Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan A. Sơ đồ khảo sát hàm số: 1. Txđ 2. Sự biến thiên a) Giới hạn và tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận của các hàm phân thức) b) Bảng biến thiên: - Tính y - Tìm các điểm x i sao cho phơng trình y (x i ) = 0. Tính y(x i ) - Lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị. 3. Vẽ đồ thị: - Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc một số điểm đặc biệt) - Vẽ đồ thị . B. Bài tập I. Dạng 1: Khảo sát hàm bậc 3, y = ax 3 + bx 2 + cx + d VD1 : Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 - 2 a) Khảo sát hàm số. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn. Giải: a) Khảo sát hàm số: 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: lim x y = m b) Bảng biến thiên: y = - 3x 2 + 6x, y = 0 - 3x 2 + 6x = 0 1 1 2 1 0 2 2 2 x y x y = = = = - Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) và nghịch biến trên khoảng (- ; 0) và (2 ; +) - Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) 3. Đồ thị : - Điểm uốn : y = - 6x + 6; y = 0 khi x = 1 y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0) - Giao Ox : (1 3;0); (1 3; 0); (1;0)A B U + - Giao Oy : D(0 ; -2) Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng. b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0) Hệ số góc k = f(1) = 3 Vậy ta có phơng trình tiếp tuyến là : y - y 0 = k(x - x 0 ) hay : y - 0 = 3(x - 1) y = 3x - 3 Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba : 1. Txđ: R 2. 0 lim ; 0 lim x x a y a y > = < = m 1 x - 0 2 + y - 0 + 0 - y + 2 -2 - 2 -2 y x O Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán 3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y > 0 hoặc y < 0 x R) 4. Tìm điểm uốn trớc khi vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: 3 12 12y x x= + (C) a) Khảo sát hàm số. b) Tìm giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = - 4 Bài 2: Cho hàm số 3 2 1 ( ) 3 y x x C= (Đề thi TN 2002) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0) Bài 3: Cho hàm số 3 1 3 ( ) 4 y x x C= (Đề TN 2001) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 3 (d) c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d) Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x 3 - (m + 2)x + m a) Tìm m để hàm số có cự đại tơng ứng với x = 1 b) Khảo sát hàm số tơng ứng với m = 1(C) c) Biện luận số giao điểm của (C) với đờng thẳng y = k Bài 5 : (Đề 97) Cho hàm số y = x 3 - 3x + 1 (C) a) Khảo sát hàm số (C) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đờng thẳng x = 1 Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9 (C) a) Khảo sát hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn. c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm của phơng trình x 3 - 6x 2 + 9 - m. d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đờng thẳng x = 1 và x = 2 Bài 7 : Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + x + 1 (1) a) Khảo sát hàm số ứng với m = - 2 b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cự đại và cực tiểu Bài 8: Cho hàm số y = x 3 - 3mx + m (C m ) a) Khảo sát với m = 1 b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 9 : Cho hàm số y = - x 3 + 3x + 2 (C) a) Khảo sát hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành Bài 10 : Cho hàm số 3 2 1 2,( ) 3 y x