Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác docx

LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, cá

Vuihoc24h.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất

là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic, người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng giác và cả đại số.Chính vì thế, tác giả đã tập hợp, phân loại, biên soạn nên cuốn “Chuyên đề Bất Đẳng Thức Trong Tam Giác” Cuốn sách trên tay các bạn là tâm huyết của chúng tôi cùng với sự giúpđở của các thầy cô, nó là

một hệ thống kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán khác nhau thuộc nhiều chuyên đề Quyển sách gồm 3 phần:

I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

II.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Trong đó, mở đầu bẳng phần kiến thức cơ bản và nâng cao, sau đó là phần bài tập tham khảo, sau cùng là phần bài tập đề nghị có kèm hướng dẫn giải

Do là lần đầu tiên biên soạn chuyên đề, dù đã cố gắng hết sứi cố gắng cũng không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong các bạn thông cảm.Mọi góp ý xin gởi về địa chỉ ngohoangtoan1994@gmail.com Cuối lời, tác giả

chúc tất cả các bạn một mùa thi 2013 thành công và thắng lợi.Thân ái!

Thành Phố Cần Thơ, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Ngô Hoàng Toàn

b A

a

2 sin sin

2 2

2

AM AC

4 Công thức về diện tích

c b

a

c b

a

r c p r b p r a

p

S

c p b p a p

p

S

c b a p pr

ac A bc

S

ch bh

ah

S

) ( ) ( ) (

) )(

)(

(

) 2 (

2

sin 2

1 sin 2

1 sin

2

1

2

1 2

1 2

( với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; ra, rb, rc lần lượt là bán

5 Công thức bán kính đường tròn nội tiếp

2 cos

2

sin 2 sin

2 cos

2

sin 2 sin

2 cos

2

sin 2 sin

2

sin 2

sin 2 sin 4 ) )(

)(

(

2 tan ) ( 2 tan ) ( 2 tan ) (

C

B A c B

A C b A

C B a

r

C B A R p

c p b p a p p

S

r

C c p

B b p

A a p

2

cos 2 cos 2

tan

A

C B a A p

2 cos

2

cos 2 cos 2

tan

2 cos

2

cos 2 cos 2

tan

C

B A c C p r

A

C A b B p r

2 cos 2

) ( 2

2 cos 2

) ( 2

2 cos 2

c p abp b a b a

C ab l

b p acp c a c a

B ac l

a p bcp c b c b

A bc l

BÀI TẬP THAM KHẢO

y x

2

2 2 2

2

22

2

1112

2

42

12

1

2

1

z y x

yz xz

xy z

y x z b

c y c

b z a

c x c

a y a

b x b

a z

y

x

cz by ax c b a

abc

cz by ax ac bc ab abc

cz by ax c b a R

c b

a

R

abc cz by ax

R

abc cz by ax

y x

2

2 2 2

p b p a

1

Hướng dẫn giải

) 2 ( 2 2

) 1 ( 2 2

a c p b p c p

b

p

c b p a p b p

a

p

b c p a p c p

p b p a

p    Dấu “=” xảy ra khi a=b=c b) Theo BĐT Cauchy

  

  

a c p b

p

c p b

p

a

c p b p c

p

b

p

c p b p c

p b

p

a

4 1

1

4 1

1

2 1

b

p

b c p

a

p

4 1

1

4 1

Hướng dẫn giải

Theo công thức Hê rông

2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 16

1

2 2

2 4

1

16

1

c b a S

c b a c b a c b a

c b c a b a c b a

c b c a b a c b a c b

a c b c b

a c b bc bc a

c b

c b a a c b

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Bài 4: Cho h a,h b,h c là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r

Chứng minh rằng

r h

h h

h h

h

a b b c c

2 2

Hướng dẫn giải

h h

h h h

r S

c b a

c b a c b a S

c b a a a

c c c

b b b

a S

Sa

c Sc

b Sb

a h

h h

h h h

r c b a ch bh ah S

a b b c c a

a b b c c a

c b a

1

1 2

2 2 2 2 1 2 1

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi ABC đều

Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là

Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là h a  1 , hb  5 , hc  5  1, các cạnh tương ứng là a ,,b c

Ta có :

c a

h

S a

h

2S c , h

2S b , 2

(

25

5 9 25 5 5 5

4

20

4

1 5 5

5 1 5 1

1 5

1

1

1

1 1 1 2 2

2

2 2

b

S h

5 1

.

