Giá trị của hàm zeta riemannn (LV01755)

Euler là người đầu tiên giới thiệu hàm này, nó được định nghĩabởi chuỗi Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ôngtuyên bố rằng đã xác định được tất cả các giá trị ζ2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

=== ===

PHẠM THỊ PHƯỢNG

GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hào,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoànthành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Phạm Thị Phượng

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Tôi xin cam đoan luận văn “Giá trị của hàm zeta Riemann”không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi xin hoàn toànchịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Phạm Thị Phượng

Mục lục

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 3

1.1.1 Xây dựng tập hợp số phức 3

1.1.2 Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức 5 1.1.3 Hàm chỉnh hình 6

1.1.4 Chuỗi lũy thừa 8

1.1.5 Tích phân phức 12

1.1.6 Không điểm, cực điểm 22

1.1.7 Thặng dư của hàm biến phức 26

1.2 Hàm gamma 31

2 Một số vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann 37 2.1 Hàm zeta Riemann 37

2.1.1 Khái niệm về hàm zeta Riemann 37

2.1.2 Một số công thức biểu diễn khác của hàm zeta Riemann 38

2.1.3 Thác triển của hàm zeta Riemann 40

2.2 Vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm

nguyên dương chẵn 46

2.2.1 Biểu diễn gốc của số Bernoulli 46

2.2.2 Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải tích 48

2.2.3 Đa thức Bernoulli 51

2.2.4 Một số tính chất của đa thức Bernoulli 51

2.2.5 Kết quả của Euler 52

2.2.6 Mối quan hệ giữa ζ(k) và Bk 53 2.3 Giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương 55

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Hàm zeta Riemann là một trong những hàmquan trọng và có sức cuốn hút rất lớn đối với giới Toán học Nhà toánhọc L Euler là người đầu tiên giới thiệu hàm này, nó được định nghĩabởi chuỗi

Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ôngtuyên bố rằng đã xác định được tất cả các giá trị ζ(2), ζ(4), ζ(6), Thêm nữa, ông cũng đã khám phá mối liên hệ đẹp đẽ giữa các sốnguyên tố với hàm ζ(s) Tuy nhiên, giới Toán học đương thời khi đóchưa đánh giá cao về sự kiện này Mãi đến năm 1859, qua sự thác triểnhàm này lên toàn mặt phẳng phức C trừ ra tại s = 1 của nhà toán họcRiemann, các nhà Toán học mới thực sự thấy được tầm quan trọngcủa vấn đề trên đây Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàmzeta Riemann vẫn còn chứa đựng nhiều sự huyền bí Điều này, ta cóthể nói ngay đến việc ngoài các không điểm tầm thường của hàm nàytại −2, −4, −6, thì sự phân bố của các không điểm khác vẫn chỉ ởmức độ mang tính phỏng đoán Đây là một trong bảy giả thuyết củaRiemann, mà đến nay vẫn chưa giải quyết được

Ngoài vấn đề trên đây, hiện nay người ta cũng rất quan tâm đến việctính giá trị của hàm zeta Riemann, đã có một số phương pháp tínhcác giá trị của hàm ζ(2n) Chẳng hạn, ta có thể kể đến phương phápkhai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng một số phương trình

hàm, dùng thặng dư của hàm biến phức Tuy nhiên, việc tính giá trịcủa hàm zeta Riemann với số mũ lẻ ζ(2n + 1) vẫn còn là vấn đề hiệnđược các nhà Toán học quan tâm và cũng chưa có được các kết quảđẹp như giá trị của ζ(2n) Năm 1979, Apéry [1], chứng minh đượcrằng các giá trị ζ(2) và ζ(3) là các số vô tỷ Gần đây hơn năm 2001,Zudilin [8] cũng đã chỉ ra rằng các giá trị ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)cũng là các số vô tỷ.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giá trị của hàm zeta Riemanntại các số nguyên dương lẻ, nên tôi đã chọn đề tài “Giá trị của hàmzeta Riemann”

2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu một số vấn đề về hàm zeta mann Giới thiệu một phương pháp tính giá trị của hàm zeta Riemanntại các số nguyên dương lẻ

Rie-3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các giá trị của hàm zetaRiemann tại các số nguyên dương lẻ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trình bày một số kết quảnghiên cứu về hàm zeta Riemann và một số kỹ thuật tính tổng củahàm này

5 Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu

6 Đóng góp của đề tài Trình bày một số phương pháp tính giátrị của hàm zeta Riemann Đặc biệt, việc tính giá trị của hàm này tạicác số nguyên dương lẻ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

1.1.1 Xây dựng tập hợp số phức

Số phức là số có dạng z = x + iy, với x, y ∈ R với i là đơn vị ảo mà

i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu lần lượt bởi

Rez = z + ¯z

2 , Imz =

z − ¯z2ivà

1

z =

¯z

|z|2,

1

z =

¯z

|z|2, với z 6= 0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực

z = r.eiθ; với r > 0, θ ∈ R

Trong đó r là modul và θ được gọi là argument của số phức z và kýhiệu là argz (argument của số phức z được xác định một cách duynhất với sự sai khác một bội của 2π) Argument của số phức z thỏamãn 0 ≤ argz < 2π được gọi là argument chính, ký hiệu là phz Ta có

eiθ = cosθ + i sin θ.

Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục

Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuốicùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

1.1.2 Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức

Cho z0 ∈ C và r > 0 Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r} ;đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp

Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở Điểm

z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy cácđiểm zn ∈ Ω sao cho zn 6= z và lim

n→∞zn = z Chúng ta có thể kiểm tra

được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, được

ký hiệu là ¯Ω Biên của Ω được kí hiệu và xác định bởi ∂Ω = ¯Ω\intΩ.Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho

|z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω

Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số

diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn Tập mở Ω ⊂ Cđược gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng

Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1∪ Ω2 và Ω1∩ Ω2 = ∅ Một tập mở liên thôngtrong C được gọi là một miền Tập đóng F là liên thông nếu khôngthể viết F = F1 ∪ F2; ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau

Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại đĩa

mở nào đó Dr(z0) ⊂ Ω sao cho f là C−khả vi tại mọi điểm thuộc đĩa

đó Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểmcủa Ω Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu

f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hìnhtrên C được gọi là hàm nguyên

Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu vàchỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho

f (z0 + h) − f (z0) = a.h + h.ψ(h); (1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim

h→0ψ(h) = 0 Dĩ nhiên,

ta có a = f0(z0)

Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàmhai biến có sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm f (z) = ¯z khôngkhả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ

F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạohàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thứcJacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa

độ Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được phản ánh qua kếtquả dưới đây

Định lý 1.1.1 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Điều kiện cần và đủ

để hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy làtại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng liên tục của các hàm u(x, y)

và v(x, y); đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy Riemann

1.1.4 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Định lý 1.1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

anzn Khi đó, tồntại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối;

(ii) nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1

0 = ∞ và

1

∞ = 0, thì số R đượctính bởi công thức

∞

P

n=0

anzn xác định một hàmchỉnh hình trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f (z) cũng là mộtchuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗivới hàm f (z), tức là

Chứng minh Bởi vì lim

n→∞nn = 1, nên ta cólim

(z0 + h)n − z0n

h

ở vế phải là phần dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệtđối với mọi |z| < R Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi

N ≥ N1 ta có