l c

đ a châu Ểu Leonardo b t đ u công vi c c a mình v i s ra đ i c a các ch

s Hindu-Arabic: Chín con s Hindu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cùng v i con s 0,

mà ng i R p g i là "Zephirum" (m t mã) Sau đó, ông gi i quy t bài toán, giá tr c a m t h th ng ch s các s nguyên Giá tr đó ph thu c vào v trí

c a các tr s đ c s p x p trong h th ng s nguyên đó Cùng v i s phát tri n c a cu n sách, nhi u bài toán đ c gi i quy t, bao g m c m t lo t các

h ph ng trình tuy n tính xác đ nh và không xác đ nh có h n hai n, và bài toán khác là s hoàn thi n (có ngh a là, m t s nguyên d ng có giá tr b ng

t ng các giá tr c a t t c các c c a nó mà nh h n nó, ví d , 6 = 1 + 2 + 3

và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) Kín đáo gi u gi a hai v n đ này là m t bài toán

mà r t nhi u h c sinh và giáo viên toán bi t, bài toán n i ti ng "Bài toán các

c p Th "

Tr c khi ti p t c v i bài toán này, hãy đ chúng tôi gi i thi u thêm

nh ng thành t u c a Leonardo là: Khi Leonardo đ c bi t t i do cu n sách

9

Liber Abaci, ông y c ng công b ba tác ph m n i ti ng khác Cu n Practica Geometry (Hình h c Th c hành) đ c vi t vào n m 1220 The Flos (Flower

or Blossom) đ c công b n m 1225, và cu n Liber Quadratorum (Cu n sách

vi t v S chính ph ng) Tác ph m sau này giúp Leonardo đ c bi t đ n

nh nhà lỦ thuy t s n i ti ng

1.2 B ĨIăTOÁNăCÁCăC PăTH

Bây gi quay tr l i bài toán n i ti ng " Bài toán các c p Th ", Leonardo gi i thi u bài toán có m t c p th s sinh ậ m t con đ c, m t con cái Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đ c lỦ t ng hóa, gi

đ nh r ng: m t c p th m i sinh, m t đ c, m t cái trong m t cánh đ ng Chúng ta quan tâm t i vi c xác đ nh s c p th có th đ c nhân gi ng (bao

g m c c p ban đ u) trong m t n m n u:

(1) M i c p m i sinh, m t đ c và m t cái, phát tri n đ n tr ng thành và sau đó b t đ u sinh s n;

(2) B t đ u đ c hai tháng tu i, m i tháng sau đó, m t c p tr ng thành

s sinh s n đ c m t c p th (s sinh), g m m t đ c và m t cái;

(3) Không có th ch t trong giai đo n m t n m đó

N u chúng ta b t đ u ki m tra tình hình này vào ngày đ u tiên c a n m Câu

đ mà Fibonacci đ t ra là: Trong m t n m có bao nhiêu c p th ?, chúng ta s tìm ra k t qu mô ph ng sau,

H 1

Chúng ta c n nh r ng vào cu i m i tháng, m t c p m i sinh (sinh ra vào

đ u tháng) phát tri n đ n tr ng thành, không ph thu c vào s ngày c a tháng đó i u này cho ta s c p tr ng thành m i b ng t ng s c p tr ng thành tr c c ng thêm s c p m i sinh tr c đó Nh v y,

Vào cu i tháng th hai, m t c p tr ng thành bây gi sinh s n vào đ u m i tháng sau t o ra m t c p th m i, vì v y bây gi có 1 + 1 = 2 (c p)

Vào cu i tháng th ba, m t c p tr ng thành bây gi sinh s n vào đ u m i tháng sau t o ra m t c p th n a, ta có s l ng các c p th lúc này là 2 + 1 =

3 (c p)

Và vào cu i tháng th t , m i c p tr ng thành bây gi sinh s n vào đ u

m i tháng sau thêm m t c p m i, ta có s l ng các c p th lúc này là 3 + 2 =

5 (c p)

C nh v y, m i c p tr ng thành sinh ra m t c p s sinh vào đ u tháng sau Do đó s c p th s sinh đ i v i b t k tháng nào đ u b ng s c p

Vào cu i tháng th n, s l ng các c p th b ng s l ng các c p th trong tháng n2, c ng v i s l ng các c p th trong tháng n1 ây là

s Fibonacci th n n 3

Trình t s l ng các c p th này g m các s c th là 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, - c g i là dãy Fibonacci Tên Fibonacci là s k t h p

c a Filius Bonaccii, theo ti ng Latin cho "con trai c a Bonaccio," và tên Fibonacci đã đ c đ t cho các dãy s vào tháng N m n m 1876 b i nhà lỦ thuy t n i ti ng ng i Pháp François Edouard Anatole Lucas (phát âm là Lucah) (1842-1891) Trong th c t , Leonardo không ph i là ng i đ u tiên

mô t dãy s , nh ng ông đã xu t b n nó trong cu n sách Liber Abaci, chính

cu n sách này đã gi i thi u dãy s Fibonacci đ n v i ph ng Tây

Dãy s Fibonacci đã đ c ch ng minh là m t trong nh ng dãy s thú

v , và ph bi n nh t trong c b môn toán Th t không nh mong đ i, t khi

nh ng con s này xu t hi n đ n nay, có quá nhi u h c sinh, và th m chí là c giáo viên toán, ch nh n th c đ c s k t n i gi a con s và "Bài toán các c p

