Về phương trình tuyến tính với các số fibonacci

D¢y sè Fibonacci l mët trong nhúng v´ µp cõa kho t ng To¡n håc.D¢y Fibonacci xu§t hi»n v bi¸n hâa væ tªn trong tü nhi¶n, vîi r§t nhi·ut½nh ch§t µp v ùng döng quan trång.. Mët d¢y tçn t¤i

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

1.1 D¢y Fibonacci v  d¢y Lucas 4

1.2 B i to¡n 779 6

1.3 B i to¡n 804 7

2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci 9 2.1 Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m 9

2.2 Tr÷íng hñp m = 3 v  m = 4 13

2.3 Tr÷íng hñp têng qu¡t 16

2.4 Tr÷íng hñp x(i) < b, vîi måi i 22

2.5 Tr÷íng hñp tçn t¤i i º x(i) ≥ b 25

2.6 Mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch§t cõa tªp S1 29

2.7 Tr÷íng hñp b l´ 33

2.8 Chùng minh ành lþ 2.3.1 ( ành lþ ng¨u nhi¶n) 36

th nh luªn v«n Cho ¸n b¥y gií luªn v«n th¤c s¾ cõa tæi ¢ ÷ñc ho n

th nh, xin c£m ìn Th¦y ¢ æn èc nh­c nhð tæi

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin v  Pháng

 o t¤o cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n Tæi xin tr¥ntrång c£m ìn c¡c Th¦y, Cæ ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþb¡u công nh÷ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi nh§t º tæi ho n th nh luªn v«n

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2019

T¡c gi£

inh Thà Huy·n

Mð ¦u

Leonardo Pisano Bogollo (kho£ng 1170  kho£ng 1250), cán ÷ñcbi¸t ¸n vîi t¶n Leonardo cõa Pisa, hay phê bi¸n nh§t d÷îi c¡i t¶nFibonacci, l  mët nh  to¡n håc ng÷íi Þ v  æng ÷ñc mët sè ng÷íi xem l 

"nh  to¡n håc t i ba nh§t thíi Trung Cê" Fibonacci nêi ti¸ng trong th¸giîi hi»n ¤i v¼ câ cæng lan truy·n h» kþ sè Hindu-ƒ Rªp ð ch¥u …u, v 

°c bi»t l  d¢y sè hi»n ¤i mang t¶n æng, d¢y Fibonacci trong cuèn s¡chLiber Abaci

D¢y sè Fibonacci l  mët trong nhúng v´ µp cõa kho t ng To¡n håc.D¢y Fibonacci xu§t hi»n v  bi¸n hâa væ tªn trong tü nhi¶n, vîi r§t nhi·ut½nh ch§t µp v  ùng döng quan trång ¸n nay câ r§t nhi·u mð rëng cõad¢y Fibonacci nh÷ d¢y k-Fibonacci H¦u h¸t nhúng t½nh ch§t tèt cõanhúng d¢y n y ·u xu§t ph¡t tø d¢y Fibonacci Mët d¢y tçn t¤i song songvîi d¢y Fibonacci l  d¢y Lucas D¢y n y câ nhi·u ùng döng °c bi»t trongt¼m nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine Hai d¢y n y l  chóng câmèi li¶n h» ch°t ch³ vîi nhau

Trong tü nhi¶n câ nhi·u hi»n t÷ñng, sü vªt xu§t hi»n tròng vîi d¢y sèFibonacci H¦u h¸t c¡c bæng hoa câ sè c¡nh hoa l  mët trong c¡c sè 3, 5,

8 Sè nh¡nh tø mët c¥y khi i tø gèc l¶n ngån công th÷íng tu¥n theo d¢yFibonacci khi tø 1 nh¡nh l¶n 2 nh¡nh, 3 nh¡nh rçi 5, 8, 13 nh¡nh Nhúngchi¸c l¡ tr¶n mët nh nh c¥y công t÷ìng ùng vîi d¢y sè Fibonacci Trongluªn v«n n y chóng ta i t¼m hiºu c¡c b i to¡n ri¶ng, b i to¡n têng qu¡tv· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh trong â c¡c h» nghi»m l  c¡c sè Fibonacci.Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 d nh ºtr¼nh b y l¤i sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n sè Fibonacci v  sè Lucas, giîi thi»uhai b i to¡n 779 v  804 v  líi gi£i cõa hai b i to¡n n y C¡c k¸t qu£ ¢bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [1], [2], [3]

Ch÷ìng 2 ta tªp trung i t¼m hiºu b i to¡n têng qu¡t, líi gi£i b i to¡n

trong khi m = 3, 4 tø â ÷a ra dü o¡n líi gi£i cho b i to¡n têng qu¡t.

