Tài liệu tóm tắt các công thức quan trọng trong chương trình Toán THPT. File được soạn bằng LaTeX nên rất dễ nhìn, cách trình bày đơn giản mà chuyên nghiệp theo tinh thần của LaTeX và cho ra bản in có chất lượng rất cao. File được soạn theo khổ A5 nên nếu cần in thành file sách như cuốn tập học sinh là rất dễ dàng, tiện cho việc tham khảo.
Trang 1Chương 1
Đại số - Lượng giác - Giải tích
Tam thức bậc hai
f (x) = ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0)
có hai nghiệmx1, x2
• Định lí Viete:
S = x1+ x2= −b
a; P = x1x2=c
a
• ∆ < 0thìf (x)cùng dấu vớia
• f (x) ≥ 0,∀x ∈ R ⇔
½
∆ ≤ 0
a > 0
• f (x) ≤ 0,∀x ∈ R ⇔
½ ∆ ≤ 0
a < 0
• x1< α < x2⇔ a f (α) < 0
• α < x1< x2⇔
∆ > 0
a f ( α) > 0 S
2− α > 0
• x1< x2< α ⇔
∆ > 0
a f ( α) > 0 S
2− α < 0
•
·
α < x1< x2
x1< x2< α ⇔
½
∆ > 0
a f ( α) > 0
• x1< α < β < x2⇔
½ a f ( α) < 0
a f ( β) < 0
• α < x1< β < x2⇔
½
a f ( α) > 0
a f ( β) < 0
•
·
x1< α < x2< β
α < x1< β < x2 ⇔ f (α) f (β) < 0
• α < x1< x2< β ⇔
∆ > 0
a f ( α) > 0
a f ( β) > 0 S
2− α > 0
S
2− β < 0
1.2.1 Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối
• −|a| ≤ a ≤ |a|∀a ∈ R
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
• |x| > a ⇔ x < −a W x > a
• |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|
1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy
• a + b
2 ≥pabdấu bằng xảy ra khia = b
• a + b + c
3 ≥p3abcdấu bằng xảy ra khia = b = c
1.2.3 Bất đẳng thức Bunyakovsky
• ab + cd ≤p(a2+ c2)(b2+ d2)
Dấu“ = ”xảy ra khiad = bc
• a1b1+ a2b2+ a3b3≤q¡a2
1+ a22+ a23¢ ¡b2
1+ b22+ b23¢
Dấu“ = ”xảy ra khi a1
b1 =a2
b2=a3
b3
• Số hạng thứn:u n = u1+ (n − 1)d
Trang 2• Tổng của n số hạng đầu tiên:
S n=n
2(u1+ u n) =n
2[2u1+ (n−)d]
• Số hạng thứn:u n = u1.q n−1
• Tổng củansố hạng đầu tiên:S n = u11 − q n
1 − q
• Cấp số nhân lùi vô hạn:|q| < 1
S n= u1
1 − q
chứa giá trị tuyệt đối
• |A| = |B| ⇔
½
A = B
A = −B
• |A| = B ⇔
B ≥ 0
·
A = B
A = −B
• |A| < B ⇔
½
A < B
A > −B
• |A| < |B| ⇔ A2< B2⇔ (A − B) (A + B) < 0
• |A| > B ⇔
·
A > B
A < −B
• |A| > |B| ⇔ A2> B2⇔ (A − B) (A + B) > 0
chứa căn thức:
• p
A =pB ⇔
½
A ≥ 0hoặcB ≥ 0
A = B
• p
A = B ⇔
½
B ≥ 0
A = B2
• p
A <pB ⇔
½
A ≥ 0
A < B
• p
A < B ⇔
A ≥ 0
B > 0
A < B2
• p
A > B ⇔
½
B < 0
A ≥ 0
½
B ≥ 0
A > B2
1.7.1 Công thức khai triển
• (a + b) n=
n
P
k=0
C n k a n−k b k=
n
P
k=0
C n k a k b n−k
• (a + b) n = C n0a n +C n1a n−1 b + ··· +C n n−1 ab n−1 +C n n b n
1.7.2 Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton
• (1 + x) n = C n0+C n1x +C n2x2+ · · · +C n n x n
• (1 − x) n = C n0−C n1x +C n2x2− · · · + (−1)n C n n x n
• (x + 1) n = C n0x n +C n1x n−1 +C n2x n−2 + · · · +C n n
• 2n= (1 + 1)n = C n0+C n1+C n2+ · · · +C n n