Th " Tuy nhiên, nh ng i đ c s tìm hi u, nh ng con s này có nhi u tính

ch t thú v và xu t hi n trong r t nhi u l nh v c khác nhau

13

1.3.ă NHăNGH AăTRUYăH I

Sau khi phân tích dãy s trong c t gi a c a b ng 1, chúng ta th y r ng sau hai s đ u tiên, m i s sau là t ng c a hai s li n tr c

Ví d nh :

1 = 1 + 0, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, , 55 = 34 + 21

Vì v y, chúng ta có th xác đ nh s sau trong dãy s khi chúng ta bi t

đ c giá tr các s tr c đó trong dãy s c tính này bây gi cho phép chúng ta xác đ nh đ c các con s Fibonacci t nay v sau chúng ta s xem xét Do đó, dãy s Fibonacci đ c đ nh ngh a, theo m t cách h th ng, nh sau:

nhăngh a 1.3.1 : Dãy {Fn} các s Fibonacci đ c đ nh ngh a b i h th c

truy h i sau: V i n ≥ 0, n u chúng ta cho F n là s Fibonacci th n, ta có

F , F , F , F , bây gi đ c coi là đ nh ngh a chu n v dãy s Fibonacci Nó

là m t trong nh ng ví d s m nh t c a m t dãy s truy h i trong toán h c Nhi u ng i c m th y r ng Fibonacci đã ch c ch n nh n th c đ c b n ch t truy h i c a dãy s Tuy nhiên, ph i t i t n n m 1634, khi kỦ hi u toán h c đã

đ tiên ti n, nhà toán h c ng i Hà Lan Albert Girard (1595-1632) m i vi t

công th c này trong tác ph m đ c xu t b n sau khi m t c a mình là L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges

S d ng đ nh ngh a truy h i trên, ta tìm ra đ c 25 s Fibonacci đ u tiên trong b ng 2

1.4 S ăFIBONACCIăV IăCH ăS ăỂM

T công th c truy h i (1.1), ta có công th c

1.5.ăăCỌNGăTH CăT NGăQUÁTăC AăS ăFIBONACCI.ă

1.5.1ăT ăs ăvàng

T s vàng (phi) đ c đ nh ngh a là t s khi chia đo n th ng thành hai ph n (a và b) sao cho t s gi a c hai đo n (a + b) v i đo n l n h n (a)

b ng t s gi a đo n l n (a) và đo n nh (b)

1.5.2 Côngăth căt ngăquátăc aăs ăFibonacci

Các s Fibonacci có công th c truy h i:

 n

n n

Vì v y, n u d là c s chung c a Fk 1 và F k 2 , theo đó Fk c ng chia h t cho d

i u này l i mâu thu n v i gi thi t gcd (F , Fk k 1 ) 1.

Mà Fk 2  Fk Fk 1 suy ra Fk c ng chia h t cho d

i u này l i mâu thu n v i gi thi t gcd (F , Fk k 2 ) 1.

Nh ng k t qu này cho ta nh ng tính ch t d i đây:

Tínhăch t 1.6.3 T ng c a sáu s Fibonacci liên ti p b t k chia h t cho 4

r 1 F    F F F  F

Ch ng minh

Ta có:

CH NGă2 M T S NG D NG C A S FIBONACCI

Ch ng này s cung c p m t s ng d ng mà các s Fibonacci xu t

hi n, d a trên tài li u tham kh o [1], [2], [3], [5], [7]

2.1 T PăCONăăC AăSn KHỌNGăCH AăHAIăS ăNGUYÊNăLIÊNă

(i) S 5 không trong t p h p con: Chúng ta có th nh n th y và s

d ng tám t p con cho trong S 4, nh dòng đ u tiên c a t p con cho trong S 5

(ii) S 5 trong t p h p con: Vì th không th có s 4 trong t p h p

con Vì v y, ta đ t s nguyên 5 trong m i m t t p h p con trong n m t p con

2.2 S ăL NGăCÁCăT PăH PăSINHăC AăSn 1

29

Do đó: g4 3

T ng t v i n = 5 ta có các t p h p sinh c a S6là:

{1, 3, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}

đây ta th y khi n = 5 ta có các t p h p sinh c a S6 đ c t o nên b ng cách

đ t 5 vào trong m i t p h p sinh c a S5và S4

Do đó: g5   g4 g3 và tr ng h p c th này khái quát hóa cho ta cách xác

đ nh s l ng t p h p sinh gn b ng cách đ t s n vào trong m i t p h p sinh