Công thức toán THPT

Tài liệu bao gồm toàn bộ công thức cơ bản của 3 năm THPT giúp hệ thống lại kiến thức, củng cố kĩ năng giải bài tập.

MỤC LỤC

A ĐẠI SỐ 3

1 Tam thức bậc hai 3

2 Bất đẳng thức Cauchy 3

3 Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3

4 Phương trình- bất phương trình chứa căn 3

5 Cấp số cộng 4

6 Cấp số nhân 4

7 Nhị thức Niutơn 4

8 Giới hạn 4

B HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 7

1 Định lý hàm Côsin 7

2 Định lý hàm Sin 7

3 Công thức tính diện tích tam giác 7

4 Độ dài trung tuyến 7

C PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 8

1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 8

2 Hệ đối xứng loại 1 8

3 Hệ đối xứng loại 2 8

4 Hệ đẳng cấp 8

D LƯỢNG GIÁC 9

I Công thức lượng giác 9

1 Các cung liên quan đặc biệt 9

2 Công thức lượng giác cơ bản 9

3 Công thức cộng 9

4 Công thức nhân đôi 9

5 Công thức nhân ba 9

6 Công thức hạ bậc 9

7 Công thức biến đổi tổng thành tích 9

8 Công thức biến đổi tích thành tổng 10

9 Công thức biểu diễn theo

2 a 10

10 Một số công thức quan trọng 10

II Phương trình lượng giác 10

1 Phương trình lượng giác cơ bản 10

E CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 14

1 Quy tắc cơ bản 14

2 Bảng công thức tính đạo hàm 14

F CÔNG THỨC MŨ, LOGARIT 15

G CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 16

H PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 17

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG MẶT PHẲNG OXY 20

1 Phương trình của đường thẳng 20

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 20

3 Góc giữa hai đường thẳng 20

4 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 20

5 Phương trình đường tròn 20

6 Elip 21

7 Hypebol 21

8 Parabol 22

J HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 23

I – Các hình cơ bản 23

1 Hình chóp 23

2 Hình trụ 23

3 Hình cầu 24

4 Hình nón 24

II – Các phương pháp chứng minh 24

III – Các vấn đề về góc 25

IV – Các vấn đề về khoảng cách 26

K SỐ PHỨC 27

A ĐẠI SỐ

1 Tam thức bậc hai:

Giả sử ( ) ( )

( ) { * { ( )

( ) { { ( ) ( )

là nghiệm của ( ) ( ) { ( ) ( )

( ) { ( ) ( )

{

( )

[ ( ) ( )

{

( )

{

( )

( )

2 Bất đẳng thức Cauchy : Với hai số thì a b ab 2   Dấu “=” xảy ra khi a = b Với ba số thì a b c 3abc 3    Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 3 Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:  | | {  | | {

 | |  | | { *

 | | | | ( )( )

 | | | | | |  | | | | | |

 | | || | | ||  | | || | | ||

4 Phương trình- bất phương trình chứa căn:

 √ √ {  √ {

 √ [{

{

5 Cấp số cộng: cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:

6 Cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

(u n ) là cấp số nhân  u n+1 = u n q với n  N* (q: công bội)

1(1 )

11

n

n n

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = k n k k

n

C a b ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C n k C n n k

- Dãy số có giới hạn hữu hạn:

 Nếu  0, n và lim thì a  0 và lim u n  a

 Nếu lim thì limu n  a và lim√ √

 lim n   limn k  (k )  limq n   (q1)

 Nếu limu n   thì lim 1 0

neáu a v neáu a v

x  

B HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Định lý hàm Côsin :

4 Độ dài trung tuyến

 hệ có một nghiệm duy nhất ( ), trong đó ;

 : + hoặc : hệ vô nghiệm

+ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình

2 Hệ đối xứng loại 1: (I) { ( ) ( ) với ( ) ( ) và ( ) ( )

 Nhận dạng : khi ta hoán vị ( đổi chỗ) x và y thì f(x,y) và g(x,y) vẫn không thay đổi

 Phương pháp giải :  Đặt S = x+ y, P = xy

 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với ẩn S, P

 Giải hệ (II) ta tìm được S, P

 Tìm nghiệm bằng cách giải phương trình

3 Hệ đối xứng loại 2: (I) { ( ) ( ) ( ) ( )

 Nhận dạng : khi ta hoán vị ( đổi chỗ) x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại

 Phương pháp giải:  trừ (1) và (2) vế theo vế ta được { ( ) ( ) ( )

 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

4 Hệ đẳng cấp: (I) {

 Phương pháp giải:  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

 Khi Đặt thế vào hệ (I) ta được hệ theo t và x Khử x ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này ta tìm được t từ đó ta tìm được (x, y)

D LƢỢNG GIÁC

I Công thức lượng giác:

1 Các cung liên quan đặc biệt:

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém Góc hơn kém

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Công thức lượng giác cơ bản:   

 



3 Công thức cộng: sin(a b ) sin cos a b sin cosb a cos(a b) cosa.cosb sina.sin b  tana tan b tan(a b) 1 tana.tan b    4 Công thức nhân đôi:  sin22sin cos   cos2  cos2sin2  2cos2  1 1 2sin2  tan2 2tan2 ; cot 2 cot2 1 2cot 1 tan          

5 Công thức nhân ba:

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

3tan tan tan3

1 3tan











6 Công thức hạ bậc:

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2





























7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

8 Công thức biến đổi tích thành tổng:

9 Công thức biểu diễn theo

1

t a

t



 ;

2 2

1cos

1

t a

1

t a

II Phương trình lượng giác:

1 Phương trình lượng giác cơ bản :

- Phương trình sinx = sina

- Phương trình cosx = cosa

 cosx cos    x  k2 ( k Z )  cos : 1 1

cosx x a a Ñieàu kieän x  arccos  a ka 2 ( k Z )

 cosu cosv cosucos(v)  cos sin cos cos

 cosx   1 cos2x 1 sin2x  0 sinx  0  x k  (k Z )

- Phương trình tanx = tana

 tanx  tan   x  k (k Z )  tanx  a  x arctana k k Z (  )

 tanu tanv tanutan( )v  tan cot tan tan

- Phương trình cotx = cota

 cotx cot   x  k (k Z )  cotx  a x arccota k  (k Z )

- Phương trình chứa thì điều kiện: x k  (k Z )

- Phương trình chứa cả và cotx thì điều kiện ( )

2 Một số dạng phương trình lượng giác:

- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: vận dụng các cơng thức trên để giải

- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a x b x c  x k  (k Z )

Nếu đặt: tsin2x hoặc t sinx thì điều kiện: 0  t 1

- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cos: dạng

Vì x  k2   b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: 'a2(c2b2) 0  a2b2  c2

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan 0

2

x t

- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx : dạng

 Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a d t ) 2b t c d    0

 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc (1) .1 cos2 .sin2 .1 cos2

 Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt: cos sin 2.cos ; 2

 Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt: cos sin 2 cos ; : 0 2

u u

u (sinx) = cosx ( )

(cosx) = – sinx ( )

2

1tan 1 tan

log a



1log N log N

a 1f(x),g(x) xacdinh

1 1 tan(ax b)cos (  )   

H PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

    (với a b, 0)

8 Điều kiện vuông góc của hai vectơ a b  a b a b1 1 2 2a b3 30

9 Vectơ tạo bởi hai điểm: AB(x Bx y A B; y z A B; z A)

16 Tích chất quan trọng của tích có hướng a b[ , ] a; [ , ]a b  b

17 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b , và c đồng phẳng  [ , ].a b c0

18 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

S

23 Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác: AB,AC không cùng phương

24 Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ABCDlà tứ diệnAB,AC AD 0 

25 Điều kiện để tứ giác ABCD là hình bình hànhAB DC

26 Phương trình mặt cầu: (x a )2 (y b)2 (z c)2R2

- Phương trình x2y2z22ax2by2cz d 0 với a2b2c2 d 0 là phương trình

mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2b2c2d

- Nếu () có phương trình Ax By Cz D   0 thì n( ; ; )A B C là một VTPT của ()

- Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0( ; ; ) và có một VTPT 0 0 0 n( ; ; )A B C là:

A x x(  )B y y(  )C z z(  )

- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z 1

a b c   () cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

30 Phương trình của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và có VTCP 0 0 0

1 2 3

a( ; ; )a a a :

