Luận văn giá trị của hàm zeta riemannn

Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ông tuyên bố rằng đã xác định được tấ t cả các giá trị C2, C4, C6> •••• Thêm nữa, ông cũng đã khám phá mối liên hệ đẹp đẽ giữa

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • •

===8dBŨIcs===

PHẠM THỊ PHƯỢNG

GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s N g u y ễ n V ăn H ào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 nẫm 2015

T ác g iả

P h ạ m T h ị P h ư ợ n g

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của T S N g u y ễ n V ăn H ào

Tôi xin cam đoan luận văn “G iá t r ị c ủ a h à m z e ta R ie m a n n ”không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hầ Nội, tháng 7 năm 2015

T ác giả

P h ạ m T h ị P h ư ợ n g

M ục lục

1.1 Số phức và m ặt phẳng p h ứ c 3

1.1.1 Xây dựng tập hợp số p h ứ c 3

1.1.2 Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức 5 1.1.3 Hàm chỉnh h ì n h 6

1.1.4 Chuỗi lũy t h ừ a 8

1.1.5 Tích phân p h ứ c 12

1.1.6 Không điểm, cực đ i ể m 22

1.1.7 Thặng dư của hàm biến p h ứ c 26

1.2 Hàm g a m m a 31

2 M ộ t số v ấn đ ề về g iá t r ị c ủ a h à m z e ta R ie m a n n 37 2.1 Hàm zeta R ie m a n n 37

2.1.1 Khái niệm về hàm zeta Riemann 37

2.1.2 Một số công thức biểu diễn khác của hàm zeta R ie m a n n 38

2.1.3 Thác triển của hàm zeta R iem an n 40

2.2 Vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm

nguyên dương c h ẵ n 46

2.2.1 Biểu diễn gốc của số B e rn o u lli 46

2.2.2 Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải t í c h 48

2.2.3 Đa thức B e rn o u lli 51

2.2.4 Một số tính chất của đa thức B e rn o u lli 51

2.2.5 Kết quả của Euler 52

2.2.6 Mối quan hệ giữa ((h) và B k 53 2.3 Giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương 55

Mở đầu

1 L ý d o ch ọ n đ ề tà i Hàm zeta Riemann là một trong những hàm quan trọng và có sức cuốn hút rất lớn đối với giới Toán học Nhà toán học L Euler là người đầu tiên giới thiệu hàm này, nó được định nghĩa bởi chuỗi

Chuỗi này hội tụ khi s là số phức với Re(s) > 1.

Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ông tuyên bố rằng đã xác định được tấ t cả các giá trị C(2), C(4), C(6)> •••• Thêm nữa, ông cũng đã khám phá mối liên hệ đẹp đẽ giữa các số nguyên tố với hàm C(s )- Tuy nhiên, giới Toán học đương thời khi đó chưa đánh giá cao về sự kiện này Mãi đến năm 1859, qua sự thác triển

Riemann, các nhà Toán học mới thực sự thấy được tầm quan trọng của vấn đề trên đây Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàm zeta Riemann vẫn còn chứa đựng nhiều sự huyền bí Điều này, ta có thể nói ngay đến việc ngoài các không điểm tầm thường của hàm này

mức độ mang tính phỏng đoán Đây là một trong bảy giả thuyết của Riemann, mà đến nay vẫn chưa giải quyết được

Ngoài vấn đề trên đây, hiện nay người ta cũng rất quan tâm đến việc tính giá trị của hàm zeta Riemann, đã có một số phương pháp tính

các giá trị của hàm C(2n) Chẳng hạn, ta có thể kể đến phương pháp

khai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng một số phương trình

n= 1

hàm, dùng thặng dư của hàm biến phức Tuy nhiên, việc tính giá trị của hàm zeta Riemann với số mũ lẻ C(2ft + 1) vẫn còn là vấn đề hiện được các nhà Toán học quan tâm và cũng chưa có được các kết quả

đẹp như giá trị của C(2n) Năm 1979, Apéry [1], chứng minh được

rằng các giá trị C(2) và C(3) là các số vô tỷ Gần đây hơn năm 2001, Zudilin [8] cũng đã chỉ ra rằng các giá trị C(3), C(5), C(7), C(9), C (ll) cũng là các số vô tỷ