Do đó

c b a c

b

a

c b c

b a

2

2

4 4 ) 5 1 ( 5 2

Hướng dẫn giải

OAD

 vuông cân

OM OA

AM

HM AH

AM

AH

r OD

2 2

Do đó hr 2 r r( 2  1 )

Mà 2  2 , 25  1 , 5

Do đó

5 , 2 5

AK OA

AK

r OM

KH

Do đó    2    2 , 5

r

h r r KH AK AH

Bài 7: Cho ABCcó diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích) Trên các cạnh

BC,CA,AB lấy lần lượt các điểm A’,B’,C’ Chứng minh rằng : trong tất cả các tam giác AB’C’,A’BC’,A’B’C có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay bằng 1 (đơn vị diện tích)

' '

' '

ABC

C B A C

BC A B

C AB A

S S

S S

S S

S S

) 1 , 0 (

) 1 , 0 ( '

CA

CB c BC

BA b AB

AC a

Lúc đó:

c) - 4a(1

SA

c) 1 ( ' sinA

2

1

sin '.

AB

A AB AC

S

SA

tương tự ta có :

) 1

(

4

) 1

1 ( ).

1 ( 64

S A B C

nhưng

1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 )  1 1 1 1 (2)

) 1 ( 4 ) 1 ( 4 ) 1 ( 4

.

2 2

a

c c b b a a S

1 ) 1 2 ( 1 ) 1 ( 4 ) 1

(

dpcm S

c c

c c a

Bài 8 : Cho k, l, m là độ dài các trung tuyến và R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC

Chứng minh :

2

9R

m l

Hướng dẫn giải

Ta có :

(1) ) (

3 ) (

2 )

4 3

) (

2 4

1

) (

2 4

1

) (

2 4

1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

c b a m

l k

c b a m

b a c l

a c b k

4

9 4 ) ( sin 4

1 )) cos(

2

1 (cos

4

9

4

) ( sin 4

1 - C) ( cos 4

1 ) cos(

cos cos

4

9

4

)) cos(

cos cos

2 ( 4

)) cos(

).

cos(

2 cos 2 4 ( 2

) 2 cos 1 2 cos 1 cos 2 2 ( 2

) sin sin

(sin 4

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2

R R

C B C

B A

R

C B B

C B A A

R

C B A

A R

C B C

B A

R

C B

A R

C B

A R

4

3 3 )



dấu “=” xảy ra khi ABC đều

Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác bất kỳ , S là diện tích Hãy tìm

số thực q nhỏ nhất thỏa mãn :S2 q(a4 b4 c4)

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

4 2

4

2

3 2

) (

27 16

1 27

3 )

)(

)(

(

c b a S

p

S

c p b p a p p c p b p a p

4 4 4 4

c b a c

16

1

) (

27

1

4 4 4 2

4 4 4 4

c b a S

c b a c

) (

27 ) (

) (

3 3 ) (

3 )

(

4 4 4 4 4

4 4 4

4 4 4 2

2 2 2

c b a c b a c

b a c

b

a

c b a c

b a c

3

) (

) (

) (

2 2 2 )

(

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

c b

a

c a c b b a c b

a

ca bc ab c

b a c

27 ) (

) (

3 9 ) (

9

) (

3 )

(

4 4 4 4

4 4 4 2

2 2

2

2 2 2 2 2

2 4

c b a c

b

a

c b a c

b

a

c b a c

b a c

Hay :

3 3

4 4 4 4

c b a c b

c m

b m

a

b)

2

3 3

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

3 2

cauchy) (BĐB

) (

2 3

2

) (

2 ) 3 ( )

2

(

) (

2

4

c b a

a m

a

c b a a

m

c b a a

m

a c b m

3 2

3 2

2 2 2

2

2 2 2

c

b

m

c m

b m

a

c b a

c m

c

c b a

b m

b

Dấu “=” xảy ra  C đều

b) Theo câu (a):

2 2 2

2 2

m a

m c

b a a

2

3 3 ) (

3 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

m m m c

m b

m

a

m

c b

a

m c

m

c b

a

m b

m

c b a c

b

a

c c

b b

4

2 2 2

c b a m

a

c b a

b a c

a c b

c c b a

b b a c

a a c b

c m

b m

a m

c

m b

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

3 )

