Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận n
Trang 1Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:
Tính đạo hàm ' y rồi tính tiếp '' y
Giải phương trình '' y =0, từ đó tìm được tọa độ điểm uốn
Xét dấu của '' y để kết luận:
+ nếu '' y >0 thì đồ thị hàm số lõm
+ nếu '' y <0 thì đồ thị hàm số lồi
Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau:
4 2
2
Ví dụ 2: [ĐVH].Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn
Ví dụ 3: [ĐVH].Tìm m để hàm số
2
3 3
1
x
m
= + + nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1: [ĐVH].Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5
b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3
Bài 2: [ĐVH].Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y=x4−2x3−6x2+mx+2m−1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)
b)
3
x
y= − −x +mx+ có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2
Bài 3: [ĐVH].Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1
b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành
c) y = x3– 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy
IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
2
0
0
+∞ >
+ + = + + + =
−∞ <
khi a
khi a
0 0
0
1 lim 1
lim
1 lim
+
−
→
→
→
= → =
= +∞
= ∞ →
= −∞
n
x x
x
x x
x
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2
1
1
0;
;
−
−
−
+ + + + = ∞ <
x
n m
a
b
2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )
f x
f x
→ = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải
f x
→ = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái
Cách tìm tiệm cân đứng:
Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm
số đã cho không xác định
Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau
a)
2
9
x
y
x
=
2
x y
+
= + −
Hướng dẫn giải :
a) Ta có
2 3
9
→±
= ∞ → = ±
−
x
x
x x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
5
=
+ − = ⇔
= −
x
x
Ta có
2 1
2 5
2 lim
1; 5 2
lim
→
→−
= ∞
+ −
→ = =
+
x
x
x
x
là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: [ĐVH].Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2
3
−
= + +
x y
Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 0 9 4 0 9
4
⇔ ∆ < ⇔ − m< ⇔ >m
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm x = 2
Điều đó xảy ra khi
2
9
9 4
9
10 4
∆ = ⇔ − = ⇔ =
= − ≠ ⇔ − ≠
∆ > ⇔ − > ⇔ <
+ + = ⇔ = −
m b
x a
m
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2
Khi đó ta có
2
10
∆ > ⇔ − > ⇔ < <
→
+ + ≠ ⇔ ≠ − ≠ −
m
3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )
x
→∞ =
Cách tìm tiệm cân ngang:
Trang 3Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
2
2
+ + →+∞
+ + = + + = + + =
− + + →−∞
Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
+
=
−
x
y
3 2 1
−
= +
x y
1
+
=
− +
x y
x x
d)
2
2
3
+
=
−
x
y
1
+
= +
x y x
Hướng dẫn giải : a) Ta có
3
2
lim
→ + = +∞→ =
−
x
x
x
x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Mặt khác,
1 1
3
+ + = = → =
y x
x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
b) Ta có
1
3 2
1
→−
− = +∞ → = − +
x
x
x
x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Mặt khác,
3 2
3 2
1 1
1
−
− = = − → = −
y x
x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
1
→
+ = +∞ → =
− +
x
x
x
x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Mặt khác,
2 2
2
1
+
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
d) Ta có
2
3
2
3
→ + = +∞→ =
−
x
x
x
x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Xét
2
2
Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được
3
x
x
x
là tiệm cận ngang
Khi x→−∞ thì |x| = −x nên ta được
3
= = − → = −
x
x
x
là tiệm cận ngang
e) Xét
2
2
2 2
3 3
x x
Trang 4
Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được
1 1
+
1
2
y
⇒ = là tiệm cận ngang
Khi x→−∞ thì |x| = −x nên ta được
1 1
+
2
−
=
y là tiệm cận ngang
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Định nghĩa:
Đường thẳng y = ax +b được gọi là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị y = f(x) khi lim [ ( ) ( )] 0
x
Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc
Cách 1:
x
f x a
x
→∞
=
x
→∞
Cách 2:
= = + + ⇒ − + =
( )
r x
h x
Ví dụ 2: [ĐVH].Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a)
2
1 2
y
x
+ +
=
2
y
x
− + +
=
2
2
y x
+ +
= +
Hướng dẫn giải : a)
2
1 2
y
x
+ +
=
−
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2
+) Ta có
2
+ +
2
x
− là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
b)
2
y
x
− + +
=
+
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là 1
2
x= −
+) Ta có
2
− + +
x
+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
c)
2
2
y
x
+ +
=
+
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x= −2
+) Ta có
2
Trang 5Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
2
x
+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ví dụ 3: [ĐVH].Tìm m để đồ thị hàm số
2
1
y
x
+ −
= + có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
diện tích bằng 4
Hướng dẫn giải :
+) Ta có
2
+ −
Đồ thị có tiệm cận xiên khi m≠0
Với m≠0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d)
+) Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra 2 ;0 , (0; 2)
2
m
−
Ta dẽ dàng tính được 2 ; 2
2
m
2
OAB
2
2 2
m m
m
=
⇔ − = ⇔ − = ⇔
= −
Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 4: [ĐVH].Cho hàm số
2 1
1
m
x
+
= + + −
+ Tìm m biết rằng
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1
17
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH].Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
1
x
y
x
+
=
1 1
y x
=
1 4
y x
=
−
d) y 1 12
x
2
3 3
x y
x
−
=
2 2 1
x y x
+
=
−
Bài 2: [ĐVH].Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau :
1)
2
2
y
x
+ +
=
2
1
x y x
=
2
2
1
y x
+ +
= +
4)
3
2
2
1
x
y
x
+
=
2
x y
=
2
2
5 3 1
x y
x
−
=
−
7)
2
1
y
−
=
1
y x
=
2 1
y= x + +x
2
2 4
= +
x y x
2 1
x y
= + +
13) y= −x x2−4x+1 14) y=2x+ +1 4x2−2x+1 15)
2
x y x
+
=
−
16)
2
2
x
y
− −
=
2
2
1
y
x
− +
=
−
19) y=2x− +3 x2+ +x 4 20) y= 3x2−2x+4
Bài 3: [ĐVH].Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
b)
2
2x mx 4
y
+ −
=
1
mx y
+
=
3
2
1
mx y
−
=
− +
Trang 6Bài 4: [ĐVH].Tim m để đồ thị hàm số
2
1
y
x
+ + −
=
+ có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2)
Bài 5: [ĐVH].Cho hàm số
2
2x (m 1)x 3
y
+ + −
=
+
a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y=x2+3
Bài 6: [ĐVH].Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số
a)
2
1
y
x
+ − + −
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
b)
2
1 1
y
x
+ −
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
c)
2
1
y
x
+ − +
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 7: [ĐVH].Cho hàm số 2
1
y mx
+
=
− Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận
cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
Bài 8: [ĐVH].Cho hàm số
2
1
y
x
+ + − +
=
+
Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R= 2
Bài 9: [ĐVH].Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận luôn là một hằng số
a)
2
1
1
y
x
− +
=
2
3
y x
+ −
=
2 7 3
y x
+ −
=
−