Tam thức bậc hai và một số ứng dụng

Ph ng trình m và ph ng trình lôgarit .... Ph ng trình lôgarit ..... Error!. Bookmark not defined.

M C L C

CH NG I: M T S D NG TOÁN V TAM TH C B C HAI 5

1.1 Bài toán tìm nghi m c a ph ng trình b c hai 5

1.1.1 Nghi m c a ph ng trình b c hai 5

1.1.2 nh lý Vi - ét 7

1.2 Bài toán d u c a tam th c b c hai 8

1.2.1 nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai 8

1.2.2 nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai 10

1.3 So sánh nghi m c a tam th c b c hai v i m t s và bi n lu n ph ng trình b c hai 11

CH NG II: NG D NG NH Lụ O V D U C A TAM TH C B C HAI VÀO VI C GI I PH NG TRỊNH , B T PH NG TRỊNH CH A THAM S 15

2.1 H ph ng trình h n h p và ph ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i 15

2.1.1 H ph ng trình h n h p 15

2.1.2 Ph ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i 16

2.2 D u c a tam th c b c hai trên m t mi n và bài toán gi i bi n lu n b t ph ng trình 18

2.3 Ph ng trình vô t và ph ng trình b c cao 23

2.3.1 Ph ng trình vô t 23

2.3.2 Ph ng trình b c cao 26

2.4 Ph ng trình m và ph ng trình lôgarit 31

2.4.1 Ph ng trình m 31

2.4.2 Ph ng trình lôgarit 33

2.5 M t s ph ng trình l ng giác 35

2.6 M t s sai l m c a h c sinh khi s d ng đ nh lý đ o v d u c a tam

th c b c hai 37

C H NG III: NG D NG NH Lụ O V D U C A TAM TH C B C HAI VÀO VI C KH O SÁT HÀM S PH THU C THAM S 39

3.1 Tìm mi n xác đ nh và mi n giá tr c a hàm s 39

3.2 Hàm s đ ng bi n, hàm s ngh ch bi n trên m t mi n 40

3.2.1 Hàm s b c 3: 41

3.2.2 Hàm phân th c: 43

3.3 C c tr và d ng đ th c a hàm s 44

3.4 Xác đ nh giá tr tham s đ hàm s có giá tr l n nh t, giá tr nh nh t th a mãn đi u ki n cho tr c 46

3.5 S t ng giao c a đ th hàm s b c ba v i m t đ ng th ng 48

3.6 Giao đi m c a đ ng th ng v i hàm s b c b n và v i các nhánh c a hypebol 52

3.6.1 Giao đi m c a đ ng th ng v i đ th hàm b c 4 52

3.6.2 Giao đi m c a đ ng th ng v i nhánh c a hypebol 53

CH NG IV: NG D NG NH Lụ O V D U C A TAM TH C B C HAI VÀO VI C CH NG MINH B T NG TH C VÀ BÀI TOÁN HỊNH H C 55

4.1 ng d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai trong vi c ch ng minh b t đ ng th c 55

4.2 ng d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai trong vi c gi i các bài toán hình h c 57

K T LU N 59

DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O Error! Bookmark not

defined

M U

Trong ch ng trình môn toán tr ng ph thông trung h c có m t

ch ng trong sách đ i s l p 10 vi t v tam th c b c hai Các k t qu c a

nó đã đ c đ c p và ng d ng nhi u liên quan đ n gi i và bi n lu n

ph ng trình, b t ph ng trình, kh o sát hàm s … Là m t giáo viên đang

gi ng d y môn toán tr ng ph thông, tôi mu n đi sâu tìm hi u và nghiên

c u k v n đ này đ công vi c gi ng d y môn toán nói chung và gi ng d y môn đ i s nói riêng c a b n thân tôi đ c t t h n Xu t phát t lý do trên trong lu n v n này tôi ch n đ tài “ Tam th c b c hai và m t s ng

d ng”

N i dung lu n v n g m các ph n sau:

Ch ng I M t s d ng toán v tam th c b c hai Trong ch ng

này, tôi h th ng hóa l i m t cách ng n g n v các d ng toán nh các

ph ng pháp gi i ph ng trình b c hai, so sánh nghi m c a tam th c b c hai v i các s đã cho

