Luận văn một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung trong không gian hilbert

Lời cam đoanTôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khungtrong không gian Hilbert” là kết quả của quá trì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

TRỊNH THỊ PHA

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội,2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

TRỊNH THỊ PHA

MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Mã số : 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS Nguyễn Quỳnh Nga

Hà Nội,2018

Lời cảm ơn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Quỳnh Nga đãhướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn Tácgiả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đàotạo, khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và cácthành viên trong lớp cao học toán giải tích K20 đã luôn quan tâm, giúp

đỡ trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Trịnh Thị Pha

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với

đề tài “Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khungtrong không gian Hilbert” là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiêncứu của tác giả dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Trịnh Thị Pha

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trên

không gian Hilbert 41.2 Cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert 121.3 Khung trong không gian Hilbert 151.3.1 Một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian

Hilbert 151.3.2 Khung và việc xử lý tín hiệu 30

2 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung

2.1 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các

khung 332.2 Các mối liên hệ kiểu Parseval cho các khung đối ngẫu luân

phiên 54

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khung được R J Duffin và A C Schaeffer [7] đưa ra năm 1952 khi

họ nghiên cứu về chuỗi Fourier không điều hòa Tuy nhiên phải đến năm

1986, sau bài báo của I Daubechies, A Grossmann và Y Meyer [6] thìkhung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng rãi

Một khung có thể được xem như một cơ sở trực chuẩn suy rộng Nếu{fi}i ∈I là một khung cho không gian Hilbert H thì bất kỳ vectơ f ∈ Hnào cũng có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) của cácphần tử fi Các hệ số không nhất thiết duy nhất Nhờ tính thừa màkhung có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnhbởi vì chúng cho chúng ta tính bền vững, chất lượng của tín hiệu bị ảnhhưởng ít hơn khi có nhiễu tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từcác mẫu có độ chính xác tương đối thấp và hơn nữa chúng cho phép dễdàng phát hiện các đặc trưng của tín hiệu, hình ảnh Ngoài ra khungcòn được sử dụng trong lý thuyết mẫu, mô hình hóa hệ thống, truyền

thông qua internet và mạng không dây,

Luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục cáctài liệu tham khảo

Chương 1 tác giả nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị bao gồm các địnhnghĩa và tính chất cơ bản của toán tử tuyến tính bị chặn trên khônggian Hilbert, một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian Hilbert,khung và việc xử lý tín hiệu Chương 2 tác giả trình bày một số đồngnhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các khung, các mối liên hệ kiểuParseval cho các khung đối ngẫu luân phiên

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về các đồng nhất thức và bấtđẳng thức cho các khung trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về các đồng nhất thức và bất đẳng thức cho các khung trongkhông gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu:

Các kiến thức cơ sở cần thiết: Toán tử tuyến tính bị chặn trên khônggian Hilbert Một số khái niệm và kết quả về khung trong không gianHilbert Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản cho các khung.Các mối liên hệ kiểu Parseval cho các khung đối ngẫu luân phiên

4.2 Phạm vi nghiên cứu:

Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến đồng nhấtthức và bất đẳng thức cho các khung trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.+ Thu thập tài liệu các bài báo về đồng nhất thức và bất đẳng thứccho các khung trong không gian Hilbert

+ Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đóng góp của luận văn

Trình bày tổng quan về một số đồng nhất thức và bất đẳng thức chocác khung trong không gian Hilbert

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tác giả nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bảncần đến trong những phần tiếp theo Nội dung của chương này dựa trêncác tài liệu tham khảo [1], [2], [5], [6], [9]

Phần đầu của chương này dành để trình bày một số khái niệm và tínhchất cơ bản của toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert

1.1 Không gian Hilbert và toán tử tuyến tính bị

chặn trên không gian Hilbert

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn:Định nghĩa 1.1

Không gian tuyến tính định chuẩn là không gian tuyến tính X trêntrường K ( K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập R,

kí hiệu là k.k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau :

1 (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (θ kí hiệu phần tử

Định nghĩa 1.3.

Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian Banach,nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.4

Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K = R hoặc K = C)

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes

X × X vào K , ký hiệu h·, ·i , thỏa mãn các tiên đề:

(1) (∀x, y ∈ X) hy, xi = hx, yi nếu K = C và hy, xi = hx, yi nếu

K = R;

(2) (∀x, y, z ∈ X) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

(3) (∀x, y ∈ X) (α ∈ K) hαx, yi = α hx, yi;

(4) (∀x ∈ X) hx, xi > 0, nếu x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không),

hx, xi = 0, nếu x = θ

Các phần tử x, y, z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng,

số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề

1, 2, 3, 4 được gọi là hệ tiên đề tích vô hướng, ký hiệu ¯z là phần tử liênhợp của z

Đối với mỗi x ∈ X ta đặt kxk = phx, xi Khi đó k.k xác định mộtchuẩn trên X

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Với mọi x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

|hx, yi| ≤ kxk kyk Định nghĩa 1.5

Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô hướngđược gọi là không gian tiền Hilbert

Nếu K = R thì H được gọi là không gian tiền Hilbert thực

Nếu K = C thì H được gọi là không gian tiền Hilbert phức

Định nghĩa 1.6

Tập H 6= ∅ được gọi là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn:

1 H là không gian tiền Hilbert

2 H là không gian Banach với chuẩn kxk = phx, xi, x ∈ H.

Định nghĩa 1.7

Một không gian Hilbert được gọi là khả ly nếu nó chứa một tập conđếm được và trù mật, tức là, tồn tại một dãy {xk}∞k=1 của các phần tửcủa H sao cho bao đóng của {xk}∞k=1 bằng toàn bộ không gian

Định nghĩa 1.8

Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y trên cùng một trường Mộtánh xạ T : X → Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tửtuyến tính nếu với mọi x, y ∈ X và mọi vô hướng α, ta có

||T x || ≤ c || x||, ∀x ∈ X (1.1)Một toán tử T từ X vào Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéotheo T xn → T x0

Định lý 1.1 Toán tử tuyến tính từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi

nó bị chặn

Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y được kíhiệu là B ( X, Y )

Khi X = Y thì B ( X, Y ) được kí hiệu là B (X)

Chuẩn của T ∈ B (X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏamãn (1.1) Nói cách khác,

|| T || = sup {|| T x|| : x ∈ X, || x|| ≤ 1}

= sup {|| T x|| : x ∈ X, || x|| = 1}

Mệnh đề 1.1 Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert Nếu T ∈

B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T∗ ∈ B(K, H) sao cho

tử đồng nhất thuộc B (H)

Mệnh đề 1.2 Giả sử T ∈ B ( H, K) và S ∈ B (K, L) Khi đó(i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ H;

(ii) kST k ≤ kSk kT k;

(iii) kT k = kT∗k;

i T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu hT x, xi là thực với mọi x ∈ H Đặcbiệt, toán tử dương là tự liên hợp.

ii T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đươngbảo toàn tích vô hướng) từ H lên H

Mệnh đề 1.6 Giả sử T ∈ B (H) Khi đó các điều sau là tương đương(i) T là dương

(ii) T = S2 trong đó S là toán tử dương

(iii) T = V∗V trong đó V ∈ B (H)

Toán tử S trong (ii) là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T , kýhiệu là T12

Mệnh đề 1.7 Nếu A là toán tử tự liên hợp trên H và kAk ≤ 1 thì

A∗1 = kAkA∗ = kAkA = A1 Do đó A1 là tự liên hợp Giả sử An tự liên hợp

Ta chứng minh rằng An+1 cũng tự liên hợp Ta có A∗n+1 = An− A2

n

∗

=

A∗n − (A∗n)2 = An − A2

n = An+1 Vậy các toán tử An là tự liên hợp Ta

có thể kiểm tra được rằng AnAm = AmAn với mọi m, n ∈ N Bây giờ ta

sẽ chỉ ra bằng quy nạp rằng

với mọi n ∈ N Với n = 1 thì do A ≥ 0 nên kAkA ≥ 0 Do Mệnh đề 1.7

và kAkA = 1 nên ta có kAkA ≤ I hay A1 ≥ I Giả sử (1.2) đúng với k nào

đó thuộc N Khi đó

2

k(I − Ak) f, f = hAk(I − Ak) f, Akf i = h(I − Ak) Akf, Akf i ≥ 0

D

Ak(I − Ak)2f, fE = hAk(I − Ak) (I − Ak) f, f i

= h(I − Ak) Ak(I − Ak) f, f i

= hAk(I − Ak) f, (I − Ak) f i ≥ 0

A2k = A1 − An+1 ≤ A1

Do đó

nXk=1

A2nf = A1f

Do B giao hoán với A nên B giao hoán với A1 Giả sử B giao hoán với

2

nf, f

= kAk

∞Xn=1hBAnf, Anf i ≥ 0



1.2 Cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert

Cơ sở trực chuẩn là một trong những khái niệm chính trong khônggian Hilbert Chúng là phiên bản trừu tượng ( vô hạn chiều) của cơ sởchính tắc trong Cn và có nhiều tính chất tương tự Cơ sở trực chuẩnđược sử dụng rộng rãi trong toán học, vật lý, xử lý tín hiệu và nhiều lĩnhvực khác

Một cơ sở trực chuẩn là một hệ trực chuẩn {ek}∞k=1 mà là cơ sở củaH.

