Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT.
Trang 1Chương 1
Đại số - Lượng giác - Giải tích
Tam thức bậc hai
f (x) = ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0)
có hai nghiệmx1, x2
• Định lí Viete:
S = x1+ x2= −b
a; P = x1x2= c
a
• ∆ < 0thì f (x)cùng dấu vớia
• f (x) ≥ 0,∀x ∈ R ⇔
½
∆ ≤ 0
a > 0
• f (x) ≤ 0,∀x ∈ R ⇔
½
∆ ≤ 0
a < 0
• x1< α < x2⇔ a f (α) < 0
• α < x1< x2⇔
∆ > 0
a f ( α) > 0 S
2− α > 0
• x1< x2< α ⇔
∆ > 0
a f ( α) > 0 S
2− α < 0
•
·
α < x1< x2
x1< x2< α ⇔
½
∆ > 0
a f ( α) > 0
• x1< α < β < x2⇔
½
a f ( α) < 0
a f ( β) < 0
• α < x1< β < x2⇔
½ a f (α) > 0
a f ( β) < 0
•
·
x1< α < x2< β
α < x1< β < x2 ⇔ f (α) f (β) < 0
• α < x1< x2< β ⇔
∆ > 0
a f (α) > 0
a f (β) > 0 S
2− α > 0
S
2− β < 0
1.2 Bất đẳng thức
1.2.1 Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối
• −|a| ≤ a ≤ |a|∀a ∈ R
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
• |x| > a ⇔ x < −a W x > a
• |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|
1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy
• a + b
2 ≥pabdấu bằng xảy ra khia = b
• a + b + c
3 ≥p3abcdấu bằng xảy ra khia = b = c
1.2.3 Bất đẳng thức Bunyakovsky
• ab + cd ≤p(a2+ c2)(b2+ d2)
Dấu“ = ”xảy ra khiad = bc
• a1b1+ a2b2+ c3b3≤
q
¡a2
1+ a22+ a23¢ ¡b2
1+ b22+ b32¢
Dấu“ = ”xảy ra khi a1
b1 =a2
b2 =a3
b3
Trang 21.3 Cấp số cộng
• Số hạng thứn:u n = u1+ (n − 1)d
• Tổng của n số hạng đầu tiên:
S n=n
2(u1+ u n) =n
2[2u1+ (n−)d]
• Số hạng thứn:u n = u1.q n−1
• Tổng củansố hạng đầu tiên:S n = u11 − q n
1 − q
trình chứa giá trị tuyệt đối
• |A| = |B| ⇔ A = ±B
• |A| = B ⇔
½
B ≥ 0
A = ±B
• |A| < B ⇔
½
A < B
A > −B
• |A| < |B| ⇔ A2< B2
• |A| > B ⇔
·
A > B
A < −B
trình chứa căn thức:
• p
A =pB ⇔
½
A ≥ 0hoặcB ≥ 0
A = B
• p
A = B ⇔
½
B ≥ 0
A = B2
• p
A <pB ⇔
½
A ≥ 0
A < B
• p
A < B ⇔
A ≥ 0
B > 0
A < B2
• p
A > B ⇔
B < 0
A ≥ 0
½
B ≥ 0
A > B2
1.7.1 Công thức khai triển
• (a + b) n=
n
P
k=0
C n k a n−k b k
• (a + b) n = C n0a n +C n1a n−1 b +···+C n n−1 ab n−1 +C n n b n
Newton
• (1 + x) n = C n0+C n1x +C n2x2+ · · · +C n n x n
• (1 − x) n = C n0−C n1x +C n2x2− · · · + (−1)n C n n x n
• (x + 1) n = C n0x n +C n1x n−1 +C n2x n−2 + · · · +C n n
• 2n= (1 + 1)n = C n0+C n1+C n2+ · · · +C n n
• a α a β = a α+β
• a
α
a β = a α−β
• (a α)β = a αβ
• pβ
a α = a α β
• a
α
b α =³a
b
´α
• a α α = (a.b) α
• a −α= 1
a α
• n
pmp
a k= n.mpa k = a
k n.m
Trang 31.9 Logarit
• loga N = M ⇔ N = a M
• loga a M = M
• aloga N = N
• N1loga N2= N2loga N1
• loga (N1N2) = loga N1+ loga N2
• loga
µ
N1
N2
¶
= loga N1− loga N2
• loga N α = αlog a N
• loga α N = 1
αloga N