Ch ng II ng d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai vào

vi c gi i ph ng trình, b t ph ng trình Trong ch ng này chúng tôi

nêu lên m t s ng d ng tr c ti p đ nh lý đ o c a tam th c b c hai và các bài toán áp d ng gián ti p đ nh lý trên ó là gi i h ph ng trình h n h p

và ph ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i, gi i ph ng trình vô t và

ph ng trình b c cao, gi i ph ng trình m và ph ng trình lôgarit, gi i

m t s ph ng trình l ng giác, d u c a tam th c b c hai trên m t mi n và bài toán gi i bi n lu n b t ph ng trình, m t s sai l m c a h c sinh khi s

d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai

Ch ng III ng d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai

vào vi c kh o sát hàm s Tôi s d ng đ nh lý đ o c a tam th c b c hai

vào m t s bài toán v kh o sát hàm s và đ th nh : hàm s đ ng bi n, hàm s ngh ch bi n trên m t mi n, c c tr và d ng đ th c a hàm s , xác

đ nh giá tr tham s đ hàm s có giá tr l n nh t, giá tr nh nh t th a mãn

đi u ki n cho tr c,…

Ch ng IV ng d ng đ nh lý đ o v tam th c b c hai vào vi c

ch ng minh b t đ ng th c và bài toán hình h c Trong ch ng này tôi

trình bày v nh ng ng d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai trong

vi c ch ng minh b t đ ng th c và m t s bài toán hình h c

Lu n v n này đ c hoàn thành t i tr ng i h c Th ng Long v i

s h ng d n và ch b o t n tình c a TS Bùi Huy Hi n Cu i cùng tôi xin

đ c bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i s quan tâm h ng d n c a Th y

ng th i, tôi xin c m n các Th y, Cô thu c khoa Toán – Tin, Phòng sau

đ i h c tr ng đ i h c Th ng Long đã t o đi u ki n thu n l i, đ ng viên tôi hoàn thành lu n v n này

M c dù đã r t c g ng nh ng do kinh nghi m và th i gian có h n, nên b n lu n v n này không th tránh kh i thi u sót, tôi mong s đóng góp

C H NG I

M T S D NG TOÁN V TAM TH C B C HAI

1.1 BƠi toán tìm nghi m c a ph ng trình b c hai

2

2 , 1







ý th y r ng n u ac < 0 thì   0 khi đó tam th c b c hai luôn

có hai nghi m phân bi t

N u    ' 0 4(m    2) 0 m 2: Ph ng trình (1.1) có nghi m kép 1,2 3 1

1

mx

2



1 2

00

1  x  

2

6 2

5

2 9

1 1

1 1

1 1

1

2 1 2 1 2

1 2

2 2 1

2 1

m x x

m x x

Do x1 2x2 nên 2

2

1 2

3 2 1 (*) 1 (**)

Chú ý Khi gi i m t ph ng trình b c hai có ch a tham s , đ tìm

đi u ki n c a tham s tho mãn yêu c u v các nghi m thì ta ph i l u

ý đ n đi u ki n có nghi m c a ph ng trình

1.2 BƠi toán d u c a tam th c b c hai

1.2.1 nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai

Cho tam th c b c hai f x( )ax2 bx c a , 0,  b2 4ac

N u  0 thì f(x) cùng d u v i h s a v i m i x

N u   0 thì f(x) cùng d u v i h s a,

a

b x

Ví d 1.6 V i nh ng giá tr nào c a m thì b t ph ng trình sau có

nghi m ( m  1 ) x2 2 mx  ( m  3 )  0 (1.6)

L i gi i

* TH1: m = -1 b t ph ng trình đã cho tr thành 2x + 4 <0 v y nó có nghi m x 2

Chú ý Ta có th gi i bài toán b ng cách tìm đi u ki n đ b t ph ng

trình vô nghi m T c tìm đi u ki n đ   2  

m x  mx m  x

Nh ng giá tr c a m còn l i s làm cho b t ph ng trình có nghi m

1.2.2 nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai

Cho tam th c b c hai f(x) = ax 2  bx  c (a  0) và m t s th c 

- N u a.f() < 0 thì f(x) có hai nghi m x1, x2 th a mãn x1 <  < x2

- N u a.f() > 0 thì f(x) có th có nghi m ho c không Trong tr ng

h p có nghi m x1  x2 thì   (-; x1)  (x2; + )