Định nghĩa 1.11

Dãy {ek}∞k=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu tồn tại B > 0 saocho

∞Xi=1

|hf, fii|2 ≤ B kf k2, ∀f ∈ H

Khi đó B được gọi là cận Bessel của {fi}∞

i=1 Chú ý rằng, một hệ trực chuẩn là một dãy Bessel Thật vậy, nếu{ck}∞k=1 ∈ l2

(N) và m, n ∈ N, n > m thìn

X

k=1

ckek −

mXk=1

ckek

2

=

nXk=m+1

ckek

2

=

nXk=m+1

|ck|2

DoP∞k=1|ck|2 < ∞ nên nPnk=1|ck|2o∞

n=1 hội tụ Từ đóPnk=m+1|ck|2 → 0khi m, n → ∞

Vì vậy {Pnk=1ckek}∞n=1 là dãy Cauchy

Do đó {Pnk=1ckek}∞n=1 hội tụ tức là chuỗi P∞k=1ckek hội tụ Theo Hệ quả1.2, {ek}∞k=1 là dãy Bessel

Định lý 1.3 Cho một hệ trực chuẩn {ek}∞k=1 , những mệnh đề sau tươngđương:

(a) {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn

(b) f = P∞k=1hf, eki ek, ∀f ∈ H

(c) hf, gi = P∞k=1hf, eki hek, gi , ∀f, g ∈ H.

(b) ⇒ (c) Giả sử ta có (b) Lấy tích vô hướng của cả 2 vế của (b) với g

và sử dụng tính chất của tích vô hướng ta suy ra (c)

(c) ⇒ (d), (d) là một trường hợp đặc biệt của (c) với g = f

(d) ⇒ (e) Giả sử ta có (d).Nếu span {ek}∞k=1 6= H thì tồn tại 0 6= f ∈ Hsao cho f ∈ (span {ek}∞k=1)⊥ Từ đó hf, eki = 0 với mọi k ∈ N Từ đóP∞

k=1|hf, eki|2 = 0 6= kf k2

Ta suy ra mâu thuẫn

(e) ⇒ (f ) Giả sử hf, eki = 0, ∀k ∈ N, do đó f⊥span {ek}∞k=1 = H Do

đó hf, f i = 0 hay f = 0

Để chứng minh ( f ) ⇒ (a) , giả sử f ∈ H.Do{ek}∞k=1 là một dãy Bessel,

ta biết g = P∞k=1hf, eki ek hoàn toàn xác định

Hơn nữa hf − g, eji = 0, ∀j ∈ N vì thế theo (f) f = g = P∞k=1hf, eki ek

Để chứng minh rằng {ek}∞k=1 là một cơ sở ta chỉ cần chỉ ra không có tổhợp tuyến tính nào khác của {ek}∞k=1 có thể bằng f Giả sử f = P∞k=1ckek

thế thì với bất kì j ∈ N ta có

hf, eji =

* ∞Xk=1

ckek, ej

+

=

∞Xk=1

ckδk,j = cj

Đẳng thức (d) trong Định lý 1.3 được gọi là đẳng thức Parseval

1.3 Khung trong không gian Hilbert

1.3.1 Một số kiến thức cơ sở về khung trong không gian

Hilbert

Ở phần này tác giả trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bảntrong lý thuyết khung Từ nay về sau ta sẽ kí hiệu H là không gianHilbert khả ly với tích vô hướng h·, ·i Gọi I là tập chỉ số (vô hạn nhưngđếm được hoặc hữu hạn)

Thật vậy, gọi A và B là cận dưới tối ưu và cận trên tối ưu của khung.Theo định nghĩa thì A = sup M với

và B > 0 Do A = sup M nên tồn tại một dãy {Aj}∞j=1 ⊂ M sao cho

i∈I|hx, fii|2 ≤ B kxk2, ∀x ∈ H.Khung được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1 và được gọi là chặtnếu A = B Khi ta nói về khung chặt, ta muốn nói giá trị chính xác Acùng lúc là cận trên và cận dưới của khung Chú ý rằng điều này hơikhác với thuật ngữ của khung tổng quát, ở đó ví dụ một cận khung trênchỉ là một số nào đó mà bất đẳng thức vế phải của (1.3) được thỏa mãn.Một dãy {fi}i∈I được gọi là một dãy khung nếu nó là khung chỉ chospan {fi}i∈I
Ở đây span (A) ký hiệu là bao tuyến tính của A và B

ký hiệu là bao đóng của B Một dãy {fi}i∈I được gọi là một dãy khungParseval nếu nó là khung Parseval chỉ cho span {fi}i∈I

Nhận xét 1.1

Từ các Định nghĩa 1.11 và 1.12 ta suy ra một khung là một dãy Bessel

Tuy nhiên một dãy Bessel không nhất thiết là một khung.

Ta xem xét ví dụ sau

Ví dụ 1.1

Trên R2 cho f1 = (1, 0)T , f2 = (2, 0)T , f3 = (3, 0)T Khi đó {f1, f2, f3}

là một dãy Bessel của R2

R2

Mệnh đề 1.8 Cho một dãy {fj}mj=1 trong H Khi đó {fj}mj=1 là mộtkhung của span{fj}mj=1

Chứng minh Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng

0 Từ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta thấy điều kiện khung trên làthỏa mãn với

B =

mXj=1

kfjk2Bây giờ ta đặt W = span {fj}mj=1 và xem xét ánh xạ liên tục Φ : W → R

Φ (f ) =

mXj=1

|hg, fji|2 = inf

( mXj=1

|hf, fji|2 : f ∈ W, kf k = 1

)

Rõ ràng là A > 0 Bây giờ ta lấy f ∈ W , f 6= 0 Ta có

mXj=1

|hf, fji|2 =

mXj=1

f

kf k, fj

Chứng minh Giả sử span {fj}mj=1 = H Theo Mệnh đề 1.8 {fj}mj=1

là một khung của H Ngược lại, giả sử {fj}mj=1 là một khung của H

và cận dưới, trên tương ứng là A, B và span {fj}mj=1 6= H Khi đótồn tại 0 6= f ∈ H sao cho hf, fji = 0 với mọi j = 1, m Từ đóPm

j=1|hf, fji|2 = 0

Mặt khác do A > 0, kf k > 0 và A kf k2 ≤ Pmj=1|hf, fji|2 = 0 nên tasuy ra mâu thuẫn

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần

tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu {fj}kj=1 là một khung của H và{gj}mj=1 là một tập hữu hạn tùy ý các vectơ trong H thì {fj}kj=1∪ {gj}mj=1cũng là một khung của H

Ví dụ 1.2

Lấy H = R2, e1 = (0, 1)T , e2 =

√ 3

2 ; 12

T, e3 =

√ 3

2 ; −12

T Khi đó{e1, e2, e3} là một khung chặt với cận khung là 32

2 x1 +

1

2x2

!2+

√3

Giả sử {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H

(i) {ek}∞k=1 là khung Parseval của H Thật vậy, theo Định lý 1.2P∞k=1|hf, eki|2 =

kf k2 với mọi f

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek}∞k=1 hai lần ta thu được

{fk}∞k=1 = {e1, e1, e2, e2, } Khi đó {fk}∞k=1 là khung chặt với cận khung

A = 2 Thật vậy, ta có

∞Xk=1

|hf, fki|2 = 2

∞Xk=1

|hf, eki|2 = 2 kf k2, ∀f ∈ H

(iii) Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk}∞k=1 = {e1, e1, e2, e3, } Khi

đó {fk}∞k=1 là khung với cận A = 1, B = 2 Thật vậy, ta có

∞Xk=1

|hf, fki|2 = |hf, e1i|2 +

∞Xk=1

|hf, eki|2

≤ P∞k=1|hf, eki|2 +P∞k=1|hf, eki|2

= 2P∞k=1|hf, eki|2

= 2 kf k2Mặt khác P∞k=1|hf, fki|2 ≥ P∞k=1|hf, eki|2 = kf k2

là dãy mà mỗi vectơ √1

kek được lặp lại k lần Khi đó với mỗi f ∈ H tacó

∞Xk=1

|hf, fki|2 =

∞Xk=1k

−1(f ) , fk

−1(f ) , fk fk

!

