LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân P x Q x =∫ Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số Px lớn hơn Qx thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậ
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
( )
P x
Q x
=∫
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số
II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
2
2
( )
+
ax b
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
2
1 1
∫
a du
C u u
Nếu
( )
+ + −
1
−
bm n
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải
Chú ý:
Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt
t b x
dt adx
−
=
=
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
I
=
dx I
=
dx I
=
Hướng dẫn giải:
−
+
−
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
−
=
2
x
−
=
x
−
=
∫
Hướng dẫn giải:
a)
Tài liệu bài giảng:
04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Cách 1:
Đặt
= −
4
x
+
Cách 2:
2
1
2
−
2
2
b)
2
+
c)
Cách 1:
Đặt
3
t t
x
+ +
−
=
6
Cách 2:
−
6
TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm
( )
−
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
2 2
1
1 arctan
∫
a
C
Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:
β
b
2
2
α β
−
b
α
β
ax b
a
−
∫
Trang 3LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
I
=
dx I
=
dx I
=
∫
Hướng dẫn giải:
a)
2
d x
b)
+
c)
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
+
=
+ +
x
−
=
4
2
−
=
∫
Hướng dẫn giải:
+
2
2
x
x
+ +
2 2
1
d x
x
x
+
∫
4
x
b)
1
4
−
2
2
5
c)
3
25
32 2
−
Trang 4( )
2
2
6
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán
là xử lý mẫu số
Nếu
2
2
2 2
2
arctan
α
1
∫
∫
du
u u
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
−
=
x
+
=
2
x
+
=
∫
10)
2
=
2
=
x
−
=
∫
13) 13 22 3
x
−
=
2
x
+
= + +
dx I
=
− +
∫
16) 16 22 1
4
x
−
=
− +
x
+
= + +
1
x
+
=
− +
∫
III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và
đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào
biểu thức của tử số là bậc mấy)
( )
( )
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên
Chú ý:
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của mẫu số
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
dx I
=
2
1
x x
+ −
=
−
4 2
2
=
+ −
∫
Hướng dẫn giải:
a)
I
Ta có
Trang 5LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
1 5 0
1
30
1 6
A
C
= −
= + +
=
Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán, suy nghĩ:
1
+ − −
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b)
1
x x
−
Cách 1: Ta có ( )( )
2
2
6
2
5 2
A
A
C
= + +
=
∫
Cách 2:
2
2 1
x x
+ −
−
3 3
−
−
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!
c)
2
Với
2
2
+ −
Ta có
2
2
7
2
A
A
C
= + +
∫
Trang 6Vậy
2
3
x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
dx
I
x x
=
−
x
+
=
2
1
+ +
=
∫
x
+
=
x
x x
+
=
−
2
x
=
∫