• a α a β = a α+β
• a
a β = a α−β
• (a α)β = a αβ
• pβ
a = a α β
• a
b =³a
b
´α
• a α α = (a.b) α
• a −α= 1
a
• n
q
m
p
a k= n.mpa k = a
k n.m
• loga N = M ⇔ N = a M
• loga a M = M
• aloga N
= N
• N1loga N2= N2loga N1
• loga (N1N2) = loga N1+ loga N2
• loga
µN1
N2
¶
= loga N1− loga N2
• loga N α = αlog a N
• loga N = 1
αloga N
Trang 3Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ )
• loga N =logb N
logb a
• loga b = 1
logb a
logarit
• loga f (x) = log a g (x) ⇔
0 < a 6= 1
f (x) > 0hoặcg (x) > 0
f(x)=g(x)
• loga f (x) > log a g (x) ⇔
0 < a 6= 1
f (x) > 0
g (x) > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
mũ
• a f (x) = a g (x)⇔
½
0 < a 6= 1
f (x) = g (x)
½
a = 1
f (x), g (x)có nghĩa
• a f (x) > a g (x)⇔
½
a > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
mũ
• a f (x) = a g (x)⇔
½
0 < a 6= 1
f (x) = g (x)
½
a = 1
f (x), g (x)có nghĩa
• a f (x) > a g (x)⇔
½
a > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
• sin2x + cos2x = 1
• tan x = sin x
cos x
• cot x = cos x
sin x
• tan x cot x = 1
• 1 + tan2x = 1
cos2x
• 1 + cot2x = 1
sin2x
1.14.1 Cung đối
• cos(−x) = cos x
• sin(−x) = −sin x
• tan(−x) = −tan x
• cot(−x) = −cot x
1.14.2 Cung bù
• sin(π − x) = sinx
• cos(π − x) = −cosx
• tan(π − x) = −tanx
• cot(π − x) = −tanx
1.14.3 Cung phụ
• sin³π
2− x´= cos x
• cos³π
2− x´= sin x
• tan³π
2− x
´
= cot x
• cot³π
2− x´= tan x
1.14.4 Hơn kém nhauπ
• sin(π + x) = −sinx
• cos(π + x) = −cosx
• tan(π + x) = tanx
• cot(π + x) = cotx
1.14.5 Hơn kém nhau π
2
• sin³π
2+ x´= cos x
• cos³π
2+ x´= −sin x
• tan³π
2+ x´= −cot x
• cot³π
2+ x´= −tan x
Trang 41.15 Công thức cộng
• sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
• sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x
• cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
• cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
• tan(x + y) = tan x + tan y
1 − tan x tan y
• tan(x − y) = tan x − tan y
1 + tan x tan y
• sin 2x = 2sin x cos x
• cos 2x = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1
= 1 − 2sin2x
• tan 2x = 2 tan x
1 − tan2x
• cot 2α =cot2α − 1
2 cotα
• cos2x = 1 + cos2x
2
• sin2x = 1 − cos2x
2
• tan2α = 1 − cos2α
1 + cos2α
• sin 3x = 3sin x − 4sin3x
• cos 3x = 4cos3x − 3cos x
• tan 3x = 3 tan x − tan
3x
1 − 3tan2x
• cos3x = 3 cos x + cos3x
4
• sin3x = 3 sin x − sin3x
4
Đặtt = tan x
2 thì
• sin x = 2t
1 + t2
• cos x = 1 − t
2
1 + t2
• tan x = 2t
1 − t2
1.20.1 Tích thành tổng
• cos x cos y =1
2£cos(x − y) + cos(x + y)¤
• sin x sin y =1
2£cos(x − y) − cos(x + y)¤
• sin x cos y =1
2£sin(x − y) + sin(x + y)¤
1.20.2 Tổng thành tích
• cos x + cos y = 2cos x + y