Cö thº trong ph¦n 2.1 giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t Ph¦n 2.2 tr¼nh b ylíi gi£i trong tr÷íng hñp m = 3 ho°c 4 Ph¦n 2.3 tr¼nh b y líi gi£i chotr÷íng hñp têng qu¡t â l  ành lþ ng¨u nhi¶n Ph¦n 2.4 ¸n h¸t 2.8 l c¡c k¸t qu£ xoay quanh vi»c chùng minh cõa ành lþ ng¨u nhi¶n C¡c k¸tqu£ ¢ bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [4]

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.1 D¢y Fibonacci v  d¢y Lucas

ành ngh¾a 1.1.1 D¢y sè Fibonacci, kþ hi»u (Fn)n∈N ÷ñc ành ngh¾abði cæng thùc truy hçi

( F0 = 0,

F1 = 1,

Fn+1 = Fn + Fn−1, (n ≥ 1),

ð ¥y Fn l  sè h¤ng thù n cõa d¢y sè Fibonacci

C¡c sè ¦u ti¶n cõa d¢y Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,

Tø h» thùc truy hçi cõa d¢y Fibonacci ta câ

Fn+2− Fn+1 − Fn = 0,vîi måi n ≥ 0 Do â ta câ ph÷ìng tr¼nh x2 − x − 1 = 0 hay x2 = x + 1.Nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh vîi xn−1 ta ÷ñc

ành ngh¾a 1.1.2 C¡c h m Fa,b(n) = aϕn + b(1 − ϕ)n ÷ñc gåi l  h msinh.

Trong ành ngh¾a d¢y Fibonacci, c¡c sè h¤ng cõa d¢y ÷ñc cho d÷îid¤ng truy hçi n¶n khi sû döng d¢y æi khi g°p khâ kh«n M»nh · sau ¥ycho ta cæng thùc t÷íng minh cõa d¢y Fibonacci v  ÷ñc gåi l  cæng thùcBinet Cæng thùc Binet ÷ñc sû döng húu hi»u trong c¡c chùng minh sau

n

−1−

√ 5 2

L0 = 2 v  L1 = 1 (trong d¢y Fibonacci l  0 v  1) Ch½nh v¼ th¸ m  mët sèt½nh ch§t cõa sè Lucas s³ kh¡c vîi sè Fibonacci

ành ngh¾a 1.1.4 Cho r, s l  c¡c sè nguy¶n kh¡c khæng D¢y Lucas ùngvîi c°p (r, s) ÷ñc ành ngh¾a l :

u0(r, s) = 0, u1(r, s) = 1, un(r, s) = run−1 + sun−2(n ≥ 2)

Trong tr÷íng hñp (r, s) = (1, 1) ta k½ hi»u sè h¤ng thù n cõa d¢y l  Ln

v  gåi ng­n gån l  d¢y Lucas T÷ìng tü nh÷ d¢y Fibonacci, b¬ng quy n¤p

ta câ thº chùng minh ÷ñc d¢y Lucas ÷ñc cho bði cæng thùc sau

M»nh · 1.1.5 Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, ta câ

Ln = 1 +

√52

!n

− 1 −

√52

!n

Tø M»nh · 1.1.3 v  M»nh · 1.1.5 ta câ ành lþ sau ành lþ cho tamèi li¶n h» giúa c¡c sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y Fibonacci v  d¢y Lucas

ành lþ 1.1.6 Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n > m, ta câ FnLm = Fn+m+

câ t½nh kh¡i qu¡t Ta câ thº câ chùng minh ¯ng thùc (1.3) b¬ng ph÷ìngph¡p quy n¤p theo n nh÷ sau:

Vîi n = 8 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.3) t÷ìng ÷ìng vîi

F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0

¯ng thùc hiºn nhi¶n óng v¼ F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0.Gi£ sû ¯ng thùc óng vîi måi sè tü nhi¶n 8 ≤ k ≤ n Ta chùng minh(1.3) óng vîi k = n + 1 Theo ành ngh¾a d¢y Fibonacci v  gi£ thi¸t quy

804 trong sè 35.1 (1997) cõa t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly Líi gi£i cöthº nh÷ sau.

