TOÁN ÔN THI -HÌNH 12

ky niem DaLat1995GV:BÙI NGỌC LINH... Tương tự như cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng ta tìm được : α... 2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

ky niem DaLat1995

GV:BÙI NGỌC LINH

0 0 0 0

d(M ,( ))

x

y

z

M 0

H

n 

Khoảng cách

1-Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho một điểm

M o = (x o ; y o ; z o ) và một mặt phẳng (α):

Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d(M o , (α)) là khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (α).

Tương tự như cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng ta tìm được :

α

2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giả sử điểm M 1 không thuộc ∆ Khi đó hình bình hành M o M 1 M 2 M 3

với

sẽ có diện tích

Từ đó

Khi M 1 ∈ ∆ thì H ≡ M 1 nên M 1 H = 0 ; do đó công thức (*) cũng

đúng cho trường hợp M 1 thuộc đường thẳng ∆ Vậy nếu kí hiệu d(M 1 ,

∆) là khoảng cách từ một điểm M 1 đến đường thẳng ∆ thì :

0

y

x

z

M 0

M 1 M 2

M 3 H

0 3 1 2

M uuuuuur uuuuuur r M = M M = u

0 1 1

0 3

(*)

M u S

M H

uuuuuur r

r

0 1

S =   uuuuuur r M u  

0 1 1

M ,

d M

u

∆ =

uuuuuur r

r

∆

x-x y-y z-z :

3-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau Đường thẳng ∆ đi qua điểm M o , có vectơ chỉ phương Đường thẳng ∆’ đi qua điểm M’ o có vectơ chỉ phương

Ta hãy tìm khoảng cách giữa ∆ và ∆’ Gọi H là hình hộp

M 0 M 1 M 2 M 3 .M’ 0 M’ 1 M’ 2 M’ 3 với

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình hộp trên, tức là chiều cao của hình hộp.

Nếu gọi d(∆, ∆’) là khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ thì :

Vậy

u r

u' r

M M uuuuuur r = u

0 3 M' M ' = u ' uuuuuuuur r

0 1 2 3

H

M ,M M ' [ , '].M ' V

d( , ')

[ , ']

S M M M [M ,M

u u

uuuuuur uuuuuur uuuuuuuur r r uuuuuuur

uuuuuur uuuuuur r r

0 0

d( , ')

[ , ']

u u

∆ ∆ =

uuuuuuur

r r

r r

0 1 2 3

0 1 0 3 0 0 0 0 H

V d( , ')

[ , ']

S M M M [M ,M

u u

d( , ')

[ , ']

u u

∆ ∆ =

uuuuuuur

r r

r r

x

z

y

o

∆

∆’

3

M’ 1

M’ 2

M 0

M 3

M 1

M 2

Ố

Bài tập1 : Tìm khoảng cách từ điểm M 0 (1;-1;2) , M 1 (3;4;1) ,

M 2 (-1;4;3) đến mặt phẳng:x+2y+2z-10=0

GIẢI:

0

1(1) 2(-1) 2(2) 10 7 7 d(M ,( ))

3

1 2 2

+ +

Khoảng cách từ điểm M 1 (3;4;1) dến (α): x+2y+2z-10=0 là:

1

+ +

Khoảng cách từ điểm M 0 (1;-1;2) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là:

Khoảng cách từ điểm M 2 (-1;4;3) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là:

2

+ +

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt

phẳng:2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z-1=0 GIẢI: M(x;y;z) cách đều hai mặt phẳng:2x-y+4z+5=0 và

3x+5y-z-1=0 nên ta có:

2x-y 4z 5

+ + + +

⇔

+ + +

⇔

2x-y 4z 5

3

5

+

=

=





= −









Bài 3:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:Ax+By+Cz+D=0và Ax+By+Cz+D’=0 vơi D≠D’

GIẢI: Điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc mặt thứ nhất hay:

Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay:Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D

Khoảng cách từ M 0 dến mặt thứ hai là:

0

d(M ,( ))

D D

Bài 4:Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2;3;4) và mặt

phẳng:2x+3y+z-17=0

GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M 0 (0;0;z 0 ) ta có:

0

2.0 3.0 4z -17

z

+ +

= + + − + +

0

17

14

z

z

−

⇔ = + − Giải ra được z 0 =3

BÀI 5:

