Bài toán định vị và một số ứng dụng

Ch ng minh... Các không gian con, các siêu ph ng vv..... nh lí Caratheodory... Ph ng pháp Torricelli... Ph ng pháp Simpson.

L I C M N

Tr c tiên tôi xin đ c g i l i c m n đ n t t c quý Th y Cô đã gi ng

d y trong ch ng trình Cao h c Toán ng d ng khóa 1 ậ Tr ng i h c

Th ng Long, nh ng ng i đã truy n đ t ki n th c h u ích v ngành Toán ng

d ng lƠm c s cho tôi hoàn thành lu n v n nƠy

c bi t tôi xin chân thành c m n Th y giáo GS.TSKH Lê D ng M u

Th y đã dƠnh nhi u th i gian quý báu t n tình h ng d n tôi trong su t quá trình th c hi n lu n v n, đ ng th i còn lƠ ng i giúp tôi l nh h i đ c nh ng

ki n th c chuyên môn và rèn luy n cho tôi tác phong nghiên c u khoa h c

Qua đơy, tôi c ng xin đ c bày t lòng bi t n sơu s c t i gia đình, b n

bè thân thi t là nh ng ng i luôn sát cánh bên tôi, t o m i đi u ki n t t nh t cho tôi, đã nhi t tình giúp đ , chia s , đ ng viên tôi trong su t quá trình h c

t p, c ng nh khi tôi th c hi n vƠ hoƠn thƠnh lu n v n nƠy

M c dù đã r t c g ng song lu n v n không tránh kh i có nh ng thi u sót, r t mong nh n đ c ý ki n góp ý c a các Th y giáo, Cô giáo và các anh

ch h c viên đ lu n v n đ c hoàn thi n h n

H i Phòng, tháng 07 n m 2015

H c viên th c hi n

Ph m Th H i

M C L C

B n cam đoan i

L i c m n ii

L I NịI U 1

CH NG 1 KI N TH C B TR 3

1.1.T p l i 3

1.2 T p a-phin 4

1.3 T p l i đa di n vƠ đ nh lý tách các t p l i đa di n 5

1.4 Bao l i 7

1.5 HƠm l i vƠ c c tr c a hƠm l i 9

1.6 BƠi toán quy ho ch l i 14

1.7 Toán t chi u 16

CH NG 2 BĨI TOÁN NH V VÀ NG D NG 21

2.1 Gi i thi u bài toán 21

2.2 Ph ng pháp t i u gi i m t bƠi toán đ nh v 26

K T LU N 41

TÀI LI U THAM KH O 42

L I NÓI U

M t v n đ quan tr ng trong hình h c lƠ xác đ nh v trí c a đi m, m t

ng d ng quan tr ng t bƠi toán xác đ nh v trí c a đi m lƠ xác đ nh v trí m t

c s c n đ c xây d ng Khi chúng ta c n xây d ng m t b nh vi n, m t nhà máy, m t tr m x ng, m t b n xe, hay m t h th ng giao thông n i các đi m quan tr ng v i nhau thì câu h i đ t ra là v trí xây d ng nh th nào là t i u, thu n ti n nh t sao cho đ m b o vi c th a mãn nhu c u c a ng i s d ng là

t t nh t đ đem l i s thu hút và l i ích nhi u nh t Ví d nh khi xây d ng

m t tr m đ x ng hay b n xe c n tính toán sao cho kho ng cách t i các khu dơn c đông đúc lƠ ng n nh t, thu n ti n đ ng nh t, ầ, c ng nh v y khi xây d ng m t h th ng giao thông thì xây d ng th nƠo đ h th ng giao thông đó có đ dài ng n nh t, ti t ki m chi phí xây d ng, thu n ti n cho vi c

s d ng sau nƠy BƠi toán xác đ nh v trí c a m t đi m, m t c quanầlƠ m t

ví d c a bài toán đ nh v

Bài toán này không ch thu h p trong ph m vi nh ng đi m lân c n mà còn đ c m r ng sao cho đ t đ c s t i u v i các đi m biên, ví d nh khi ta xây d ng m t tr m phát sóng hay m t tr m đi n trong m t th tr n thì

v n đ đ t ra là v trí xây d ng đơu đ nh ng h dơn hay c quan xa nh t

c ng nh n đ c t t nh t

BƠi toán đ nh v đ c g p và áp d ng nhi u t nh ng bài toán tìm c c

tr c a m t đi m đ n nh ng bƠi toán xác đ nh nghi m t i u kèm theo nh ng

đi u ki n ràng bu c đ gi i quy t v n đ tìm v trí c a m t đi m sao cho đ t

đ c s t i u ơy lƠ đ tƠi đã đ c nhi u tác gi trong vƠ ngoƠi n c quan tâm nghiên c u Chính vì v y tôi ch n đ tƠi: BƠi toán đ nh v và m t s ng

d ng

Lu n v n trình bƠy m t cách có h th ng bƠi toán đ nh v trong đó đi sâu vào các bài toán có hàm m c tiêu minimax và ng d ng c a bài toán này

Lu n v n g m hai ch ng

Ch ng 1: Ki n th c b tr

Ch ng nƠy trình bƠy m t s ki n th c c a gi i tích l i nh t p l i, hàm l i, c c tr c a hàm l i, bài toán quy ho ch l i, toán t chi u là nh ng

ki n th c n n t ng, c n thi t ph c v cho vi c nghiên c u và gi i quy t bài toán đ nh v

Ch ng 2: BƠi toán đ nh v và ng d ng

Ch ng nƠy trình bƠy m t cách t ng quan h n v m t bƠi toán đ nh v

là bài toán tìm m t đi m (hay m t v trí) trong m t mi n xác đ nh sao cho kho ng cách l n nh t t đi m (v trí) đó t i các đi m (v trí) cho tr c là nh

nh t

Xét m t s ví d t quá trình đ c nghiên c u và gi i b ng ph ng pháp hình h c đ n ví d áp d ng m t thu t toán gi i cho bài toán ph c t p

h n

Trình bày m t thu t toán đ c coi nh c i biên c a thu t toán d i vi phơn đ gi i bƠi toán đ nh v trong tr ng h p s đi m cho tr c có th r t

l n

j j j

j  x



 C

Ch ng minh i u ki n đ là hi n nhiên t đ nh ngh a

Ta ch ng minh đi u ki n c n b ng quy n p theo s đi m

V i k = 2, đi u c n ch ng minh suy ra ngay t đ nh ngh a c a t p l i

và t h p l i

Gi s m nh đ đúng v i kứ1 đi m Ta c n ch ng minh m nh đ đúng

v i k đi m

T đ nh ngh a cho th y t p a-phin là m t tr ng h p riêng c a t p l i Các không gian con, các siêu ph ng vv lƠ các tr ng h p riêng c a t p a-phin

M t ví d v t p a-phin là siêu ph ng đ c đ nh ngh a d i đơy

nh ngh a 1.3 Siêu ph ng trong không gian n là m t t p h p các

(ii) T p l i đa di n là t p h p nghi m c a m t h h u h n các b t

ph ng trình tuy n tính D ng t ng minh c a m t t p l i đa di n đ c cho

nh sau:

: n j, j, 1, ,

D   x  a x   b j  m ,

(i) Ta nói siêu ph ng H tách D1 và D2 n u D1 n m trong n a không

gian đóng xác đ nh b i H, còn D2 n m trong n a không gian đóng kia

(ii) Ta nói siêu ph ng H tách th c s D1 và D2 n u D1 và D2không

đ ng th i thu c H

(iii) Ta nói siêu ph ng H tách m nh D1 và D2 n u t n t i >0 sao

cho t p D1B n n m trong n a không gian m xác đ nh b i H, còn

nh lí 1.4 ( nh lí Caratheodory) N u dim X=m thì m i đi m

x ConvX có th bi u di n b ng t h p l i c a không quá m+1 đi m thu c

{x x, ,xk x} không th đ c l p tuy n tính T c là, t n t i b

s 2, ,k sao cho 0

1 2

k

i i i

thì s h s d ng trong t h p l i s ít h n s h s d ng trong t h p ban

đ u, mơu thu n v i gi thi t k lƠ nh nh t có th đ c

trong n có th chia thành hai t p con có bao l i giao nhau

1.5 HƠm l i vƠ c c tr c a hƠm l i

 1    1   , , ,  0,1

f x  y f x   f y x y D   (1.4) Hàm f đ c g i là hàm l i m nh trên D v i h s  0n u

f x x a là l i m nh v i modun   trên toàn không gian 1 n

(ii) Cho J là t p ch s h u h n khác r ng, X là t p l i và gj là hàm

l i m nh trên X v i modun j v i m i jJ Khi đó, hàm gmaxj J gj là

l i m nh trên X v i modun   minj J j

i v i t p h u h n đi m P, chúng ta s đ c p đ n các bài toán l i

nh là bài toán tìm bao l i c a P

t ng t i v i hàm tùy ý f trên t p C, ta ký hi u t p t t c các đi m c c

ti u (c c đ i) toàn c c c a f trên C là Argminx C f x  (Argmaxx C f x )

Do min f x{  :x C } max{f x :x C } nên lý thuy t c c ti u (hay c c đ i) hàm l i c ng chính là lý thuy t c c đ i (hay c c ti u) hàm lõm

1.5.2 C c ti u hƠm l i (c c đ i hƠm lõm)

nh lý 1.6 Cho f : n  là hàm l i và C là t p l i, khác r ng

trong n M i đi m c c ti u đ a ph ng c a f trên C đ u là đi m c c ti u toàn c c T pArgminx C f x  là t p l i c a C

T đơy suy ra b t c đi m c c đ i đ a ph ng nào c a m t hàm lõm

trên m t t p l i c ng là đi m c c đ i toàn c c T p t t c các đi m c c đ i

H qu 1.1 V i các gi thi t nh trong M nh đ 1.3, đi m trong

f là hàm bao l i c a f trên C Khi đó, m i đi m c c

ti u toàn c c c a f trên C c ng là m t đi m c c ti u c a fC( )x trên convC

M nh đ 1.5 Mu n cho đi m x* c a t p l i đóng C là đi m c c ti u

Sau đơy ta xét m t l p hƠm luôn có c c ti u trên m i t p đóng khác

r ng H n n a, gi ng nh hƠm l i ch t, c c ti u nƠy lƠ duy nh t n u t p đó lƠ

a) T n t i duy nh t đi m x* C sao cho f x( )minf x( ) :x C .

trong đó V C  là t p các đi m c c biên c a C, ngh a là n u c c đ i c a

 

f x đ t đ c trên C thì c c đ i c ng đ t đ c trên V C 

H qu 1.2 Hàm l i th c f x 

trên t p l i đa di n D, không ch a

đ ng th ng nào, ho c không b ch n trên trên m t c nh vô h n nào đó c a

D, ho c đ t c c đ i t i m t đ nh c a D

H qu 1.3 Hàm l i th c f x  trên t p l i compact C đ t c c đ i t i

m t đi m c c biên c a C

1.6 BƠi toán quy ho ch l i

1.6.1 Bài toán vƠ đ nh ngh a

Cho D n và f : n  Xét bài toán quy ho ch toán h c

Xét bƠi toán t i u toƠn c c (P) Có 4 tr ng h p t n t i nghi m t i u

c a bƠi toán nƠy

x D f x   nh ng giá tr c c ti u không đ t đ c trên D

• T n t i x D sao cho ( ) min ( )

nh lí 1.9 (Weierstrass) N u D là t p compact và f n a liên t c d i

trên D thì bài toán (P) có nghi m t i u

nh lí 1.10 N u f n a liên t c d i trên D và th a mãn đi u ki n b c

trong đó   X n và f g h, j, i : n  (j i, ) Ta g i bài toán (P) là bƠi toán l i n u X lƠ t p l i đóng vƠ các hƠm f g, j lƠ l i, hi là hàm affine

nh lí 1.11 (Karush-Kuhn-Tucker) Gi s (P) là bài toán l i N u *

x là nghi m t i u c a bài toán (P)

Chú ý r ng, n u X là t p m (h n n a X là toàn b không gian) thì theo

Moreau-Rockafellar, đi u ki n đ o hàm tri t tiêu kéo theo

T đ nh ngh a nƠy hình chi u PC(y)

c a y trên C lƠ nghi m c a bƠi toán t i u

2

1min2

x C  x y 

   Nói cách khác, vi c tìm hình chi u c a y trên C có th đ a v vi c tìm

c c ti u c a hƠm 2

x  y trên C

M nh đ 1.10 Cho C là m t t p l i đóng khác r ng trong không gian

n, khi đó v i m i x  n, hình chi u P xC( ) c a x trên C luôn t n t i và duy

Ch ng t y lƠ hình chi u c a x trên C

Bơy gi ta ch ng minh tính duy nh t c a hình chi u Th t v y, n u t n

t i hai đi m y và z đ u lƠ hình chi u c a x trên C thì

C ng hai v c a b t đ ng th c nƠy ta suy ra y z   0 vƠ do đó yz

M nh đ 1.11 Cho C là m t t p l i đóng khác r ng trong không gian

n, ánh x y P yC( ) khi đó:

( ).i P xC( )PC(y)   x y x y,  n (tính không giãn);

2( ) ii P xC( )  PC(y)  P xC( )  PC(y), x y   x y ,  n (tính đ ng b c)

n

i i i

Rt

1 2 2 1

CH NG 2

BĨI TOÁN NH V VÀ NG D NG

Trong ch ng nƠy gi i thi u v bƠi toán đ nh v , trình bày m t thu t toán đ c coi nh c i biên c a thu t toán d i vi phân và ví d áp d ng Các

k t qu trình bƠy trong ch ng nƠy đ c t ng h p t các tài li u [4],[5], [6]

2.1 Gi i thi u bài toán

BƠi toán đ nh v xét trong ch ng này có th mô t nh sau

Gi s trong không gian 2 cho t p C g m p đi m v1, v , , v2 p và m t

t p D 2 cho tr c, D  Bài toán yêu c u tìm m t đi m trong t p D sao cho kho ng cách (theo m t ngh a nƠo đó) đ i v i các đi m trong t p C là nh

nh t Kho ng cách đơy có th l y theo chu n Euclid ho c có th đ c đ nh ngh a m t cách t ng quát phù h p v i yêu c u c th c a t ng bài toán Trong nhi u tr ng h p ng i ta có th thay kho ng cách b ng m t hàm chi phí nào

đó ph thu c vƠo đi m c n tìm

M t tr ng h p riêng đ c xét là t ng kho ng cách t đi m c n tìm t i các đi m khác là nh nh t

M t tr ng h p riêng khác là kho ng cách xa nh t t đi m c n tìm đ n các đi m khác là nh nh t

G i c x v( , ) là chi phí (hay kho ng cách) liên quan đ n đi m x,v Khi đó

mô hình toán h c cho bài toán tìm v trí xD sao cho t ng chi phí c x v( , ),

Ng i ta có th thay hàm m c tiêu b ng t ng chi phí b i nh ng hàm

m c tiêu khác tùy thu c vào yêu c u c th c a t ng bài toán M t tr ng h p hay đ c s d ng là l y hàm m c tiêu min, max T c là

Có ngh a lƠ tìm m t đi m (v trí) x D sao cho kho ng cách xa nh t

t x đ n các đi m đã cho lƠ g n nh t Hay nói m t cách khác Bài toán (2) là bài toán:

Tìm x D sao cho:

*

1( ) 1( )

f x  f x   x DBƠi toán đ nh v đã có m t l ch s phát tri n t th k 17 Ta xét m t

tr ng h p đ n gi n c a bƠi toán đ nh v đã đ c nghiên c u trong ví d sau:

Ví d 2.1.(Bài toán Fermat ậ Torricelli ậ Napoleon)

Vào th k 17, nhà toán h c Pháp Pierre de Fermat (1601-1665) đã đ t

ra bài toán sau đơy: “Cho tr c ba đi m trong m t ph ng Hãy tìm đi m th

t sao cho t ng kho ng cách t đi m này t i ba đi m cho tr c là nh nh t”

BƠi toán đã đ c nhi u nhà toán h c nghiên c u vƠ đ a ra l i gi i

Hình 2.1 Ph ng pháp Torricelli

Vào kho ng n m 1640 Evangelista Torricelli (1608-1647) đã gi i bài toán c a Fermet b ng ph ng pháp hình h c nh sau:

1 T ba đi m cho tr c A, B, C, d ng các tam giác đ u: CAB’,

ABC’,CBA’ bên ngoƠi ABC

2 D ng các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác đ u CAB’,

ABC’,CBA’ Ba đ ng tròn này c t nhau t i m t đi m, kí hi u lƠ M i m

M chính lƠ đi m có t ng kho ng cách đ n ba đi m A, B, C ng n nh t i m

nƠy đ c g i là đi m Torricelli c a ABC đã cho

Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 ậ 1667) trong cu n sách

“Exezci-tationes geometricae” xu t b n n m 1647 đã ch ra r ng đi m Torricelli M nhìn ba c nh c a ABC d i các góc b ng 1200

VƠo n m 1750 Thomas Simpson (1710 ậ 1761) đ a ra m t ph ng pháp tìm đi m Torricelli th c hi n b ng cách v ba đ ng Simpson n i m i

đ nh c a tam giác đ u n m ngoài ABC v i đ nh đ i di n c a ABC Ba

đ ng Simpson c t nhau t i m t đi m, đi m nƠy c ng lƠ đi m Torricelli

Hình 2.2 Ph ng pháp Simpson

Ph i đ n n m 1834 nhƠ toán h c Franz Heinen m i đ a ra l i gi i tr n

v n cho bƠi toán Fermat nh sau:

1 N u m t trong các góc c a ABC đ c t o thành t ba đi m A, B, C

l n h n ho c b ng 1200 thì l i gi i bƠi toán Fermat lƠ đi m trùng v i đ nh c a góc l n h n ho c b ng 1200

2 N u các góc c a ABC nh h n 1200 thì l i gi i bài toán Fermat là giao đi m c a các đ ng Simpson ho c đi m Torricelli vƠ lƠ đi m nhìn các

c nh c a ABC v i ba góc b ng 1200 Ông c ng ch ra r ng t ng kho ng cách

t đi m Torricelli đ n ba đ nh c a tam giác b ng đ dài c a các đ ng Simpson

ng d ng bài toán Fermat trong th c t

Vào th k th 19, Steiner đã t ng quát bài toán c a Fermat b ng cách không h n ch s đi m c n tìm Quãng 100 n m sau, Courant vƠ Robin đã ghi chú v bài toán t ng quát nƠy nh sau:

“M t v n đ r t gi n đ n nh ng l i r t có tính ki n thi t là v n đ

đ c nêu ra b i Jacob Steiner, m t đ i di n n i ti ng c a tr ng phái hình

h c Berlin vào đ u th k 19 Ba làng A, B và C ph i đ c n i v i nhau b i

m t h th ng đ ng giao thông v i t ng đ dài nh nh t có th ”

Bài toán này Gauss đã đ t ra cho h th ng các đ ng tàu n i các thành

ph Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig vƠ đã đ c Karl Bopp (1856-1905) gi i quy t m t cách tri t đ Trong hình (2.4), chúng ta đã th y

mô t l i gi i c a bài toán này H th ng đ ng s t t i u đ c b sung thêm

m t đi m, đi m Torricelli c a tam giác v i ba đ nh là ba thành ph Harburg, Bremen, Hannover, và Braunschweig đ c n i v i Hannover b i m t tuy n

T B đ 1.1(i), hàm dj( ,x C ) x v j 2v i m i jJ nƠo đó lƠ l i

m nh v i h s 1 Do đó (i) nh n đ c t (ii) c a B đ 1.1, và (ii) nh n

Ch ng minh: Tr c h t ta s ch ng minh đi u d i đơy:

Cho (Sn) là dãy s không âm th a mãn đi u ki n

Th t v y, đ u tiên gi s r ng (i) và (ii) lƠ đúng V i  0 b t

kì, cho N1 đ l n sao cho n v i n N

Thu t toán sau có th đ c coi nh c i biên c a thu t toán d i vi phân

Thu t toán 2.1 Kh i đ u Ch nx0D, tham s   c đ nh và m t 0dãy  k c a các s d ng th a mãn đi u ki n

v i PD là toán t hình chi u clid lên D

B c 3 N u xk1xk, khi đó, thu t toán d ng: xk là nghi m t i u

c a (P)

Ng c l i, cho k:=k+1 và quay l i b c 1