x C= + a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng d: 1 2 3 y x= + II. Dạng 2: Hàm số bậc 4 trùng phơng y = ax 4 + bx 2 + c VD2: Cho hàm số 4 2 1 9 2 ( ) 4 4 y x x C= + + a) Khảo sát hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành 2 6 4 2 y 5 x O 1 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán c) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Giải: a) Khảo sát hàm số 1. Tập xác định : R 2. Sự biến thiên a) Giới hạn: lim x y = b) Bảng biến thiên: 1 1 3 2,3 2,3 9 0 4 y' = - x + 4x; y' = 0 25 2 4 x y x y = = = = x - - 2 0 2 + y + 0 - 0 + 0 - y 25 4 25 4 - 9 4 - Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) và (2; +) Cực trị: CD CD 25 9 x = 2 y = ; 0 4 4 CT CT x y = = 3. Đồ thị : (H2) - Điểm uốn: y = - 3x 2 +4; y = 0 2 161 36 3 x y = = - Giao với Ox : A(-3 ; 0) và B(3 ; 0) - Giao Oy : 9 (0; ) 4 C (H2) b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành là : 3 3 3 4 4 5 3 2 2 3 3 3 9 9 2 9 2 ( 2 ) ( ) 9 4 4 4 4 20 3 4 x x x x x S x dx x dx = + + = + + = + + = c) x 0 = 1 y 0 = 4, y(x 0 ) = y(1) = 3. Nên phơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4 = 3(x - 1), hay : y = 3x + 1. Một số lu ý khi khảo sát hàm số bậc 4 trùng phơng : a) Txđ : R b) 0 : lim x a y > = + đt hàm số có hai cực tiểu - một cực đại hoặc chỉ có một cực tiểu (y = 0 chỉ có một nghiệm, khi đó đồ thị giống đồ thị parabol) 0 : lim ; x a y < = đt hàm số có hai cực đại - một cực tiểu hoặc chỉ có một cực đại. c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận. Bài tập tự luyện : Bài 1 : Cho hàm số y = x 4 - 2x 2 - 3 (C) a) Khảo sát hàm số. b) Dựa vào (C), tìm m để phơng trình x 4 - 2x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 2: Khảo sát hàm số: y = - x 4 + 4x 2 - 5 3 2 -2 -4 y 5 x 1 O I Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Bài 3: Cho hàm số: y = x 4 + mx 2 - m - 5 (C m ) a) Khảo sát hàm số với m = 1 (C) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. c) Tìm m để (C m ) có cực đại và cực tiểu. Bài 4: Cho hàm số: 4 2 1 9 2 4 y x mx= (C m ) a) Khảo sát hàm số với m = 3. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 9 (0; ) 4 A . Bài số 5. Khảo sát các hàm số sau: 4 2 4 2 4 2 1) y x 4x 3 2) y x x 2 3) y x 2x 1 = + = + = + III. Dạng 3: Hàm số b1/b1: ( . 0) ax b y a c cx d + = + VD3: Cho hàm số: 4 ( ) 1 x y C x + = a) Khảo sát hàm số. b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = 2x + 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm trên. Giải: a) Khảo sát hàm số: 1. Tập xác định : D = R\{1} 2. Sự biến thiên : a) Chiều biến thiên: 2 3 ' 0, ( 1) y x D x = > . Nên hàm số nghịch biến trên (-; 1) và (1; +) b) Cực trị: Đồ thị hàm số không có cực trị. c) Giới hạn và tiệm cận: 1 lim x y + = x = 1 là tiệm cận đứng. lim 1 x y + = y = - 1 là tiệm cận ngang. d) Bảng biến thiên : x - 1 + y - - y + -1 -1 - 3. Đồ thị : (H3) - Giao với Ox : A(4 ; 0) - Giao với Oy : B(0 ; -4) - Đồ thị nhận I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm của(C) và đờng thẳng d là nghiệm Của phơng trình: 4 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán 1 1 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 6 0 3 5 2 x x x x y x x x y + = + = = + = = = Vậy giao điểm của (C) và đờng thẳng d là: 1 2 3 ( 2; 2), ( ;5) 2 M M - Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 