( 2

3 )

( 2

3 )

( 2

3 4

3 4

3 4

2 3

4 3

) (

3 ) (

4 )

(

2

4

) (

2

4

) (

2

4

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

c b a m

m

m

c b a m

m m c

b a

m

b a c

m

a c b

m

c b

a

c b a c

Bài toán tổng quát bài 10 là :

Chứng minh rằng trong mọi ABC, ta luôn có :

a)

n n

c n

b n

c m

b m

b)

n n

c n b n

a

c

m b

m a

c a

b a

c

b

a

b/

Rr c

b

3 1

0 0 0

y x c

x z b

z y a

c b a

z

b a c

y

a c b

1 2

1 2 2

z y

z z

y x

y y

x z

y x y

x z x

z y

C2:

Theo BĐT BCS

) ( 3 ) 1 ( )

3

1 ).

1 ( ) 2

2 2

) (

) (

)

(

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

dpcm VT

c b a

VT

a c c b b a c

b a VT

c b a ca bc ab

VT

c b a c c b a

c b

a c b b a c

b a

c b a a c b

a c

1

) (

3 1 1 1 2

3 1

1

1

2 4

b

a

abc

c b a c

b a Rr c

b

a

c b a

abc Rr

bc ab ca

bc ab ca

bc

ab

ca bc ab a

c c

b b

a

ca bc ab b

c a c

1

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 2

1 1

1

2

1

1 1 1 2 1 1 1 1

1

1

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

Bài 12 : Cho a,b,c là dộ dài 3 cạch của C, S là diện tích

Nếu p, q, r  0 thì c S

q p

r b p r

q a

r q

p

3 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

) (

) (

2 2 1

) (

) (

2 2

) (

2

)

(

c b a c b a c

q p

r b p r

q a

r

q

p

c b a c b a c

q p

r b p r

q a

r

q

p

r q p q p

c p r

b r

q

a

q p q p

c p

r p r

b r q r q

a c

b a c b

( ) )(

( ) )(

(

3 4 b) - (a - c a) - (c - b c) - (b

-a

S c b a c b a c b a c b a c b a c

c b a

z

c b a

y

c b a

x

) (

3 3

4 (*)  yzzx yx S  yzzx yx xyz xyz

4

1 2 2 2 2 )

) (

)

(

) (

3 ) (

2 2

2 2

yz yz

xy

z y x xyz zx

yz

xy

Dấu “=” xảy ra

S c

q p

r b

p r

q a

r q p Đúng

c b a z y x

3 2

) 1 (

2 2

c b a

Bài 13 : Gọi m a,m b,m clà độ dài tương ứng của các đường trung tuyến kẻ từ

2 2 2 2

2

27 ) )(

(m a m b m c h a h b h c  S với S là diện tích C

Hướng dẫn giải

Ta có :

) (

4 3

) 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

c b a m

m m c

b a m

b a c m

a c b m

c b a

a h h h

c

S b

2 2 2

c b

h

c b a

Theo BĐT Trêbưsép:

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

27 12

4

9 ) (

( 4

3 ) )(

(

S S

h c h b h

a

h h h c b a h

h h m m

m

c b

a

c b a c

b a c b

ch bh ah h

h h abc

h h h c b a h

h h m m

m

c b a c

b a

c b a c

b a c b

2 2 2 2

2

27 ) 2 ( 4

27 ) ( 4

27 ) (

3 )

( 4

3 ) )(

(

Dấu “=” xảy  C đều

Bài 14 : Cho ABC Chứng minh

a/

4

9 sin

sin

sin

t 0 ) ( 0 ) ( sin 1 - C) - (B

cos

cosA) (t

4

1 ).

cos(

4

1 ) cos(

(cos 2

1 cos

1

4

9 sin sin

sin

)

(

2 2

2

2 2

2

2

2

2 2

A

t f C

B

t C B t

C B C

B A

C B

A

B A

(sin 9 ) (

4

9 ) (

3 ) (

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

R m m m R R

C B

A R

c b a m

m m m

m

m

c b a

c b a c

Dấu “=” xảy ra  ABC đều

Bài 15 : Cho C và x,y,z  0 chứng minh rằng :

xyz

z y x C z

B y

A

1 cos

0 ) cos(

) cos(

) cos(

2 ) (

0 )

.