x − y
2
• cos x − cos y = −2sin x + y
2 sin
x − y
2
• sin x + sin y = 2sin x + y
x − y
2
• sin x − sin y = 2cos x + y
2 sin
x − y
2
• tan x + tan y = sin(x + y)
cos x cos y
• tan x − tan y = sin(x − y)
cos x cos y
• cot x + cot y = sin(x + y)
sin x sin y
• cot x − cot y = sin(x − y)
sin x sin y
• sin x + cos x =p2 sin³x + π
4
´
=p2 cos³x − π
4
´
• sin x − cos x =p2 sin³x − π
4
´
= −p2 cos³x + π
4
´
• 1 − sin2x = (sin x − cos x)2
• 1 + sin2x = (sin x + cos x)2
Trang 5Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ )
1.21.1 Phương trình cơ bản
• sin x = sinu ⇔
·
x = u + k2π
x = π − x + k2π
• cos x = cosu ⇔
·
x = u + k2π
x = −u + k2π
• tan x = tanu ⇔ x = u + kπ
• cot x = cotu ⇔ x = u + kπ
1.21.2 Công thức nghiệm thu gọn
• sin x = 1 ⇔ x = π
2+ k2π
• sin x = −1 ⇔ x = − π
2+ k2π
• sin x = 0 ⇔ x = kπ
• cos x = 1 ⇔ x = k2π
• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
• cos x = 0 ⇔ x = π
2+ kπ
1.22.1 Định lý cosin
• a2= b2+ c2− 2bc cos A
• b2= a2+ c2− 2ac cos B
• c2= a2+ b2− 2ab cosC
• cos A = b
2+ c2− a2
2bc
• cos B = a
2
+ c2− b2 2ac
• cosC = a
2+ b2− c2
2ab
1.22.2 Định lý hàm số sin
a
sin A= b
sin B = c
sinC = 2R
1.22.3 Độ dài đường trung tuyến
• m2a=b
2
+ c2
2
4
• m2b=a
2
+ c2
2
4
• m2c=a
2+ b2
2
4
1.22.4 Độ dài đường phân giác trong
• l a=
2bc cos A
2
b + c
• l b=
2ac cos B
2
a + c
• l c=
2ab cos C
2
a + b
1.22.5 Công thức tính diện tích tam giác
• S =1
2a.h a=1
2b.h b=1
2c.h c
• S =1
2bc sin A =1
2ab sinC =1
2ac sin B
• S = p.r = abc
4R
• S = pp(p − a)(p − b)(p − c)
1.23.1 Đạo hàm các hàm đơn giản
Giống "y xì" như vầy thì áp dụng các công thức này còn lại thì áp dụng công thức của hàm hợp(^^)
• (x α)0= α.x α−1
• (p
x)0= 1
2p
x
• µ 1
x
¶0
= − 1
x2
• (sin x)0= cos x
• (cos x)0= −sin x
• (tan x)0= 1
cos2x
• (cot x)0= − 1
sin2x
Trang 6• (e x)0= e x
• (a x)0= a x ln a
• (ln x)0=1
x
• (loga x)0= 1
x ln a
1.23.2 Đạo hàm hàm hợp
• (u α)0= α.u α−1 u0
• (p
u)0= u
0
2p
u
• µ 1
u
¶0
= −u
0
u2
• (sin u)0= u0 cos u
• (cos u)0= −u0 sin u
• (tan u)0= u
0
cos2u
• (cot u)0= − u
0
sin2u
• (e u)0= u0e u
• (a u)0= u0a u ln a
• (ln u)0=u
0
u
• (loga u)0= u
0
u ln a
•
Z
d x = x +C
•
Z
x d x = x
α+1
α + 1 +C (α 6= 1)
•
Z d x
x = ln |x| +C
•
Z d x
x2 = −1
x +C
•
Z
e x d x = e x +C
•
Z
a x d x = a
x
ln a +C
•
Z
cos xd x = sin x +C
•
Z
sin xd x = −cos x +C
•
Z d x
cos2x = tan x +C
•
Z d x
sin2x = −cot x +C
•
Z
cos(ax + b)d x = 1
a sin(ax + b) +C (a 6= 0)
•
Z
sin(ax + b)d x = −1
a cos(ax + b) +C (a 6= 0)
•
Z
e ax+b d x = 1
a e
ax+b +C , (a 6= 0)
•
ax + b d x =
1
a ln |ax + b| +C
•
p
x2− a = ln
¯
¯x +
p
x2− a¯¯ + C
•
p
x2+ a = ln
¯
¯x +
p
x2+ a
¯
¯ + C
•
Z d x
x2− a=
1
2aln
¯
