01 kien thuc co ban ve KSHS p1 (1)

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng 1.. Sự biến thiên của hàm không có tham số + Tìm tập xác định của hàm số.. + Lập bảng biến thiên hoặc chỉ cần bảng xét dấu ' y và kết luận trên cơ sở các

Trang 1

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Sự biến thiên của hàm không có tham số

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính ' y và giải phương trình ' y =0 để tìm các nghiệm

+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu ' y ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn

Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức

Ví dụ 1: [ĐVH].Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:

a) y= −2x3+3x2+1. b) y=x3−3x2+3x+1

c) y=x4−2x2−1 d)

2

5 4 3

x

Lời giải:

a) y= −2x3+3x2+1

Tập xác định: D = R

1

x

=



=



Bảng xét dấu của đạo hàm:

x −∞ 0 1 +∞

'

y − 0 + 0 −

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞)

b) y= −x3 3x2+ +3x 1

y′= x − x+ = x− ≥ → ≥ ∀ ∈y′ x D

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định

c) y=x4−2x2−1

1

x

=



= ±



x −∞ −1 0 1 +∞

'

y − 0 + 0 − 0 + Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1)

d)

2

5 4 3

x

1

2

x

= −





 =



Do ( )2

x+ ≥ ∀x nên dấu của 'y chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2)

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

x −∞ −1 1 2 +∞

'

y + 0 + 0 − 0 + Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2)

Ví dụ 2: [ĐVH].Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:

a) 1

x

y

x

+

=

2

1

y x

= +

c) 1 2

1

x

= − +

2

x y x

+

=

−

Lời giải:

a) 1

x

y

x

+

=

−

Tập xác định: D = R \ 1 { }

Đạo hàm:

( )2

4 0,

x

−

b)

2

1

y

x

=

+

Tập xác định: D = R \ { } − 1

2

0

2

x

=

= −

x −∞ −2 −1 0 +∞

'

y + 0 − || − 0 + Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0)

c) 1 2

1

x

= − +

+

Tập xác định: D = R \ { } − 1

Đạo hàm:

( )2

2

1

x

d) y= x2−2x+2

Hàm số xác định khi 2 ( )2

x − x+ ≥ ⇔ x− + > ∀ x → =D R

′

x −∞ 1 +∞

'

y − 0 + Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1)

e) y= 2x−x2

Hàm số xác định khi 2x−x2≥ ⇔0 x x( − ≤ ⇔ ≤ ≤ 2) 0 0 x 2 → =D [ ]0; 2

Đạo hàm: ( 2)

′

Trang 3

x 0 1 2 '

y + 0 − Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

f) 2 1

x

y

x

+

=

−

Hàm số xác định khi

1

2

3

D x

x



Đạo hàm:

2

x

− − +

2

− 2

3 +∞

y’ − || −

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên 1 2;

2 3

−

  và

2

3

+∞

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

3) y= −2x3+3x2+2. 4) y=x3−3x2+3x−12

7) y=x3+x2+2x−2. 8) y=2x+3 x2+1

9) 1

2

x

y

x

+

=

1

x y x

−

= +

11) 1

x

y

x

−

=

2

1

y x

= +

13) y x 1

x

1

x

+

Dạng 2 Sự biến thiên của hàm có tham số

,

f x =ax + +bx c gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2

+ Nếu a > 0: ( )

( )

2 1

0 0

f x

>



> ⇔

<



< ⇔ < <

+ Nếu a < 0:

( ) ( )

2 1

0 0

f x

> ⇔ < <

>



< ⇔

<



0

a

> ∀ ∈ ⇔

∆ <

0

a

< ∀ ∈ ⇔

∆ <



α β 0

α β

0, α;β :

a

< < <



> →

< < <

< → < < <

0

α β

a

> → < < <

< →

< < <



Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm m để hàm số

Trang 4

a) 3 2 ( )

1 3

x

y= −x + m− x+m đồng biến trên R

3

y= − x +mx + m− x+ nghịch biến trên R

2 1

3

Lời giải:

3

x

Hàm số đồng biến trên R khi y′≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ −0, x R ′ 0 1 (m− ≤ ⇔ ≥1) 0 m 2

Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2

3

y= − x +mx + m− x+ → = − +y′ x mx+ m−

y′≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔x R ′ m + m− ≤ ⇔ − − ≤ ≤m − +

Vậy hàm số đồng biến trên R khi 3 17 3 17

1

3

Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ ∀ ∈0, x R

Khi m− = ⇔ = 1 0 m 1 → =y′ 2x+1

Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên 1;

2

− +∞

  nên không thỏa mãn yêu cầu

Khi

1 0

m

− >

′

1

2

1

2

m

m m

>





≥



 ≤





Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1) Tìm m để hàm số 3 2 ( )

1 3

x

y= −x + m− x+m đồng biến trên R

2) Tìm m để hàm số 3 2 ( )

y=x − mx + m− x+ đồng biến trên R

3) Tìm m để hàm số 1 3 2 ( )

3

y= − x +mx + m− x+ nghịch biến trên R

4) Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( ) 5

x

y= + m− x + m− x+ đồng biến trên R

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I

+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng biến thiên được chặt chẽ hơn

