Bất đẳng thức trong tam giác phần 1

khi đó tồn tại một tam giác nhận x, y, z tương ứng là độ dài ba cạnh... Bất đẳng thức trong tam giác phần 2 Bài toán 1.

Trang 1

Bất đẳng thức trong tam giác phần 1 (1) Với tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng BC = a,CA = b, AB = c ta có

cos A = b

2+ c2− a2

2bc ;cos B = c

2+ a2− b2

2ca ;cosC = a

2+ b2− c2

*Từ đây ta có

sin A = 1− b2+ c2− a2

2bc

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

= 4b2c2− (b2+ c2− a2)2

a2− (b − c)2

⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥ (b + c)⎡ 2− a2

Các đánh giá hay sử dụng như sau:

cos A + cos B ≤ 2cos A + B

C

2

sin A + sin B ≤ 2sin A + B

C

2

*Từ đây dễ có

cos A + cos B + cosC ≤ 32;sin A + sin B + sinC ≤ 3 32 (2) Với các số thực x, y,z ∈ (α;β) sao cho 2α − β ≥ 0 khi đó tồn tại một tam giác nhận x, y, z

tương ứng là độ dài ba cạnh

*Thật vậy vì

x + y − z > 2α − β ≥ 0

y + z − x > 2α − β ≥ 0

z + x − y > 2α − β ≥ 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇒ x, y, z là độ dài ba cạnh một tam giác

(3) Đánh giá đại lượng mcos2A + ncos2B + pcos2C

*Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) ta có

BOC! = (OB

" #""

,OC" #"")

!

= 2A;COA! = (OC

" #""

,OA" #"")

!

= 2B; AOB! = (OA

" #""

,OB" #"")

!

= 2C

Xuất phát từ: (xOA

! "!!

+ yOB

! "!!

+ zOC

! "!!

)2≥ 0 Khai triển và rút gọn bất đẳng thức trên ta có:

yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − x

2+ y2+ z2

+) Nếu xyz > 0 ta có:

cos 2A

cos 2B

cos 2C

z ≥ −

x2+ y2+ z2

2xyz

+) Nếu xyz < 0 ta có:

cos 2A

cos 2B

cos 2C

z ≤ −

x2+ y2+ z2

2xyz

Bài 1 Với a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác và các số thực x, y, z thoả mãn

cy + bz = a

az + cx = b

bx + ay = c

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Chứng minh rằng:

x + y + z ≤ 32.

Trang 2

Bài 2 Với a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác và các số thực x, y, z thoả mãn

cy + bz = a

az + cx = b

bx + ay = c

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Chứng minh rằng:

1− x

2 + 1 − y2 + 1 − z2 ≤3 3

2

Bài 3 Với x, y,z ∈ (1;2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = 4 − (x2+ y2− z2)2

x2y2 + 4 −(y2+ z2− x2)2

y2z2 + 4 −(x2+ z2− y2)2

x2z2

P = x

2+ y2− z2

y2+ z2− x2

z2+ x2− y2

zx

P = x + y − z

xy +

y + z − x

yz + 2 3.

x + z − y

xz .

Bài 6 Với x, y,z ∈ (1;4).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = x + y − z

(y + z − x)2

4zx − (z + x − y)2

Bài 7 Với x, y,z ∈ (1;4).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = x + y − z

(y + z − x)2

yz + 12 − 3(z + x − y)

2

P = 4 − (x + y − z)2

(y + z − x)2

y − z − x

zx .

Bài 9 Với x, y, z là các số thực thuộc khoảng (1;4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = 4 − (x + y − z)2

(y + z − x)2

y − x − z 2xz .

Bài 10 Với x, y, z là các số thực thuộc khoảng (1;2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x

2+ y2− z2

y2+ z2− x2

z2+ x2− y2

zx

Bài 11 Với x, y, z là các số thực thuộc khoảng (1;2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x2+ y2− z2

y2+ z2− x2

z2+ x2− y2

zx

3 xy − (x + y − z)+

yz

3 yz − (y + z − x)+

zx

3 zx − (z + x − y)

Trang 3

Bài 13 Với x, y,z ∈ (1;4) là các số thực thoả mãn

(x + y − z)2

(y + z − x)2

(z + x − y)2

zx ≤ 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = y + z − x

yz +

x + z − y

zx +

1

2 2 (x + y − z)

2

xy .

P = 2 (x + y − z)

2

(y + z − x)2

(x + z − y)2

zx

Bài 15 Với x, y, z là các số thực thuộc khoảng (1;4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 2 (x + y − z)

2

(y + z − x)2

(x + z − y)2

zx

P = (x + y − z)

2

2(y + z − x)2

3(x + z − y)2

P = 4 + (x + y − z)2

xy

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ 4 + (y + z − x)

2

yz

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ 4 + (z + x − y)

2

zx

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

*Theo giả thiết ta có

x, y, z ∈ (1;2) ⇒

x + y − z > 0

y + z − x > 0

x + z − y > 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

do đó x, y, z là độ dài ba cạnh

một tam giác ABC và

cos A = x + y − z

2 xy ,cos B = y + z − x 2 yz ,cosC = z + x − y 2 zx

*Khi đó: P = 64(1 + cos2A)(1 + cos2B)(1 + cos2C)

*Giả sử C là góc nhỏ nhất ta có

0 < C ≤ π3 và (1 + cos

2 A)(1 + cos2B) ≥ 1 + cos2 A + B

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

(*)

*Thật vậy (*) tương đương với:

sin

2 A − B

2 6 cosC − cos(A − B) −1

⎡

*Bất đẳng thức cuối đúng vì 6cosC − cos(A − B)−1 ≥ 2− cos(A − B) > 0

*Do đó:

P ≥ 64(1 + cos2C) 1 + cos2 A + B

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

= 16(1 + cos2C)(3 − cosC)2

*Dễ có

f (C) = 16(1 + cos2C)(3 − cosC)2≥ min

C∈ 0;π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎤

⎦

⎥

f (C) = f π

3

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟= 125

Bài 18 Với a,b,c ∈ (1;2).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = (a

2− (b − c)2)2(b2− (a − c)2)2(c2− (a − b)2)

Trang 4

Ta có:

P = 32 1− b2+ c2− a2

2bc

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

1− a2+ c2− b2

2ac

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

1− a2+ b2− c2

2ab

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

Theo giả thiết a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác và

P = 32 1− cos A( )2

1− cos B

1− cosC

( )= 322 sin2 A

2sin

2 B

2 sin C2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

Ta có:

sin A

2 sin B2 =

1

2 cos A − B2 − cos

A + B

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟≤12 1− sin C2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

Vì vậy,

P ≤ 64 1− sin C

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

sin C

2

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2

≤ 64 4

27

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

1− sin C

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

sin C

2 =

1

2 1− sin C2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ 1− sin C2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟.2sin C2 ≤12

2 1− sin C

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟+ 2sinC2 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3

27

Do đó:

P ≤ 64 4

27

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2

=1024

729 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

A = B sin C

2 =

1 3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Bất đẳng thức trong tam giác phần 2 Bài toán 1 Tìm điểm vị trí của điểm M sao cho a.MA + b.MB + c.MCđạt giá trị nhỏ nhất

*Trước hết ta có đẳng thức:

a.HA

! "!!

+ b.HB

! "!!

+ c.HC

! "!!

= 0

"

với H là trực tâm tam giác ABC.

*Khi đó:

a.MA + b.MB + c.MC ≥ a.HA + b.HB + c.HC

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	700,81 KB