1 có hệ số góc là: 1 1 '( 2) 3 k y= = Nên có phơng trình là: 1 1 8 2 ( 2) 3 3 3 y x y x+ = + = - Phơng trình tiếp của (C) tại M 2 có hệ số góc là: 2 3 '( ) 12 2 k y= = . Nên có phơng trình là: 3 5 12( ) 12 23 2 y x y x = = + Những lu ý khi khảo sát hàm b1/b1: 1. Tập xác định: \ { }. d D R c = 2. Hàm số luôn đồng biến (y >0) hoặc luôn nghịch biến (y <0) trên các khoãng xác định. 3. Đồ thị hàm số không có cực trị. 4. Giới hạn và tiệm cận: ) lim d x c d y x c + = = là tiệm cận đứng. ) lim x a a y y c c + = = là tiệm cận ngang +) Không có tiệm cận xiên. Bài số 2. Cho hàm số 3x 1 y x 3 = có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1 3) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [0; 2]. Hớng dẫn giải. 1) Hs tự khảo sát. Đồ thị: 2) Có ( ) 2 10 5 y' y'( 1) 8 x 3 = = ; y( 1) 1 = Phơng trình tiếp tuyến: ( ) 5 5 3 y x 1 1 y x 8 8 8 = + + = + 3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2]. Do đó: [ ] [ ] 0;2 0;2 1 max y y(0) ; min y y(2) 5 3 = = = = . Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hàm số: 2 1 ( ). 1 x y C x = + 5 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán a) Khảo sát hàm số. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 2: Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y C x = a) Khảo sát hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. Bài 3: Cho hàm số 4 ( ) 2 x y C x + = a) Khảo sát hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục toạ độ Bài 4: (Đề TN - 99) Cho hàm số 1 ( ) 1 x y C x + = a) Khảo sát hàm số. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tai điểm A(0; 1) Bài 5: Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x = + a) Khảo sát hàm số b) Chứng minh rằng đờng thẳng d m : y = 2x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị c) Tìm toạ độ của M thuộc đồ thị (C) sao cho điểm M cách đều các trục toạ độ Bài 6: Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x + = + a) Khảo sát hàm số b) Tìm m để đờng thẳng d m : y = mx + m + 3 (m là tham số) cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 7: Khảo sát các hàm số a) 2 2 x y x + = b) 2 1 x y x = phần Dành cho ôn thi cao đẳng và đại học : vấn đề 1: Hàm số bậc ba và các bìa toán liên quan Bài số 1. Cho hàm số: 3 2 y (m 2)x 3x mx 5= + + + a) Khảo sát hàm số với m =0 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu c) Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +) Hớng dẫn giải a) Với m =0, ta có hàm số 3 2 y 2x 3x 5= + Hs tự giải. Đồ thị (Xem hình vẽ bên) b) Ta có: 2 y' 3(m 2)x 6x m= + + + Hs có cực đại và cực tiểu Phơng trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt. 6 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán 2 m 2 a (m 2) 0 ' 9 3m(m 2) 0 3m 6m 9 0 m 2 3 m 1 = + = + > + > < < c) Hàm số ĐB trên [2; +) y>0 x[2; +). Ta xét các trờng hợp 2 a m 2 0 m 1 ' 3m 6m 9 0 = + > > = + < . Khi đó y > 0 x nên thỏa mãn. y=f(x) có 2 nghiệm thỏa mãn: x 1 x 2 < 2 2 3 m 1 ' 3m 6m 9 0 36 3 af(2) (m 2)(13m 36) 0 m m 2 2 m 13 2 S 2m 3 3 2 0 2 m 2 m 2 2 < < = + > = + + > < > < < = > < < + Vậy các giá trị m cần tìm là 3 2 m 2 < < Bài số 2. Cho hàm số 3 y x (m 3)x mx m 5= + + + + a) Khảo sát hàm số với m = 0 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hs ở câu a và đờng thẳng y =x+2. c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. d) Tìm m để đồ thị hs có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (Dành cho KA) Hớng dẫn giải. a) Với m = 0 ta có hàm số: 3 2 y x 3x 5= + . Đồ thị (xem hình vẽ) b) Phơng trình hoành độ giao điểm của (C) với đờng thẳng y = x+2 là: 2 2 3 2 x 1 x 3x 5 x 2 x 3x x 3 0 x 3 = + = + + = = Diện tích hình phẳng cần tính là: ( ) ( ) 1 3 3 2 3 2 1 1 1 3 3 2 3 2 1 1 S x 3x x 3dx x 3x x 3 dx x 3x x 3 dx x 3 x 3 dx 4 4 8 = + + + = + + + = + = c) Có 2 y' 3x 2(m 3)x m,y" 6x 2(m 3)= + + = + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 y'(2) 0 y"(2) 0 = > 12 4(m 3) m 0 m 0 m 0 12 2(m 3) 0 m 3 + + = = = + > < d) Đồ thị hàm số có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ O Tồn tại x, y sao cho 2 điểm M(x; y) và M(-x; -y) cùng thuộc đồ thị hs Hệ sau có nghiệm 3 2 3 2 3 2 2 y x (m 3)x mx m 5 y x (m 3)x mx m 5 y x (m 3)x mx m 5 2(m 3)x 2(m 5) 0 (1) = + + + + = + + + + = + + + + + + + = Hệ trên có nghiệm Phơng trình (1) có nghiệm 2 (m 3)x m 5+ = + có nghiệm 7 Hình 2 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán m 5 m 5 0 m 3 m 3 < + > + > Bài số 3. Cho hàm số 3 2 y x 3x 2= có đồ thị (C). a) Khảo sát hàm số. b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3 2 x 3x m 0+ + = (1) c) Dùng đồ thị, tìm nghiệm của bất phơng trình: 3 2 x 3x 4 0 < (2) Hớng dẫn giải. a) Hs tự giải. Đồ thị: (xem hình vẽ) b) Có 3 2 (1) x 3x 2 m 2 = Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đờng thẳng y = m 2. Dựa vào đồ thị ta có: Nếu m 2> 2 m>4: Phơng trình có 1 nghiệm. Nếu m 2 =2 m =4: Phơng trình có 2 nghiệm Nếu -2<m 2< 2 0<m < 4: PT có 3 nghiệm. Nếu m 2 =-2 m =0: PT có 2 nghiệm. Nếu m 2 < -2 m < 0: PT có 1 nghiệm. c) Ta có 3 2 3 2 x 3x 4 0 x 3x 2 2 < < Do đó nghiệm của (2) là hoành độ của các điểm thuộc (C) nằm phía dới đờng thẳng y =2. Dựa vào đồ thị ta có nghiệm của (2) là x> 0. Bài tập tự luyện: Bài số 1. Cho hàm số 3 2 y x 3x 2 m= + + 1) Khảo sát hàm số với m = 2. 2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị ở câu a) 3) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt. Bài số 2. Cho hàm số 3 2 y x 3x 9x m= + + 1) Khảo sát hàm số khi m =6. 2) Tìm m để phơng trình f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài số 3. Cho hàm số 3 2 y x 3x 3mx 3m 4= + + + 1) Khảo sát hàm số với m = 1. 2) Tìm m để đồ thị nhận ( ) I 1;2 làm điểm uốn 3) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành. Bài số 4. Cho hàm số 3 2 y 2x mx 12x 13= + 1) Khảo sát hàm số với m = 3. 2) Tìm m để đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều trục tung Oy. Vấn đề 2 . Khảo sát hàm số trùng phơng và các bài toán liên quan. Một số lu ý: Hàm số trùng phơng 4 2 y ax bx c (a 0)= + + 1) Có 2 b y' 4ax x 2a = + ữ 8 Hình 3 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Nếu ab< 0: Phơng trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt Đồ thị có 3 điểm cực trị. Nếu ab 0: Phơng trình y= 0 có 1 nghiệm x = 0 Đồ thị có 1 cực trị duy nhất tại x= 0 Lúc này đồ thị không có điểm uốn (do y không đổi dấu) 2) Đồ thị hàm số trùng phơng có trục đối xứng là Oy (do là hs chẵn) Toán minh họa: Bài số 1. Cho hàm số 4 2 y f(x) kx (k 1)x 1 2k= = + + a) Khảo sát hàm số với 1 k 2 = b) Tìm k để hàm số chỉ có một cực trị. c) Tìm k để hàm số đồng biến trên [1; +). Hớng dẫn giải. a) Với 