bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề bài TOÁN CON bướm và một số ỨNG DỤNG

MỘT VÀI BIẾN TẤU CỦA BÀI TOÁN CON BƯỚM Trước tiên ta thay đổi cách phát biểu của bài toán con bướm như sau: Bài toán 1: Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn O.. Bài toán 2: Cho tứ giác A

BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Bài toán con bướm là một định lý hay và có nhiều ứng dụng trong toán học Bài viết dưới đây nhằm mục đích giới thiệu nội dung, các cách chứng minh và một vài ứng dụng

I NỘI DUNG BÀI TOÁN:

Cho đường tròn (O) với dây cung AB I là trung điểm của AB Qua I dựng hai dây cung MN, PQ khác AB sao cho MP và NQ cắt AB lần lượt tại E và F Chứng minh I là trung điểm của EF

Bài toán trên có nhiều cách chứng minh, mỗi cách đều có cái hay và thú vị riêng Sau đây ta cùng điểm qua một số cách chứng minh sơ cấp

Cách 1

Q

N I

O

A

B

M

P

E

M

F Q

I

O A

N

P

B

F E

D C

Q

N

I

O

A

B

M

P

Gọi C, D lần lượt là trung điểm của MP, NQ, ta có: OCMP OD, NQ OI, AB

nên tứ giác IOCE và IODF là các tứ giác nội tiếp Do vậy: g.IOE = g ICE, gIOF = g.IDF (g: góc) (1)

Dễ thấy hai tam giác IMP và IQN đồng dạng và IC, ID là hai trung tuyến tương

IC IP PM CP

n n ICP IDN g ICE g IDF

IDIN NQ DN  :   

(2)

Từ (1) và (2) ta được g.IOE = g.IOF nên tam giác OEF cân tại O Vì vậy I là trung điểm của AB (đpcm)

Cách 2(của Coxeter và Greitzer)

Gọi C, D thứ tự là hình chiếu vuông góc của E trên IP, IM Gọi K, H thứ tự

là hình chiếu vuông góc của F trên IM, IQ

Ta có:

C

D

K

H

F N

Q

I E

O

B

M

P

A

Từ (1), (2), (3), (4) ta có:

2

2 2

2 2

2

IF

IE ED EC ME PE AE BE

FK FH NF QF AF BF

AE BE AI EI BI IE AI EI m

AF BF AI IB AI

IE AI EI AI

AI AI





Ta được đpcm

Cách 3

Trường hợp MP và NQ song song là trường hợp đơn giản Do vậy ta chỉ cần xét

MP và NQ giao nhau Ta gọi D là giao của chúng

Xét tam giác EFD Theo định lý Menenauyt ta có:

2

.ME ND 1; PE QD 1 ( ) ME ND PE QD 1

IE MD NF  IE PD QF   IE MD NF PD QF 

Vì DN.DQ = DP.DM nên ta có:

.ME PE 1; NF QF.

IE NF QF   IE ME PE

D

F E

Q

N

I

O

A

B

M

P

Mặt khác : NF.QF = AF.BF và ME.PE = EA.EB nên ta có:

BF AI AI AI IF

IE EA EB AI AI AI IE



(đpcm)

Cách 4:

Từ F kẻ đường thẳng d song song với MP, cắt MN ở L và cắt PQ ở K Ta có:

g.FLN = g.IME = g.FQK

mà LNF và QKF là hai tam giác đồng dạng nên ta có:

2 2

Tương tự : EP.EM = AI2 – IE2

L

K

F E

Q

N

I

O

M

P

Mặt khác:

IEM

à LF.FK = AI F , EM = AI

FK EP IEP K

FI EI

FL EM FK FL EP EM IFN

FI EI FI EI

FK FL EP EM I IE

: :

II MỘT VÀI BIẾN TẤU CỦA BÀI TOÁN CON BƯỚM

Trước tiên ta thay đổi cách phát biểu của bài toán con bướm như sau:

Bài toán 1: Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là giao hai đường

chéo AB và CD Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AD, BC theo thứ tự tại

M và N Chứng minh I là trung điểm của MN

N/x: Nếu ta đổi vai trò của hai đường chéo và hai cạnh đối diện cho nhau ta thu được bài toán sau

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là giao hai đường chứa hai cạnh bên AD và BC Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AC, BD theo thứ tự tại M và N Chứng minh I là trung điểm của MN

d N

C D

I

O

A

B

N/x: Ở bài toán trên nếu ta thay hai đường chéo bằng hai cạnh đối diện còn lại thì ta có bài toán 3

Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là giao hai đường

AD và BC Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AB,C D theo thứ tự tại M và

N Chứng minh I là trung điểm của MN

Ở bài toán 2 và 3 phép chứng minh được lặp lại tương tự cách 1 đã trình bày bên trên

N/x: Từ ba bài toán trên ta có thể tổng quát thành bài toán sau:

Bài toán 4 : Cho tròn (O), d là một đường thẳng tùy ý không tiếp xúc với (O) Gọi

I là hình chiếu vuông góc của O trên d Qua I kẻ hai cát tuyến IAD và IBC bất kỳ tới (O) Gọi M, N thứ tự là giao của d với AB và CD Gọi E,F thứ tự là giao của d với AC và BD Gọi P, Q là giao của d với đường tròn (O) (nếu có) Chứng minh

ba đoạn MN, EF, PQ có cùng trung điểm

Rõ ràng nếu d cắt (O) ta được bài toán 1, còn d nằm ngoài (O) ta được bài toán 2 và 3

Đặc biệt nếu ta cho cát tuyến TAD suy biến thành tiếp tuyến tại A khi đó A trùng D, thì ta được bài toán sau:

M N

C D

I

O

A

B

Bài toán 5 : Cho tròn (O) và d là một đường thẳng nằm ngoài (O) Gọi I là hình

chiếu vuông góc của O trên d Qua I kẻ tiếp tuyến IA và cát tuyến IBC tới (O) Gọi M, N thứ tự là giao của d với AB và AC Chứng minh IM = IN

III ÁP DỤNG BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀO GIẢI TOÁN.

Khi áp dụng vào bài tập điều quan trọng là ta phải phát hiện và xây dựng được mô hình của định lý con bướm

VD1: (Mongolian TST 2008)

Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi CD là đường cao, H là trực tâm của tam giác ABC Một đường thẳng đi qua d vuông góc với OD cắt BC tại E CHứng minh g DHE = g ABC

Nhận xét: Coi đường thẳng d là đường thẳng DE thì ta thấy mô hình con bướm xuất hiện , như vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc đủ tứ giác nội tiếp ACBF lấy giao của d với AF

Lời giải

Gọi F là giao khác C của CD với (O) K là giao của d với AF

Theo một tính chất quen thuộc về trực tâm thi ta có D là trung điểm của FH

Áp dụng bài toán con bướm số 1 ta được D là trung điểm của EK

Suy ra FKHE là hình bình hành hay ta có AF và EH song song

Vậy ta được đpcm vì hai góc đó cùng bằng góc AFD

VD2 : (MOP 1998)

Cho hai đường tròn (C) và (C’ ) có cùng bán kính và cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi O là trung điểm của AB CD là một dây cung của (C) đi qua O Gọi P là một giao điểm của đoạn thẳng CD với (C’) EF là một dây cung của (C’) qua O và Q là một giao điểm đoạn EF với (C) Chứng minh AB, CQ, EP đồng quy

Nhận xét: với giả thiết O là trung điểm của AB ta không khó để dựng hình phụ để xuất hiện bài toán con bướm

Lời giải

Gọi H, K lần lượt là giao điểm thứ hai của CD và (C’), của EF và (C) Gọi S, S’ lần lượt là giao của CQ, EP với AB M là giao của KD và AB

Áp dụng định lý con bướm ta có O là trung điểm của MS

Mặt khác do hai đường tròn (C ) và (C’) cung bán kính nên O là trung điểm của

AB thì O cũng là trung điểm của PD, EK Do đó tứ giác PDEK là hình bình hành Suy ra : KOM EOS'( )g c g  OM OS'

hay O là trung điểm của MS’ Vậy S, S’ trùng nhau Ta được đpcm

VD3 : (Singapore 2011)

Cho tam giác ABC nhọn, không cân với AB > AC O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC Gọi D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC Lấy Q thuộc cạnh AC, kéo dài HQ cắt BC tại P sao cho D là trung điểm của PB Chứng minh ODQ là một góc vuông

Nhận xét: Để chứng minh QR và OD vuông góc ta nghĩ đến việc kéo dài QD để dựng hoàn chỉnh dây cung EF Khi đó ta cần chứng minh O là trung điểm của EF

Lời giải

M

Q

D F

H

P

K

O A

B

Gọi G là giao của AD với (O), ta có D là trung điểm của GH Gọi R là giao của QD và BG

Theo gt suy ra D đồng thời là trung điểm của BP và HG nên BGPH là hình bình hành Do vậy D là trung điểm của QR

Theo định lý con bướm áp dụng với tứ giác nội tiếp ACGB ta được D cũng là trung điểm của EF Vậy OD và EF vuông góc hay ta được đpcm

VD4 : (Moldova TST 2010)

Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm và M là trung điểm của BC Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với HM cắt AB, AC lần lượt tại P và Q

Chứng minh MP = MQ

Lời giải

R

F

E

G

P H

D O

A

B

C Q

Coi d là đường thẳng PQ Vì d vuông góc với HM nên ta nghĩ đến việc dựng một đường tròn tâm M

Gọi D,K lần lượt là chân đường cao ứng với hai đỉnh B, C ta có DKHC là một tứ giác nội tiếp Dung định lý con bướm ta có ngay H là trung điểm của PQ ta đó ta suy ra đpcm

VD5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp

Đường thẳng BI, CI cắt đường tròn tại E và F Gọi K, D lần lượt là giao điểm của

AI với EF và BC Biết AB + AC = 2BC Chứng minh I là trung điểm của KD

Lời giải

F Q P

E

H K

D

C M

B

A

Gọi M là giao khác A của AI và (O) Ở đây xuất hiện bài toán con bướm với tứ

giác nội tiếp là BCEF Do đó ta cần chứng minh I là trung điểm của AM

Thật vậy:

Dễ thấy

1 ( )





:

Cũng dễ dàng chứng minh tam giác MIC cân tại M nên MC = MI Do đó IM = IA suy ra đpcm

VD

6 : Cho hai tam giác nhọn A1BC và A2 BC cùng nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm lần lượt là H1, H2 Gọi M, N thứ tự là giao của H1H2 với A2B và A2C Biết góc

A1H2H1 = 900 Chứng minh A1M = A1N

Lời giải

K

D

M

I A

B

C

Gọi I là trung điểm BC Dựng các đường cao BB’ và CC’ của tam giác A2 BC Trước tiên từ gt góc A1H2H1 = 900 chứng minh A1, H2, I thẳng hàng

Sau đó áp dụng định lý con bướm đối với đường tròn đường kính BC ta được H2M

= H2N nên suy ra đpcm

IV MỞ RỘNG BÀI TOÁN CON BƯỚM

Dạng mở rộng: Cho đường tròn (O) với dây cung AB I là trung điểm của AB

MN và PQ là hai dây cung của (O) cắt AB thứ tự tại P và S Khi đó PS và EF có cùng trung điểm là I

Bài toán trên còn được gọi là bài toán con bướm kép

Nhưng ta còn thấy rằng định lý con bướm trên phát biểu không chỉ đúng cho đường tròn mà còn đúng với elip, parabol và hypabol nữa gọi chung là ba đường conic

N

M H1

H2

C'

B'

I O A1

A2

Định lý 1: Cho 1 đường conic (C) với AB là một dây cung Gọi PQ, MN là hai

dây cung khác của (C) cùng đi qua trung điểm I của AB Giả sử MP, NQ thứ tự cắt

AB tại E và F Khi đó I cũng là trung điểm của EF

Nếu thay các đường conic bằng các cặp đường thẳng ta cũng được bài toán tương tự , cụ thể

