Luận văn phép Biến đổi Fuorier

Các phép biến đổi làm nhiệm vụ này, chúng chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang các miền toạ độ khác nhau miền tần số, miền toán tử P, miền rời rạc Z...và ngợc lại.. Cũng vậy biế

Chơng I Tổng quan về các phép biến đổi

Ta có thể so sánh một lăng kính giống nh một phép biến đổi Fourier mà việc phân tích ánh sáng mặt trời trong nó có phổ mà ta nhìn thấy nó có mầu khác nhau (tức là có tần số là khác nhau) Sau đây phép biến đổi cũng cho biết sự hợp thành của một tín hiệu trong việc xây dựng các khối hoặc có hàm cơ bản của miền biến đổi Trong miền Fourier, các khối xây dựng là hình sin Tín hiệu có biểu diễn duy nhất trong miền Furier giống nh tổng liên tiếp của các hình sin của các biên độ khác nhau, các tần số và pha Trong một sự tham gia nửa biến đổi Walsh đơn giản có hàm cơ bản là sự biến đổi có độ rộng xung trình tự của biên độ là ± 1 nh trong hình 1 - 1 ở đây nó đợc thừa nhận ngoại trừ sự tiêu hao tổng hợp mà S(t) là của khoảng thời gian tồn tại từ t = 0 tới t =

s(t) = +∞∫

∞

−

dt e t

lớn của S(ω) là tổng số của ejωtmà S(t) chứa đựng Vì vậy mà sự tơng quan chéo của S(t) với e−jωt ta đợc kết quả là S(ω) Một sự đơn giản tơng của (1.1)

1

β α

số trọn nh biển đổi riêng biệt Một vấn đề nữa tính chất biển đổi của hàm Walsh và sự thích hợp trong việc ứng dụng nó Những nguyên nhân để ta da

đến các biến đổi khác nhau của tín hiệu là có nhiều nguyên nhân Do đó cần

có các phép biến đổi tín hiệu khác nhau Mỗi phếp biến đổi sẽ cho ra những u nhợc điểm riêng và thích hợp cho từng loại tín hiệu mà ta áp dụng Các phép biến đổi khác nhau nh phép biến đổi Fourier (nh đã nói ở trên), phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Z

Biến đổi Laplace là sự tổng hợp của phép biến đổi Fourier và nó diễn tả hàm X(t) nh trọng lợng tổng liên tiếp của các hàm cơ bản est Nh vậy công htức của biến đổi Laplace là:

X(t) = +∞∫

∞

−

ds e s

X( ). st. (1.1.6)

ở đây hàm tỷ trọng X(s) là biến đổi Laplace của X(t) và s là đại lợng phức hay còn gọi là tần số phức

Nh đơn giản nhìn từ (1.6), phép tính tơng đơng trong miền Laplace, sự

vi phân hoặc tích phân của X(t) trong miền thời gian đợc nhận bởi s hoặc 1/s

Nh vậy biến đổi của Laplace trong miền vi- tích phân tuyến tính sẽ thay đổi nó trong phơng trình đại số Nghĩa là từ một phơng trình vi- tích phân phức tạp bằng việc biến đổi Laplace đã biến đổi đợc về phơng trình đại số đơn giản để tính toán Kết quả quan trọng này là cơ sở của việc phân tích hệ thống tuyến tính bằng biến đổi Laplace

Mới hơn nữa là với sự áp dụng của phép biến đổi Fourier nhanh (Fast Furier Transzitor) ký hiệu là FFT Sự áp dụng phép biến đổi này đã làm cho tốc độ tính toán tăng lên trong miền tần số, cho hoạt động của miền thời gian via dụ nh tổng chập và sự tơng quan modem ra đa và thiết bị thu định vị âm thanh Việc da vào sử dụng phép biến đổi FFT là rất cần thiết để sử lý tín hiệu

và các hàm nh bộ lọc phù hợp và búp hớng đợc trình bày trong miền tần số Các phép biến đổi tín hiệu bởi công dụng của việc mang lại sự xen kẽ đại diện Thờng thì việc tìm là phơng pháp đặc biệt của tín hiệu thì khó khăn hoặc không tìm đợc trong miền gốc Sự tồn tại và xác định vị trí của chu kỳ phức, phổ và mẫu pha cho ví dụ đặc trng có lợi trong miền tần số cho sự tách sóng

và phân loại tín hiêụ Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi là việc nén tín hiệu Cùng với Φ là ma trận Nx W mà các thành phần của nó là ví dụ điển hình của hình ảnh Sự biến đổi đợc cho từ công thức