1 k 2 = ta có hàm số 4 2 x x y 2 2 = . Đồ thị: b) Có ( ) 3 2 y' kx 2(k 1)x x kx 2k 2= + = + Hàm số có một cực trị y = 0 chỉ có một nghiệm ( ) 2 x kx 2k 2 0+ = chỉ có một nghiệm k 0 k(2k 2) 0 k 1 c) Hàm số ĐB trên [1; +) y>0 x[1; +). Khi xảy ra một trong các trờng hợp: TH1: Hàm số chỉ có một cực trị và hệ số a>0 a k 0 k 1 k 0 k 1 = > TH 2: Phơng trình y = 0 có 3 nghiệm 1 và hệ số a=k>0 2 0 k 1 0 k 1 2(1 k) 2 3k x 1 0 k k < < < < = 0 k 1 2 k 1 2 3 k 0 k 3 < < < < < > Kết hợp các trờng hợp ta có giá trị k cần tìm là: 2 k 3 > Bài số 2. Cho hàm số 4 2 4 y x 2mx 2m m= + + a) Khảo sát hàm số khi m =1 b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu đó lập thành một tam giác đều. Hớng dẫn giải. a) Với m = 1 ta có hàm số 4 2 y x 2x 3= + . Ta có đồ thị: (xem hình vẽ) b) Có 3 2 y' 4x 4mx 4x(x m)= = Hàm số có CĐ và CT y = 0 có 3 nghiệm phân biệt m >0. 9 Hình 4 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Khi đó y = 0 x =0, x m= . Đồ thị có điểm cực đại là ( ) 4 A 0;2m m+ và 2 điểm cực tiểu là ( ) 4 2 B m;m m 2m + , ( ) 4 2 C m;m m 2m + . Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều AB = BC 2 2 4 3 AB BC m m 4m m 3= + = = (do m > 0). 3 m 3 = . Bài số 3. Cho hàm số 4 2 y x mx m 5= + có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát hàm số khi m = -2. 2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Hớng dẫn giải. 1) Với m =-2, ta có hàm số: 4 2 y x 2x 3= . Đồ thị: (Xem hình vẽ) 2) Có 3 2 y' 4x 2mx 2x(2x m)= + = + . Hàm số có cực đại và cực tiểu y = 0 có 3 nghiệm phân biệt m < 0. Bài tập tự luyện: Bài số 1. Cho hàm số 4 2 2 y x 2(1 m)x m 3= + có đồ thị (C m ). 1) Xác định m để (C m ) không có điểm chung với trục hoành. 2) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực trị tại x =1. Khi đó hay khảo sát hàm số. 3) Dùng đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu 2 để biện luận theo k số nghiệm của phơng trình: 2 2 x (x 2) k = . Bài số 2. Cho hàm số 4 2 y (1 m)x mx 2m 1= + (C m ) 1) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt 2) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị. 3) Khảo sát hàm số với m =2. Bài số 3. Cho hàm số 4 2 y x 6x 5= + có đồ thị (C) 1) Khảo sát hàm số. 2) Cho M(C) có hoành độ x =a. Tìm a để tiếp tuyến với (C) tại M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác M. Bài số 4. Cho hàm số 4 2 1 9 y x mx 2 4 = (C m ) 1) Với m = 3 hãy: a) Khảo sát hàm số. b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến đó đi qua 3 A 0; 2 ữ 2) Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Vấn đề 3 . Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Một số l u ý : Hàm số ax b y cx d + = + Tập xác định: d D \ c = Ă 10 [...]... giải 1) Hs tự khảo sát Ta có đồ thị: 2) (C) cắt Ox tại các điểm A(-3; 0) và B(5; 0) cắt Oy tại điểm C(0; 5) Diện tích hình phẳng cần tình là: 0 0 x 2 2x 15 12 dx = x + 1 ữdx 3 x 3 x 3 3 0 x2 3 5 = + x 12ln x 2 ữ = + 12ln 2 2 2 3 12 4 y '(3) = ; y '(5) = 5 3) Có y ' = 1 + 2 3 ( x 3) Hình 11 4 Phơng trình tiếp tuyến tại A: y = (x + 3) 3 Phơng trình tiếp tuyến tại B: y = 4(x-5) Hoành... phơng trình tiếp tuyến của (C) và đi qua A(-6; 5) Vấn đề 4: Khảo sát hàm phân thức bạc hai trên bậc nhất ax 2 + bx + c C Một số lu ý: Hàm số y = (không suy biến) = Ax + B + a 'x + b ' a 'x + b ' 12 