Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm của AI, với I là trung điểm của BC.. b Tính cosin của góc giữa hai đường t
Trang 1Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 2, hình chiếu của S lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI, (với I là trung điểm của BC) Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng
3
3
3
a
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AG và SB
Lời giải:
a) Ta có: ( )2
2
ABC
+)
.
S ABC ABC
V = SH S = SH = ⇒SH = a
AI = = ⇒HI =
2
7 cos
39
SBH
+ góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là α
39
α =
b) Dựng GK/ /SB ta có: 1 78
GK = SB= a, 2 2 2 58
6
a
AK =IK +AI ⇒ AK =
+
KG GA
Câu 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông Gọi M, N là trung
điểm của SB, AD Biết góc giữa đường thẳng MN và đáy ABCD bằng 300, và MN =2a 3
a) Tính thể tích khối chóp MNBCD theo a
b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và NI, với I thuộc AB sao cho AI = 2IB
Đ/s:
3
12
=
MNBCD
a V
Lời giải:
BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2a) Gọi K là trung điểm của AB ta có: MNK =300
MK =MN =a ⇒SA= a
M NBCD NBCD
ND BC
3
a
a
a
+
b) Dựng BE/ /NI ⇒CE=2ED
+) SB= SA2+AB2 =a 30
+) SE= SA2 +AE2 = SA2+AD2+DE2 =a 32
+) BE= BC2 +CE2 =a 26
SB BE
Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Biết SO vuông góc
với đáy, SA tạo với các mặt phẳng (ABCD), (SBC) các góc φ bằng nhau Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC) và
2
=a
HB Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa SA và (ABCD)
Đ/s:
3
2
Lời giải:
+) Trong mp(SBC) dựng Bz/ /SO Hạ AH ⊥Bz
AH SBC
AH BC
⊥
⇒ ⊥
⊥
ϕ
= = ⇒ =
2
a
AH = AB −HB =
2
SH SA AH ASH
+)
2 3
3
SABC ABC
Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a; BC =a 3, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM và cosin góc giữa hai đường thẳng MN, AB
Đ/s:
3
; cos( ; )
Lời giải:
Trang 3Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
+) Tính thể tích khối chóp A.BCNM
2
AC= a SB=a AM = ⇒SM = MB= AN =SN = SC=a
3
.
.
S AMN
S ABC
V
Vậy
3
a
V =V −V = V =
+) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng MN, AB:
SA BC
⊥
⊥
Lại có: AM ⊥SB⇒AM ⊥(SBC)⇒AM ⊥MN
5
Từ B kẻ BP MN// ⇒(AB MN; )=(AB BP; )
Do BP MN// MN SM
BP SB
BP
SB = ⇒ =
AB BP AP
AB MN ABP
AB BP
+ −
; cos ;
A BCNM
a
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi M, N là trung điểm của BC, SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E Tính thể tích khối chóp S.ABE
theo a
Lời giải:
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là tâm đáy ABC ⇒SH ⊥(ABC)
2
SA ABC =SAH = ⇒SH = SA=
3
.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABE
2
CK EK MK BE
SK SE
=
Ta có:
3
.
1
S ABE
S ABE
S ABC
V
Trang 4Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Gọi M, N là trung điểm của SB, SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E Tính thể tích khối chóp S.AMEN
theo a
Lời giải:
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi O là tâm đáy ABCD⇒SO⊥(ABCD)
2
SA ABC SAO SO AO
3
.
a
b) Tính thể tích khối chóp S.AMEN
2
SM SN MN
SB = SD = BD =
2
OI AE⇒EI = EC AC = AO
Gọi K =SO∩MN, khi đó ta có:
( )
2
KE OI
SE SI
SO SK
→ ⇒ =
=
1 & 2
3
SE SC
⇒ =
V = V = SA SB SC = . 1 . 3 6
a
Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , mặt bên SCD hợp với đáy một góc 600 Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG
Lời giải:
+) Dựng GE/ /AD⇒CE=2ED Khi đó GE⊥CD
60
SG⊥CD⇒SEG= 2 2
a
GE= AD=
3
o a
SG=GE = =h
+)
3 2
S ABCD ABCD
+) Trong mf SAC( ) dựng GK/ /SA
+) Ta có
2 2
= + = + =
a
GK SA
.+)
2 2
a a
BO SG
⊥
⊥
Trang 5Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
+)
2 2
,
SC= SG +GC = + = ⇒CK = SC= OC=
GC
SC
GBGK
Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
cóAB=2 ,a CD=a Gọi I là trung điểm của AD, 2
2
a
SI = vuông góc với đáy và cạnh SC tạo với đáy
một góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng 0 ( )SIC
Lời giải:
SI ⊥ ABC ⇒SCI = ⇒IC =SI
a
IC=a = ID +CD ⇒ID=
1
S ABCD
V = SI + AD= dvtt
+) Dựng CK/ /AD⇒CK = AD=a 2
+) Ta có: BC2 =CK2+KB2 =3a2
2
IB =IA +AB = a =IC +BC suy ra tam giác
ICB vuông tại C do đó BC⊥IC
3
KB
BC
+) Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( )SIC là α với sin 1
3
3
CE
E BA CI BE a BEC
BE
= ∩ ⇒ = ⇒ = =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S
xuống (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho 1
3
AH = AB Biết diện tích tam giác SAB bằng
2
3 2
a
Tính góc giữa
a) (SA; BC)
b) (SB; AC)
Bài 2: [ĐVH] Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C, CA = CB = a, SA
vuông góc với đáy ABC, SA=a 3; D là trung điểm của cạnh AB Tìm góc giữa:
a) (SD AC; ) b)(SD BC; )
Trang 6Đ /s: a) (; )≈105, 5o
SD AC b) (SD BC; )= 74,5o
Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết AB = BC = a;
AD = 2a Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; SH =a 3 Tính góc giữa
a) (SC; AB)
b) (SA; BD)
Đ/s: ( ) 66 ( ) 10
a SC AB = b SA BD =
Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho AB = 3AH Biết S SAB =a2 Tính góc giữa
a) (SA; BD)
b) (SC; BM), với M là trung điểm của AD
Đ/s: () 0 ( ) 38
19
a SA BD ≈ b SC BM =