Công thức toán thpt và ltdh

Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn 92 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường” Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn... CHÚ Ý 1 Một số phép biến đổi tương đương phươn

Trang 1

Công thức Toán LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Công Tuấn

92 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường”

Trang 2

Phương trình (1) có 2 nghiệm âm

PHÂN BIỆT

000

P S

91 “Cứ đi rồi sẽ thấy đường”

BỔ SUNG CÔNG THỨC

Trang 3

Cơng thức Tốn LTĐH ** Biên soạn Thầy Ninh Cơng Tuấn

2 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CSN

Cho u n là cấp số nhân, cơng bội là q 1 Khi đĩ, ta cĩ: Tổng của n số hạng

BỔ SUNG THÊM CƠNG THỨC

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 ( a b  ) 2  a 2  2 ab b  2

ab b

a b

2 ( a b  ) 2  a 2  2 ab b  2

ab b

a b

3 a 2  b 2 (  a b a b  )(  )

4 ( a b  ) 3  a 3  3 a b 2  3 ab 2  b 3

) (

3 3 ) (

 

ax bx c (a 0) Biệt số  b24ac ( hoặc ' 2 '

 Nếu  0 thì pt (1) vô nghiệm

 Nếu  0 thì pt (1) có nghiệm số kép 1 2

a

  

 (

1,2

b x

  là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0

 Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 1 và x2 c

Trang 4

 Đặt ẩn phụ : t = x2 (t0) Ta được phương trình:

0

Giải pt (2) tìm t Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x

Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số

nghiệm của phương trình (1)

III Phương trình bậc ba

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE

để phân tích vế trái thành nhân

tử và đưa pt (1) về dạng tích số :

Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có)

CHÚ Ý

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của

 Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng

22

Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vơ hạn) mà kể từ số hạng

thứ 2, mỗi số hạng đều bằng tích của một số hạng đứng ngay trước

nĩ với một số q khơng đổi, nghĩa là:

Trang 5

 Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước Cụ

thể ta biến đổi như sau:

( )lim

0 thì lại phân tích tử và mẫu thành

tích các nhân tử và giản ước

 Nếu f(x) và g(x) có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân

tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước khi phân tích chúng

gọi là công sai của cấp số cộng

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức (khác không)

c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức

B A

Trang 6

1 tan x

u' tanu

1 cot x

u' cot u

x lna

a

u' log |u|

+ Nếu m < 3 thì y  0 có 2 nghiệm phân biệt x x x1, 2( 1x2) Hàm

số nghịch biến trên đoạn x x1; 2 với độ dài l x1x2 Ta có:

 

Trang 7

1 2

+ m 0, y 0 có 3 nghiệm phân biệt:  m m, 0, Khi đó hàm

số đồng biến trên các khoảng (  m; 0),( m;  )

 (1).Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (  ;1)

HƯỚNG DẪN: Tập xác định: D = R \ {–m} y m

x m

2 2

Trang 8

m m

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; ),( ;x1 x2  )

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 0;   x1x2 0

Trang 9

y có   3(m 3)

+ Nếu m  3 thì  0  y  0,  x   hàm số đồng biến trên R

 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng  ; 0  m  3 thoả

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; ),( ;x1 x2  )

Do đó hàm số (1) đồng biến trên khoảng (  ;0)  0 x1x2 

6(2

1 2

x x

TC2: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

 DẠNG 1:

sincos

 Nếu 2 < n lẻ thì thực hiện biến đổi

Với tích phân I : Đặt t = cosx Với tích phân J : Đăt t = sin x

2 4 0

m n

n m

= cosx đều được)

 Nếu m, n chẵn thì đối với I1 dùng công thức

ossin

Trong đó Fsin , cosx x

là hàm hữu tỉ đối với sinx và cosx

 Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì ĐẶT t = sinx

 Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì ĐẶT t = cosx

 Nếu thay cosx bởi cosx) và sinx bởi

(-sinx) mà hàm số không đổi dấu thì ĐẶT t = tanx hoặc t = cotx

 Nếu không thỏa mãn 3 dấu hiệu trên thì ĐẶT

Trang 10

2 2

2tan

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2 1 cos cos cos( ) cos( )

+ Nếu m  3 thì  0  y  0,  x   hàm số đồng biến trên R

 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng  ; 0  m  3 thoả YCBT

+ Nếu m  3 thì  0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt

x x x1, 2( 1x2) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng

x1 x2

(  ; ),( ;  )

Do đó hàm số (1) đồng biến trên khoảng (  ;0)  0 x1x2 

P S

0 0 0

3 0

Trang 11

 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y –

2

3 = 4

1(x +5)

Suy ra, giao điểm với trục hoành là: A( - 2; 0)

