Bài tập chuỗi lũy thừa có lời giải

 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz...  hội tụ theo Leibnitz... Vậy miền hội tụ của chuỗi cũng là x 1...  hội tụ theo Leibnitz... Do đó khai triển trên cũng đúng tại x 0... Vậy chưa

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm

Bài 03.04.1.001

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 2  

3 2 2

2 1

22

n n

n

x n

x n

n

n

x n

n n

n

x n

1 13

Do đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x  1

Vậy miền hội tụ là 1;1

Bài 03.04.1.008

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

0

23

n n n

n x

x n

1

2 !

n n n

y n





Miền hội tụ   ; 

Bài 03.04.1.011

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    

3 1

2 *

n

n n

x n

3 !

n

n n

x n

a X







n n

n a

n n

n n n

n

x n

Vậy miền hội tụ của chuỗi là  3 3

n

x n

n

X n

n u

n



 nên chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ theo X là 2, 2

a X







2

*1

n n

n n

n

x n

n n n

n

n a

a x







x n

n



 nên tại X  3 chuỗi không hội tụ

Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là 3, 3

do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là 1, 5

Bài 03.04.1.020

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

 2    2

1

1 1ln

n n

2

1

2 ln ln

1

1

Lopi n

1

1ln

n n

n n

n

x n

a X







11

x n

 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz

Vậy miền hội tụ là D  ( 3, 3]

n

x n

2 1 2 15

  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Vậy miền hội tụ là D   1, 3

Bài 03.04.1.024

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2    

n n

n

x n

n n

n n

Bài 03.04.1.026

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  

 2  1

8 *

!

n

n n

x n

n

x n

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2  

n n

n

x n

U





 là hội tụ

x n

n n

 hội tụ khi x  với bán kính hội tụ 1 R 1

Xét tại x  1 được chuỗi

1 n n

n

x n

1 n n

n

x n

Vậy miền hội tụ là [ 1, 1).

Bài 03.04.1.035.A745

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  

2 1

1 n n

n

x n

Bài 03.04.1.037.A745

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

1

n n

n n n n

n n n n







Lời giải:

Với 10 3

n n n

x a

x n

x n

x a

n

x n

Vậy miền hội tụ là ( 4, 4]

x n

x a

x n

 phân kỳ với mọi x

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ   , 

Bài 03.04.1.044.A745

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  

2 0

21

n

n

x n

n n

21

n n

n

x n

n

x a

n n

n

x n

 hội tụ theo Leibnitz

Vậy miền hội tụ là (2, 4]

n n

n

n n

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  

1

14

n n

n

n x

n n

x n

n



  nên chuỗi hội tụ với mọi x

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ là   , 

Bài 03.04.1.049.A745

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  

1

2x 15

n

x x

 hội tụ theo Leibnitz

Vậy miền hội tụ là [2, 3)

x n

Vậy miền hội tụ là 4, 0

b) Ta tìm được khoảng hội tụ là 1, 1

n n n

x n

n n

x x

n n

n

x n

n n

x x

n

x x

n n

x x

n

x a b

     nên chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ là a b a ,  b

Bài 03.04.1.061.A746

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi  

2

, 0ln

n

n n

n n

n

n n

b

x a n

1

R b

 hội tụ theo chuẩn Leibnitz

Vậy miền hội tụ là a 1, a 1

n

n

n a

 hội tụ với mọi x  ,

bán kính hội tụ R  ,miền hội tụ D     , 

Bài 03.04.1.064.A746

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi  

3 1

n

x n

n

x n

 hội tụ theo Leibnitz

Vậy miền hội tụ là 3, 1

n n

x a

x a

n

n

x n

n

n

n x n

n n

n x a

Chuỗi

1

!1.3.5 2 1

n

n

n x n

Nên tại biên chuỗi đều phân kỳ

Vậy miền hội tụ là 2, 2

Bài 03.04.1.068.A746

Với k là số nguyên dương, tìm bán kính hội tụ của chuỗi  

 0

!

!

k n n

n x kn

n n

3n1 x n là đạo hàm của x3n1 Chuỗi có số hạng tổng quát là x3n1 là một cấp

số nhân công bội x do đó nó hội tụ với 3, x  tức là 3 1, x 1 Vậy miền hội tụ của chuỗi cũng là x 1 Ta có:

n n

n n

nx

v x

n x

x n

 hội tụ theo Leibnitz

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là   1 x 1

Gọi f x là tổng của chuỗi lũy thừa với   x 1 Ta có:

n n

Cả hai vế đều liên tục tại x 0, đều có giá trị bằng 2 tại x 0

Do đó khai triển trên cũng đúng tại x 0

Vậy chưa thể kết luận được gì

Bây giờ ta xét riêng hai chuỗi lũy thừa 2 2 2 1 2 1

 các tổng riêng  p, 'p dần tới những giới hạn   hữu hạn , '

khi p   Nếu gọi s là tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho thì n

 không dần tới 0 khi p  , vậy a không dần tới 0 khi n

,

n   chuỗi đã cho phân kỳ

 Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là R 1

2) Chứng minh rằng nếu a n ~ b khi n n  thì R R'

3) Tính bán kính hội tụ của các chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát sau:

2

2 2

Do 1), từ bất đăng thức đầu tiên ta có R' R, từ bất đẳng thức sau ta có R R'

1 2

n n

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm   2

2

x x

Lời giải:

0 1

Chuỗi hội tụ khi 4 1 1

1116

5 0

x x

Đây là chuỗi Leibnitz, vì thế ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều nhất

4

0 1

x dx x

2 1 / 21

n n

x x