= S−1SS−1(f )

= S−1(f )

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của S−1(fk) ∞k=1 bằng S−1 Toán

tử S−1 giao hoán với cả S và I Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức

AI ≤ S ≤ BI với S−1 , điều này cho ta B−1I ≤ S−1 ≤ A−1I tức là

B−1kf k2 ≤ −1(f ) , f ≤ A−1kf k2, ∀f ∈ H

Từ (1.5) ta có

−1(f ) , f =

* ∞Xk=1

Vì vậy B−1kf k2 ≤P∞k=1 −1(fk)

2

≤ A−1kf k2, ∀f ∈ H

Do đó, S−1(fk) ∞k=1 là một khung với cận khung B−1, A−1

Giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk}∞k=1 và giả thiết rằng cận trêntối ưu của S−1(fk) ∞k=1 là C < A1 Bằng cách áp dụng điều ta vừachứng minh cho khung S−1(fk) ∞k=1 có toán tử khung S−1 ta thu được{fk}∞k=1 =

n

S−1
−1S−1(fk)

o∞

k=1 có cận dưới C1 > A , nhưng điều này

là mâu thuẫn Vì vậy S−1(fk) ∞k=1 có cận trên tối ưu là A1 Lập luậntương tự cho cận dưới tối ưu tu

KhungS−1(fk) ∞k=1 được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk}∞k=1.Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả quan trọngnhất về khung Nó chỉ ra rằng nếu {fk}∞k=1 là một khung của H thì mọiphần tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính ( vô hạn)của các phần tử khung

Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.

Định lý 1.5 Giả sử {fk}∞k=1 là một khung với toán tử khung là S Khiđó

f =

∞Xk=1

−1fk fk, ∀f ∈ H

Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H

Chứng minh.Chứng minh Giả sử f ∈ H Sử dụng các tính chất củatoán tử khung trong Mệnh đề 1.9 ta có

f = SS−1f =

∞Xi=1

−1f, fi fi =

∞Xi=1

−1fi fi, ∀f ∈ H

Do {fk}∞k=1 là một dãy Bessel và −1fk∞k=1 ∈ l2

(N) theo Hệ quả 1.3

Mệnh đề 1.10 Cho {fi}∞i=1 là một khung của H với toán tử khung S.Khi đó

n

S−12fi

o∞

i=1 là khung Parseval của H

Chứng minh Chứng minh Với mọi f ∈ H ta có

f = S−12SS−12f = S−12

∞Xi=1

D

S−12f, fi

Efi

Lấy tích vô hướng của cả 2 vế với f ta có

kf k2 = hf, f i =

* ∞Xi=1

D

f, S−12fi

E

2

Từ đó

n

S−12fi

o∞

Mệnh đề 1.11 Một họ vectơ {fi}∞i=1 là một khung Parseval của khônggian Hilbert H khi và chỉ khi với mọi f ∈ H, ta có

f =

∞Xi=1

hf, fii fi, f

+

= limk→∞

Pki=1hhf, fii fi, f i

= limk→∞

Pki=1hf, fii hfi, f i

= limk→∞

Pki=1|hf, fii|2

= P∞i=1|hf, fii|2

Do đó {fi}∞i=1 là một khung Parseval.

Ngược lại giả sử với mọi f ∈ H, ta có kf k2 = P∞i=1|hf, fii|2 Gọi T

là toán tử phân tích, T : H → l2(N)

T f = {hf, fii}∞i=1 =

∞Xi=1

hf, fii ei.

trong đó {ei}∞i=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2(N) Khi đó kT f k2 =P∞

i=1|hf, fii|2 = kf k2 với mọi f ∈ H Do đó T là một đẳng cự theo Mệnh

đề 1.5, T cũng bảo toàn tích vô hướng Nói cách khác, với mọi f, g ∈ H

hT f, T gi = hf, gi Gọi {uj}∞j=1 là một cơ sở trực chuẩn của H ta có

f =

∞Xj=1

∞Xi=1

hf, fii huj, fiiuj

=

∞Xi=1

hf, fii

∞Xj=1

hfi, uji uj

=

∞Xi=1

hf, fii fi



Hệ quả 1.4 (i) {fi}∞i=1 là một khung Parseval của H khi và chỉ khi

S = I , trong đó I là toán tử đồng nhất từ H vào H

(ii) {fi}∞i=1 là một khung chặt của H khi và chỉ khi S = λI, trong đó

λ là cận khung của {fi}∞i=1

Hệ khung có số phần tử nhiều số phần

tử cần thiết để sở Đặc biệt, {fj}kj=1 khung H và{ gj}mj=1... {fk}∞k=1 khung với toán tử khung S cáccận khung A, B Khi ta có khẳng định sau

1 S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp toán tử dương

2 S−1fk ∞k=1 khung. ..

là khung H Ngược lại, giả sử {fj}mj=1 khung H

và cận dưới, tương ứng A, B span {fj}mj=1 6= H Khi đótồn 6= f ∈ H cho