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên dương lẻ, nên tôi đã chọn đề tài “G iá t r ị c ủ a h à m

z e ta R ie m a n n ”

2 M ụ c đ ích n g h iê n cứu Tìm hiểu một số vấn đề về hàm zeta Rie- mann Giới thiệu một phương pháp tính giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên dương lẻ

3 N h iệ m v ụ n g h iê n cứu Nghiên cứu các giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên dương lẻ

4 Đ ối tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iê n cứu Trình bày một số kết quảnghiên cứu về hàm zeta Riemann và một số kỹ th u ật tính tổng của hàm này

5 P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứu Sưu tầm , phân tích, tổng hợp tài liệu

6 Đ ó n g góp c ủ a đề tà i Trình bày một số phương pháp tính giá trị của hàm zeta Riemann Đặc biệt, việc tính giá trị của hàm này tại các số nguyên dương lẻ

Chương 1

K iến thức chuẩn bị

1.1.1 X ây d ự n g tậ p h ợ p số p h ứ c

Số phức là số có dạng 2 = X + iy, với ĩ , Ị / ẽ I với ỉ là đơn vị ảo mà

i2 = —1 Ta gọi X là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu lần lượt bởi

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo Phép

cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường

như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng ỉ2 = —1 Ta có

Z ị + Z 2 = {xi + x 2) + i{yx + y2y,

và

Z 1 Z 2 =(xi + iyi){x2 + iy2)

=XiX2 + i x xy2 + iyiX2 + i2y m

= {XịX2 - 2/12/2) + i{x 1Ỉ/2 + ỉ№ )

Với mỗi số phức z = X + «y, ta xác định modul của số phức z là giá trị \z\ = \ / X1 + y2 Số phức liên hợp của số phức z = X + iy được ký hiệu và xác định bởi z = X — iy Không khó khăn, ta có thể kiểm tra

được các mối liên hệ dưới đây

và

1

z = r.eiớ; với r > 0,0 <E M

Trong đó r là modul và 6 được gọi là argument của số phức z và ký hiệu là ãĩgz (argument của số phức z được xác định một cách duy

nhất với sự sai khác một bội của 2 t ĩ ) Argument của số phức 2 thỏa mãn 0 < arg2 < 2tĩ được gọi là argument chính, ký hiệu là ph,z Ta có

eie = cosỡ + ỉ sin в.

Bởi vì IeíớỊ = 1, nên r = \z\ và 9 là góc hợp bởi chiều dương của trục

Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối

cùng, ta lưu ý rằng nếu z — r.eie và w — s.eiỉp thì Z.W —r.s.e^ö+v^.1.1.2 M ộ t số k h á i n iệ m về to p o t r ê n m ặ t p h ẳ n g p h ứ c

Cho zữ e с và r > 0 Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp

Tập íì được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó c \ í ĩ là mở Điểm

z £ С được gọi là điểm giới hạn của tập íĩ nếu tồn tại một dãy các

điểm zn £ íĩ sao cho zn Ф z và lim zn = z Chúng ta có thể kiểm tra

ĩl—>00

được rằng một tập Гì là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập гì là hợp của ri và các điểm giới hạn của nó, được

ký hiệu là ri Biên của ri được kí hiệu và xác định bởi ỡfì = íẠ intíỉ Tập Q là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho

\z\ < M ; với mọi z £ ri.

Nếu tập Q là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số

diam (rỉ) = sup { \ x — y\ : X, y G ri}

được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng fil và ÍỈ2 sao cho = fil и ÍỈ2 và fil П ÍỈ2 = 0- Một tập mở liên thông

trong С được gọi là một miền Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = Fl u F2; ỏ đó Fi và F2 là các tập đóng rời nhau.

1.1.3 H à m c h ỉn h h ìn h

Cho hàm phức f ( z ) xác định trên tập mở Q Hàm f ( z ) được gọi là

C —khả vi tại điểm z0 € íỉ nếu tồn tại giới hạn của biểu thức

khi h —»0, ở đ ó O ^ / i ẽ C với z0 + h G ri Giới hạn trên được ký hiệu bởi ĩ ' (^o) và gọi là đạo hàm phức của hàm f ( z ) tại điểm z0 Như vậy,

Hàm / được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm zữ € nếu tồn tại đĩa

mở nào đó Dr(z0) С íỉ sao cho / là C —khả vi tại mọi điểm thuộc đĩa

của Q Nếu M là tập đóng của c , ta nói / là chỉnh hình trên M nếu / là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm / chỉnh hình

trên С được gọi là hàm nguyên

Hàm f ( z ) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong с và

không có giới hạn khi h —»■ 0.

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f ( z ) là chỉnh hình tại zữ € Q nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho

f ( z 0 + h) - f ( z ữ) = a.h + h.ip(h); (1 2)

với Ф{К) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim Ip(h) = 0 Dĩ nhiên,

h-ị 0

ta có а = f ' ( z 0).

Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm

hai biến có sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm f ( z ) = Z không

khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ

F : (x , y ) —»■ ( x , —y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo

hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 x 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa

độ Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được phản ánh qua kết quả dưới đây

Đ ịn h lý 1.1.1 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Điều kiện cần và đủ

để hàm phức f ( z ) = u(x, y ) + iv(x, y ) khả vi tại điểm z = X + ỉy ỉà

tại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng liên tục của các hàm u ( x , ỳ)

và v ( x , y); đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann

Đ ịn h lý 1.1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa Ỵ2 a n Z n ■ Khi đó, tồn

n = 0

tại số 0 < R < +oo sao cho

(i) nếu \z\ < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối;

(ii) nếu \z\ > R thì chuỗi phân kỳ.

Hơn nữa, nếu ta sử dung quy ước — — oo và — = 0, thì số R đươc

Chứnq minh Bởi vì lim 77," = 1 , nên ta có

nTo0lim su p |a„|" = lim s u p |n a n|"

ở vế phải là phần dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt đối với mọi 1^1 < R Do đó, với mọi £ > 0 tồn tại Nị sao cho với mọi

H ệ q u ả 1.1.1 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của

nó Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.

Một hàm f ( z ) xác định một tập con mở ri được gọi là giải tích (hoặc

có khãi triển chuỗi lũy thừã) tại điểm Z q G íì nếu tồn tại chuỗi lũy

với mọi z trong lân cận của điểm Z q

Nếu f ( z ) có khai triển chuỗi lũy thừa tại mọi z ẽ fỉ, thì ta nói rằng

f ( z ) giải tích trên fỉ Từ định lý 1.1.3, ta thấy rằng một hàm giải tích

trên Q thì cũng chỉnh hình trên đó.

K h a i tr iể n ch u ỗ i lu ỹ th ừ a c ủ a m ộ t số h à m sơ cấ p

1.1.5 T íc h p h â n p h ứ c

Lý thuyết tích phân phức được xây dựng trên nền là đường cong trong

m ặt phẳng phức Trước khi giới thiệu khái niệm tích phân phức, chúng tôi trình bày một số khái niệm cần thiết về đường cong trong m ặt phẳng phức

Đ ư ờ n g co n g th a m số Đường cong tham số là một hàm

z : [a, b] —> c

t z ( t ) = x ( t ) + iy{t).

Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z'(t) liên tục trên

các đại lượng z'(a) và z'(b) được hiểu như các giới hạn môt phía

z (a) = lim - 7 - và z (b) — lim - 7 -

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z ( t ) liên tục trên đoạn [a, b] và

tồn tại các điểm a0 = a < ữi < < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ajfc,ữfc+i] Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm aỵ có thể

Hai đường cong tham số z : [a, &] -> c và 2 : [c, d] —> c được gọi là

tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s —> t( s ) từ [c, d]

đến [a, 6] sao cho t'(s) > 0 và z(s) = 2 (t(s)) Điều kiện t'(s) > 0 đảm

bảo hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t( s ) chạy từ a đến b Họ của tấ t cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác

z(b) Đường cong được gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa

Đ ịn h n g h ĩa tíc h p h â n p h ứ c Cho 7 là đường cong được định hướng

dương và được tham số hóa bởi phương trình z : [a, 6] —¥ c Giả sử

/ là hàm liên tục trên 7 Tích phân của hàm / dọc theo 7 được xác định bởi

V í d ụ 1.1.3 Giả sử 7 là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham

số z = z(t);t e [a, 6] với các điểm đầu mút z(a) và z(b) Khi đó, các

tích phân dưới đây được tính như sau

Đ ịn h lý 1.1.4 Nếu hàm f ( z ) /iển tục và có một nguyên hàm F trên

ÍỈ, và 7 là một đường cong trong íỉ có điểm đầu là U3i và điểm cuối U)2

thì

Ị f ( z ) d z = F( oj 2) - F M

7

Chứng minh Nếu 7 là một đường cong trơn và z(t) : [a,b] —> c là

hàm f ( z ) liên tục và có nguyên hàm trong íĩ thì

Ị f ( z ) d z = 0

7

H ệ q u ả 1.1.3 Nếu f ( z ) chỉnh hình trong miền íỉ và f ' ( z ) — 0 thì

f(z) là hàm hằng.

Chứng minh, c ố định điểm ujữ £ íĩ Bởi vì íỉ liên thông nên với điểm

bất kỳ UJ £ íĩ, tồn tại đường cong 7 nối UI với ÜJ0- Ta có

Từ các ví dụ 1.1.2 và 1.1.3, chúng ta thấy rằng các tích phân trên

theo đường cong đóng bất kỳ Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo đường cong đối với hàm chỉnh hình là

Đ ịn h lý 1.1.5 (Cauchy-Goursat) Giả sử D là một miền n-liên trong

c với biên dD gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f ( z ) là hàm

chình hình trên D liên tục trên D = D u ÕD Khi đó, ta có

„ x J z = 0

d D

Chứng minh Chúng ta viết f ( x + iy ) = u ( x , y ) + iv(x, y ) Khi đó

J f ( z ) d z = I (udx — vdy) + i(vdx + udy).

Tương tự, tích phân của phần ảo trong ngoặc cũng bằng 0 và định lý

Đ ịn h lý 1.1.6 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f ( z ) là hàm chỉnh

hình trong một miền D và zữ € D Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất kỳ 7 c D mà z0 € D1 c D thì

Từ đó, chúng ta suy ra

/ ( 0

Trường hợp f ( z ) liên tục trên D thì ta có thể thay dD cho 7 trong

Đ ịn h lý 1.1.7 (Công thức tích phẫn Cauchy đối với đạo hàm) Nếu

f ( z ) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f ( z ) khả vi vô hạn lần

Ỵị\ Ị* f (z')

f {n)(z0) = —— / - —~rúz\ vói moi zữ e D~.

J v ° ' 27ri J (z - Zo) " +1 7

7

Chứng minh Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n

Trường hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy Giả

sử công thức đúng cho trường hợp n — 1 , tức là

( n - 1 )! [ f { z )

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho zữ + h € D~f, thương vi phân đối với hàm

Đ ịn h lý 1.1.8 Giả sử là hàm biến phức liên tục trên không gian tích íỉ X [a, 6] và với mỗi t G [a, b] hàm z —> t ) chỉnh hình trên íĩ Khi đó, hàm được xác định bởi công thức

1.1.6 K h ô n g đ iể m , cực đ iể m

Điểm kì dị của một hàm phức / là một số phức zữ sao cho / chỉnh hình trong lân cận của điểm Zo trừ ra tại z0 Chúng ta cũng gọi những điểm đó là những điểm kỳ dị cô lập Chẳng hạn, hàm f ( z ) = -

z

xác định trên m ặt phang thủng thì gốc là điểm kỳ dị Tuy nhiên, bằng cách đặt /(0 ) = 1 thì thác triển nhận được là hàm liên tục Trong trường hợp này người ta gọi những điểm như vậy là các điểm kỳ dị bỏ được

Trường hợp g(z) = —, hàm này xác định trong nửa m ặt phẳng thủng.

z

Rõ ràng g không thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều so với hàm chỉnh hình Chúng ta thấy rằng g(z) tiến đến oo khi

2 dần đến 0 và chúng ta nói 0 là một cực điểm của nó Cuối cùng là

trường hợp hàm h (z ) = e* trong m ặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm

kì dị và cực điểm không nói lên điều gì Thực vậy, hàm h ( z) tiến tới

vô cực khi z dần đến 0 trên trục thực dương, trong khi h(z) tiến đến

0 trên trục thực âm và h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dần đến 0 trên trục ảo Điểm kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu

số của phân số triệt tiêu nên chúng ta bắt đầu với một nghiên cứu địa phương các không điểm của hàm chỉnh hình