1cos1sin

cos x ra rồi đặt t = tanx

 Đối với I2 nếu n lẻ thì đặt t = cosx ; nếu n

chẵn thì tách 12

sin x ra rồi đặt t = cotx

DẠNG 7

  2   2

sin sin cos cos

dx I

cos sin 2 sin cos sin cos

dx I

Trang 12

dx I

TSA a sinx b cosxB a sinx b cosx'

y/(0)0; y/(3)9phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

b Tại giao điểm với trục hoành

Hệ số góc của tiếp tuyến là:

13

1)

(

2 0 0





x x y

3

234

3

0 0 0

0 2

0

x

x x

1(x + 1)

4

34

Trang 13

+ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 nên

0 2

a) Tại giao điểm với trục tung

b) Tại giao điểm với đường thẳng y = 2

Vậy có hai giao điểm: A   0;2 ,B 3;2

2

3 0

7sin 4 cos2sin cos

Với J: tcotx

Ví dụ 3 4 4

Trang 14

DẠNG : CHỨA NHIỀU CĂN

 Chứa 2 căn cùng bậc nhân lượng liên hợp

 Chứa nhiều căn bậc khác nhau : Bậc m, bậc n … mà biểu

thức trong căn giống nhau thì ĐẶT căn bậc r là t với r là

bội số chung nhỏ nhất của m,n…

 Hàm chứa e thông thường đặt x

nên  

0 2



Trang 15

phương trình tiếp tuyến cần tìm là y0(x2) 2 y  2

Ví dụ 2 Cho hàm số 2

yx  x ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ là 6

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = -5x + 1 và y = 5x – 14

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

0

1

10

2

x x

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu y = x + 1 và y = x + 5

 TC 5 Các dạng tích phân từng phần cơ bản và

Đặt

'( )( )

Trang 16

DẠNG 3:  BƯỚC 1: Giải phương trình hoành độ

giao điểm f x g x  tìm nghiệm

 Trong đó:

 M x y 0; 0gọi là tọa độ của tiếp điểm tiếp điểm

 k  f ' x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M( -1; -2);

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ 2

Giải b) Ta có 2  

y x  x y   phương trình tiếp tuyến cần tìm là y9(x1) 2 y9x 7

c) Giả sử M ( 2 ; y0) là tiếp điểm khi đó ta có y 0 233.222 2

Trang 17

Dựa vào đồ thị ta có:

+ m 2: Phương trình vô nghiệm;

+ m 2: Phương trình có 2 nghiệm kép ;

+  2 m0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

+ m0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1.CÔNG THỨC CỘNG

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan(a + b) = tana tanb

cosa.cosb – sina.sinb = cos(a + b) cosa.cosb + sina.sinb = cos(a - b) sina.cosb + cosa.sinb = sin(a + b) sina.cosb - cosa.sinb = sin(a - b)

2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

a y0 b

) ( : ) (C yf x

O

Trang 18

 cos2x = cos 2

x – sin 2 x = 2cos 2 x –1 = 1 – 2sin 2 x NGƯỢC LẠI: 1 – 2sin 2 x = cos2x ; 2cos 2 x –1 = cos2x

cos 2 x – sin 2 x = cos 2x

 sin2x = 2.sinx.cosx; sinx cosx 1sin 2x

 sin3x = 3sinx – 4sin 3

x  cos3x = 4cos 3 x – 3cosx

5 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

 cosa + cosb = 2.cos a b

x x

x

221

3

12

31

)22(

2 3

2 3 2

x khi x

x

x khi x

x x

x x y

Nên đồ thị (C/) được suy ra từ đồ thị (C) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x1+ Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < 1

Trang 19

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2

Làm mất dấu trừ trước sin :  sin   sin(  )

Đổi sin thành cos: sin cos

Làm mất dấu trừ trước cos :  cos   cos(    )

9 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

11 KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 8 câu “ Thần chú” nguyên tắc chung thường được sử dụng trong các phép biến đổi giải phương trìnhlượng giác

Trang 20

 Biểu thức chứa mẫu THÌ Quy đồng, cộng trừ phân thức, triệt tiêu

mẫu

Thấy (a+b)(c-d) THÌ nhân phân phối vào

Gặp tan x THÌ THAY sin

tan

cos

x x

x



 Hướng suy nghĩ để giải phương trình lượng giác

Khi gặp một phương trình lượng giác, bạn có thể suy nghĩ

cách giải bài toán theo các bước sau đây:

 Bước 1: Xem phương trình có chứa ẩn ở mẫu không, có

chứa các hàm tanx và cotx hay không Nếu có, hãy đặt

điều kiện ngay:

 Đối với mẫu số là biểu thức f x   thì đặt f x    0

 Khi gặp tan x thì đặt cos x  0

 Khi gặp cot x thì đặt sin x  0

 Nếu có nhiều điều kiện đồng thời thì dùng dấu ngoặc

nhọn “{“ để biểu diễn điều kiện

 Bước 2: Xét xem trong phương trình có những nhóm

biểu thức quen thuộc nào có thể áp dụng được công

thức Ta dùng phép biến đổi và các công thức để chuyển

phương trình ban đầu về một trong các dạng sau:

 Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng

giác

 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng

2

11

21

2

x khi x

x

x khi x

x

x y

Nên đồ thị (C3) được suy ra từ đồ thị (C) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x1+ Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < 1

Trang 21

2

01

21

2

x khi x

x

x khi x

x

x y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x0

+ Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ được

Và khi biến đổi về được các dạng phương trình này, công việc còn lại là

tùy thuộc vào nơi bạn Nhưng, vấn đề khó khăn lớn nhất ở đây là ở

bước 2: “ làm sao để nhận ra các nhóm biểu thức có thể áp dụng

được công thức và biến đổi ????? CÂU HỎI NÀY TỰ MỖI BẢN

THÂN CÁC EM HÃY TÌM CÂU TRẢ LỜI NHÉ

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG

1) 1 sin 2 x(sinxcos )x 2; 1 sin 2 x(sinxcos )x 2

2) 1 tan sin cos

sin xcos x(sinxcos )(1 sin cos )x  x x

8) cos4xsin4xcos2xsin2xcos 2x

Trang 22

Bảng “ NHÓM CÔNG THỨC” QUEN THUỘC PHẢI NHỚ

CÔNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG NHÓM BIỂU THỨC

cos a b cosa b cos cosa bsin sina b

sin cosa a sin cos 1sin 2

1 sin 2a 1 sin 2 asinacosa2

1 sin 2a 1 sin 2 asinacosa2

cos xsin x2 cos x  1 1 2sin x

cosacosb cos cos 2 cos cos

21

2

01

21

2

x

x khi x x

x

x khi x

x

x y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y0+ Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < 0

Trang 23

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau

x y

sin sina b sin sin 1cos( ) cos( )

sin a c os a sin6xcos6x 1 3sin2xcos2x

Đôi khi số “1” có thể phải biến đổi thành

1 sin a c os a

2 1 cos 2sin

x

 ; cot cos

sin

x x

x

Rồi quy đồng mẫu số, sử dụng công thức cộng

 Đổi cos thành sin :

Trang 24

a M

B A

a M

B A

2(chéo dài x chéo ngắn)

23

0232

3

3 3

x x y

x x x

x y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y0(phần phía trên trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ được

Trang 25

3

02

32

3

3 3

x khi x

x

x khi x

x x

x y

Ta lại có y x3 3x 2 là hàm số chẵn

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x0(phần phía bên phải trục

Oy)

+ Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ được

S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình tròn : S   R 2

CÁC ĐƯỜNG VÀ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

a Trọng tâm của tam giác

 Trọng tâm G của tam giác là giao điểm của 3

đường trung tuyến

 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì xét trên trung tuyến AM ta có 1

3

GM  AM và 2

3

GA AM Ta cũng có được điều tương tự trên hai trung tuyến còn lại

b Trực tâm của tam giác

 Trực tâm của tam giác là giao điểm 3 đường cao

 Nếu H là trực tâm của ABC thì ta

cóAH BC BH,  AC CH, AB

c Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Tâm I của đường tròn nội tiếp ABC là giao điểm của 3 đường phân giác trong của ABC

d Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABClà giao điểm của 3

đường trung trực của 3 cạnhAB, BC và CA

 CHÚ Ý QUAN TRỌNG :

 Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

vuông là trung điểm của cạnh huyền và bán kính là

một nửa cạnh huyền

Trang 26

 Tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp TRÙNG NHAU

I b a

Q P

a

Q P

d

a

b P

3

0232

32

3

3 3

3

x x khi x

x

x x khi x

x x

x y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y0(phần phía trên trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y0( phần phía dưới trục Ox)

Trang 27

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau

a

R

Q P

Q

P a

Trang 28

 Nếu d không vuông góc với   và d cắt

 

d  O thì ta xác định góc giữa d và

  theo các bước:

 Bước 1: Xác định giao điểm Od 

 Bước 2: Chọn điểm A tùy ý trên d khác

với điểm O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên  

 Bước 3: Góc giữa d và   là AOH

 Lưu ý: ta nên chọn a, b sao cho a, b, c đồng quy

Trường hợp khó tìm hai đường a, b thì ta tìm đường thẳng d vuông

góc với giao tuyến c Cho d  A , d  B Vẽ AI c tại I Suy ra



BI c Khi đó      ,  AI BI, .

d' d

O A

H

b a I

Giả sử hàm số y  f x ( ) có đồ thị ( C1) và hàm số y  g x ( ) có đồ thị ( C2)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C1)và

 C2 f x( )g x( ) (1)

NHẬN XÉT:

 Số giao điểm của (C1)và  C2 chính là số nghiệm của phương trình (1)

 Nghiệm của phương trình ( 1 ) chính là hoành độ của các giao

điểm

Giải phương trình (1) tính hoành độ giao điểm, thay vào y f x( )

( hoặc ) y g x( )) để có tung độ giao điểm

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,35 MB

Công thức toán thpt và ltdh

BÀI 4: HèNH CHIẾU, ĐỐI XỨNG