Tø nhªn x²t 9342 = 9349 − 7 = L19 − L4, ð ¥y Lk l  sè Lucas thù k

Sû döng c¡c çng nh§t thùc giúa c¡c sè Fibonacci v  sè Lucas ta câ

Fm+19− Fm−19 = FmL19,

Fm+4+ Fm−4 = FmL4.Trø v¸ vîi v¸ cõa 2 ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc

Fm+19− Fm−19− Fm+4 − Fm−4 = Fm(L19− L4)

°t n = m + 19, ta nhªn ÷ñc ¯ng thùc sau

Fn = Fn−15+ 9342Fn−19 + Fn−23+ Fn−38.Nh÷ vªy ta câ c¡c sè tr¶n c¦n t¼m l : a = 15, b = 19, c = 23, d = 38 Bèn

sè tr¶n ch½nh l  mët líi gi£i cõa b i to¡n 804

Nhªn x²t 1.3.1 (i) Trong thüc t¸, vi»c gi£i c¡c b i to¡n 779 v  804, ch½nh

l  vi»c t¼m c¡c sè Fibonacci thäa m¢n c¡c çng thùc ¢ n¶u, hay nâi c¡chkh¡c ch½nh l  vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c nghi»m l  c¡c sèFibonacci

(ii) Rã r ng ta câ thº thay êi h» sè cõa h¤ng tû thù 2 cõa v¸ ph£i c¡c

çng nh§t thùc tr¶n v  ta s³ nhªn l¤i ÷ñc mët b i to¡n mîi vîi c¡c líigi£i kh¡c nhau

V½ dö 1.3.2 Zeitlin ¢ t¼m ra a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 l  líi gi£i cõaph÷ìng tr¼nh

Fn = Fn−2 + 9349Fn−20+ Fn−40+ Fn−41Trong ch÷ìng sau (nëi döng ch½nh cõa luªn v«n) chóng ta s³ nghi¶n cùuc¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c bë nghi»m l  c¡c sè Fibonacci

Ch֓ng 2

C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c

sè Fibonacci

2.1 Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m

T÷ìng tü nh÷ B i to¡n 779 v  804 ta x²t b i to¡n têng qu¡t sau

B i to¡n Cho m l  mët sè nguy¶n thäa m¢n m ≥ 3 T¼m t§t c£ c¡c bë

sè nguy¶n {c 6= 0, a(1), a(m)} thäa m¢n i·u ki»n

0 < a(1) < a(2) < < a(m)sao cho vîi måi sè n > 0 cho tr÷îc ta câ

Fn = Fn−a(1)+ cFn−a(2)+ Fn−a(3)+ Fn−a(4)+ + Fn−a(m) (2.1)

ành ngh¾a 2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh têng qu¡t vîi c¡c sè Fibonacci câ ë d i m

Trong ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi b¬ng c¡ch thay n = a(2) = b v  °t

x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, , m

Khi â tø ph÷ìng tr¼nh (2.1) ta câ ph÷ìng tr¼nh sau

Fb = Fx(1)+ F−x(3) + F−x(4)+ + F−x(m), (2.2)trong â

0 < x(1) < b; 0 < x(3) < x(4) < < x(m) (2.3)

ành ngh¾a 2.1.2 Ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh rót gåncõa (2.1)

ành ngh¾a 2.1.3 Mët nghi»m b, x(1), x(3), x(4), , x(m) cõa ph÷ìngtr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  1 − tham sè n¸u

h m tuy¸n t½nh cõa mët tham sè duy nh§t

V¼ vªy, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  1 − tham sè, th¼ kho£ngc¡ch giúa c¡c ch¿ sè l  r§t quan trång

ành ngh¾a 2.1.4 èi vîi nghi»m 1−tham sè b, x(1), x(3), x(4), , x(m)cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ta sû döng y − k½ hi»u ("y − notation") thay cho bë(m − 1) sau ¥y: hy(1), y(3), y(4), · · · , y(m)i, trong â y(i) ÷ñc x¡c ànhbði

y(i) = |b − x(i)| vîi i = 1, 3, 4, , m

V½ dö 2.1.5 a) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−1+ Fb−2 ta câ y − k½ hi»u

l  h1, 2i

V¼

y(1) = · · · = 1y(2) = · · · = 2

b) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−2+ Fb−1 th¼ y − k½ hi»u l  h2, 1i