( 2 ) (

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

B zx A yz C xy z

y x

B zx

A yz

C xy

r r z y x

OM OP zx OP ON yz ON OM xy r

z y x

B y

A

1 cos

1 cos

0 2

2

) (

3

) (

3 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

ac cb ca ab bc b a

c b a

c ac a b

ca bc ab

acp

c ac a c b a

2 2

(c ab b a)( ) (bc a )(c b) 0

       (đúng do abc) Vậy h ah bh c

4

a ac c pr

)(

( 3 2

2 2

2 2

abc c

b a

c b

a c

b a

c

b

a

c S c b a S

b S b c a S

a S a c b S h

4S ABC AM BC BM CA CM AB 

Hướng dẫn giải

Giả sử BM cắt AC ở O

Hạ AH, CK vuông góc với BH tại Hvà K ta có

AC BM CO BM AO BM S

S

CO BM CK BM

S

AO BM AH BM

S

BCM ABM

BCM

ABM

.

2

2

.

2

.

Bài 18: Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, nội tiếp trong đường trịn (O)

Các đường phân giác AA1, BB1, CC1 của tam giác ABC cắt đường trịn (O) lần lượt tại các điểm A2, B2, C2 Tìm GTNN của

2 1 2 2

1 2 2

1

2

C C

CC B

B

BB A

A

AA

Hướng dẫn giải

2 1 1 2

1 1 2

1 1 2

1 2 2

1 2 2

CC B

B

BB A

A

AA C

C

CC B

B

BB A

A

AA T

Ta có: SABA  SACA  SABC

1 1

c b

A bc AA

A AC AB

A AA AC

A AA

2 sin 2 sin

ab C A c b

ac B A

AC AB

BC AC

C A AB

B A

1 1

;

Mà:

 

1 )

( ) cos 1 ( 2 2 cos 4

2 cos ) ( 2

.

2 2 2

2 2 2

2 2

2 1

1

2 2

1 1

1 2 1

a c b a

A bc

a

A bc

a A

A C A B A A A

A

A

Chứng minh tương tự ta được:

12 ) ( ) ( ) (

1 ) (

; 1 ) (

2 2 2

2 2

2 2

1 2 2

1 2 2

1

2

2 2 2

1

1 2

2 2

c a a

c b C C

CC B

C C b

c a

Vậy Tmin=12 khi tam giác ABC đều

Bài 19: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Đường tròn nội tiếp tam

giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1

Đặt B1C1 = a1, C1A1 = b1, A1B1 = c1

Chứng minh rằng: ( ) 1 1 12 36

1 2 1 2 1

2 2 2

c a c c a b

bc

a c b a

c b

A a

c b

A a c b

A AC

a

a p AC thì c

] ) ( ].[

) ( [

2 1

) (

2

1

) cos 1 (

) (

2

1

2 sin ).

( 2 sin 2

2

2

1

2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 1

và ac b

4 1 4

1

2 1 2

1





1 2 1 2

1

36 9

4 1 1 1 4 1 1 1

c b a ac bc ab ac

bc ab c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Bài 20: Cho tam giác ABC nội tiep đường tròn (C) Ba chieu cao AA’ ,BB’ , CC’

lan lượt cat đường tròn ngoại tiep tại A1, B1, C1 Chứngminh rằng:

4

9 ' ' '

1 1

BB AA AA

1 1

1

CC

CC BB

' '

'

CC

HC BB

HB AA

S

S CC

H C

S

S BB

H B

S

S AA

H A

''''''



'

' '

' '

'

CC

HC BB

HB AA

HA



' ' '

1 1 1

BB AA AA

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:( ' ' ')

1 1

CC BB

BB AA

AA



' ' '

BB AA AA

Từ đó suy ra

4

9 ' '

'

1 1

BB AA

AA

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Gọi R, r lần lượt là bán kính vòng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ấy

Chứng minh rằng: d2 < R(R-2r)

Bài 2: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có các đường phân giác

trong AA’, BB’, CC’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng minh

rằng:

4

9 ' '

'

1 1 1

BB AA AA

(Đề thi Olympic 30-4, 2003)

Bài 3: Giả sử điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc AMC  90 ;

gócAMB 150 , góc BMC  120  Gọi các điểm P, Q, R lần lượt là tâm các

đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AMC, AMB, BMC

Chứng minh rằng :SPQR  SABC

(Đề thi Olympic 30-4, 2002)