H qu 1

Cho tam th c b c hai f(x) = ax2+bx+c (a 0) và m t s th c  Khi đó,

a.f() < 0 khi và ch khi f(x) có hai nghi m x1, x2 th a mãn x1 <  <x2

H qu 2 Cho tam th c b c hai f(x) = ax2+bx+c (a0) và hai s th c

,  ( < ) Khi đó, f().f() < 0 khi và ch khi f(x) có hai nghi m phân

bi t x1 < x2 và có duy nh t m t trong hai nghi m n m trong kho ng (, )

Nh v y, n u ta áp d ng đ nh lý trên và các h qu c a nó, thay cho

vi c ph i ch ng minh   0 h c sinh ch c n ch n đ c m t ho c hai giá tr

,  là đ Sau đây là m t vài ví d minh h a ph ng pháp này:

Nh n xét

- Trong ví d này ta có th tính  và ch ng minh   0 Nh ng làm theo ph ng pháp này v p ph i khó kh n là k t qu tính  khá c ng k nh nên vi c ch ng minh   0 là khó kh n

- Trong ví d trên h s c a x2 d ng, do v y ta ch c n ch n  sao cho f() < 0 là đ Tuy nhiên, có nh ng bài toán mà h s a c a x2 ch a xác đ nh d u Khi y, đ tránh xét d u c a a ta nên tìm s ,  sao cho f() f() < 0 R i ng d ng h qu 2 c a đ nh lý đ o v d u c a tam th c

f( ) =  

V y f( -).f( ) = - 2. 2 0  ,  R  f(x) luôn có nghi m

Nh n xét

- N u f().f() = 0 thì  ho c  là nghi m nên khi có hai s , 

th a mãn f() f()  0 ta có k t lu n ngay r ng f(x) luôn có nghi m

- Trong khi áp d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai, h c sinh th ng lúng túng không bi t ch n  th nào cho phù h p Nh ng bài toán này th ng có tham s , do đó có th ch n  làm sao cho trong quá trình tính f() tham s tri t tiêu đi càng nhi u càng t t

1.3 So sánh nghi m c a tam th c b c hai v i m t s vƠ bi n lu n

ph ng trình b c hai

Vi c so sánh m t s v i nghi m c a ph ng trình b c hai đóng vai trò quan tr ng và là công c h u hi u đ gi i và bi n lu n ph ng trình

Tr c h t ta c n cho h c sinh n m v ng b ng sau:

Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx +c (a  0 ; a,b,c  ) và m t

s th c 

i u ki n V trí nghi m a.f() < 0 x1 <   x2

  0 a.f() > 0



2



2

- N u a  0 và a.f(x) = 0 thì  là m t nghi m c a f(x) còn nghi m

th hai tùy thu c vào các y u t khác Ta ph i xét đ bi t đ c v trí nghi m còn l i đó

- H c sinh th ng g p ph i nh ng d ng bài toán ph i suy lu n, bi n

đ i đ đ a v d ng bài toán so sánh nh trên Ngoài ra, c ng hay g p ph i

nh ng bài toán có d ng là so sánh hai s ,  ( < ) v i các nghi m c a tam th c f(x) = ax2 + bx + c (a  0) G i x1, x2là hai nghi m c a f(x) thì:

0)(f.a0

)1(f.a

0)1(f.ax

11

a Ph ng trình có đúng m t nghi m thu c kho ng ( - 1; 1 )

b Nghi m l n c a ph ng trình thu c kho ng ( - 2; 1 )

b nghi m c a ph ng trình thu c kho ng ( – 2 ; 1) đi u ki n

maf

maf

a.f (0) = 2 - m

a.f (2) = - m

V i các ph ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i, có th đ c chuy n

v ph ng trình b c hai b ng m t trong các cách sau:

Cách 1: S d ng phép bi n đ i t ng đ ng

) 2 3 ( ) 5 3 (

2

2 2

2 2

x x

x x m x

xx

+) = 0 2m – 5 = 0m = 5

2 suy ra ph ng trình (2.2.2) có nghi m kép 1 2 3

mm

1 02

2 02

ss

D u c a tam th c b c hai trên m t mi n là m t v n đ quan tr ng

c a các bài toán v b t ph ng trình b c hai, mà đ c bi t là bài toán có

tham s

D i đây là các d ng bài toán th ng g p:

D ng 1 Cho tam th c b c hai ( )f x = ax2 + bx + c (a0) tìm đi u ki n đ

D ng 2 Cho tam th c b c hai f x = ax2 + bx + c ( a0) tìm đi u ki n đ

2828

a

aa

3 21

3

11

4114

a

a

aa

aa

aa

f x > 0, x  (  ,  )

1 2

000

0 ) 2

1 ( 1

2 1 0

2

f m x

x

1 0

2 2

0 4 5 0

) 1 (

0 ) 2

1 (

(2.4.2) 1

20

(2.4.3) 1

0 ) 1 (

0 1 8

0 1 8

s f m m

4

mmmm

5 ) 4 ( 2

) 3 ( 10 5 ) 4 ( 2 2

3

x m

x m x

Nh n xỨt

- M t trong nh ng ph ng pháp h u hi u đ gi i ph ng trình vô t

đó là nâng lên l y th a hai v c a ph ng trình đ kh c n th c Trong quá trình nâng lên l y th a v i s m ch n thì nh t thi t hai v c a ph ng trình ph i không âm

x      (2.7) có nghi m V i giá tr nào c a m thì ph ng trình có 4 nghi m phân bi t

L i gi i

2

3  x  x i u ki n đ ph ng trình có ngh a là – 3 < x < 1 Xét hàm  

* TH1: Xét t = 0  m =  3

+) m = 3thì f(t) = t2 – 3t = 0 có nghi m t = 0 ; t = 3suy ra

ph ng trình (2.7) có 4 nghi m x

+) m = - 3 thì f(t) = t2 + 3t = 0 có nghi m t = 0 ; t = - 3(lo i)

3 0(0) 0

ph ng trình ( x   )( ax2  Bx  C )  0 và s nghi m c a ph ng trình (1) s

ph thu c s nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + Bx + C và quan h

gi a các nghi m đó v i 

-) f(x) vô nghi m  ’ = 1-m < 0  m > 1

-)  = 0 m = 1  f(x) có nghi m kép x1 x2 1 1

m

   -) f(x) có nghi m là -1  f(-1) = 0  m = - 3 lúc này nghi m th hai s là

mm

mmm

 ’=m2 - 1  0  m  1 ho c m  - 1 Khi đó f(x) có hai nghi m x1, x2

h qu c a chúng Ngoài ra còn m t s ph ng pháp khác mà ta không

đ c p đ n

(lo i)

2.3.2.2 Ph ng trình b c 4

C ng nh đ i v i ph ng trình b c 3, ph ng trình b c 4 c ng đã có công th c gi i c th nên v nguyên t c m i ph ng trình b c 4 đ u có th

gi i đ c Nh ng công th c này h c sinh ph thông ch a đ c ti p c n nên

ta không th s d ng công th c này nh m t công c đ gi i quy t các bài toán ph thông Do v y, đ i v i ph ng trình b c 4 ta ch xét các d ng c

d c bx

d bx x

t   

m c

(2.10) có 4 nghi m phân bi t thì (2.10.1) ph i có hai nghi m

d ng phân bi t t1, t2 (t1 < t2) Khi đó (2.10) có 4 nghi m x1, x2, x3, x4 nh sau:

0 ) 0 (

0 ) 1 (

f a

f a

f a

0 5

0 3

m m

L i gi i

Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a ph ng trình Chia c hai v cho x2ta đ c: (2.11)  x2  1  ( m  1 )( x 1)  1  0

t

x x

t  1=> t  2 Ta có f(t) = t2+(m-1)t-1 (2.11.1)

Xét ph ng trình ph

x x

* t < -2 thì (2.11.2) có hai nghi m âm

Nh v y, đ ph ng trình đã cho có không ít h n hai nghi m âm thì f(t) ph i có nghi m t < -2

Do (2.11.1) có hai nghi m trái d u nên ch còn tr ng h p

4

mm

mm

V y m ( , - 4) thì ph ng trình (2.12) có hai nghi m trái d u

0 ) 0 ( 0

0

m mmm

10

mm

mmm

0 ) 1 2 ( ) 1 2

a a

a a

0 6

4 2a

a a

a a

0 ) 4

1 10 )(

1 2 (

a a

a a

a a

a

1 2 1 10

g (

2

1

2 a ) <0  (2a+1)(

10 1

1 log

1 0

3

x x x

2 3

1 log 1 log

1

1 log 1 log

1 0

x x

x

x x

x

x x

x x

0 2

2 2

m x x

m x x

2 2

0 ) 0 ( g

0 8 m m



có đúng 5 nghi m khác nhau và khác

2

3 2

1 sin

cos

2

t x

x x

b V i (0; ) ( 1; 1)