ành ngh¾a 2.1.6 Hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) thäa m¢n i·u ki»n(2.3) ÷ñc gåi l  hai nghi»m nh÷ nhau n¸u ë d i v  y − k½ hi»u cõa chóng

l  b¬ng nhau

Rã r ng quan h» hai nghi»m nh÷ nhau trong lîp c¡c nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ tr¶n l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng

V½ dö 2.1.7 èi vîi çng nh§t thùc

Fb = Fb−1+ Fb−2,

ta câ

y(1) = |b − x(1)| = |b − (b − 1)| = 1,y(3) = |b − x(3)| = |b − (b − 2)| = 2

ành ngh¾a 2.1.8 Ta nâi sè Fibonacci Fz l  lîn, n¸u z > 2 Ta nâi mët

çng nh§t thùc l  lîn n¸u m  c¡c v¸ cõa nâ l  mët tê hñp tuy¸n t½nh cõac¡c sè Fibonacci câ t§t c£ c¡c ch¿ sè ·u lîn hìn 2 Mët nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  lîn n¸u b > 2 v  x(i) > 2 vîi måi i = 1, 3, 4, , m

ành ngh¾a 2.1.9 Ta nâi mët çng nh§t thùc câ d¤ng P

j∈J Fj = Fb l ph¥n t½ch ÷ñc n¸u têng cõa mët tªp con kh¡c réng thüc sü n o â c¡ch¤ng tû cõa v¸ ph£i b¬ng 0 N¸u çng nh§t thùcP

j∈J Fj = Fb khæng ph¥nt½ch ÷ñc th¼ ta nâi çng nh§t thùc â l  nguy¶n tè

V½ dö 2.1.10 a) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1)+ F−x(3)+ F−x(4) câ mët nghi»m

l  0 < x(1) = x(3) v  0 < x(4) = b (vîi x(3) < x(4)), ngh¾a l 

Fb = Fx(1)+ F−x(1) + F−bvîi b l´ v  x(1) ch®n ¥y l  nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh ¢cho v¼ ta câ

Fx(1)+ F−x(3) = 0

b) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1)+ F−x(3) câ nghi»m x(1) = b−1, x(3) = b−2,vîi b ≥ 3, b l´ V¼ khi b l´ ta câ (b − 2) l  l´, do â F−(b−2) = Fb−2 V¼ vªy

Fb = Fb−1+ F−(b−2)

l  nghi»m nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n

èi vîi çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc, ta câ thº biºu di¹n v¸ ph£i cõa

nâ nh÷ l  têng cõa c¡c nh¥n tè (" factor")

ành ngh¾a 2.1.11 a) Ta hiºu mët nh¥n tè ("factor") cõa mët çng nh§tthùc ph¥n t½ch ÷ñc l  mët têng câ d¤ngP

j∈J Fj thäa m¢n:

ho°c l  P

j∈J Fj = 0, ho°c P

j∈J Fj = Fb,

trong â J l  tªp con thüc sü cõa tªp c¡c ch¿ sè: {x(1), x(3), x(4), · · · , x(m)}.b) Sè l÷ñng c¡c nh¥n tè cõa mët çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc l  sèlîn nh§t cõa c¡c tªp con kh¡c réng, khæng giao nhau cõa c¡c ch¿ sè trong

çng nh§t thùc â, sao cho èi vîi méi tªp con J nh÷ vªy, ta câ P

Fd+ F−d = 0

V¼ d l  ch®n, nh¥n tè n y câ ë d i l  2

T÷ìng tü ta câ 2 nh¥n tè cán l¤i công câ ë d i l  2

j∈J Fj = 0

2.2 Tr÷íng hñp m = 3 v  m = 4

Möc ½ch cõa ph¦n n y l  t¼m líi gi£i cho ph÷ìng tr¼nh (2.2) trongtr÷íng hñp m = 3 v  m = 4 Vîi m = 3, ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng

Fb = Fx(1)+ F−x(3), 0 < x(1) < b, 0 < x(3)

Tr÷îc ti¶n ta c¦n bê · sau

Bê · 2.2.1 N¸u {b, x(1), x(3)} l  mët nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2)vîi m = 3 th¼ x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b l´, b ≥ 5 ho°c x(1) = b − 2,x(3) = b − 1, b ch®n, b ≥ 5