¯
x − a
x + a
¯
¯ + C
•
(x − a)(x − b)=
1
a − b ln
¯
¯
x − a
x − b
¯
¯ + C
vật thể tròn xoay
1.25.1 Công thức tính diện tích
S =
a
Z
b
¯
f (x) − g (x)¯d x
1.25.2 Công thức tính thể tích
• Hình phẳng quay quanh trụcOx
V = π
a
Z
b
¯
f2(x) − g2(x)¯d x
• Hình phẳng quay quanh trụcO y:
V = π
a
Z
b
¯
f2(y) − g2(y)¯d y
Trang 7Chương 2
Hình học
2.1 Hệ thức lượng trong tam giác
1 Cho MABCvuông tạiA, có đường caoAH
• AB2+ AC2= BC2
• AB2= BC B H, AC2= BC C H
AH2 = 1
AB2+ 1
AC2
2 Cho MABC có độ dài ba cạnh là:a, b,c; độ dài
các trung tuyến làm a,m b, m c; bán kính đường
tròn ngoại tiếpR; bán kính đường tròn nội tiếp
r; nửa chu vip
• Định lí hàm số cosin:
a2= b2+ c2− 2bc cos A
b2= a2+ c2− 2ac cos B
c2= b2+ c2− 2bc cosC
• Định lí hàm số sin
a
sin A = b
sin B = c
sinC = 2R
• Công thức độ dài trung tuyến
m2a=b
2
+ c2
2
4
m2b=a
2
+ c2
2
4
m2c=a
2
+ b2
2
4
2.2 Các công thức tính diện tích
1 Tam giác:
• S =1
2a.h a=1
2b.h b=1
2c.h c
=1
2bc sin A =1
2c a sin B =1
2ab sinC
=abc
4R
= pr
=
q
p ¡p − a¢¡p − b¢¡p − c¢
• MABCvuông tạiA:S ABC=1
2AB.AC
• MABCđều cạnha:S ABC=a
2p 3
4 , đường cao
AH = a
p 3 2
2 Hình bình hànhABC D:
S ABC D=đáy×cao= AB.AD sin B AD
3 Hình thoiABC D
S ABC D=1
2AC B D = AB.AD.sin B AD
4 Hình thangABC D:S ABC D=1
2(a + b).h
5 Tứ giácABC Dcó 2 đường chéo AC vàB Dvuông góc nhau:
S ABC D=1
2AC B D
6 Hình chữ nhậtS = a.bvớia, blà độ dài hai cạnh Hình vuông cạnh S = a2 với cạnh là a, đường chéo hình vuôngAC = ap2
2.3 Công thức thể tích
• Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc vớia, b, clà 3 kích thước khối hộp
• Thể tích khối lập phươngV = a3
• Thể tích khối chóp
V =1
3B.h
vớiB: diện tích đáy,h: chiều cao khối chóp
• Thể tích khối lăng trụ:V = B.h
Trang 8• Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Cho ba tiaOx,O y,Ozkhông đồng phẳng Với bất
kì các điểmA,A0trênOx;B,B0trênO y;C,C0trên
Oz, ta đều có:
V O ABC
V O A0B0C0 = O A
O A0.OB
OB0.OC
OC0
2.4 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm
• −→
AB = (x B − x A , y B − y A)
• ĐiểmMchia đoạnABtheo tỉ sốk 6= 1:
−−→
M A
M B = k ⇔ M
(
x M=xA −kx B
1−k
y M=y A −k y B
1−k
• ĐiểmI là trung điểm củaAB:
I
½
x I=xA +x B
2
y I=y A +y B
2
• ĐiểmGlà trọng tâm của tam giácABC:
G
x G=x A + x B + x C
3
y G= y A + y B + y C
3
• Cho tam giácABCcó−→AB = (a1; a2),−→
AC = (b1; b2)
⇒ S ∆ABC=12|a1b2− a2b1|
• Phương trình tổng quát:∆ : Ax + B y +C = 0
Vectơ pháp tuyến−→n = (A;B); A2+ B26= 0
• Phương trình tham số:∆ :
½
x = x0+ at
y = y0+ bt
Vectơ chỉ phương−→u = (a;b), qua điểmM (x0; y0)
• Phương trình chính tắc:∆ :x − x0
a =y − y0
b
• Phương trình đoạn chắn:∆quaA(a; 0); B (0; b)
∆ :x
a+y
b = 1