Bài 4: Trên đường tròn (O;R) cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E theo thứ

tự đó, sao cho AB = BC = DE = R Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và

AE Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của chu vi tam giác BMN

(Đề thi Olympic 30-4, 2001)

Bài 5: Gọi R, r, p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, nửa

chu vi của tam giác ABC Chứng minh:

B B

A

2 cos 1 2

tan 2

cos 1 2

tan 2

cos 1

3 9 )

Với p là chu vi của tam giác ABC

Bài 8: Xác định vị trí của điểm M trong tam giác ABC sao cho biểu thức

z

c y

b x

a

u   Đạt GTNN,trong đó a, b ,c là độ dài 3 cạnh của tam giác x, y ,z là khoảng

b x

z ca y

z z

y bc x

y y

x ab c b

Do x, y ,z > 0 nên :   2

x

y y

x

;   2

z

y y

z

;   2

x

z z x

Các đẳng thức đồng thời xảy ra khi x = y = z

Bài 9: Cho a, b ,c là độ dài các cạnh và x, y ,z tương ứng là độ dài các đường

phân giác trong của tam giác ABC Hãy chứng minh :

z y x c b a

1 1 1 1 1 1

Bài 10 : Chứng minh rằng Trong mọi tam giác ta có h a  p(pa)

(với h alà đường cao xuất phát từ A , a BC,bCA,c AB, 2pabc)

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng qua A và //BC

B’ là điểm đối xứng của B qua d :

Ta có :

) (

) ( 2 2

4

) )(

( )

(

4

4 )

(

4

' '

2

2

2 2 2

2 2

2

2 2

a p p

h

a p p h

a c b a c b a c b

h

h a c

b

h a c

b

C B AB AC AB

S h

( 2 ) )(

(

) ( )

)(

)(

( 2 ) (

c p b p c p b p

a b p b

p

a p p a

c p b p a p p a

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) M là điểm

nằm trên cung BC không chứa điểm A Gọi N, H, K lần lượt là hình chiếu của

M trên AB, BC, CA Tìm giá trị nhỏ nhất của

MK

AC MN

AB MH

MH

BC



 bằng cách chuyển các tỉ số trên thành các tỉ số có cùng mẫu

Lời giải sơ lược:

Nhận thấy: Nếu K nằm ngoài AC thì N nằm trong AB

MK

CK MK

BH MH

CH MH

BC MK

AC MN

AB MH

AB MH

BC



 nhỏ nhất  MH lớn nhất  MH = R  M là điểm chính giữa của cung BC

Bài 12 : Cho một điem M trong ABC Gọi R a,R b,R c là khoảng cách từ M

đen A,B,C và d a,d b,d c là khoảng cách từ M đen BC,CA,AB thı̀ :

S S

a

S S

d h R

b c

AMC AMB

BMC ABC

a a a

2 2

b

cd ad R

a

cd bd R

a b c

a c b

b c a

a d a

c c

a d b

c c

b d R R

a

c b c a b a c

b

a

c

b a b

c a a

c

b

c b a c

b

a

d R d R d R d R d R d R R

R

R

d d d d d d R

R

R

R

d d R

d d R

d

d

d d d R

2

8 )

m m

m m m m

m m

c b a

c b a

c b a c

b a

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

sin sin

sin 9 4 9 3

sin sin2 A 2B 2C

R m

m m

R R

m m m

c b a

c b a

2 9

4

81 4

a a a n

a a

a

2 1 2

)(

( )

a b

a b

2

2 2

b

a a

(

2 1

2 2

a b

1

5 Bất đẳng thức Bernoulli

6 Bất đẳng thức Jensen (tham khảo thêm)

 Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) thì:

hàm f(x) được gọi là lồi trên (a,b) nếu  x1, x2  ( a , b )

2 1 )

( )

f f

2 1 )

( )

f f

f x x

 Giả sử f(x) là hàm số lồi trên (a,b) ; thế thì : với

2 );

, ( ,

f n

f f

f

n

 Giả sử f(x) là hàm số lõm trên (a,b) ; thế thì : với

2);

,(,

( )

( )

f n

f f

f

n

7 Bất đẳng thức Minkowski

cho:( a1, a2 , an); ( b1, b2 , bn); ; ( l1, l2 , ln)là n bộ số thực bất kì, ta luôn có:

