giáo viên: Dơng Tiến mạnh.. các dạng bài tập rút gọn biểu thức... giáo viên: Dơng Tiến mạnh... giáo viên: Dơng Tiến mạnh... giáo viên: Dơng Tiến mạnh... giáo viên: Dơng Tiến mạnh.. Nêú đ
Trang 1giáo viên: Dơng Tiến mạnh
các dạng bài tập rút gọn biểu thức
I Lý thuyết
A N hững hằng đẳng thức
1) (a+b)2 = a2 + 2ab +b2
2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
3)a2 - b2 = (a-b)(a+b)
4)a2 + b2 = (a+b)2- 2ab = (a-b)2 + 2ab
5)(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a+b)
6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab(a-b)
7)a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) = (a+b)3 - 3ab(a+b)
8)a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) = (a-b)3 + 3ab(a-b)
9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
10) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
B Các công thức biến đổi căn thức
1) 2
A = A
2) AB = A B. (với A≥ 0và B ≥ 0)
3) A A
B = B ( với A≥ 0và B > 0)
4) a b2 = a b ( với B ≥ 0)
5) a b = a b2 ( với A≥ 0và B ≥ 0)
a b = − a b2 (với A≤ 0và B ≥ 0)
6) A = 1 AB
B b (với A.B ≥ 0 và B ≠ 0 )
7) A =A B
B
B ( với B > 0 )
−
±
m
2
C
A b
A B (với A ≥ 0 và A ≠B
2 )
−
±
m
C
A B
A B (với A ≥ 0 , B ≥ 0 và A ≠B )
II bài tập áp dụng
bài tập 1 Tính
a, A = 1( )2 1 15
b, B = 3 2 3 2 2 ( )
+
c) (4 + 15)( 5 − 3) 4 − 15
hớng dẫn
a, A = 1( )2 1 15
Trang 2gi¸o viªn: D¬ng TiÕn m¹nh
b, B = 3 2 3 2 2 ( )
= ( ) (2 )
bµi tËp 2 TÝnh
a) (1 − 2) 2 e) E = 17 12 2 − + 3 2 2 − + 3 2 2 +
b) 3 2 2− f) F = 4+ 7 − 4− 7
c) 7 4 3+ g) G = 4 2 3− − 4 2 3+
d) 2− 3 h) H = 21 6 6+ + 21 6 6−
híng dÉn
a) = 2 1− v× 1 < 2
b) = 2 1−
c) = 2+ 3
d) = 4 2 3 ( 3 1)2 3 1
e) E = ( ) (2 ) (2 )2
f) C¸ch 1
+ − − =
2
C¸ch 2 : Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
Cã F > 0 Nªn F2 = 4 + 7 + 4 - 7 - 2 (4 + 7 4)( − 7) = 8 - 2 16 7− = 2 ⇒ F = 2
g) C¸ch 1
G = 3- 1 - ( 3 + 1 ) = -2
C¸ch 2 :Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
Chó ý : G < 0
h) Còng cã hai c¸ch nh trªn
§¸p sè H = ( ) (2 )2
bµi tËp 3 : Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn
a) A = ( 57 3 6 + + 38 6 + )( 57 3 6 − − 38 6 + )
b) B = 2 3 5 13 48
+ − +
+
c) C = 5− 3− 29 12 5−
híng dÉn
Trang 3gi¸o viªn: D¬ng TiÕn m¹nh
a) A = ( ) (2 )2
57 6 + − 3 6 + 38 = 93 12 7 92 6 28 1 + − − = ∈Z
b) B = 2 3 5 (2 3 1)2
+
+ − + =
1
+ = ∈
bµi tËp 4 : So s¸nh A vµ 2B víi
A = 10+ 24+ 40+ 60
B = 2 3 6 8 16
+ + + +
+ +
híng dÉn
B = ( 2 3 4) 2( 2 3 4)
= + + +
VËy 2B = 2 + 2 2 = 2+ 2+ 4 Suy ra A > 2B
bµi tËp 5 : Rót gän biÎu thøc
híng dÉn
Sö dông ph¬ng ph¸p trôc c¨n thøc
( )( ) ( ( )( ) ) ( ) ( )
b) B = ( − 2 + 3) + −( 3 + 4)+ + − ( 2008 + 2009)= 2009 − 2
bµi tËp 6 : TÝnh
a) N = ( )2
b) M = 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5−
híng dÉn
b) Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
M2 = 6 - 2 ( )2
5 = 5 1 − ⇒ M = 1 - 5 v× M < 0
c) Cã 2 ± ( )2
3 1 3
2
±
=
Trang 4gi¸o viªn: D¬ng TiÕn m¹nh
P = 2 3 13 2 3 13 2 23 3 23 3 33
( )( ) ( )( )
( )( )
2
= 2 3 3 3 3 2
6
+ + −
=
bµi tËp 7 : CMR
a) 12 3 2 4 3 + 1 + 1 + + (n 11) n
+ < 2 víi n ≥ 1vµ n ∈ N
b) 2 1 3 2 36 35
5 12
híng dÉn
a) Ta cã
= ÷÷= − ÷= − ÷ + ÷
k
+ − < −
¸p dông víi k ∈{1; 2;3; ; n} ta cã
2 1
< − ÷
(1)
2
< − ÷
(2)
………
2
< − ÷
+ + (n)
Céng vÕ víi vÕ n B§T trªn ta cã
+ <
1
2 1
1
n
−
+ ÷
< 2.