2.6 Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Góc tạo bởid : Ax +B y +C = 0và∆ : A0x +B0y +C0= 0là
ϕxác định bởi
cosϕ =
¯
A.A0+ B.B0¯
p
A2+ B2.pA02+ B02
Khoảng cách từ một điểmM (x0; y0)đến đường thẳng
∆ : ax + bx + c = 0:
d (M ,∆) =
¯
Ax0+ B y0+C¯
p
A2+ B2
Nếu xét trong tam giácABCthì khoảng cách từAđến
BCbằng độ dài đường caoAH
d (A, BC ) = AH
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳngd : Ax + B y +C = 0và∆ : A0x + B0y +C0= 0
là:
AX + B y +C
p
A2+ B2 = ±
A0x + B0y +C0
p
A02+ B02
Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài
• Khoảng cách đại số
t1= Axp1+ B y1+C
A2+ B2 ; t2=A
0x2+ B0y2+C0
p
A02+ B02
• Hai điểmM (x1; y1)vàM0(x2; y2)nằm cùng phía so với∆⇔ t1.t2> 0: phân giác ngoài
• Hai điểmM (x1; y1)vàM0(x2; y2)nằm khác phía so với∆⇔ t1.t2< 0: phân giác trong
• Hoặc áp dụng Định lý
"Tam giác M ABC có AD là đường phân giác trong,D ∈ BCthì−−→DB = − AB
AC
−−→
DC"
• Phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kínhR
(C ) : (x − a)2+¡ y − b¢2= R2
• Phương trình có dạng
(C ) : x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0
Vớia2+ b2− c > 0là phương trình đường tròn(C )
có tâmI (a; b)và bán kínhR =pa2+ b2− c
Trang 9Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ )
• Phương trình chính tắc Elip
(E ) : x
2
a2+y
2
b2= 1
vớia2= b2+ c2
• Tiêu điểm:F1(−c;0),F2(c; 0)
• Đỉnh trục lớn:A1(−a;0), A2(a; 0)
• Đỉnh trục nhỏ:B1(0; −b),B2(0; b)
• Tâm sai:e = c
a< 1
• Phương trình đường chuẩn:x = ± a
e
• Bán kính qua tiêu điểm:
M F1= a + ex M , M F2= a − ex M
• Phương trình tiếp tuyến tạiM0(x0; y0) ∈ (E)
x0x
a2 +y0y
b2 = 1
• Điều kiện tiếp xúc của(E ) : x
2
a2+y
2
b2= 1và
∆ : Ax + B y +C = 0là:A2a2+ B2b2= C2
Cho các vectơ−u→1=¡x1, y1, z1¢, −u→2=¡x2, y2, z2¢ và số k
tùy ý
• −u→
1= −u→2⇔
x1 = x2
y1 = y2
z1 = z2
• −u→
1± −u→2=¡x1± x2, y1± y2, z1± z2¢
• k− u→
1=¡kx1, k y1, k z1¢
• Tích có hướng:−u→1.−u→
2= x1.x2+ y1.y2+ z1.z2
−→
u1⊥ −u→2⇔ −u→1.−u→
2= 0 ⇔ x1.x2+ y1.y2+ z1.z2= 0
• ¯−u→
1
¯
=
q
x2
1+ y12+ z12
• Gọiϕlà góc hợp bởi hai vectơ¡0◦É ϕ É 180◦¢
cosϕ = −u→1.−u→
2
¯−u→
1
¯ ¯−u→
2
¯=q x1x2+ y1y2+ z1z2
x12+ y21+ z12.qx22+ y22+ z22
• −→
AB = ¡x B − x A , y B − y A , z B − z A¢
AB =
q
(x B − x A)2+¡ y B − y A¢2+ (z B − z A)2
• Tọa độ các điểm đặc biệt:
? Tọa độ trung điểmI củaAB:
I³x A + x B
y A + y B
z A + z B
2
´
? Tọa độ trọng tâmGcủa tam giácABC:
G³x A + x B + x C
y A + y B + y C
z A + z B + z C
3
´
• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc
cả hai vectơ xác định bởi
−
→u =£−u→
1, −u→
2¤ =
µ¯
¯
¯
y1 z1
y2 z2
¯
¯,
¯
¯
z1 x1
z2 x2
¯
¯,
¯
¯
x1 z1
x2 z2
¯
¯
¶
• Một số tính chất của tích có hướng
? −→a và→−b cùng phương⇔h→−a ,−→
bi=−→0