Trang 5

Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a) y=2x3+3x2−36x−10 b) y=x4+2x2−3

c) y=2x2−x4. d) 1 4 3 3

4

Lời giải:

a) y=2x3+3x2−36x−10

2

x

= −



=



Bảng biến thiên:

x −∞ −3 2 +∞

'

y + 0 − 0 +

y

71 +∞

−∞ −54

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54

b) y=x4+2x2−3

y′= x + x= x x + → = ⇔ =y′ x

x −∞ 0 +∞

'

y − 0 +

y

+∞ +∞

−3

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3

c) y=2x2−x4

1

x

=



= ±



x −∞ −1 0 1 +∞

'

y + 0 − 0 + 0 −

y

1 1

−∞ 0 −∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞)

Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0

d) 1 4 3 3

4

Trang 6

Đạo hàm: 3 2 2( ) 2( ) 0

3

x

=



=



Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

x −∞ 0 3 +∞

'

y − 0 − 0 +

y

+∞ +∞

15

4

−

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3)

Hàm số đạt cực tiểu tại 3; 15

4

Ví dụ 2: [ĐVH].Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a) y=x 1−x2 b) y=2x+3 x2+1 c) 1

3

x y x

+

= +

Lời giải:

a) y=x 1−x2

1−x ≥ ⇔ − ≤ ≤ 0 1 x 1 → = −D 1;1

Đạo hàm:

2

−

x −1 1

2

− 1

2 +1 '

y − 0 + 0 −

y

0 1

2 1

2

− 0

Hàm số đồng biến trên 1 ; 1

−

 ; hàm số nghịch biến trên

1 1;

2

− −

1

;1 2

Hàm số đạt cực đại tại 1 ; 1

b) y=2x+3 x2+1

Đạo hàm:

2

+ +

0

2

5

x

x x

<



= ±

Giới hạn:

Trang 7

x −∞ 2

5

− +∞

'

y − 0 + 0

y

+∞ +∞

5

Hàm số đồng biến trên ; 2

5

−∞ −

 ; hàm số nghịch biến trên

2

5

+∞

Hàm số đạt cực tiểu tại 2 ; 5

5

c) 1

3

x

y

x

+

=

+

Hàm số xác định khi x+ > ⇔ > − 3 0 x 3 → = − + ∞D [ 3; ]

1 3

x x

x

+

+ +

x −3 +∞

'

y +

y

+∞

−∞

Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:

1) y=3x2−2x3 2) y=x3−2x2+2x−1. 3) 1 3 4 2 15

3

4)

4

2 3

2

x

4

2 3

x

DẠNG 2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II

+ Tính '' y tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận

Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,

hàm siêu việt, hàm vô tỉ

Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

2

Lời giải:

Trang 8

a) y=sin 2x−x.

y′= x− → = ⇔y′ x= ⇔ x= ± +k → = ± +x k

Đạo hàm bậc hai:

4sin 2

′′ + = −  + = − <

′′ − + = − − + = >

b) cos 1cos 2

2

x





Đạo hàm bậc hai: y′′ = −cosx−2cos 2x

+ Nếu

2

+ Nếu

3

1 2

2





Hàm số đạt cực tiểu tại

3

1

4



c) y= +x 2x−x2

2x−x ≥ ⇔ ≤ ≤ 0 0 x 2 → =D 0; 2

Đạo hàm:

2

2 2

1

x

≥





2

1

2

1

x

≥





≥





Đạo hàm bậc hai:

2 2

1 2

0 2

x

y

−

′

−

Trang 9

Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 2; 1 2

2

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:

1) y=x x2−4 2) y= x2−2x+5 3) y= −x 4sin2x

2 4

x y x

−

=

−

DẠNG 3 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

+ Hàm số có cực trị khi ' y =0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của ' y =0

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi ( )

( )00

0 0

y x

′





′′ <



+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi ( )

( )00

0 0

y x

′





′′ >



Ví dụ 1: [ĐVH].Cho hàm số y=x3−3mx2+2x−3m+1 Tìm giá trị của m để

a) hàm số có cực trị

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3

c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2

d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1

Lời giải:

a) Ta có y′ =3x2−6mx+2

Hàm số đã cho có cực trị khi 'y =0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm

6

3

m



>



′

⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > ⇔

< −





m> m< − thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình 'y =0

Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

2 2 3

x x







=



Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3

1 2

3

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

c) Ta có y′′ =6x−6m

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi ( )

( )

7

6

2

m m

y

m



′

− >

′′ > 

Trang 10

Giá trị 7

6

m= thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm

d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi ( )

( )

5

6

1

m m

y

m



′

− − <

′′ − < 

6

m= − thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm

Bài 1: [ĐVH].Cho hàm số 1 3 2 ( )

3

y= x +mx + m+ x+ Tìm giá trị của m để

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2

Bài 2: [ĐVH].Cho hàm số 1 3 2 ( )

3

y= x +mx + m+ x− Tìm giá trị của m để

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1

3

+

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 3: [ĐVH].Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?

a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4

b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1

Bài 4: [ĐVH].Tìm a, b để hàm số

a) y = ax4+ bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểmx= 3

b)

2

y

=

+ đạt cực trị tại x = 0 và x = 4

c)

2

1

y

x

=

+ đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1

Bài 5: [ĐVH].Tìm m để hàm số

a) y=x3+2(m−1)x2+(m2−4m+1) (x−2 m2+1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho ( 1 2)

1 2

3

y= x −mx +mx− đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1−x2 ≥8

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

y= mx − m− x + m− x+ đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	189,93 KB