Chùng minh Theo i·u ki»n cõa x(1) ta luæn câ 0 < x(1) < b Do â tax²t c¡c tr÷íng hñp sau

Tr÷íng hñp 3: x(1) ≤ b − 3 Khi â n¸u F−x(3) ≤ Fb−1 th¼ ta câ Fx(1) +

F−x(3) ≤ Fb−3 + Fb−1 < Fb, i·u n y l  m¥u thu¨n N¸u F−x(3) ≥ Fb dox(1) > 0 ta suy ra Fx(1)+ F−x(3) > Fb, i·u n y l  m¥u thu¨n Vªy khængx£y ra tr÷íng hñp x(1) ≤ b − 3 Do â ph÷ìng tr¼nh d¤ng

Fb = Fx(1)+ F−x(3), 0 < x(1) < b, 0 < x(3)ch¿ câ hai hå nghi»m 1 − tham sè l  Fb = Fb−1+ F−(b−2) vîi b l´, b ≥ 5 v 

Chùng minh Theo Bê · 2.2.1, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  lîn

v  b ≥ 5 th¼ nghi»m â l  d¤ng (i) ho°c (ii) Tr÷íng hñp cán l¤i, nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khæng lîn th¼ mët trong ba gi¡ trà b, x(1), x(3) ph£ib¬ng 1 ho°c 2 Hìn núa, tø nhªn x²t ph÷ìng tr¼nh Fz − 1 = Fy l  khænggi£i ÷ñc èi vîi y n¸u z ≥ 5 V¼ vªy, ta câ thº kiºm tra t§t c£ c¡c iºm 3tåa ë nguy¶n trong khèi lªp ph÷ìng [1, 4]3

Ta câ i·u ph£i chùng minh.

K¸t qu£ sau l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 2.2.2

H» qu£ 2.2.3 T§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) khi m = 3 ·uthuëc mët trong c¡c d¤ng sau

Chó þ r¬ng c¡c nghi»m khæng lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) trong (iii), (iv)

v  (v) l  nghi»m ìn trong khi nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) l  1 −tham sè

Ti¸p theo ta x²t tr÷íng hñp m = 4 Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4),trong â b > x(1) > 0 v  0 < x(3) < x(4)

T÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp m = 3 ta câ ành lþ sau

ành lþ 2.2.4 Khi m = 4 th¼ b, x(1), x(3), x(4) l  mët nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (2.2) n¸u nâ l  mët trong 10 nghi»m kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trongb£ng 2.1, 2.2 v  2.3 d÷îi ¥y

Hai nhâm gièng nhau cõa c¡c nghi»m nguy¶n tè 1−tham sè cõa ph÷ìngtr¼nh (2.2) vîi m = 4 ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.1 d÷îi ¥y.

y-k½ hi»u b, x(1), x(3), x(4) Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) i·u ki»n cõa b

B£ng 2.2: S¡u nghi»m ìn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4.

S¡u nghi»m ìn ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.2 Trong 6 nghi»m n y th¼nghi»m b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 l  nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc, 5nghi»m cán l¤i ·u l  c¡c nghi»m nguy¶n tè

Khi m = 4, hai hå nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñccho trong b£ng 2.3 Hå nghi»m trong h ng 1 l  nghi»m 1 − tham sè, ph¥nt½ch ÷ñc v¼

Nhªn x²t 2.2.5 M÷íi nhâm nghi»m ríi nhau cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi

m = 4 ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n, °t cho ta c¥u häi v· vi»c x¡c ành mªt ëcõa c¡c nghi»m Ta câ thº ti¸n h nh vi»c â nh÷ sau: Méi nghi»m cõa (2.2)thäa m¢n (2.3) l  mët bë bèn

Ta câ thº chån mët sè u khæng êi v  ¸m t§t c£ c¡c bë 4 sè nguy¶nn¬m trong khèi si¶u lªp ph÷ìng [1, u]4

Kiºm tra xem nhúng bë bèn n o

l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) v  thäa m¢n (2.3)

Trong b£ng bèn d÷îi ¥y, ta l§y u = 40 trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng[1, 40]4 câ 131 nghi»m cõa (2.2), trong â câ s¡u nghi»m ìn cö thº ÷ñctrong b£ng 2.2, khi u t«ng ta công ch¿ câ 6 nghi»m ìn cö thº â, cán l¤it§t c£ c¡c nghi»m ·u n¬m trong 4 hå nghi»m cõa b£ng 2.1 v  b£ng 2.3.Trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng câ 125 nghi»m cõa 4 hå nghi»m n y, chi¸m95% Mªt ë c¡c nghi»m cõa 4 hå nghi»m â ÷ñc x¡c ành trong b£ng2.4 d÷îi ¥y