2

x    t bài toán tr thành tìm m đ m

tmt

nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai phát bi u nh sau:

Cho tam th c b c hai f ( x )  ax2  bx  c ( a  0 ) và m t s th c 

- N u a f() < 0 thì f(x) có hai nghi m phân bi t và  n m trong kho ng hai nghi m đó

- N u a f() > 0 thì f(x) có th có nghi m ho c không N u f(x) có hai nghi m x1, x2thì x1 >  ho c x2 < 

i v i h c sinh ph thông khi áp d ng m t đ nh lý nào đó vào m t bài toán c th , th ng quên m t vi c xét xem bài toán đó đã th a mãn các yêu c u v gi thi t c a đ nh lý hay không Nh v y, n u bài toán đó ch a

th a mãn đ y đ các yêu c u c a gi thi t đ nh lý thì k t lu n c a đ nh lý

áp d ng vào bài toán là không có giá tr

H c sinh ph thông th ng m c ph i các sai l m sau đây khi áp d ng

đ nh lý đ o v d u c a tam th b c hai và các h qu c a chúng khi gi i toán:

H c sinh quên không xét xem f(x) có ph i là tam th c b c hai không (h s a có khác 0 không)

Ch ng h n trong tr ng h p 2 2

f x  m x  m x h c sinh nh n th y af ( 0 )  m (  2 )2.(  3 )  0và đ a ra k t lu n ngay r ng f(x) luôn

có nghi m v i m i m K t lu n này là sai b i vì v i m = 2, f(x) không còn

là tam th c b c hai n a nên vi c áp d ng đ nh lý đ o v d u c a tam th c

b c hai là không còn giá tr n a

V i m = 2 thì f(x) = -3 < 0 là hàm h ng nên f(x) không có nghi m

i v i tr ng h p c n có s  n m ngoài kho ng hai nghi m nhi u

h c sinh quên m t vi c ph i t n t i hai nghi m T c là bi t th c  > 0 mà

ch quan tâm đ n a.f() > 0 Ch ng h n v i f ( x )  x2  2 m  2 m  3 v i  = 0

Ta có:

2

30

32)(.f  m  m

a  Khi đó nhi u h c sinh k t lu n ngay

3 , ( ) 2

m   f x luôn có hai nghi m cùng d u mà quên m t r ng v i -1< m < 3 thì f(x) không có nghi m ((   m2  2 m  3  0 )

H c sinh th ng quyên m t vi c ph i xét d u c a h s a c a x2 Trong tr ng h p này n u h s a > 0 thì k t lu n đúng còn n u h s a < 0 thì k t lu n sai Ch ng h n khi c n có a.f() < 0 thì h c sinh ch xét f() < 0

CH NG III

B C HAI VÀO VI C KH O SÁT HÀM S PH THU C

THAM S

Trong ch ng này đ th y đ c ng d ng c a đ nh lý đ o trong m t

s bài toán v hàm s ta nghiên c u các bài toán sau: Tìm đi u ki n đ hàm

s xác đ nh, hàm s đ ng bi n (ngh ch bi n) trên mi n nào đó, hàm s có giá tr l n nh t, giá tr nh nh t th a mãn đi u ki n cho tr c, giao đi m

c a đ th hàm s b c ba v i đ ng th ng, giao đi m c a đ th hàm b c 4

v i đ ng th ng, giao đi m c a các nhánh hypebol v i đ ng th ng

3.1 Tìm mi n xác đ nh vƠ mi n giá tr c a hƠm s

- Tìm mi n xác đ nh c a hàm s y = f(x) là vi c ta đi tìm t t c các giá

tr x sao cho bi u th c f(x) có ngh a

- N u hàm s y = f(x) có mi n xác đ nh là D G i T là mi n giá tr c a hàm s f(x) th thì y0   T x0 D y: 0  f x( )0 Nh v y, mu n tìm mi n giá tr c a hàm s y = f(x) ta tìm mi n giá tr c a y sao cho ph ng trình