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán b' Tập xác định D = Ă \ a' C.a ' Đạo hàm: y ' = A 2 ( a 'x + b ') y = 0 có 2 nghiệm Có 2 cực trị y = 0 vô nghiệm Không có cực trị... (1) nên 2x 2 5x + 4 (1) =m x 1 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có: m > 2 2 1 Nếu : (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt m < 2 2 + 1 14 Hình 12 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán PT có 2 nghiệm phân biệt m = 2 2 1 Nếu (C) tiếp xúc với d tại 1 điểm m = 2 2 + 1 PT có một nghiệm kép Nếu 2 2 + 1 < m < 2 2 1 : (C)...Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Đạo hàm y ' = ad bc ( cx + d ) 2 Nếu ad bc >0 Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Nếu ad bc < 0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định... luôn có cực trị Hớng dẫn giải x2 1) Với m =-1 Ta có hàm số y = x +1 Hs tự khảo sát Đồ thị: x 2 2mx + m 2 1 2) Ta có: y ' = (x m) 2 y ' = 0 g(x) = x 2 2mx + m 2 1 = 0 (1) Hình 11 13 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Xét pt (1) có = m2 m2 + 1 = 1>0 m Và g(m) = -1 0 m Phơng trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt m hay hàm số luôn có cực trị x 2 2x 15 Bài số 3 Cho hàm... x + n ngang là y = m và tiệm cận đứng là x = -n Do đó (C) nhận các đờng thẳng y = 2 và x = 2 làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng m = 2 m = 2 n = 2 n = 2 Bài số 2 Cho hàm số y = 11 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán 2) Với m = 2, n =-2 ta có hàm số y = 2x 3 x2 Hs tự khảo sát Đồ thị: 3 3 3) (C) cắt Ox tại M ;0 ữ, cắt Oy tại N 0; ữ 2 2 3 Đờng thẳng MN có phơng... 4x + 6 x = 4 2 5 6 6 Suy ra tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến là: A ; ữ 5 5 Bài tập tự luyện: mx + m 1 Bài số 1 Cho hàm số y = x + m 1 4) Khảo sát hàm số với m =2 5) Tìm m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định 2x 1 Bài số 2 Cho hàm số y = có đồ thị (C) x 1 1) Khảo sát hàm số 2) Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên mx + 4 Bài số 3 Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm) x+m 1) Khảo sát hàm... (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó cắt các đờng tiệm cận của (C) tại M và N Chứng minh rằng A là trung điểm MN 3) Chứng minh rằng khi A di chuyển trên (C) thì OMN có diện tích không đổi Từ đó suy ra OM .ON không đổi (O là gốc tọa độ) Hớng dẫn giải 1) Hs tự khảo sát (Xem đồ thị ở hình 13) x2 +1 A 2) A(xA; yA)(C) xA0, y A = xA Phơng trình tiếp tuyến tại A của (C) là: x2 1 x2 1 A y= ( x xA ) + A 2 xA xA... y = x2 + x (C ) x +1 a) Khảo sát hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành 15 Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán Bài 3: Cho hàm số y = x 2 + 3x + 6 (C ) x+2 a) Khảo sát hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên, trục tung và đờng thẳng x... Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm S(2 ; 0) Bài 11: Cho hàm số y = x 2 + 5 x + 15 (C ) x+3 a) Khảo sát hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới han bởi (C), trục hoành, trục tung và x = 2 Bài 12: 16 . là: 0 0 2 3 3 0 2 3 x 2x 15 12 dx x 1 dx x 3 x 3 x 3 5 x 12ln x 2 12ln 2 2 2 = + ữ = + = + ữ 3) Có ( ) 2 12 4 y' 1 y '( 3). tiếp của (C) tại M 2 có hệ số góc là: 2 3 '( ) 12 2 k y= = . Nên có phơng trình là: 3 5 12( ) 12 23 2 y x y x = = + Những lu ý khi khảo sát hàm