1 2 3

o o o

( ) :      được gọi là phương trình chính tắc của d

31 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP a và

d M d

a

,( , )  

32 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 d 1 đi qua

điểm M 1 và có VTCP a , d1 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP a 2 1 2 1 2

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY

1 Phương trình của đường thẳng:

- Phương trình tổng quát: với a2b2 0 với VTPT là n( ; )a b và VTCP

 đi qua hai điểm ( ) ( ) (  )

- Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: y y 0 k x x(  0)

 đi qua điểm M x y0 0 0( ; ) và có hệ số góc k

- Phương trình tham số của đường thẳng:   

  



x x at

y y00 bt (1) ( t là tham số)

 đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTCP u (a;b)

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: x x y y

4 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cho hai đường thẳng 1:

a x b y c1  1  1 0 và 2: a x2 b y c2  2 0cắt nhau Phương trình các đường phân giác của các góc tạo

- Phương trình x2y22ax2by c 0, với a2b2 c 0, là phương trình đường tròn tâm

- Toạ độ các tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)c F c2

- Với M(x; y)  (E), MF MF1, 2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M

- Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y,  b (MNPQ) (ngoại tiếp elip)

- Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x a

- Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b

- Tâm sai của (H): e c

a

 (e > 1)

- Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y,  b

- Phương trình các đường tiệm cận: y b x

- Phương trình chính tắc của parabol: y22px (p > 0)

- Toạ độ tiêu điểm: F p;0

- Hình chóp tam giác đều (Hình tứ diện đều)

+ Đáy là tam giác đều + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau + Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy là trọng tâm ABC) + Tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau

+ Tất cả các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

+ Chú ý:  Diện tích đều: ( ) √

 Đường cao đều: ( ) √

- Hình chóp tứ giác đều

+ Đáy là hình vuông + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau + Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy là giao điểm hai đường chéo)

+ Tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau

+ Tất cả các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

2 Hình trụ:

- Diện tích xung quanh ( hay diện tích hình trụ)

- Diện tích xung quanh của hình nón:

Với p là chu vi đáy, q là độ dài đường sinh( hay khoảng cách từ O tới 1 cạnh đáy)

- Thể tích của khối nón:

II – Các phương pháp chứng minh:

1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng(P)

{

( )

( )

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với

2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho đường thẳng d có VTCP a( ; ; )a a a1 2 3

và mặt phẳng () có VTPT n( ; ; )A B C Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ()

+ Vậy ( ̂ )

3 Góc giữa hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:

(): A x B y C z D1  1  1  10(): A x B y C z D2  2  2  20Góc giữa (), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n1, 2

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất

kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm bất kì trên mp này

đến mp kia

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 d 1

đi qua điểm M 1 và có VTCP a , d1 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP a 2 1 2 1 2

Trường hợp 2: a, b chéo nhau đồng thời có mp(P) chứa b và song song với a

+ Lấy M thuộc a, kẻ MH (P) tại H + Từ H dựng a’ // a, cắt b tại B + Từ B dựng đường thẳng // MH cắt a tại A + AB là đoạn vuông góc chung của a và b

+ Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A

+ AB là đoạn vuông góc chung của a và b

K SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

- Tập hợp số phức: C

- Số phức (dạng đại số) : z a bi  (a, bR , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1)

- z là số thực  phần ảo (Imz) của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo  phần thực (Rez) của z bằng 0 (a = 0)

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u' biểu diễn z' thì u u 'biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’

5 Căn bậc hai của số phức:

- z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi   z2w  2 2

- w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

- Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

- Hai căn bậc hai của a < 0 là  a i

6 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0)

A

  

 , ( là 1 căn bậc hai của )

Chú ý: Nếu z 0 C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*) 0

7 Dạng lượng giác của số phức:

 z r (cosisin ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0)

cossin

a r b r

- Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : cho z r (cosisin ) , z r' '(cos ' sin ') i  :

 z z rr ' ' cos(   ') sin(i  ')  cos( ') sin( ')

' '

z r       

- Công thức Moa–vrơ:

 r(cos isin ) n r n(cosn isin )n , (n N *)

 cosisin n cosnisinn

- Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

 Số phức z r (cos isin ) (r > 0) có hai căn bậc hai là: