báo cáo về bài toán mạch cầu và một số ứng dụng mạch cầu

đề tài này sẽ không chỉ giúp học sinh có một hệ thống phơng pháp giảibài tập, mà quan trọng hơn là các em nắm đợc bản chất vật lý và các mối quanhệ của những đại lợng vật lý U, I, R, C t

đề tài này sẽ không chỉ giúp học sinh có một hệ thống phơng pháp giảibài tập, mà quan trọng hơn là các em nắm đợc bản chất vật lý và các mối quan

hệ của những đại lợng vật lý (U, I, R, C) trong mạch cầu điện trở, tụ điện

Bên cạnh đó tôi cũng muốn tìm hiểu mạch cầu điện trở, mạch cầu tụ điện

Nghiên cứu một số ứng dụng của mạch cầu điện trở, mạch cầu tụ

3 Đối tợng nghiên cứu

Lý thuyết mạch cầu

Các phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở, tụ điện

Bài tập mạch cầu điện trở

Một số ứng dụng của mạch cầu điện trở và mạch cầu tụ điện

4 Phơng pháp

a, nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu liệu liên quan đến đề tài

- Tìm hiểu qua mạng internet

b, Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn

- trao đổi ý kiến với giáo viên

1

- Thăm dò, trao đổi ý kiến của sinh viên khối s phạm lý.

Phần II Nội dung

1 phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

Mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng cân bằng và mạch cầu không cân bằng

- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòngthín nghiệm điện

- Mạch cầu đợc vẽ nh (H - 0.a) và (H - 0.b)

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R5 cóvai trò khác biệt gọi là đờng chéo của mạch cầu (ngời ta không tính thêm đờng

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện)

* Mạch cầu không cân bằng

Tìm điều kiện để cân bằng

Cho mạch cầu điện trở nh (H - 1.1)

1 Chứng minh rằng, nếu qua R5 có dòng

1

R

R R

1

R

R R

R

4

2 2

1

R

R R

R





= n = const

2 - Ngợc lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng

*Dùng định lý Kennơli, biến đổi mach tam giác thành mạch sao:

5 3 1

'

R R R

R R R







5 3 1

5 1 3

'

R R R

R R R

3 1 5

'

R R R

R R R

5 1 5 3 1 2

3 2 1 2 3

2

2 2

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

5 3 1 4 1

4

4 4

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

5 1 5 3 1 4 2 2

1

) (

.

) (

R R R R R R R

R R R R R R R U

Hay : U2 = U4 Suy ra UCD = U5 = 0 => I5 = 0

Nghĩa là mạch cầu cân bằng

3- Chứng minh rằng khi có tỷ lệ thức trên thì điện trở tơng đơng của mạchcầu không tuỳ thuộc vào giá trị R5 từ đó tính điện trở tơng đơng của mạch cầutrong hai trờng hợp R5 nhỏ nhất ( R5 = 0) và R5 lớn nhất (R5 = ) để I5 = 0 và U5

n.U = I3R3 n + I3R4 n + I5R4 nKết hợp điều kiện đầu bài :

R1 = n.R3 và R2 = n R4

Ta có:

n.U = I3R1 + I3R3 +: I5R5 (10)Cộng (8) với (10) vế với vế ta đợc:

(n +1) U = R1 (I1 + I3) + R2 (I1 + I3)

= (R1 + R2) (I1 + I2)

Với I1 + I3 = I

=> (n +1) U = (R1 + R2) Theo định nghĩa, điện trở tơng đơng

đợc tính bằng:

1

2 1

Biểu thức (11) cho thấy khi có tỷ lệ thức :

n

R

R R

Thì điện trở tơng đơng của mạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R5

* Trờng hợp R 5 = 0 (nối dây dẫn hay ampekế có điện trở không đáng kể,

hay một khoá điện đang đóng giữa hai điểm C, D)

- Khi đó mạch điện (R1 // R 3), nối tiếp R2 // R4

-> ta luôn có hiệu điện thế UCD = 0

+ Điện trở tơng đơng:

4 4

4 4 3 1

3

R R

R R R R

R R

R R n

3 3

1

3 1

R I R R

R I I

4 4

4 4

2

4 2

R I R R

R I I I

) (

) )(

(

4 3 2 1

4 3 2 1

R R R R

R R R R

) ( 3 4 1 2

R R n

R td

+ Do R1 nối tiếp R2 nên :

4 3

3 4

3

2 2

1

1 1

.

.

.

R R

R U nR R n

R n U R R

R U U

Do R3 nối tiếp R4 nên :

4 3 3

.

R R

R U U

Thì với mọi giá trị của R5 từ o đến , điện trở tơng đơng chỉ có một giá trị

1

) (

1

4 3 2

R R

để tính điện trở tơng đơng

- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyểnmạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giácthành mạch sao)

R’ 3

B’

Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạchkia, khi đó hai mạch tơng đơng nhau Công thức tính điện trở của mạch này theomạch kia khi chúng tơng đơng nhau nh sau:

* Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3

3 2 1

3 2 1

'

R R R

R R R





3 2 1

3 1 2

'

R R R

R R R





3 2 1

2 1 3

'

R R R

R R R





(ở đây R’1, R’2, R’3 lần lợt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3)

* Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3

1

3 1 3 2 2 1 1

'

.

.

R

R R R R R R

2

3 1 3 2 2 1 2

'

.

.

R

R R R R R R

3

3 1 3 2 2 1 3

'

.

.

R

R R R R R R

- áp dụng vào bài toán tính điện trở tơng

đơng của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch

từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp

dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắcsong song để tính điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là:

4 1 2 3

2 3 5

4 1

4 1 2 3

2 3 5

'

' '

' ( '

'

' '

' ( '

R R

R R R

R

R R R

R R

R R R R

R R R

I là cờng độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả.Bài toán

b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế

không đổi U = 3 (V) Hãy tính cờng độ dòng điện

qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở

3 3

3 2 1

3 1 '

R R R

) ( 1

5 3 1

5 1 '

R R R

) ( 1

5 3 1

5 3 '

R R R

Suy ra điện trở tơng đơng của đoạn

mạch AB là :

) 5 1 ( ) 2 1 (

) 5 1 )(

2 1 ( 1 ) (

) (

) )(

(

4

' 1 2

'

1

4

' 1 2

' 3 '

R R R R

'

1 ;R ;R R

Ta có:

1

5 1 5 2 2 1

.

3

) ( 5 , 10

.

2

5 1 5 2 1

'

R

R R R R R R

) ( 7

.

5

5 1 5 2 1

'

R

R R R R

.

) 3

(

4

' 1 4

' 1

3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1

3

' 2

' 2 ' 5

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

AB AB

I

U R R

U

I    (*)

- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB

I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB

Biểu diễn I theo U

Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H 2.3d)

I U R

5 1

5 5 5

U I I I

T     (4)

2

3 15

5 5

U I R

U I U

U I R

I U U

I U R

3 21 10

Suy ra cờng độ dòng điện mạch chính

U U U I I I

3

1 27

4 27

3

1

* L

u ý:

+ Cả hai phơng trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tơng đơngcủa bất kỳ mạch cầu điện trở nào Mỗi phơng trình giải đều có những u điểm vànhợc điểm của nó Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phơng pháp giải cho hợplý

+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tơng đơng của mạch cầu (chỉ câuhỏi a) thì áp dụng phơng pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏithêm câu b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắngọn, dễ hiểu và lôgic hơn

+ Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đếnviệc tính toán các đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

Đây là một bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thihọc sinh giỏi, thi tuyển sinh Vậy có những phơng pháp nào để giải bài toán tínhcờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

1.3 Phơng pháp giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trongmạch cầu

1.3.1 Cơ sở lý thuyết

Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5

điện trở bằng 0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch

điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta ápdụng định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản

Bớc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilợng

cònl lại theo ẩn số (I1) đã chọn (ta đợc các phơng trình với ẩn số I1 ).

Bớc 3: Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng của đầu bài yêu

cầu

Bớc 4: Từ các kết quả vừa tìm đợc, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở

bớc 1

+ Nếu tìm đợc I>0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm đợc I< 0, đảo ngợc chiều đã chọn

11

ơng pháp 2: Lập hệ phơng trình có ẩn số là hiệu điện thế các bớc tiến

hành giống nh phơng pháp 1 Nhng chọn ẩn số là Hiệu điện thế

Bớc 4:Tính cờng độ dòng điện mạch chính (I)

Bớc 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.

Ta có

3 3 4 1

4 1 2

' R

R R R

R R I

Bớc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lợng còn lại.

* Ph ơng pháp 5: áp dụng định luật kiếc sốp

- Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập về mạch điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 cha đợc học.Nên việc giảng dạy cho các em hiểu đày đủ về định luật Kiếc sốp là không thể đ-

ợc Tuy nhiên ta vẫn có thể hớng dẫn học sinh lớp 9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:

R’ 5

R’ 1

b/ Trong mỗi mạch vòng (hay mắt mạng):

- Công thức: U= U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) đợchiểu là đúng không những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộngra: “ Hiệu điện thế UAB giữa hai điểm A và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu

điện thế U1, U2, của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B theo bất kỳ đờng đinào từ A đến B trong mạch điện”

Vậy có thể nói: Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng

đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó.

Trong đó độ giảm thế: UK= IK.RK ( với K = 1, 2, 3, )

Chú ý: +) Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch

+) Dòng IK mang dấu (-) nếu ngợc chiều đi trên mạch

ớc 3 : Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng dòng điện và

hiệu điện thế trong mạch

Trên đây là 5 phơng pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát Mỗi bài tập

về mạch cầu đều có thể sử dụng một trong 5 phơng pháp này để giải Tuy nhiênvới học sinh lớp 9 nên sử dụng phơng pháp lập hệ phơng trình với ẩn số là dòng

điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu vàlôgíc hơn

1.3.3 Bài toán áp dụng

Bài toán 1 Cho mạch điện nh hình vẽ Cho

b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V) Hãy tính cờng độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.

I R

4

225 20

5 5 5





I R

I U

I R

9 12 12

- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta đợc các kết quả:

I1 = 1(A) I3 = 0,45 (A)

I4 = 0,5 (A) I5 = 0,05 (A)

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng

+ Hiệu điện thế

R AB

Ph

ơng pháp 2: Lập hệ phơng trình có ẩn số là hiệu điện thế các bớc tiến

hành giống nh phơng pháp 1 Nhng chọn ẩn số là Hiệu điện thế

- Chọn chiều dòng điện trong mạch nh hình vẽ (H 3.2b)

Chọn U1 làm ẩn số ta lần lợt có:

20

1 1

1 1

U R

U R

U I I

I

I     (4)

4

225 11

5 5 5





R I

U U

U R

40

45 3

Thay U1 = 21 (V) vào các phơng trình từ (1) đến (9) ta đợc kết quả giốnghệt phơng pháp 1

- áp dụng định luật ôm ta có:

5 2

V V R

V V R

V V R

V V R

45 45

D

D Vc V V

30 50

'

5 3 1

5 3

R R R

) ( 6 30 50 20

30 20

'

5 3 1

5 1

R R R

) ( 10 30 50 20

50 20

'

5 3 1

3 1

R R R

- Điện trở tơng đơng của mạch

) ( 30 ) ' ' ( ) ' ' (

) ' ' ).(

' ' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3

R

R R R R R

R AB

- Cờng độ dòng điện trong mạch chính:

) ( 5 , 1 30

45

A R

) ' (

) ' (

2 3 4

1

4 1

R R R

R

R R I

( 05 , 1

3

3 3 1

1

R

U I A R

U

I5 = I1 - I3 = 0,05 (A)

* Ph ơng pháp 5: áp dụng định luật kiếcsốp

- Chọn chiều dòng điện đi trong mạch nh hình vẽ (H.3.2b)

-Giải hệ 5 phơng trình trên ta tìm đợc 5 giá trị dòng điện:

I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)

- Các kết quả dòng điện đều dơng do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng

- Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm đợc các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3,

U4, U5 và RAB (Giống nh các kết quả đã tìm ra ở phơng pháp 1).

2- Sự phụ thuộc của điện trở tơng đơng vào R 5

+ Khi R5= 0, mạch cầu có điện trở là:

) ( 93 , 29 45 24

45 24 50 20

50 20

.

4 2

4 2 3 1

R R R R

R R R

R TD o

+ Khi R5= , mạch cầu có điện trở là:

17

) ( 07 , 30 ) 45 50 ( ) 24 20 (

) 45 50 ).(

24 20 ( ) (

) (

) ).(

(

4 3 2 1

4 3 2

R R R R R

c-ờng độ dòng điện qua ampe kế

b Tính lại câu a khi R4 = 1( )

c Biết chiều dòng điện qua ampeke có chiều

2 1





R R

R R R

2 ( )

4 3

4 3





R R

R R R

RAB = R12 + R34 = 3,6 ( )

Cờng độ dòng điện mạch chính: 2 , 5 (A)

R

U I AB

1

R

R R

đặt R4 = x, ( )

4

4

4 3

4 3

R

R R

x

x x

x R

4 6 , 1

34 12

4 , 6 6 , 5

) 4 ( 9

I

U MB

4 , 6 6 , 5

) 4 ( 8 , 1

U

I AM

4 , 6 6 , 5

9

3 3

U

I MB

Theo đề, IA có chiều N đến M: I1 + IA = I3

) ( 6 6

, 6 5 , 5

9 9

, 0

x x

x

.Vậy ta có R4 = 6 ( )

1.3.4 Phơng pháp giải bài toán mạch cầu dây

Bài toán 1

Cho mạch điện nh hình vẽ (H- 4.3)

Điện trở của am pe kế và dây nối không

đáng kể, điện trở toàn phần của biến trở

a- Tìm vị trí ucả con chạy C khi biết số

* Trờng hợp 1: Nếu bài toán cho biết số chỉ của ampe kế IA = 0

Thì mạch cầu cân bằng, lúc đó ta có điều kiện cân bằng

x R

R x

Viết phơng trình dòng điện cho hai nút C và D Rồi áp dụng định luật ôm

để chuyển hai phơng trình đó về dạng có ẩn sóo là U1 và x

+ Nút C cho biết

x

U x R

U U I I

x CB

hay

x

U x R

U U

1

R

U U R

U

(Trong đó các giá trị U, Ia, R, R1, R2 đầu bài cho trớc )

- Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài không cho trớc), để giảiphơng trình (3) tìm giá trị U1, rồi thay vào phơng trình (2) để tìm x

- Từ giá trị của x ta tìm đợc vị trí tơng ứng con chạy C

b- Vì đầu bài cho biết vị trí con chạy C, nên ta xác định đợc điện trở RAC và

Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch là U

Không đổi Biển trở có điện toàn phần là R

Vôn kế có điện trở rất lớn

a- Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vôn kế

b- Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của vôn kế

1

R R

R U

T

U

Từ giá trị của RAC ta tìm đợc vị trí tơng ứng của con chạy C

b- Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm đợc RAC và RCB và cũng dễ dàng tính

đ-ợc

U1 và UAC.

Tiết diện đều: S = 1mm2

a - Tính điện trở toàn phần của biến trở

b- Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của

ampe kế bằng 0

c- Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?

d - Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

5 , 1 10

Suy ra x = 2 () Với RAC = x = 2 thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng

) ( 5 , 0

Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0

c- Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính đợc RAC = 4 () Còn RCB = 2 ()

VT RA = 0 => Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)

- Điện trở tơng đơng của mạch

14

45 8

12 7

12

.

2

2 1

1

AC t

R R

R R R

R

R R

- Cờng độ dòng điện trong mạch chính

) ( 45

98 14 45

7

A R

U I

Suy ra: ( )

45

56 7

4 45

98

1

R R

R I I

49 8

2 45

98

2

R R

R I I

49 45

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC - 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)

d - Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

U U I I

2 1 1

1 2 1

R

U U R

U I I

I A     

hay U   U I A

6

7 3

Vâỵ tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29

mạch cầu có dạng nh hình vẽ dới đây

Có hai loại mạch cầu:

) //(

)

(C1ntC2 C3ntC4

2 Bài toán với mạch cầu không cân bằng

Khi điều kiện: C1 C4 = C2 C3 không đợc thỏa mãn UMN khác 0 mạch trở thành mạch cầu không cân bằng, trong trờng này C5 không thể bỏ đi

1.4.1 Cơ sở lý luận của phơng pháp

- Tổng điện tích tại một nút bất kỳ luôn bằng 0

- Ví dụ: Xét hai điểm A, B và hai điểm MN giả sử VA= 100 V, VB = 80 V, VM =

20 V, VN = 0 V, dễ thấy VA khác VM , VB khác VN Song hiệu điện thế giữa giữa hai điểm đó là nh nhau Vậy nếu biết cụ thể UAB bằng bao nhiêu ta hoàn toàn có thể chọn VA, VB tùy ý miễn là UAB không đổi

1.4.2 Phơng pháp giải với bài toán mạch cầu tụ điện

Cho các tụ có điện dung là:

F C

F C

F C

F C

Giải sử A đợc nối với cực dơng của nguồn, B nối với

cực âm của nguồn khi đó với các tụ từ C1 đến C4 có dấu các bản tụ nh hình vẽ, riêng với tụ C5 do không biết đợc VM > VN hay ngợc lại nên ta không thể biết chính xác dấu của các bản tụ này

Ta giả sử tùy ý: Giả sử các bản tụ có dấu nh hình vẽ (VM > VN)

23