Trên trục Oy tìm điểm cách đều haiø mặt phẳng:x+y-z+1=0 và x-y+z-5=0

GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M 0 (0;y 0 ;0) ta có:

+ + + − + −

= + + − + − + Giải ra được y0 00 =-3

y + = − − y

⇔

Bài 6:Tính khoảng cách từ điểm M 0 (2;3;1) và M 1 (1;-1;1) đến

đường thẳng : x 2 y-1 z 1

1 2 -2

Giải: M(-2;1;-1)∈∆ MM uuuuur0 = (4; 2;2)

0

2 2 2 1 1 2

1 2 ( 2)

M u

d M

+ + −

uuuuur r

1 (3; 2; 2)

MM = −

uuuuur

M(-2;1;-1)∈∆

0

2 2 2 1 1 2

1 2 ( 2)

M u

d M

+ + −

uuuuur r

M 1 (1;-1;1)

Bài 7:Tính khoảng cách từ điểm (2;3;-1) tới đường thẳng:

{ x y-2z-1 0

x 3y 2z 2 0 + =

+ + + =

Giải:

{ x y-2z-1 0

x 3y 2z 2 0 + =

5

x 4

2 3

y 2

2

t t

z t





 = +



⇔ 

 = − −



 =



Đường thẳng này qua điểm: ( ; 5 3 ;0)

2 2

1 9 ( ; ; 1)

2 2

MM = − −

uuuuur

M 0 (2;3;-1)

Véc tơ chỉ phương: u r = (4; 2;1) −

2 2 2

2 1 1 4 4 2

9 1 1 9

1 1

205

2 2 2 2 ( )

4 ( 2) 1

d M

Bài 8:tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

1 ) 1

1

x t

z

= +



 = − −



 =



và 2 3 2 3

3

x t

z t

= −



 = − +



 =



Giải:

[ , '].M ' d( , ')

[ , ']

u u

∆ ∆ =

uuuuuuur

r r

r r

Ta có:

0(1; 1;1)

M − M ' (2; 2;0)0 −

0 0 ' (1; 1; 1)

uuuuuuur

(1; 1;0)

u r − u r '( 1;1;1) − d( , ') ∆ ∆ = 0

{ 2x-z-1 0

)

-x-y 4 0

3y 3z 6 0 + =

− − =

và Bài 8:Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

4

1 2

x t

y t

=



 = −



 = − +



{ 2x-z-1 0

-x-y 4 0 =

Giải Đường thẳng qua điểm M

0 (0;4;-1) Véc tơ chỉ phương : u r (1; 1; 2) −

{ 3x y-2 0

3y 3z 6 0 + =

3

x t

y t

z t

=



 = −



 = −



⇔ Đường thẳng qua điểm M’ 0 (0;2;0)

Véc tơ chỉ phương : u r '(1; 3; 3) − −

0 '0 (0; 2;1)

uuuuuuur

-1 2 2 1 1-1

-3 3 -3 1 1 -3

r ur

0 0

0 0

d( , ')

u u

−

+ +

uuuuuuur

r r

r r

Bài 8:Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

x 1 y 3 z 4

2 1 -2

− = + = − x 2 y-1 z 1

-4 -2 4

và

Đương thẳng thứ nhất qua điểm M 0 (1;-3;4) Véc tơ chỉ phương : u r (2;1; 2) − Đương thẳng qua điểm M’ 0 (-2;1;-1) Véc tơ chỉ phương :u r '(2;1; 2) − M M uuuuuuur0 '0 = − ( 3;4; 5) −

Giải

0 0

Hai đường thẳng này song song nên có khoảng cách là:

1 2 2 2 2 1

4 5 5 3 3 4 ( , ') ( )

2 1 ( 2)

9 256 121 386

+ + − + +

Bài 9:Bằng phương pháp toạ dộ, hãy tìm khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương và đường chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau,biết cạnh hình lập phương bằng a

Giải:

A

x

y

z

B C

D

D’

C’

CHỌN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ sao cho:

A(0;0;0 ) B(0;a;0)

B’(0;a;a) D’(a;0;a)

a

a a

BD’có véc tơ chỉ phương(1;-1;1)

uuuur

AB’ có véc tơ chỉ phương(0;1;1)

' (0; ; )

uuuur

6

a

AB BD =

(0; ;0)

uuur

Aùp dụng công thức khoảng cách