b) XÐt biÓu thøc
( 11)
+ −
+ + víi n ∈ N*
2n+ 1 = 4n + 4n+ > 1 4n + 4n = 2 n n+ 1
(n 11) n 2 n n.1 1
⇒ <
( + −) + −
+ −
¸p dông B§T víi n ∈{1;2; ;36} ta cã
Trang 5giáo viên: Dơng Tiến mạnh
= 1− 1 = 5
2 2.6 12
L
u ý :Ta có thể dùng BĐT cô si (n+1) + n > 2 (n+ 1)n
Tổng quát 2 1 3 2 1 1 1
− + − + + + − < + −
bài tập 8 : Rút gọn biểu thức
−
3
3 1a a a a với a < 1
3
−
2
m
hớng dẫn
3 1a a a a 3 1a a a 3 1a a vì 3a <1 nên 3a - 1 < 0 b) Điều kiện m ≠1
B = ( > )
− =
− − <
4
1
m m
bài tập 9 : Cho biểu thức
− − ữ + −
:
1
a
a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3
c) Tìm a để A < 0
hớng dẫn
a) Điều kiện 0< ≠a 1
Khi đó ta có A =
a
b) a = 4 +2 3 = ( 2 1 + )2
A = + =
+
2 1
c) Với 0< ≠a 1 thì A < 0 khi − < ⇒ − < ⇔ < 1
a
a
Kết hợp với điều kiện ta có A< 0 khi 0 < a < 1
bài tập 10 : Cho biểu thức
x
Trang 6giáo viên: Dơng Tiến mạnh
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 1
hớng dẫn
a) Điều kiện 0 ≤ ≠x 4
+ + − − + −
=
b) Với 0 ≤ ≠x 4 ta có P > 1 khi 4 1 4 1 0 2 0
− > ⇔ − − > ⇔ − >
− − − ⇔ x− < ⇒ <2 0 x 4
Vậy P >1 khi 0≤x< 4
L
2
x
x− > ⇔ − > −
Nhiều học sinh kết luận x < 4 sai ???
bài tập 11 : Cho biểu thức
A = 1 2 2 : 1
a) Rút gọn A
b) Tìm a để gia trị của a đạt GTLN
hớng dẫn
a) A =
( )( ) ( ( )( ) ) ( )( )
2
− − + − + − ữ=
= -(a- a+1)
b) A = -(a- a+1) = - 1 2
2
a− - 3 3
−
≤
Amax = 3
4
a = ⇔ =a t/m
bài tập 12 : Cho biểu thức
1
− +
a) Rút gọn y Tìm x để y = 2
b) Cho x > 1 CMR y - y = 0
c) Tìm GTNN y
hớng dẫn
a) Đkxđ x > 0
1
x
+
= x( x+ − 1) 2 x− + = − 1 1 x x
2
x
x
= −
⇒ − = ⇔ − − = ⇔
=
⇔ x = ⇔ =2 x 4 t/m.
