VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ P x Q x =∫ Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số Px lớn hơn Qx thì t
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )
( )
P x
Q x
=∫
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số
III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3
TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép
Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:
1
( )
+
−
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến
Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
dx
I
x x
=
+
1
x
−
=
2
+ +
=
−
∫
Hướng dẫn giải:
a) Xét
2
dx I
x x
=
+
∫
Cách 1: (Đồng nhất hai vế)
Ta có
1 4 0
2
1 2
1 2
A
x
C
C
=
= +
+
=
Khi đó,
2
x
− +
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được)
1
2
x
+
+
1
1
2 5
t t
−
+ + −
Cách 1: (Đồng nhất hai vế)
04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 2Ta có
1 25
0 2
2 5
2 25
A
A C
t
B
C
= −
= +
−
=
Từ đó ta được
2 5
2 5
−
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được)
2
2
5
t
− −
−
2
t
−
Thay lại t = x + 1 ta được 2 1 ln 2 3 2
x
−
c)
2
+ +
=
−
∫
Cách 1: (Đồng nhất hai vế)
Ta có
2
x
−
2
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được)
Ta có
2
4
− −
3
∫
TH3: Q(x) = 0 có 1 nghiệm đơn
1
Q x ax bx cx d x x mx nx p , trong đó mx2+nx+ =p 0 vô nghiệm
Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:
1 1
( )
+
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến
Chú ý:
Trang 3- Nguyên hàm
∫ 2 2
- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
dx
I
x x
=
+
x
+
=
2
1 1
x x x
− +
=
+ −
∫
Hướng dẫn giải:
a)
1
dx
I
x x
=
+
∫
Cách 1: (Đồng nhất hai vế)
1
1 1
x x
+
Khi đó,
2
2
1
1
d x
x x
+
+
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được)
2 1
1
2
+ −
b)
x
+
=
∫
Cách 1: (Đồng nhất hai vế)
3 5 0
3 4
7 5
A
A C
C
=
= +
=
Khi đó ta có
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được)
Ta có
2 5
x
t x
− +
Mà
t
Suy ra
Thay vào ta được
2
t
TH4: Q(x) = 0 có 1 nghiệm bội ba: Trường hợp này dễ, thầy bỏ qua!
Trang 4BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Phương trình bậc ba có hai nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép):
( 1)
x
x x
−
=
+
2
3 ( 2) (2 1)
x
+
=
2
x
+
=
+ +
∫
(2 1)( 1)
x
+
=
2 (3 2 )
x
−
=
−
( 2) ( 3)
x
+
=
∫
Phương trình bậc ba có một nghiệm bội ba:
( 2)
x
x
−
=
+
(2 1)
x
x
−
= +
2
(3 2 ) (4 3)
x x dx I
x
+
=
+
∫
16)
4
( 2)
x
x
=
+
3
1 ( 1)
x
x
−
= +
2
4 ( 1)
x
x
−
=
−
∫
Phương trình bậc ba có một nghiệm đơn:
19) 19 22 5
x
x x x
+
=
+ +
1
x
x
+
=
−
1
x dx I
x
= +
∫
22)
2
1 ( 3)
x
+
=
+
(2 3)( 1)
x
+
=
2
(3 1)(1 2 )
x
−
=
∫