LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 11 – Chuyên đề Dãy số, cấp số] I.. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP 1.. Giả sử mệnh đề đã đúng với
Trang 1LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 11 – Chuyên đề Dãy số, cấp số]
I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP
1 Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ N* thì ta thực hiện theo các bước sau đây:
Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của P(k); ta gọi là giả thiết quy nạp
Với giả thiết P(k) đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1
2 Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥≥≥≥ p; (p là số một số tự nhiên) thì ta thực hiện như sau:
Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của P(k); ta gọi là giả thiết quy nạp
Với giả thiết P(k) đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1
II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 [ĐVH]: Chứng minh các biểu thức sau đúng vợi mọi số tự nhiên n dương:
a) 1 2 3 ( 1)
2
+ + + + + =n n n
6
Lời giải:
2
+ + + + + =n n n
+) Với n = 1 thì ta có 1.2 ( )
2
= ⇒ đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 1 2 3 ( 1)
2
+ + + + + =k k k
+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1 2 3 ( 1) ( 1)( 2)
2
Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1
6
+) Với n = 1 thì ta có 2 1.2.3 ( )
6
+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 12 22 32 2 ( 1)(2 1)
6
+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là 12 22 32 2 ( 1)2 ( 1)( 2)(2 3)
6
6
Vậy biểu thức (2) đúng
Ví dụ 2 [ĐVH]: Chứng minh rằng:
a) 1.2+2.5 3.8 + + +n.(3n− =1) n n2( +1) với mọi n dương
b) 3n>n2+4n+5 với mọi số tự nhiên n ≥ 3
Lời giải:
1.2+2.5 3.8 + + +n.(3n− =1) n n( +1), 1
01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Trang 2+) Với n = 1 thì ta có 2 ( )
1.2 1 (1 1)= + ⇒ 1 đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 2
1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− =1) k k( +1) +) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1) (k 1)(3k+ = +2) (k 1) (2 k+2)
Thật vậy, 1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1) (k 1)(3k+ =2) [1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1)] (k 1)(3k+2)
( 1) ( 1)(3 2) ( 1)( 3 2) ( 1)( 1)( 2) ( 1) ( 2)
Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1
b) 3n> +n2 4n+5, ( )2
+) Với n = 3 thì ta có 33> +32 4.3 5+ ⇔27>26⇒( )2 đúng
+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 3k >k2+4k+5
+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1 2
3k+ > +( 1) +4( + +1) 5
Thật vậy, 3k+1=3 3 3(k > 2+4 + =5) 3 2+12 + =15 ( 2+2 + +1) 4( + + +1) 5 2 2+6 +5
= +k + k+ + + k + k+ > +k + k+ + do 2k+6k+ > ∀5 0 k
Do đó ta được 1 2
3k+ > +( 1) +4( + +1) 5
Vậy (2) đúng
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
Bài 2: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
+ + + < − ≥ b) 1 3 .2 1 1
n
n− < n
+
Bài 3: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
+ +
Bài 4: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
a)
4
n n
+ + + = b) 1.4 2.7 + + +n n(3 + =1) n n( +1) 2
Bài 5: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
a) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)
3
+ + + + = b) 1 1 1
n
Bài 6: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
a)
2
3
+ + + + − = b) 1 4 7 (3 2) (3 1)
2
n n
+ + + +⋯ − =
Bài 7: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:
a) n3+11n chia hết cho 6 b) n3+3n2+5 chia hết cho 3
c) n3+2n chia hết cho 3 d) 7.22n−2+32n−1 chia hết cho 5
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
n S
= + + + +
− +
a) Tính S1; S2; S3; S4
b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp
2 1
n
n
S
n
=
+
1.5 5.9 9.13 (4 3)(4 1)
n S
= + + + +
− +
a) Tính S1; S2; S3; S4
b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp
Trang 3Đ/s:
4 1
n
n
S
n
=
+
Bài 10: [ĐVH] Dãy số (a n) được cho như sau a1= 2,a n+1= 2+a n , với n = 1, 2, …
Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*ta có: 2 cos π1
2