b) y = x- x = x( x− 1)
với x > 1 thì y > 0 do đó y = ⇔ − =y y y 0
Trang 7giáo viên: Dơng Tiến mạnh
c) y = x - 1 2 1 1
x = x− − ≥ −
ymin = 1 1 1
− ⇔ = ⇔ = t/m
bài tập 13 : Cho biểu thức
−
− − ữ −
a) Rút gọn P
b) Tìm P bết x = 1
4
c)Tìm x để P =3
hớng dẫn
a) ĐKXĐ 0< ≠x 1
Khi đó ta có P = ( )( )
( 11)( 1)1 11 . 1 1 1( 1). 1
= 2 x
x
−
L
u ý : Nhiều học sinh thực hiện phép chia ở biểu thức 1
1
x x
−
− do đó bài toán trở nên phức tạp
hơn
b) Với 0< ≠x 1 và x = 1
4
1 4
x
⇒ = thay vào P ta có
P = 2 x
x
− =
1 2
1 4
−
=
c) P =3 ⇔ 2 x
x
− = 3 ⇔3x+
3
x
x
= −
=
t /m
bài tập 14 : Cho biểu thức
a a
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên
hớng dẫn
a) Đkxđ 0≤ ≠a 1
Khi đó ta có
2 1
a
− =
( )( ) ( )
:
1
=
− +
b) Có P nhận giá trị nguyên thì 0≤ ≠a 1
Trang 8giáo viên: Dơng Tiến mạnh
Nếu a = 0 có P = 0 là giá trị nguyên Vậy a = 0 là giá trị t/m
Nếu 0< ≠a 1 ta có a - a+ > ∀ ⇒1 0 a P > 0 Lại có theo BĐT Côsi
P =
2
Do đó 0 < P < 2 mà P ∈Z⇒ P =1 ⇒ 2
1
a
a− a+ =1
KL : a = 0 hoặc a = 7 5
2
±
bài tập 15 : Cho biểu thức
a b
ab a ab b
ữ
+ − ữ −
a) Rút gọn P
b) Tìm a, b nguyên để P = 1
2
hớng dẫn
a) Đkxđ ab 0
a b
>
≠
Khi đó ta có P = ( ) ( )
a ab b b ab a a b a ab ab b ab ab a b
ab ab b ab a ab ab ab
ab a ab b
=
( ) .
ab a b a b a b
ab ab
ab a b
=
−
b) Giả sử có a, b nguyên và ab 0
a b
>
≠
khi đó P =
1
2
a b
a b ab ab
+
⇔ − − − = ⇔ − − = (*)
Do có a, b nguyên và ab 0
a b
>
≠
⇒ − ≠ −a 2 b 2 Nên từ (*) 2 1
2 4
a b
− =
⇒ − =
hoặc
2 4
2 1
a b
− =
− =
hoặc
a b
− = −
− = −
a b
− = −
− = −
3
6
a
b
=
⇔ =
hoặc
6 3
a b
=
=
hoặc
1 2
a b
=
= −
(loại ) hoặc
2 1
a b
= −
=
(loại)
KL : 3
6
a
b
=
=
hoặc
6 3
a b
=
=
L
u ý : Với ĐK ab 0
a b
>
≠
ta chỉ có thể dùng P
2 quy đồng Nêú đặt nhân tử chung rồi chia tử cho mẫu là sai
bài tập 16 : Cho biểu thức
Trang 9giáo viên: Dơng Tiến mạnh
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A < 1
hớng dẫn
a) Đkxđ 0 1
9
x
≤ ≠
Khi đó ta có P = ( )( ) ( )
( )( )
:
x
+
= 3 (33 1 3)(1 3 1)1 8 :3 11 (3 3 1 3)(3 1).3 11
( )( )
.
b) Với 0 1
9
x
≤ ≠ Ta có P < 1 3 1 3 1 0 1 0 3 1 0
x
⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ − <
⇔ < ⇔ < ⇒ <
Kết hợp với điều kiện ta có P < 1 0 1
9
x
⇔ ≤ <
bài tập 17 : Cho biểu thức
A = 2 2 34 1 1
a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTLN củu A
hớng dẫn
a) Đkxđ 0≤ ≠a 1
Ta có A =
2
a
+ − − + + − + + +
2
1
a a
+ +
b) Với 0≤ ≠a 1 Ta có a2 + a + 1 = 1 2 3 3 0
a
+ + ≥ >
Và A= 2 2
1 a a+ + nên Amax ⇔ (a2 +a+1)min Ta có (a2 +a+1)min =
3 4
0
⇔ + = ⇔ = − kt/m
Kl : không có giá trị của a để Amax
bài tập 18 : Cho biểu thức
1
x
− + − − ữ + ữ
Trang 10giáo viên: Dơng Tiến mạnh
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
hớng dẫn
a) Với 0 ≤ ≠x 1 Ta có
P =
( ) ( )
:
1
x
=
( ) ( )
:
1
x
b) Với 0 ≤ ≠x 1 Ta có P < 0 khi 1
1
x− < 0 ⇒ x− < ⇔ <1 0 x 1
Kết hợp với điều kiện ta có P < 0 khi 0 ≤ x < 1
bài tập 19 : Cho biểu thức
+ ữ − + − − ữ
a) Rút gọn P
b) Tìm x nguyên để M = P - x nhận giá trị nguyên
hớng dẫn
a) Với 0 ≤ ≠x 1
P =
=
=
2
1 1
x
−
+ + + −
= 2
1
x
x
+
−
b) Với 0 ≤ ≠x 1 Có M = P - x = 2
1
x x
+
− - x =
1
x
+ = +
Ta có x p
q
= với p ; q∈N và q≠0 , (p;q) = 1
Khi đó x = p22
q ∈Z nên p q2 M 2 ⇒ p qM ⇒( p q; ) = ⇒ =q q 1 ⇒ x= ∈p N
Trang 11giáo viên: Dơng Tiến mạnh
Từ đó M ∈Z⇔ x− ∈1 Z hay x−1 là ớc của 3 1 1
x x
− = ±
⇒
− = ±
L
u ý : + ƯCLB(a;b) = (a;b)
+ aMb thì ƯCLN(a;b) = b
+ Để M ∈Z thì 1 3 1
x
− Z Z là sai Chẳng hạn x−1=0,5
⇒ M = 7 ∈Z
x+ x + y+ y + = Tính giá trị của biểu thức a) A = x + y
b) B = x2009 + y2009
c) C = ( 2 )( 2 )
x+ y + y+ x +
hớng dẫn
a)Nhân hai vế của (x+ x2 + 1)( y+ y2 + = 1) 1với x - 2
1
x +
⇔ (x+ x2 + 1)(x− x2 + 1)( y+ y2 + = 1) (1. x− x2 + 1)
⇔ x2−(x2+1)(y+ y2+ = −1) (x x2+1) ⇔ − 1.(y+ y2 + = − 1) (x x2 + 1)
⇔ + + = − + + (1)
Tơng tự nhân hai vế với y - 2
1
y + ta có
x+ x + = − +y y + (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có x + y = 0 hay A = 0
b) Từ x + y = 0 ⇒x = -y ⇒x2009 = - y2009 ⇒ x2009 + y2009 = 0 hay B = 0
c) Ta có x = - y nên C = (x+ y2 + 1)( y+ x2 + 1) = (x+ x2 + 1)( y+ y2 + = 1) 1
2
a
−
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên
hớng dẫn
a) Đkxđ
0 1 2
a
a
a
>
≠
≠
b) Khi đó ta có A = ( )( )
: 2
a
: 2
a a
− + − + + +
− =
2 2
2
a a
− +
Trang 12giáo viên: Dơng Tiến mạnh
c) Với
0 1 2
a
a
a
>
≠
≠
Ta có A = 2 2
2
a a
− + = 2 -
8 2
a+
Để A ∈ ⇒Z 8M(a+2) mà a + 2∈Z và a > 0 nên a + 2 > 2 2 4 2
⇒ ⇔
Đối chiếu với điều kiện ta lấy a = 6
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3+
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
hớng dẫn
a) Đkxđ 0 < x ≠1
Khi đó ta có A =
:
1
x
+ + − + − −
=
b)Ta có x = 7 4 3+ = ( )2
2+ 3 nên A = x 1( 1 x) = x x1 = 2 3 1(7 4 3)
−
2
5 3 3
− = −
+
c) Với 0 < x ≠1 Ta thấy A < 0 khi x > 1 Nếu A có GTNN thì GTNN của A phải nhỏ hơn 0 khi đó x < 1 Đặt x = +α 1(α >0) Ta có
A = 2 1
α α
−
+ nếu α càng nhỏ thì A càng nhỏ , A nhỏ hơn bao nhiêu cũng đợc Vậy A không có giá trị nhỏ nhất
L
u ý : + Một số HS sử dụng BĐT
2
2
a b
ab
+
≥
ữ
∀a b; Ta có
1
⇒ A x(11 x) ≥4
− ⇔ =x 14t/m là sai ??
Lu ý rằng x = 9 thì A = 1
6
− < 4
+ Biểu thức P = m
n đạt GTNN (GTLN) khi m là số dơng(âm) còn n > 0
bài tập 23 : Cho biểu thức:
Trang 13giáo viên: Dơng Tiến mạnh
1
Q
x
− + +
a) Chứng minh
1
2
−
=
x
Q
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên
hớng dẫn
a) với 0 < x ≠1 ta có
x
x
=
( ) ( )2 ( ( ) ( ) ( )2 )
1
x x
−
b) với 0 < x ≠1 ta có
x
Z Z có (x-1) ∈ ⇒ − ∈ ± ± ⇔ ∈ −Z x 1 { 1; 2} x { 1;0;2;3}
Đối chiếu với điều kiện ta có giá trị x nguyên lớn nhất để Q nhận giá trị nguyên là x = 3