• loga N = logb N
logb a
• loga b = 1
logb a
trình logarit
• loga f (x) = log a g (x) ⇔
0 < a 6= 1
f (x) > 0hoặcg (x) > 0
f(x)=g(x)
• loga f (x) > log a g (x) ⇔
0 < a 6= 1
f (x) > 0
g (x) > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
trình mũ
• a f (x) = a g (x)⇔
½
0 < a 6= 1
f (x) = g (x)
½
a = 1
f (x), g (x)có nghĩa
• a f (x) > a g (x)⇔
½
a > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
trình mũ
• a f (x) = a g (x)⇔
½
0 < a 6= 1
f (x) = g (x)
½
a = 1
f (x), g (x)có nghĩa
• a f (x) > a g (x)⇔
½
a > 0
(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0
1.13 Công thức lượng giác cơ bản
• sin2x + cos2x = 1
• tan x = sin x
cos x
• cot x = cos x
sin x
• tan x cot x = 1
• 1 + tan2x = 1
cos2x
• 1 + cot2x = 1
sin2x
1.14 Cung liên kết
1.14.1 Cung đối
• cos(−x) = cos x
• sin(−x) = −sin x
• tan(−x) = −tan x
• cot(−x) = −cot x
• sin(π − x) = sinx
• cos(π − x) = −cosx
• tan(π − x) = −tanx
• cot(π − x) = −tanx
Trang 41.14.3 Cung phụ
• sin(π
2− x) = cos x
• cos(π
2− x) = sin x
• tan(π
2− x) = cot x
• cot(π
2− x) = tan x
• sin(π + x) = −sinx
• cos(π + x) = −cosx
• tan(π + x) = tanx
• cot(π + x) = cotx
2
• sin
³π
2+ x
´
= cos x
• cos³π
2+ x´= −sin x
• tan³π
2+ x
´
= −cot x
• cot
³π
2+ x
´
= −tan x
• sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
• cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
• tan x(x ± y) = tan x ± tan y
1 ∓ tan x tan y
• sin 2x = 2sin x cos x
• cos 2x = cos2x − sin2x
= 2cos2x − 1
= 1 − 2sin2x
• tan 2x = 2 tan x
1 − t g2x
• cos2x = 1 + cos2x
2
• sin2x = 1 − cos2x
2
• sin 3x = 3sin x − 4sin3x
• cos 3x = 4cos3x − 3cos x
• tan 3x = 3 tan x − tan
3x
1 − 3tan2x
• cos3x = 3 cos x + cos3x
4
• sin3x = 3 sin x − sin3x
4
Đặtt = tan x
2 thì
• sin x = 2t
1 + t2
• cos x = 1 − t
2
1 + t2
• tan x = 2t
1 − t2
1.19 Công thức biến đổi
1.19.1 Tích thành tổng
• cos x cos y =1
2£cos(x − y) + cos(x + y)¤
• sin x sin y =1
2£cos(x − y) − cos(x + y)¤
• sin x cos y =1
2£sin(x − y) + sin(x + y)¤
Trang 51.19.2 Tổng thành tích
• cos x + cos y = 2cos x + y
2 cos
x − y
2
• cos x − cos y = −2sin x + y
2 sin
x − y
2
• sin x + sin y = 2sin x + y
2 cos
x − y
2
• sin x − sin y = 2cos x + y
2 sin
x − y
2
• tan x + tan y = sin(x + y)
cos x cos y
• tan x − tan y = sin(x − y)
cos x cos y
• cot x + cot y = sin(x + y)
sin x sin y
• cot x − cot y = sin(x − y)
sin x sin y
• sin x + cos x =p2 sin(x + π
4) =p2 cos
³
x − π
4
´
• sin x − cos x =p2 sin
³
x − π
4
´
= −p2 cos
³
x + π
4
´
• 1 ± sin2x = (sin x ± cos x)2
1.20 Phương trình lượng giác
1.20.1 Phương trình cơ bản
• sin x = sinu ⇔
·
x = u + k2π
x = π − x + k2π