Số phức z0 là không điểm đối với hàm chỉnh hình / nếu f ( z 0) = 0 Đặc biệt thác triển chỉnh hình cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hình không tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu / là chỉnh

hình trong D và f(zo) = 0 với zữ G D nào đó thì tồn tại một lân cận

mở u của z0 sao cho f ( z) Ỷ 0 v<3i mọi z £ u \ {z0} , trừ khi / đồng nhất 0 Chúng ta bắt đầu bằng việc mô tả tính địa phương của các hàm chỉnh hình gần một không điểm của nó

Đ ịn h lý 1.1.9 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D,

có một không điểm tại z0 G D và không đồng nhất bằng không trong

D, một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên u và một số nguyên dương duy nhất k sao cho

f ( z ) = (z — zữ)kg(z)', với mọi z G u.

Chứng minh Vì D liên thông và / không đồng nhất 0 trong D nên

/ không đồng nhất 0 trong một lân cận đủ nhỏ của zữ Trong đĩa đủ nhỏ tâm tại z0 hàm / có khai triển lũy thừa

00

f ( z ) = ^ Z aÁ z ~

zữý-3= 0

Vì / không đồng nhất 0 khi z đủ gần z0, nên tồn tại số nguyên dương

k nhỏ nhất sao cho ũk Ỷ 0 Thế thì, chúng ta có thể viết

f ( z ) = { z - z0)k [ak + ak+1(z - z0) + .] = (z - z0)kg( z);

ở đó g được xác định bởi chuỗi lũy thừa trong ngoặc và do đó chỉnh

hình và không đâu triệt tiêu với tấ t cả 2 gần z0 (vì ữjfc Ф 0) Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ tính duy nhất của số nguyên k Giả sử rằng

chúng ta còn có thể viết

f { z ) = (z - z0)kg{z) = (z - z0)mh(z);

ở đó h (z ) Ỷ 0- Nếu m > k, thì có thể chia cho (z — z0)k để thấy rằng

g(z) = ( z - zò)m~kh(z)]

và cho z —> zữ ta nhận được mâu thuẫn g(z) = 0 Nếu m < k, thì lập

Bây giờ chúng ta có thể mô tả chính xác các loại điểm kỳ dị qua hàm

f ( z )

của điểm z0 là đĩa mở tâm tại Z q trừ ra điểm zữ, đó là tập hợp

{z : 0 < \z — z0\ < r} , với r > 0 Lúc này, ta nói z0 là cực điểm của

Như một hệ quả của định lý 1.1.9, chúng ta có

Đ ịn h lý 1.1.10 Nếu f ( z ) có một cực điểm tại z0 € D, thì trong một

lăn cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h (z ) không triệt tiêu và

số nguyên dương к duy nhất sao cho

/ w = - Ш -

J v ' / \k

[ Z - Z q )

của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0

Nếu cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Tiếp theo chúng ta sẽ nói về khai triển chuỗi lũy thừa của một hàm tại cực điểm

Đ ịn h lý 1.1.11 Nếu f có cực điểm bậc к tại z0, thì

0 < \z — z ữ \ < r nhưng không chỉnh hình tại điểm Z q Xét tích phân

L i ! ỉ{z)dz'

7

gọi là thặng dư của hàm / tại điểm zữ và ký hiệu là

Chứng minh (ỉ ) Giả sử hàm f ( z ) có khai triển Laurentz là

Trên đường tròn lp = {\z — Zo\ = p < r} chuỗi hội tụ đều, nên ta có

thể tính tích phân từng số hạng của chuỗi ta được

Cnzn-Lấy tích phân từng phần trên 7^ ta được

□

H ệ q u ả 1.1.4 Tại điểm khử được zữ G c thặng dư của hàm bằng 0.

Khi không biết khai triển Laurentz của hàm / tại một cực điểm zữ nào

đó, ta cũng có thể tính thặng dư của hàm tại điểm đó theo phương

pháp của định lý sau

Đ ịn h lý 1.1.13 Ta có các khẳng định

(ỉ) nếu z0 là cực điểm cấp một của hàm f ( z ) thì

Chứng minh (ỉ ) Giả sử z0 là cực điểm cấp một và khai triển Laurentz

của hàm tại lân cận đó có dạng