Bai 19 CHUOI LUY THUA

CHUỖI LŨY THỪA... Số sao cho hội tụ trongvà phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính >0 hội tụ của chuỗi... Trường hợp chuỗi tổng quát0 1 n n Số sao cho hội tụ trong và phân kỳ bên ngoài gọi l

CHUỖI LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨAChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:

0 1

( ) ,n

n n

a x x







 a n R là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:

0 1

Nếu hội tụ tại thì hội tụ tuyệt đối trong

x

n n

a x x

Số sao cho hội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính

>0

hội tụ của chuỗi

n n

  R R,  gọi là khoảng hội tụ của chu i.ỗ

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của

chuỗi chỉ cần xét thêm tại R

Trường hợp chuỗi tổng quát

0 1

n n

Số sao cho hội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

Lưu ý1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau:

1

1lim hay lim n

2 Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng

1: chuỗi trở thành phân kỳ

2 1

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ: n

n

n

x n

2 1

n n

  : chuoãi caáp soá nhaân

Điều kiện hội tụ: 3 1 8 2

Tính chất của chuỗi lũy thừa

Chú ý1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích



n n

n n





x x

( 1)( )

n n n

( 1) 13

n n



 

 

Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa

có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên

tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ

0 0 1 0

0 2

( )

0

( )2!

f x a

Định nghĩa

Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

( )

0

0 0

x x n

n k

n k

 

( )

0

0 0

n k

n k

Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi

1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n

với hàm f cho trước

3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,

đó chính là miền mà hàm f được khai triểnthành chuỗi Taylor

Chuỗi Maclaurin cơ bản

x x

n n n

x x

n

x e

2 1

0

2 0

n

n n

n

x x

n x x

4 / ln(1 ) ( 1) ,

n n

n

x x

6 / arctan ( 1) ,

2 n 1 1,1

n n

D

x x

( 1)

4

n n

n

X n

1 1

( 1)

4

n n

1 1

n

x n

x 

 

với

( )( 1)

n n

n

x n

n

x n

3 / Tìm chuoãi Maclaurin : f x( ) e x (1 x)

0

( )( ) (1 )

!

n n

( 1) ( 1)1

! ( 1)!

n n

n x n







( )

x x

2 1

1.3.5 (2 1)( ) 1 ( 1)

2 !

n n

1.3.5 (2 1)( 1)

2 !(2 1)

n n

Các ví dụ về tính tổng

2 1

2

1( 1)!

n n

e n

2

( 1)!

n n

e n

n S

2

!

n n

e n





    2e2  e2  1 3e2  1

1 1

1 1( 1)

1 1

2 2