DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA (tham khảo thêm SBT và HDG bài tập Toán cao cấp HP2)
Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
( )
1
1
n
n
n
n
+∞
=
+
−
−
∑
1
2
n n n
+∞
=
+
2
ln 2 1 3
1
n
n
+∞
=
−
∑
Ví dụ 2: Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
2
3
1
1 1
n
n
+∞
=
+
∑
3 4 1
2
n
n
+∞
=
∑
2
1
n
n n n
+∞
=
+
−
∑
2
2
1
1
3
3
n
n
n
+∞
=
+
−
∑ 2
1
5
( 3)
n n n
n n
+∞
+
∑ ( )
4 3 1
6
n
+∞
=
∑
( )
5
1
ln 1 2
7
n
+∞
=
+
∑
2
ln 8
1
n n
n n
+∞
∑
1
n
n
+∞
=
+
−
∑
2
1 10
n
n
n
n
+∞
=
−
∑ 2
1
1
n n n
+∞
∑
2 1
1
n
n e
+∞
=
−
∑
2
1
13
1
n
n n
+∞
=
+ +
∑
2
1 14
ln
n
n
n n
+∞
=
+
∑
3 1
cos 15
1
n
n
+∞
=
+ +
∑
1
1
16 arcsin
n
n
n n
+∞
=
+
∑
1
17
n n
+∞
=
+
∑
1
n
e
+∞
−
=
∑
3
1
1 19
1
n
n
n n
n
+∞
=
+
+
∑
1
20 tan
3n
π +∞
∑
2
3 1
sin 21
1
n
n n
+∞
∑
Ví dụ 3: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự hội tụ của các chuỗi số sau:
2
1
3 1 !
1
.8n
n
n
n
+∞
=
+
∑ ( )
( )
2
1
2
2 !
n
n
n n
+∞
=
∑ 2 1
1
2n
n
n n
π +∞
+
=
−
∑
2
1
4
2n
n
n
+∞
=
−
∑
1
5
.3n
n
n n
+∞
=
−
∑ ( )
2
2 1
6
n n n
n n
+∞
=
∑
2
7
n n
+∞
+
∑
2
8
n n
∑ ( )
2 1
+∞ +
∑
Trang 2Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau:
( )
1
ln
1
n
n
n n
+∞
=
−
+
∑ ( )
3 1
1
1 2
ln
n
− +∞
=
−
−
∑ ( ) 1
1
1
1
n n
n n
+∞
+
=
−
−
+
∑
( )
2 1
1
3 1 3
n
n n
n n
+∞
+
=
−
+
1
1
n n n
n
+∞
=
−
+
∑ ( )
( )2 1
1
n
+∞
=
−
+
∑
1
sin
7
n
n
+∞
∑ ( )
( )
1 2 1
!
n n n
n n
+∞
−
=
−
∑ ( ) 2
1
n n
n n
+∞
=
−
−
∑
Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
1 1
1
.3
n
n
n
x
n
+∞
+
=
1
3 2
n
n n
n
x n
+∞
1
1
n
n
n x n
+∞
=
−
− +
1
4
1 n
n
n
+∞
1
1
n
n
n
n
x n
+∞
=
+
−
−
2 1
6
n
n
x n
+∞
=
+
+
∑
2
7
.2
n
n
n
n x
x n
+∞
=
+
−
1 1
8
n
n n
x n
+∞
+
1
n n
n
nx
+∞
=
−
∑
1
1 10
3n 5n n
+∞
1
1
(2 1)
n
n n
n
x n
+∞
=
+
1
!
n
n
n
x n
+∞
=
−
−
∑
2
1
13
n
n
x n
+∞
=
+
+
2 3
1
1 14
1 2
n
n n
x n
+∞
=
1
n
+∞
=
∑
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát:
2
1
1
n
n
x
+∞
∑
2 1
1
1 2
n n
n
+ +∞
=
+
1
2
n n
n
x
+∞
=
∑
1
n n
n
n
x
+∞
+
=
−
− +
1
5
n n
n
+∞
−
=
+
−
( ) 3 1 1
6
1
n n n
n
+∞
+
=
+ +
∑
Trang 32
7
2 ln
n
n
n
x
n
=
∑
( )( )2 1 1
8
n
n
+∞
+
=
− +
1
9
3 5
n
n n
x n
− +∞
=
−
∑
( )4 1
2
1
1
10
.4
n
n n
x
n
+ +∞
=
+
2
1
1
1 11
n
n
− +∞
=
+
∑
( )2 1
2
n
n n
n
x n
+∞
=
−
−
∑
Ví dụ 3: Sử dụng định lý Abel và hệ quả:
1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
n n n
a x
+∞
=
∑ biết rằng chuỗi số
1
n n
a
+∞
=
∑ là chuỗi đan dấu và bán hội tụ
2 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( )
1
2 n
n n
a x
+∞
=
−
∑ biết rằng a n >0 ∀ ≥n 1 và tại x=0
chuỗi bán hội tụ
3 Cho chuỗi lũy thừa ( )
1
1
n n n
a x
+∞
=
∑ có lim n
n
→+∞ = CMR
a) Nếu α ≠0 thì miền hội tụ của chuỗi ( )1 là T = −( 1;1)
b) Nếu α =0 chuỗi ( )1 có bán kính hội tụ là R=1
Dạng 3: Tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau:
1
2
1
.5n
n
n
n
+∞
=
+
∑
( )
1
1 2
1 5
n n
n n
+∞
+
=
− +
∑
1( )
1 3
2 2n
n n
+∞
∑
1
1
4
(2 1)2n
+∞
∑
( )
1 1
1 5
n
n
+∞
−
=
−
−
∑
1
6
3n
n
n
+∞
=
+
∑
( ) ( )
1
7
5
n
n n
n
+∞
−
=
∑
( )
1
2
2 8
1 3
n n
− +∞
∑
1
9
.4n
n
n n
+∞
=
+
∑