A, B,C thẳng hàng⇔h−→AB ,−→
ACi=−→0
? Ba vectơ−→a,→−b,−→c đồng phẳng
h
−
→a ,−→bi −→c = 0
A, B,C , Dkhông đồng phẳng
h−→
AB ,−→
ACi.−−→
AD 6=−→0
? ¯¯ h
−
→a ,−→bi¯
¯
¯ =
¯−→a¯ ¯¯−→
b¯¯ sin³−→a ,→−b´
• Các ứng dụng của tích có hướng
? Diện tích hình bình hành:
S ABC D=
¯
¯
h−→
AB ,−−→
ADi¯¯
¯
? Diện tích tam giác:S ABC=1
2
¯
¯
h−→
AB ,−→
ACi¯¯
? Thể tích khối hộp:
V ABC D.A0B0C0D0=
¯
¯
h−→
AB ,−−→
ADi.−−→
A A0¯¯
? Thể tích tứ diện:V ABC D=1
6
¯
¯
h−→
AB ,−→
ACi.−−→
AD¯¯
Trang 102.12 Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát(α): ax +by +cz +d = 0với
(a2+ b2+ c26= 0)
• Phương trình mặt phẳng(α)quaM ¡x0, y0, z0
¢
và
có vectơ pháp tuyến→−n = (a,b,c)
(α) : a (x − x0) + b ¡ y − y0¢ + c (z − z0) = 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:(α)qua
A(a, 0, 0); B (0, b, 0);C (0, 0, c)
(α) : x − x0
a +y − y0
b +z − z0
c = 1, vớia, b, c 6= 0
2.12.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho(α): a1x + b1y + c1z + d1= 0và¡
β¢: a2x + b2y + c2z +
d2= 0
• (α)cắt¡
β¢ ⇔ a1: b1: c16= a2: b2: c2
• (α)song song¡
β¢⇔ a1
a2=b1
b2 =c1
c2 6=d1
d2
• (α)trùng¡
β¢ ⇔ a1
a2=b1
b2=c1
c2=d1
d2
• (α)vuông góc¡
β¢ ⇔ a1a2+ b2b2+ c1c2= 0
Cho đường thẳngd quaM0¡x0, y0, z0¢và có vectơ chỉ
phương là−→u = (a,b,c) Khi đó:
• Phương trình tham số củad
d :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
• Phương trình chính tắc củad (khiabc 6= 0)
d : x − x0
a =y − y0
b =z − z0
c
2.13.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Đường thẳngd1quaM1và có vectơ chỉ phương là−u→1,
d2quaM2và có vectơ chỉ phương là−u→2thì:
• d1trùngd2⇔£−u→1, −u→
2¤ =h−u→1,−−−−→M
1M2i=−→0
• d1song songd2⇔
£−u→
1, −u→
2¤ =→−0 h
−→
u1,−−−−→
M1M2
i 6=→−0
• d1vàd2cắt nhau⇔
£−u→
1, −u→
2¤ −−−−→M1M2= 0
£−u→
1, −u→
2¤ 6=→−0
• d1vàd2chéo nhau⇔£−u→
1, −u→
2¤ −−−−→M1M26= 0
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→n α, mặt phẳng¡
β¢có vectơ pháp tuyến−→n β, khi đó góc giữa(α)và ¡
β¢ được tính bằng
cos¡(α),¡β¢¢ = ¯¯cos¡−→ n α, −n→
β¢¯¯=
¯−→n α.−n→
β¯
¯−→n
α¯.¯−→n
β¯
• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng
d1vàd2có các vectơ chỉ phương là−u→1và−u→2, khi
đó góc giữad1vàd2tính bằng
cos (d1, d2) =¯cos¡−u→
2, −u→
2
¢¯
¯=
¯−u→
1.−u→
2¯
¯−u→
1
¯ ¯−u→
2
¯
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường
thẳngdcó vectơ chỉ phương là−→u, mặt phẳng(α)
có vectơ pháp tuyến là−→n, khi đó góc giữad và
(α)làϕđược tính bằng
sinϕ =
¯−→u −→n¯
¯→−u¯ ¯−→n¯
• Khoảng cách từ điểmA ¡x0, y0, z0¢
tới
(α) : ax + by + cz + d = 0là
d (A, ( α)) =
¯
ax0+ by0+ cz0+ d¯
p
a2+ b2+ c2
• Khoảng cách từ điểmM tới đường thẳng∆qua
M0và có vectơ chỉ phương−→u là
d (A,∆) =
¯
¯
h−−−→
M M0, −→ui¯
¯
¯−→u¯