2 2

1

2 2

1

2 2

1

2 2

2 1 2 2

2 2 1 2 2

2 2 1

2

)

( )

( )

n

n n

n

l l

l b

b b a

a

a

l l

l b

b b a

a1  2   và b1  b2   bn.ta có :

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

a1  2   và b1 b2  b n ta có :

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

c a b

a b

a c b

c a b

c a b

a d

 Các BĐT thường dùng như cauchy, bunhiacopski

 Dùng phương pháp Salơ: với ba điểm A,B,C bất kì ta luôn có

AB+BCAC Dấu = xảy ra khi B nằm trong đoạn AC

 Một tính chất thường gặp với hai số không âm x,y :

y y x

x y x

y y x

 Nếu A  a(với a 0) Aahoặc A  a

 Áp dụng về dấu của tam thức bậc hai

 Áp dụng x  y  x  y

BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c Chứng minh rằng :

0 ) 2 (

) 2 (

) 2 (ab c bc bc a ac ac b 

ab

Hướng dẫn giải Cách 1:

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác nên a,b,c >0

Ta có :

6

0 2 2

2

0 ) 2 (

) 2 (

) 2 (

0 ) 2 (

) 2 (

) 2

a b

c c

b a

a c b c

c b

a

abc

b c a ac abc

a c b bc abc

c b

a

ab

b c a ac a c b bc c b

Cộng ba bắt đẳng thức cùng chiều , ta được điều phải chứng minh

Dấu bất đẳng thức xảy ra a = b = c, tức ABC đều

Cách 2

a,b,c>0 nên ta có :

0 ) 2 (

) 2 (

) 2 (

0 2

2 2

6

2 2 2 ) (

) (

)

(

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

a

ab

abc b

a ac abc c

b bc abc b

a

ab

abc c

b c a b a bc ab ac

ab

ab c ca b bc a b a c a c b c

b

a

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

c b a c b a

c b c a

b a c b

2

Hướng dẫn giải

Do a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên :

c b a

b c a

a c b

a a

c b a

c

b

a

2 ) (

2 ) (

2 2

c

a

b

2 ) (

c b c a

b a

2

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

c b a c b a c

b c a b

a c b a

c b

a

c

b c

a

b

a c

2 2

2 2

) (

) (

) (

Tức là tam giác đã cho đều

Cách 2

Ta có :

) ( 3

2

c b a a

4

) ( ) ( ) ( 3 3

) (

) ( 3

) ( 3

2

2 2

2 2

a

c b c b a

a

c b c b a c b a a

a

a c b c b a

a

c b a a

) ( 3

2

c b a a c

2

c a b b c

c b c a

b a c

0 0 0

y x c

z x b

z y a

c b

a

z

b c a

y

a c

b

x

Bất đẳng thức chứng minh tương đương với:

z y x z

x y y

z x x

z y

) ( 4

)

Áp dụng bất đẳng thức Svacxơ

3 2 1

2 3 2 1 3 3 2 2 1

b b b

a a a b

a b

a b

z y x z

y x

y z z x x y z

x y y

z x x

4

) (

4 )

( 4

) (

4

) ( 4

) ( 4

)

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Bài 3: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng :

abc b

a c a c b c b

a  )(   )(   )  (

Hướng dẫn giải Cách 1

0 0 0

z y c

z x b

y x a

a c b

z

b c a

y

c b a

x

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

2

) ( 2

) ( 2

) ( 2

) ( )

a

Ta có

c p b p a p

p

abc

c p b p a

p

abc

c p b p a p

abc

c c b a b b a c a a c

b

abc

c b a b a c a

c

b

4 )

.

(

8

8 ) )(

)(

(

8

) )(

)(

(

8

) 2 2 )(

2 2 )(

2

2

(

) 2 )(

2 )(

2 (

) )(

a c a c b c

b

a  )(   )(   ) 

( vẫn đúng với mọi a,b,c>0

Thật vậy trong ba thừa số (abc), (bca), (cab)không thể có quá một thừa số không dương Thật vậy, do vai trò bình đẳng giữa các thừa số ,giả sử:

0 2 0

mâu thuẫn với giải thuyết b>0

- Nếu trong ba thừa số có một thừa số không dương và hai thừa số

a c b

b c a

c b a

thì lúc đó ta trở về bài toán trên