Định lý 2: Cho B, C là hai điểm tùy ý thứ tự thuộc hai đường thẳng d1, d2

phân biệt Gọi I là trung điểm của BC Gọi MN, PQ là hai đoạn thẳng cùng đi qua I khác BC, trong đó M, Q thuộc d1; N, P thuộc d2 Giả sử E,F thứ tự là giao của

PM ,QN với đường thẳng BC Khi đó I là trung điểm của EF

Chứng minh:

TH1: d1, d2 song song thì đây là trường hợp tầm thường

TH2: d1, d2 cắt nhau tại A

Không mất tính tổng quát ta xét hình vẽ bên

Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với các cát tuyến EMP và FNQ ta

có:

n n

n n

F

Q

N

I E

A

C

P M

B

Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với các cát tuyến MIN và QIP ta

có:

v IB IC n n

n n

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra

EC FB

nên BE = CF hay I là trung điểm của EF

V BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ và M là trung điểm của PQ.Gọi AB,

CD là hai dây cung của (O) cùng đi qua M Gọi H,K lần lượt là giao điểm của PQ với AC và BD Chứng minh: 2 2

HA HC KB KD

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC với AD là đường cao, O, H lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với

OD cắt AB ở K Chứng minh g.DHK + g.AHK = 1800

Bài 3: Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) và đường tròn ngoại tiếp (O).

Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D Hai điểm M, S lần lượt là giao điểm của (O) với AI và AO Trên đt DM ta lấy điểm X, trên đt AO lấy điểm Y sao cho I, X, Y thẳng hàng Chứng minh: IX IY OI XY

Bài 4: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC Giả sử AM cắt đường tròn

nội tiếp(I) tam giác ABC tại K, L Các đường thẳng song song với BC qua K, L cắt

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường chéo AC, BD cắt

nhau tại I khác O Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt AB, CD lần lượt tại

M, N Chứng minh AB = CD khi và chỉ khi BM = CN

Bài 6: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng d qua O

cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB, ABC, OCD, ODA lần lượt tại M,

N, P, Q khác O Chứng minh O là trung điểm của đoạn MP khi và chỉ khi nó là trung điểm của đoạn NQ

Bài 7: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I và một đường thẳng d

cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q Chứng minh I là trung điểm của đoạn MP khi và chỉ khi nó là trung điểm của đoạn NQ

Bài 8: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Biết tồn tại bốn điểm

A’, B’, C’, D’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho A’B’C’ D’ là hình bình hành tâm O Chứng minh ABCD cũng là hình bình hành

Bài 9: Cho tứ giác ABCD có góc BAD = góc BCD = 900 Gọi E là giao của hai

đường chéo AC và BD Chứng minh trung điểm nối tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và CDE thuộc đường thẳng BD

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d là đường thẳng tùy ý không

đi qua O và P là hình chiếu của O trên d Đường thẳng d cắt cácđương thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB tại X, Y, Z Gọi X’, Y’, Z’ lần lượt là các điểm đối xứng của X, Y, Z qua P Chứng minh AX’, BY’, CZ’ đồng quy tại một điểm trên đường tròn (O)

VI LỜI KẾT.

Qua việc giới thiệu nội dung và các biến tấu phong phú của mô hình bài toán

con bướm, ta thấy đây là một vấn đề hay có nhiều ứng rộng đặc sắc và các hướng phát triển sâu hơn Tuy nhiên do trình độ còn hạn chế nên bài viết trên chỉ nhằm mục đích tổng hợp và phân tích được một số vấn đề Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý giá của đồng nghiệp về các hướng mở rộng và phát triển sâu hơn ứng dụng của nó Xin chân thành cảm ơn

VII TƯ LIỆU THAM KHẢO

1 Tài liệu chuyên toán hình học 10

2 Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

3 Tài liệu của Hoàng Minh Quân (mạng Mathscope.com)

4.Các chuyên đề hình học bồi dưỡng HSG trung học cơ sở (Trần Văn Tấn)