Khi u t«ng th¼ mªt ë c¡c nghi»m s³ thay êi, t¡c gi£ Stephens Hall dü

o¡n l  nâ s³ ti¸n ¸n mët giîi h¤n n o â, v  câ nhªn x²t r¬ng h¦u h¸tc¡c nghi»m ÷ñc cho trong b£ng 2.4 ·u khæng ph£i l  nghi»m nguy¶n tè

ành lþ 2.3.1 (ành l½ ng¨u nhi¶n) Gi£ sû {b, x(1), x(3), x(4), , x(m)}

l  mët nghi»m nguy¶n tè lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m ≥ 3 Khi ânghi»m n y l  1 − tham sè Hìn núa n¸u m = 3 th¼ nghi»m câ d¤ng (i) v (ii) trong ành l½ 2.2.2, n¸u m > 3, b l  sè ch®n th¼ nghi»m n y thuëc mëttrong ch½n d¤ng nh÷ sau

(1) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2)+ F−(b−o)+ + F−(b−1)

(2) Fb = Fb−2+ F−b + F−(b−1)

(3) Fb = Fb−2+ F−b+ F−(b+2)+ F−(b+4)+ + F−(b+o00

+1) + F−(b+o00+2).(4) Fb = Fb−0−3+ F−(b−0−1)+ F−(b−0)+ + F−(b−1) + F−b + F−(b+1).(5) Fb = Fb−0−3+ F−(b−0−1)+ F−(b−0)+ + F−(b−1) + F−b + F−(b+2)+ F−(b+4) + + F−(b+o00 +1) + F−(b+o 00 +2)

(6) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2)+ F−(b−o)+ + F−(b−3)+ F−b+ F−(b+1).(7) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2)+ F−(b−o)+ + F−(b−3)+ F−b+ F−(b+2)+ F−(b+4) + + F−(b+o00

+1) + F−(b+o 00 +2).(8) Fb = Fb−o−4−o0+F−(b−o−3−o0 )+F−(b−o−1−o0 )+ +F(b−o−4)+F−(b−o−1)+

(8) Fb = Fb−6+ F−(b−5) + F−(b−2)+ F−(b−1)+ F−b+ F−(b+1).

(9) Fb = Fb−8+F−(b−7)+F−(b−5)+F−(b−2)+F−(b−1)+F−b+F−(b+2)+F−(b+3).Tr÷îc khi chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n ta câ nhªn x²t v· 9 d¤ngnghi»m trong ph¡t biºu cõa ành lþ

Nhªn x²t 2.3.3 Trong 9 d¤ng ð tr¶n, duy nh§t d¤ng 1 câ x(i) < b vîimåi i, t§t c£ c¡c d¤ng cán l¤i ·u câ x(i) ≥ b vîi i n o â

Trong qu¡ tr¼nh chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n, chóng ta quy ÷îc s³

sû döng mët sè k½ hi»u sau ¥y:

- N¸u têng Fx+ Fy+ · · · + Fz câ trong ph÷ìng tr¼nh th¼ ta hiºu têng âb¬ng ho°c Fx, ho°c b¬ng

Fx+ Fx+d+ Fx+2d + · · · + Fx+jd, vîi y = x + d, z = x + jd, d 6= x vîi j

l  mët sè nguy¶n d÷ìng kh¡c khæng n o â

- Mët têng câ d¤ng Fx+ Fy + · · · + Fz + Fu ÷ñc hiºu l 

trong â o l  1 sè nguy¶n d÷ìng l´ b§t k¼

Chùng minh Biºu di¹n o = 2k + 1 Ta s³ chùng minh ph¦n a) bê ·tr¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo k

+ Vîi k = 0 suy ra o = 1, ta câ

Fz + Fz+o = Fz + Fz+1 = Fz+2 = Fz+o+1.Suy ra bê · óng vîi k = 0

+ Gi£ sû bê · l  óng vîi sè nguy¶n d÷ìng k, ngh¾a l  ta câ

Fz + Fz+1+ Fz+3+ · · · + Fz+2k+1 = Fz+(2k+1)+1.X²t têng: