Hình lồi trong không gian afin và một số vấn đề liên quan

Nhân dịp hoàn thành khóa luận, cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tớicác thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy côtrong bộ môn tổ Hình học cũng như các thầy cô giảng d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhậnđược sự hướng dẫn, chỉ đạo tận tình của các thầy cô giáo, sự giúp đỡ, độngviên của bạn bè, đồng nghiệp, gia đình

Nhân dịp hoàn thành khóa luận, cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tớicác thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy côtrong bộ môn tổ Hình học cũng như các thầy cô giảng dạy đã tận tìnhtruyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoànthành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TSNguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, dành thời nhiềucông sức, thời gian chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luậnnày

Xin được chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã tạo mọiđiều kiện và giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian hoàn thành khóa luận

Do điều kiện về thời gian và ngoại cảnh còn nhiều hạn chế nên khóaluận này không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận được những nhậnxét, góp ý của các thầy cô cùng bạn đọc để khóa luận được hoàn thiệnhơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Trần Thị Minh Hồng

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của cánhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Các nội dungtrong khóa luận là hoàn toàn trung thực Các thông tin trích dẫn trongkhóa luận đều được chỉ rõ nguồn gốc.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này

đã được cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Trần Thị Minh Hồng

Bảng kí hiệu

~

A Không gian vectơ liên kết với không gian afin A

An Không gian afin n chiều A

~

An Không gian vectơ liên kết với không gian n chiều A

An(R) Không gian afin thực n chiều A

dimA Số chiều của không gian afin A

o

G Tập các điểm trong của G

H(P0, P1, Pm) m - hộp đóng (trong đó m + 1 điểm Pi độc lập)o

H(P0, P1, Pm) m - hộp mở (trong đó m + 1 điểm Pi độc lập)

S(P0, P1, Pm) m - đơn hình với các đỉnh P0, P1, Pm

coX Bao lồi của tập X

affA Bao afin của tập A

En Không gian vectơ Ơclit n chiều E

~

En Không gian Ơclit n chiều E

KA Nón lồi sinh bởi tập A

N(n/A) Nón pháp tuyến của tập lồi A tại đỉnh n

Bảng kí hiệu i

1.1 Khái niệm 4

1.1.1 Không gian afin 4

1.1.2 Hệ điểm độc lập 5

1.2 Mục tiêu afin 5

1.2.1 Khái niệm mục tiêu afin 5

1.2.2 Tọa độ 5

1.2.3 Công thức đổi tọa độ 6

1.3 Phẳng afin 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Phương trình của m - phẳng 8

1.3.3 Vị trí tương đối của các phẳng 10

2 HÌNH LỒI 14 2.1 Hình lồi trong không gian afin 14

2.1.1 Tập lồi 15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

2.1.2 Bao lồi 16

2.1.3 Đơn hình 16

2.1.4 Hộp 17

2.2 Tính chất cơ bản 18

2.3 Tính chất tôpô 28

2.4 Hình đa diện 32

2.5 Hình lồi trong không gian Ơclit 33

2.5.1 Không gian Ơclit 33

2.5.2 Hình lồi không gian Ơclit 33

2.5.3 Bao lồi 36

2.5.4 Tập afin, Bao afin 37

2.5.5 Nón lồi 39

2.6 Một số bài toán có yếu tố hình lồi 42

ý đến kiến thức về Hình lồi được trình bày trong chương trình Đạihọc Người ta đã có rất nhiều nghiên cứu về hình lồi trong khônggian Ơclit nhưng em xin mạnh dạn trình bày một số hiểu biết vềhình lồi trong không gian afin Tên đề tài mà e lựa chọn để đặt chonghiên cứu khoa học này là:"Hình lồi trong không gian afin

và một số vấn đề liên quan "

• Lịch sử nghiên cứu vấn đề

Tên gọi hình lồi có vẻ còn rất mới lạ đối với học sinh khối trunghọc phổ thông, nhưng thực ra chúng đã có mặt rất sớm trong hệthống kiến thức mà mang những cái tên riêng biệt của mình nhưhình vuông, hình tròn, hình chữ nhật Khi lên các cấp cao hơn,hình lồi được đưa vào nghiên cứu trong không gian afin, không gianƠclit

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

• Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến hình lồi trong không gianafin, đưa ra một số bài toán có yếu tố lồi

• Phương pháp nghiên cứu

– Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu liên quan đếnhình lồi trong không gian afin

– Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của giáo viêntrực tiếp hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thành nộidung cũng như cấu trúc khóa luận

– Phương pháp tổng hợp: Tổng kết các kiến thức của bản thân,kết hợp ý kiến của giảng viên để hoàn thành khóa luận

• Nội dung chính của khóa luận

Nội dung chính của khóa luận gồm hai chương như sau:

Chương 1 Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản sẽ dùng ở chương

sau

Chương 2 Chương này trình bày một số nội dung về hình lồi trong không

gian afin và không gian Ơclit Những kiến thức được trình bày

để giải quyết một số bài toán hình học tổ hợp

KHÔNG GIAN AFIN

Trong chương trình phổ thông trung học, hình học cổ điển được xâydựng từ các đối tượng cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng và cáctiên đề, định lý quy định mối liên hệ giữa chúng Với cách định nghĩahình học như vậy, rất phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh phổthông trung học Nhưng sau các thành tựu của Đại số tuyến tính, người

ta tìm ra cách trình bày hình học cổ điển đơn giản và tổng quát hơn,hạn chế được nhược điểm của cách trình bày ở phổ thông đó là khó khănkhi mở rộng không gian nhiều chiều Từ đó, hình học afin cũng đượcxây dựng chỉ với hai đối tượng là điểm và vectơ cùng với tám tiên đề vềvectơ và hai tiên đề về điểm (đã được trình bày trong đại số tuyến tính).Các chứng minh trong hình học afin chủ yếu sử dụng thành tựu của Đại

số tuyến tính Nội dung trình trong chương này chủ yếu được lấy từ [1]

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

1.1 Khái niệm

1.1.1 Không gian afin

Cho K là một trường, V là một K - không gian vectơ, tập hợp A khácrỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, một ánh xạ ϕ được xác địnhnhư sau:

M, N 7−→ ϕ(M, N ) := −−→

M Nvới M, N ∈ A thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1 ∀ M ∈ A, ∀~u ∈ V tồn tại duy nhất điểm N sao cho −−→

Mỗi M ∈ A được gọi là một điểm

Không gian vectơ liên kết V thường được kí hiệu là ~A

Nếu dimV = n thì không gian afin A gọi là n chiều, kí hiệu: dimA = n,(xem [1, tr.5])

Ví dụ: Cho V là một K - không gian vectơ, ánh xạ ϕ : V × V → V chobởi ϕ(~a,~b) = ~b − ~a, (~a,~b ∈ V) Khi đó (V, ϕ, V) trở thành không gianafin V liên kết với không gian vectơ V và gọi là không gian afin chínhtắc trên V, (xem [1, tr.5]) Thật vậy, ta kiểm tra hai tiên đề:

• ∀~a ∈ V, ~u ∈ V tồn tại duy nhất ~b ∈ V sao cho ~u = ~b − ~a

• ∀~x, ~y, ~z, ~a, ~b, ~c ∈ V trong đó ~x = ~b − ~a, ~y = ~c − ~b, ~z = ~c − ~a, taxét ~x + ~y = ~b − ~a + ~c − ~b = ~c − ~a = ~z

Định lý: Nếu A là không gian afin n chiều thì trong A luôn có những

hệ m điểm độc lập với 0 6 m 6 n + 1 Mọi hệ điểm nhiều hơn n + 1điểm đều là độc lập, (xem [1, tr.7])

1.2 Mục tiêu afin

1.2.1 Khái niệm mục tiêu afin

Cho không gian afin n chiều A liên kết với không gian vectơ ~A Lấy

e = {~e1, ~e2, , ~en} là một cơ sở của ~A và một điểm O thuộc A Khi đótập hợp {O, e} được gọi là một mục tiêu afin của An; O gọi là điểm gốccủa mục tiêu, ~ei gọi là vectơ cơ sở thứ i của mục tiêu Để chỉ mục tiêuafin {O, e} ta có thể viết là {O, ~ei} (xem [1, tr.7])

1.2.2 Tọa độ

Giả sử {O, ~ei} là một mục tiêu của không gian afin An Khi đó vớimọi điểm M thuộc A, vectơ −−→OM ∈ An nên ta có biểu diễn tuyến tínhcủa −−→

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Điều này có nghĩa vectơ −−→

OM có tọa độ (x1, x2, , xn) đối với cơ sở {~ei},

xi ∈ K, (i = 1, 2, 3, , n, ) (xem [1, tr.7])

Bộ (x1, x2, , xn) ∈ K cũng được gọi là tọa độ của điểm M trong mụctiêu {O, ~ei}, xi được gọi là tọa độ thứ i của M Kí hiệu: M (x1, x2, , xn)hay M (xi) (xem [1, tr.7])

Chú ý: Nếu M (xi), N (yi) đối với mục tiêu afin {O, ~ei} thì

1.2.3 Công thức đổi tọa độ

Trong không gian afin n chiều An, cho hai mục tiêu afin {O, e} và{O0, e0} Một điểm M ∈ A có tọa độ tương ứng với mỗi mục tiêu lần lượt

là (xi, x0j) Ta đi tìm mối liên hệ giữa các tọa độ này

C không suy biến (detC 6= 0).

Công thức (1.1) và (1.2) là các công thức đổi tọa độ (hay đổi mục tiêu)trong đó C là ma trận đổi tọa độ từ mục tiêu từ {O, e} và {O0, e0},(xem [1, tr.8])

được gọi là phẳng đi qua P có phương ~α, (xem [1-tr.9])

Nếu dim~α = m , ta nói α là một phẳng m chiều hay một m - phẳng,(xem [1, tr.9])

Quy ước: 0 - phẳng là một điểm, 1 - phẳng là đường thẳng, 2 - phẳng

là mặt phẳng Đặc biệt, nếu dimA = n thì (n - 1) - phẳng được gọi làsiêu phẳng, (xem [1, tr.9])

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Nếu m = 1, (1.3) trở thành phương trình đường thẳng:

Trong đó kí hiệu rankA là hạng của ma trận A, (xem [1-tr.11])

Phương trình tổng quát: (xem [1, tr.12]) không gian afin n chiều Ancho mục tiêu afin {O, e} Giả sử α là m - phẳng đi qua điểm I có phương

~

α Ta chọn trong α m vectơ độc lập tuyến tính: ~e0n−m+1, ~e0n−m+2, , ~e0n

và bổ sung vào đó n − m vectơ ~e01, ~e02, , ~e0n−m để được một cơ sở e0 =

n ~e0

1, ~e02, , ~e0n

ocủa ~A Lúc này, ta nhận được một mục tiêu afin mới là{I, e0}

Gọi điểm X bất kì thuộc An có tọa độ (x1, x2, , xn) đối với mục tiêu{O, e} và có tọa độ (x01, x02, , x0n) đối với mục tiêu {I, e0}

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Công thức đổi mục tiêu:

trong đó hạng của ma trận (a1a2 an) bằng 1, (xem [1, tr.12])

1.3.3 Vị trí tương đối của các phẳng

Định nghĩa: (xem [1, tr.14]) Trong không gian afin An cho m - phẳng

α và n - phẳng β, (m ≤ n) lần lượt có phương là ~α và ~β

a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.

b) Phẳng α gọi là song song với β nếu ~α là không gian con của ~β.c) Các phẳng α, β gọi là cắt nhau nếu chúng không cắt nhau và khôngsong song nhau

d) Giao α ∩ β gọi là giao của hai cái phẳng α, β và được hiểu theonghĩa thông thường của tập hợp

e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β, gọi là tổngcủa hai cái phẳng α, β

Định lý 1: (xem [1, tr.14]) Giao của hai cái phẳng α và β hoặc làtập rỗng hoặc là một cái phẳng có phương ~α ∩ ~β

Hệ quả 1: Nếu phẳng α song song với phẳng β thì hoặc chúng không cóđiểm chung hoặc α nằm trong β, (xem [1, tr.14])

Hệ quả 2: Qua một điểm I đã cho có một m - phẳng duy nhất song songvới m - phẳng đã cho α, (xem [1, tr.14])

Định lý 2 : Hai phẳng α và β cắt nhau khi và chỉ khi với ∀M ∈ α,

∀N ∈ β ta có −−→M N ∈ ~α + ~β, (xem [1, tr.15])

Về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng, ta có định lý sau:Định lý 3: (xem [1, tr.15]) Cho không gian afin An, hai cái phẳng α

và β có phương lần lượt là ~α và ~β

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Ngược lại giả sử một phẳng γ0 chứa α và β Khi đó phẳng γ0 chứa I và

có phương ~α + ~β Tức là γ0 chứa γ

Từ hai lập luận trên chứng tỏ γ = α + β, ta có:

dim(α + β) = dim(~α + ~β) = dim~α + dim~β − dim(~α ∩ ~β)

= dimα + dimβ − dim(α ∩ β)

Nếu α ∩ β = ∅ thì theo định lý 2, tồn tại một điểm I ∈ α và mộtđiểm J ∈ β sao cho −→

chứa ~α, ~β và ~δ Từ đó suy ra γ0 chứa γ và do đó γ = α + β Vậy:

= dim −→α + dim−→β − dim−→α ∩−→β 

+ 1

= dim α + dim β − dim (α ∩ β) + 1

Định lý 4: (xem [1, tr.16]) Một siêu phẳng α và m - phẳng β trongkhông gian afin An thì hoặc β song song với α hoặc cắt α theo một(m - 1) - phẳng với 1 ≤ m ≤ n − 1

Trong chương này, chúng ta đã trình bày sơ lược một số kiến thức sẽdùng trong chương sau

Chương 2

HÌNH LỒI

Trong chương này trình bày các định nghĩa, định lý về tập lồi tronghai không gian afin và không gian Ơclit Kiến thức lưu ý trong chươngnày là định lý Helly về tính giao khác rỗng của tập lồi Những kết quảđược rút ra sẽ là công cụ hữu hiệu giúp giải các bài toán hình học tổhợp

2.1 Hình lồi trong không gian afin

Định nghĩa: (xem [1, tr.20]) Trong không gian afin thực An, cho haiđiểm M, N Một điểm P bất kì thuộc đường thẳng d đi qua M và N khi

và chỉ khi với điểm O tùy ý thì

Tập hợp (M N ) = [M N ] \ {M, N } gọi là "khoảng" với các mút M, N Hợp của một khoảng và một trong hai mút gọi là một "nửa khoảng".Chú ý:

Khi M ≡ N , đoạn thẳng MN gồm một điểm M (hoặc N ), [1-tr.20].Khi M 6= N , đoạn thẳng M N gồm điểm M (khi λ = 1), điểm N

(khi λ 6= 1) và những điểm ứng với λ(0 < λ < 1), [1, tr.20]

2.1.1 Tập lồi

Định nghĩa: (xem [1, tr.21]) Một tập X trong không gian afin thực

An gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm M, N thuộc X thì đoạn thẳng

M N nằm hoàn toàn trong X

Ví dụ: Đoạn thẳng, khoảng, nửa khoảng trong không gian afin lànhững tập lồi Trong mặt phẳng, các hình tam giác, hình tròn là các tậplồi Trong không gian afin thực, m - phẳng là tập lồi

Hình 1

A B

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Hình 2

Hình 1 biểu diễn về tập lồi, khi ta lấy bất kì hai điểm trong một tập thìđoạn thẳng tạo bởi hai điểm này nằm hoàn toàn trong tập đó Hình 2biểu diễn về tập không lồi

Trong không gian afin thực n chiều An, cho m + 1 điểm độc lập

P0, P1, , Pm Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồmnhững điểm M sao cho với điểm O bất kì thì:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Mỗi m - hộp là một tập lồi, (xem [1, tr.26])

Thật vậy, nếu M và N là hai điểm tùy ý thuộc m - hộp, tức là

P = M ∈ A | [OM ] ∩ α = ∅ , Q = M ∈ A | [OM ] ∩ α 6= ∅ Trước hết ta chọn trong không gian afin một mục tiêu, khi đóphương trình siêu phẳng α có phương trình dạng:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

d) m - đơn hình là tập lồi bé nhất chứa các đỉnh của đơn hình.

Cho m - đơn hình với các đỉnh P0, P1, , Pm, (xem [1, tr.23]).Chứng minh:

Điều kiện cần: Rõ ràng các đỉnh P0, P1, , Pm đều thuộc đơn hình(cho λi = 1 và các λi khác bằng 0 ta được đỉnh Pi)

Lấy hai điểm M, N thuộc đơn hình, tức là

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Bởi vậy M thuộc đoạn thẳng Pk+1N và vì S’ chứa N và chứa Pk+1nên M ∈ S0.

Bây giờ ta xét một bất phương trình tuyến tính dạng:

a1x1 + a2x2 + + anxn+ a0 > 0 với các ai không đồng thời bằng 0.Đặt:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

f (x1, x2, , xn) = a1x1 + a2x2 + + anxn+ a0;

P =M (x1, x2, , xn) | f (x1, x2, , xn) > 0 ;

α =M (x1, x2, , xn) | f (x1, x2, , xn) = 0 thì khi đó α là một siêu phẳng

Lấy điểm M0 = x01, x02, , x0n
∈ P chứng minh M (x1, x2, , xn) ∈ Pkhi và chỉ khi đoạn thẳng [M M0] không cắt α

Nửa không gian còn lại cùng với bờ α là

Q = M (x1, x2, , xn) |f (x1, x2, , xn) < 0

Mà theo c) mục 2.2 các nửa không gian là tập lồi nên P, Q là những tập

Ví dụ 2: (xem [2, tr.59]) Trong không gian afin thực An cho họ điểm

P0, P1, , Pm mà mỗi điểm của họ không thuộc bao lồi của họ điểm cònlại Gọi Bm là bao lồi của họ {P0, P1, , Pm} Tìm tập hợp các điểm M

∈ Bm sao cho nếu M là trung điểm của hai điểm P và Q thuộc Bm thì

P ≡ Q Điểm M như thế gọi là điểm cực biên của họ điểm đã cho.Chứng minh:

Trước hết, ta chứng minh: P0 là một điểm cực biên của họ {P0, P1, , Pm}.Với P ∈ Bm thì:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng

Do α0 − 2 < 0, α1 ≥ 0, , αm ≥ 0 nên nếu Q thuộc Bm thì

α0 − 2 < 0, α1 ≥ 0, , αm ≥ 0 phải cùng dấu suy ra

α1 = α2 = = αm = 0

tức là Q ≡ P0 hay Q ≡ P Vậy P0 là điểm cực biên Tương tự như vậythì Pi(i = 1, n) đều là các điểm cực biên

Bây giờ ta chứng minh: Nếu M ∈ Bm\ {P0, P1, , Pm} thì M không phải

là điểm cực biên Thật vậy, khi đó:

Từ a) và b) ta kết luận: Tập hợp các điểm cực biên của họ {P0, P1, , Pm}

Định lý(Định lý Helly) (xem [2, tr.64]) Trong không gian afin thực A2cho 4 tập lồi G1, G2, G3, G4 mà ba trong bốn tập đó đều có điểm chungthì G1∩ G2∩ G3∩ G4 6= ∅ Một cách tổng quát, trong A2(R) cho n tậplồi mà mọi ba trong chúng đều có điểm chung thì n tập lồi đó có điểmchung