• cos x = cosu ⇔
·
x = u + k2π
x = −u + k2π
• tan = tanu ⇔ x = u + kπ
• cot = cotu ⇔ x = u + kπ
1.20.2 Công thức nghiệm thu gọn
• sin x = 1 ⇔ x = π
2+ k2π
• sin x = −1 ⇔ x = − π
2+ k2π
• sin x = 0 ⇔ x = kπ
• cos x = 1 ⇔ x = +k2π
• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
• cos x = 0 ⇔ x = π
2+ kπ
giác
1.21.1 Định lý cosin
• a2= b2+ c2− 2bc cos A
• b2= a2+ c2− 2ac cos B
• c2= a2+ b2− 2ab cosC
• cos A = b
2+ c2− a2 2bc
• cos B = a
2+ c2− b2 2ac
• cosC = a
2+ b2− c2 2ab
1.21.2 Định lý hàm số sin
a
sin A= b
sin B = c
sinC = 2R
trung tuyến
• m2a=b
2+ c2
2 −a
2
4
• m2b=a
2+ c2
2 −b
2
4
• m2c=a
2+ b2
2 −c
2
4
giác trong
• l a=
2bc cos A
2
b + c
Trang 6• l b=
2ac cos B
2
a + c
• l c=
2ab cos C
2
a + b
1.21.5 Công thức tính diện tích tam giác
• S =1
2a.h a=1
2b.h b=1
2c.h c
• S =1
2bc sin A =1
2ab sinC =1
2ac sin B
• S = p.r = abc
4R
• S = pp(p − a)(p − b)(p − c)
1.22.1 Đạo hàm các hàm đơn giản
• (x α)0= α.x α−1
• (p
x)0= 1
2p
x
• µ 1
x
¶0
= − 1
x2
• (sin x)0= cos x
• (cos x)0= −sin x
• (t g x)0= 1
cos2x
• (cot g x)0= − 1
sin2x
• (e x)0= e x
• (a x)0= a x ln a
• (ln x)0= 1
x
• (loga x)0= 1
x ln a
• (u α)0= α.u α−1 u0
• (p
u)0= u
0
2p
u
• µ 1
u
¶0
= −u
0
u2
• (sin u)0= u0 cos u
• (cos u)0= −u0 sin u
• (t g u)0= u
0
cos2u
• (cot g u)0= − u
0
sin2u
• (e u)0= u0e u
• (a u)0= u0a u ln a
• (ln u)0=u
0
u
• (loga u)0= u
0
u ln a
•
Z
d x = x +C
•
Z
x α d x = x
α+1
α + 1 +C (α 6= 1)
•
Z d x
x = ln |x| +C
•
Z d x
x2 = −1
x +C
•
Z
e x d x = e x +C
•
Z
a x d x = a
x
ln a +C
•
Z
cos xd x = sin x +C
•
Z
sin xd x = −cos x +C
•
Z d x
cos2x = tan x +C
Trang 7• d x
sin2x = −cot x +C
tích vật thể tròn xoay
1.24.1 Công thức tính diện tích
S =
a
Z
b
¯
¯f (x) − g (x)¯¯d x
1.24.2 Công thức tính thể tích
• Hình phẳng quay quanh trụcOx
V = π
a
Z
b
¯
¯f2(x) − g2(x)¯¯d x
• Hình phẳng quay quanh trụcO y:
V = π
a
Z
b
¯
¯f2(y) − g2(y)¯¯d y
Trang 8Chương 2
Hình học
2.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm
• −→
AB = (x B − x A , y B − y A)
• ĐiểmM chia đoạnAB theo tỉ sốk 6= 1:
−−→
M A
M B = k ⇔ M
(
x M =x A −kx B
1−k
y M =y A 1−k −k y B
• ĐiểmI là trung điểm củaAB:
I
½
x I =x A +x B
2
y I =y A +y B
2
• ĐiểmGlà trọng tâm của tam giácABC:
G
x G=x A + x B + x C
3
y G=y A + y B + y C
3
• Cho tam giácABC có−→AB = (a1; a2),−→
AC = (b1; b2)
⇒ S ∆ABC=12|a1b2− a2b1|
• Phương trình tổng quát:∆ : Ax + B y +C = 0
Vectơ pháp tuyến−→n = (A;B); A2+ B26= 0
• Phương trình tham số:∆ :
½
x = x0+ at
y = y0+ bt
Vectơ chỉ phương−→u = (a;b), qua điểmM (x0; y0)
• Phương trình chính tắc:∆ :x − x0
a =y − y0
b
• Phương trình đoạn chắn:∆quaA(a; 0); B (0; b)
∆ : x
a+y
b = 1
2.3 Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Góc tạo bởid : Ax + B y +C = 0và∆ : A0x + B0y +C0= 0
làϕxác định bởi
cosϕ =
¯
¯A.A0+ B.B0¯¯ p
A2+ B2.pA02+ B02
Khoảng cách từ một điểm M (x0; y0) đến đường thẳng∆ : ax + bx + c = 0:
d (M ,∆) =
¯
¯Ax0+ B y0+C¯¯ p
A2+ B2
giác
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d :
Ax + B y +C = 0và∆ : A0x + B0y +C0= 0là:
AX + B y +C
p
A2+ B2 = ±A
0x + B0y +C0
p
A02+ B02
Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài
• Khoảng cách đại số
t1=Axp1+ B y1+C
A2+ B2 ; t2=
A0x2+ B0y2+C0
p
A02+ B02
• Hai điểm M (x1; y1)vàM0(x2; y2)nằm cùng phía
so với∆⇔ t1.t2> 0: phân giác ngoài
• Hai điểm M (x1; y1)và M0(x2; y2)nằm khác phía
so với∆⇔ t1.t2< 0: phân giác trong
Trang 92.6 Đường tròn
• Phương trình đường tròn có tâmI (a; b)và bán
kínhR
(C ) : (x − a)2+¡ y − b¢2= R2
• Phương trình có dạng
(C ) : x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0
Vớia2+b2−c > 0là phương trình đường tròn(C )
có tâmI (a; b)và bán kínhR =pa2+ b2− c
2.7 Elip
• Phương trình chính tắc Elip
(E ) : x
2
a2+y
2
b2 = 1
vớia2= b2+ c2
• Tiêu điểm:F1(−c;0),F2(c; 0)
• Đỉnh trục lớn:A1(−a;0),A2(a; 0)
• Đỉnh trục nhỏ:B1(0; −b),B2(0; b)
• Tâm sai:e = c
a < 1
• Phương trình đường chuẩn:x = ± a
e
• Bán kính qua tiêu điểm:
M F1= a + ex M , M F2= a − ex M
• Phương trình tiếp tuyến tạiM0(x0; y0) ∈ (E)
x0x
a2 +y0y
b2 = 1
• Điều kiện tiếp xúc của(E ) : x
2
a2+y
2
b2 = 1và
∆ : Ax + B y +C = 0là:A2a2+ B2b2= C2
2.8 Vectơ trong không gian
Trong không gian cho các vectơ−u→1=¡x1, y1, z1¢,−u→2=
¡x2, y2, z2¢
và sốktùy ý
• −u→
1= −u→2⇔
x1 = x2
y1 = y2
z1 = z2
• −u→
1± −u→2=¡x1± x2, y1± y2, z1± z2
¢
• k− u→
1=¡kx1, k y1, k z1
¢
• Tích có hướng:−u→1.−u→
2= x1.x2+ y1.y2+ z1.z2
−→
u1⊥ −u→2⇔ −u→1.−u→
2= 0 ⇔ x1.x2+ y1.y2+ z1.z2= 0
• ¯¯−u→
1
¯
¯=
q
x12+ y21+ z21
• Gọiϕlà góc hợp bởi hai vectơ¡0◦É ϕ É 180◦¢
cosϕ =¯ −u→1.−u→2
¯−u→
1
¯
¯.¯¯−u→
2
¯
¯
=q x1x2+ y1y2+ z1z2
x21+ y12+ z12
q
x22+ y22+ z22
• −→
AB = ¡x B − x A , y B − y A , z B − z A
¢
AB =
q
(x B − x A)2+¡ y B − y A¢2
+ (z B − z A)2
• Tọa độ các điểm đặc biệt:
? Tọa độ trung điểmIcủa AB:
I³x A + x B
2 ,
y A + y B
2 ,
z A + z B
2
´
? Tọa độ trọng tâmG của tam giácABC:
G³x A + x B + x C
y A + y B + y C
z A + z B + z C
3
´
? Tọa độ trọng tâmG của tứ diệnABC D:
• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi
−
→u =£−u→
1, −u→
2¤ =
µ¯
¯
¯
¯
y1 z1
y2 z2
¯
¯
¯
¯ ,
¯
¯
¯
¯
z1 x1
z2 x2
¯
¯
¯
¯ ,
¯
¯
¯
¯
x1 z1
x2 z2
¯
¯
¯
¯
¶
• Một số tính chất của tích có hướng
? −→a và−→b cùng phương⇔
h
−
→a ,→−bi
=→−0
A, B,C thẳng hàng⇔
h−→
AB ,−→
ACi=→−0
Trang 10? Ba vectơ→−a,→−b,→−c đồng phẳng
h−→a ,→−bi
.−→c = 0
A, B,C , Dkhông đồng phẳng
h−→
AB ,−→
ACi.−−→
AD 6=−→0
? ¯¯
h
−
→a ,→−bi¯
¯
¯ =
¯→−a¯
¯
¯
−
→
b¯¯ sin³→−a ,−→b´
• Các ứng dụng của tích có hướng
? Diện tích hình bình hành:
S ABC D=
¯
¯
¯
h−→
AB ,−−→
ADi¯¯
¯
? Diện tích tam giác:S ABC =1
2
¯
¯
¯
h−→
AB ,−→
ACi¯¯
¯
? Thể tích khối hộp:
V ABC D.A0B0C0D0=
¯
¯
¯
h−→
AB ,−−→
ADi.−−→
A A0
¯
¯
¯
? Thể tích tứ diện:V ABC D=1
6
¯
¯
h−→
AB ,−→
ACi.−−→
AD¯¯
• Phương trình tổng quát(α): ax + by + cz + d = 0
với(a2+ b2+ c26= 0)
• Phương trình mặt phẳng(α)quaM ¡x0, y0, z0¢và
có vectơ pháp tuyến−→n = (a,b,c)
(α) : a (x − x0) + b ¡ y − y0¢ + c (z − z0) = 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α)
quaA(a, 0, 0); B (0, b, 0);C (0, 0, c)
(α) : x − x0
a +y − y0
b +z − z0
c = 1, vớia, b, c 6= 0
2.9.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho(α): a1x +b1y +c1z +d1= 0và¡
β¢: a2x +b2y +c2z +
d2= 0
• (α)cắt¡
β¢ ⇔ a1: b1: c16= a2: b2: c2
• (α)song song¡
β¢⇔ a1
a2=b1
b2=c1
c26=d1
d2
• (α)trùng¡
β¢ ⇔ a1
a2 =b1
b2=c1
c2=d1
d2
• (α)vuông góc¡
β¢ ⇔ a1a2+ b2b2+ c1c2= 0
Cho đường thẳngdquaM0¡x0, y0, z0¢
và có vectơ chỉ phương là→−u = (a,b,c) Khi đó:
• Phương trình tham số củad
d :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
• Phương trình chính tắc củad (khiabc 6= 0)
d : x − x0
a =y − y0
b =z − z0
c
2.10.1 Vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng
Đường thẳngd1qua M1 và có vectơ chỉ phương là
−→
u1,d2quaM2và có vectơ chỉ phương là−u→2thì:
• d1trùngd2⇔£−u→1, −u→
2¤ =h−u→1,−−−−→
M1M2i=→−0
• d1song songd2⇔
£−u→
1, −u→
2¤ =−→0 h
−→
u1,−−−−→
M1M2i6=→−0
• d1vàd2cắt nhau⇔
£−u→
1, −u→
2¤ −−−−→M1M2= 0
£−u→
1, −u→
2¤ 6=−→0
• d1vàd2chéo nhau⇔£−u→
1, −u→
2¤ −−−−→M1M26= 0
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→n α, mặt phẳng¡
β¢có vectơ pháp tuyến−n→β, khi đó góc giữa(α) và¡
β¢ được tính bằng
cos¡(α),¡β¢¢ = ¯¯cos¡−→ n α, −n→
β¢¯¯=
¯
¯−→n
α.−n→
β¯¯
¯
¯−→n
α¯¯.¯¯−n→
β¯¯
• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường
thẳngd1vàd2có các vectơ chỉ phương là−u→1và
−→
u2, khi đó góc giữad1vàd2tính bằng
cos (d1, d2) =¯¯cos¡−u→
2, −u→
2
¢¯
¯=
¯
¯−u→
1.−u→
2
¯
¯
¯−u→
1
¯ ¯−u→
2
¯
Trang 11• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho
đường thẳngd có vectơ chỉ phương là→−u, mặt
phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→n, khi đó góc
giữad và(α)làϕđược tính bằng
sinϕ =
¯
¯−→u −→n¯
¯
¯
¯−→u¯
¯.¯¯−→n¯
¯
• Khoảng cách từ điểmA ¡x0, y0, z0¢
tới
(α) : ax + by + cz + d = 0là
d (A, ( α)) =
¯
¯ax0+ by0+ cz0+ d¯¯ p
a2+ b2+ c2
• Khoảng cách từ điểmM tới đường thẳng∆qua
M0và có vectơ chỉ phương−→u là
d (A,∆) =
¯
¯
¯
h−−−→
M M0, −→ui¯
¯
¯
¯
¯−→u¯
¯
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆1và∆2biết∆1quaM1và có vectơ chỉ phương
−→
u1;∆2quaM2và có vectơ chỉ phương−u→2
d (∆1,∆2) =
¯
¯£−u→
1, −u→
2¤ −−−−→M1M2
¯
¯
¯£−u→
1, −u→
2
¤¯
¯
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng(α)và¡
β¢song song nhau là khoảng cách từM0∈ (α)tới¡
β¢
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2
song song nhau là khoảng cách từM1∈ ∆1 tới
∆2
• Khoảng cách giữa đường thẳngdvà mặt phẳng
(α)song song nhau là khoảng cách từ điểmM0∈
dtới(α)
• Mặt cầu tâm I (a, b, c), bán kính R có phương
trình
(S) : (x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2= R2
• Phương trìnhx2+ y2+ z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0
có a2+ b2+ c2> d là phương trình mặt cầu với tâmI (a, b, c)bán kínhR =pa2+ b2+ c2− d
2.13.1 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và
mặt phẳng
Cho(α)vàS(I , R), khi đó nếu
• d (I , ( α)) > R: mặt phẳng không cắt mặt cầu
• d (I , ( α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi
đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Tọa độ tiếp điểmM0là tọa độ hình chiếu vuông góc củaI xuống(α)
• d (I , ( α)) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trònC (I0, r ) , còn gọi là đường tròn giao
tuyến, khi đó
? TâmI0là tọa độ hình chiếu vuông góc của I
xuống mặt phẳng(α)
? Bán kínhr =pR2− I I02
2.13.2 Vị trí tương đối đường thẳng và
mặt cầu
Cho đường thẳng d :
x = x0 + t a1
y = y0 + t a2
z = z0 + t a3
và mặt
cầu(S) : (x −a)2+(y −b)2+(z −c)2= R2 Xét vị trí tương đối củad và(S)ta dùng một trong hai cách:
1 Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) củad và(S), bằng cách lấyx, y, ztừ phương trình đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩnt
• Phương trình(∗)vô nghiệm:d và(S)không
có điểm chung
• Phương trình(∗)có 1 nghiệm:dtiếp xúc với
(S)
• Phương trình (∗)có 2 nghiệm phân biệt: d
cắt(S)tại 2 điểm phân biệt
2 So sánh khoảng cáchd (I , d )vàR
• d (I , d ) > R:dvà(S)không có điểm chung
Trang 12• d (I , d ) = R:d tiếp xúc với(S).
• d (I , d ) < R:d cắt(S)tại 2 điểm phân biệt Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểmd và (S)ta dùng cách thứ 1
2.13.3 Vị trí tương đối hai mặt cầu
Cho hai mặt cầuS1(I1, R1)vàS2(I2, R2)
• I1I2< |R1− R2| ⇔ (S1) , (S2)trong nhau
• I1I2> |R1− R2| ⇔ (S1) , (S2)ngoài nhau
• I1I2= |R1− R2| ⇔ (S1) , (S2)tiếp xúc trong
• I1I2= R1+ R2⇔ (S1) , (S2)tiếp xúc ngoài
• |R1− R2| < I1I2< R1+R2⇔ (S1) , (S2)cắt nhau theo một đường tròn