1.3 ứng dụng của phép biến đổi tín hiệu

Các tín hiệu của quá trình đo lờng điều khiển Ví dụ dòng điện, điện

áp nói chung là các đại lợng có độ lớn biến đổi theo thời gian và đợc ký hiệu là X(t) Ta gọi chúng là tín hiệu trong miền thời gian cho chúng ta hình

ảnh của tiến trình tín hiệu Để giúp quá trình sử lý tín hiệu, chúng ta thờng quen dùng các phép biến đổi nhằm cung cấp thêm những thông tin cần thiết cho quá trình sử lý và làm tăng hiệu quả xử lý của chúng Các phép biến đổi làm nhiệm vụ này, chúng chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang các miền toạ độ khác nhau miền tần số, miền toán tử P, miền rời rạc Z và ngợc lại Tơng ứng với các toạ độ này, ta có biến đổi Fourier, biến đổi Laplace rời rạc các kỹ s điện đã rất quen thuộc với biến đổi Laplace, nó giúp chúng ta chuyển chơng trình tích phân của tín hiệu theo thời gian thành phơng trình đại

số với toán tử P Cũng vậy biến đổi Fourier là công cụ hiệu quả cho phép chuyển phơng trình vi tích phân của hàm tín hiệu theo thời gian thành các ph-

ơng trình đại số với số phức j

Một câu hỏi đặt ra là tại sao chúng ta lại cần quan tâm đến các thông tin trong miền tần số f ? Để trả lời câu hỏi này chúng ta hãy lấy ví dụ cho các tín

hiệu trong điện tử y học Điện tâm đồ và đồ thị ghi nhịp đập của tim theo thời gian Đồ thị biểu diễn điển hình của chúng cho ta thông tin về tình trạng sức khoẻ và sai khác của điện tâm đồ của ngời bệnh so với dạng chuẩn của nó, qua

đó cho ta biết tình trạng sức khoẻ của ngời bệnh Các máy điện tâm đồ đi kèm theo máy tính còn có bộ phân tích nhịp tim theo tần số Ngời ta có thể dự báo chính xác hơn về một số bệnh căn cứ vào các tần số chứa trong điện tâm đồ

Biến đổi Fuorier đợc sử dụng rông rãi trong kỹ thuật cũng nh mọi kỹ thuật biển đổi khác Chúng có những u điểm và phạm vi ứng dụng nhất định

và biến đổi sóng WT cũng không phải trờng hợp ngoại lệ

bản 2.1 Biến đổi Laplace

Nh ta đã đề cập trong mục (1.2) tức là để xây dựng các phép biến đổi thuận nghịch Laplace chỉ việc thay cặp biến đổi Fourier đối số jω bằng một

biến số phức s (có thể đặt s = δ + jω) Nh vậy ta có công thức biến đổi

Laplace thuận nghịch nh sau:

F(s) = +∞∫

∞

−

− dt e t

j c

st ds e s F

Với cách thay biến số nh vậy, các phơng trình của mạch viết theo tần số

đã trở thành dạng toán tử trong đó các phổ tần đợc thay bằng các ảnh Laplace Vì vậy việc giải các bài toán trở nên đơn giản hơn Về mặt kỹ thuật việc chuyển các hàm số từ gốc sang ảnh và ngợc lại có thể đợc tiến hành nhờ các bảnh đối chiếu gặp trong các cuốn sách tra khảo kỹ thuật Dới đây là một

1

dt t f s F s

) (

* f(t-a) 1(t-a) e-asF(s)

2.2 Biến đổi Fourier (FT)

e n

2 ) tức là liên tục ảo jω là biến số ảo Nh vậy ta thấy rằng

X(ejω) sẽ là một hàm phức của biến số ω Theo quan điểm toán tử, chúng ta

dùng tín hiệu toán tử (FT) nh sau:

FT [x(n)] = X(ejω)

x(n)  →FT X(ejω)

tức là toán tử FT tác động vào x(n)sẽ cho X(ejω)

b Điều kiện tồn tại của biến đổi Furier.

Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (1.8) hội tụ Ta có thể phát biểu điều kiện hội tụ của chuỗi này nh sau:

Chuỗi trong (1.8) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau:

Ex =

2 2

) ( )

n

n x

Vậy nếu năng lợng Ex của tín hiệu x(n) là hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn

điều kiện (1.9) tức là ta có thể nói rằng

Biến đổi Fourier của tín hiệu số có năng lợng hữu hạn là luôn luôn tồn tại

c Biến đổi Fourier ngợc (IFT)

Chúng ta biết rằng X(ejω) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có

chu kỳ 2π và X(ejw) tồn tại nếu điều kiện (1.9) đợc thoả mãn Vậy chúng ta có thể khia triển hàm X(ejω) thành chuỗi Fourier trong khoảng (-π,π) vì thế chúng ta có thể tím thấy các giá trị của x(n) từ X(ejω)

e n

Đây là công thức phép biến đổi IFT

Dùng ký hiệu toán tử ta có thể biểu diễn nh sau:

IFT[X(ejω)] = x(n) hoặc X(ejω)IFT→x (n)

Nh vậy ta có cặp biến đổi thuận ngợc là

Theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử ZT nh sau:

ZT[x(n)] = X(Z)x(n)  →ZT X (Z).tức là toán tử ZT tác động vào x(n) sẽ cho ra X(Z)

Từ định nghĩa ta thấy rằng biển đổi Z là một chuỗi luỹ thừa vô hạn, nó tồn tại chỉ với các giá tri Z mà tại đó chuỗi này hội tụ

b) Biến đổi Z một phía.

Biến đổi Z một phía đợc định nghĩa nh sau

n n

Z n x Z

=

∑0

- Biến đổi Z một phía và hai phía là có tính nhân quả nh sau

+ Đối với tín hiệu nhân quả thì biến đổi Z một phía là duy nhất vì tín hiệu nhân quả bằng 0 với n < 0

+ Về mặt ký hiệu, để phân biệt với b đổi Z hai phía ta ghi số 1 ở phía bên trái X1(Z), ZT1 số 1 có nghĩa là một phía

c Mặt phẳng Z.

ở trên ta đã nói mặt phẳng Z, bây giờ ta xét chi tiết hơn

Bởi vì Z là biến số phức vì vậy ta có thể viết dới dạng phần thực và phần

ảo

Z = Re[Z] + jIm[Z]

mặt phẳng Z đợc tạo bởi trục tung Im[Z] và trục hoành Re[Z]

Ngoài ra có thể biểu diễn Z trong toạ dộ cực và Z đợc viết dới dạng sau:

Ta cũng có liên hệ giữa Re[Z], Im và r, ω nh sau:

Re[Z] = r cosω

jIm[Z] = r sinω.Ngoài ra trong mặt phẳng Z còn có một vòng tròn đơi vị Z đợc đánh giá

nh sau:

Z = ejω

Vòng tròn đơn vị đặc biệt quan trọng trong việc đánh giá các đặc tính của hệ thống số dựa vào các vị trí, các điểm cực, điểm 0, chúng nằm ở trong hay ngoài vòng tròn đơn vị

d Sự tồn tại của biến đổi Z.

- Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi

x( ) [ ( )]

hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z

- Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi

n

Z n x

hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z một phía

e Cực và không

- Trong thực tế chúng ta thờng gặp các biến đổi Z cho dới dạng một

ht-ơng số của hai đa thức cuả Z (Z-1) và nh vậy X(Z) là hàm hữu tỉ của Z

X(z) =

) (

) (

z D

z M

- Tại các điểm Zor ta có X(Zor) = 0 thì các diểm đó gọi là các không của X(Z) Vậy nghiệm của tử số M(z) chính là 0 của X(Z)

- Tại các điểm Z = Zpk ta có X(Z) = ∞ thì các điểm đó gọi là các cực

của X(Z) Vậy nghiệm của mẫu số D(Z) chính là cực của X(Z)

Nếu D(Z) là đa thức của Z bậc N thì X(Z) có N cực

f Biến đổi Z ngợc (TFT)

Thông thờng khi chúng ta có biến đổi Z, X(Z) của mọi dãy nào đó, tức

là chúng ta có biểu diễn của cặp x(n) trong miền Z, sau khi khảo sát gián tiếp dãy trong miền Z thi chúng ta cần phải đa nó về miền biến số độc lập tự nhiên, tức là chúng ta tìm x(n) từ biến đổi Z X(Z) của nó Biến đổi Z ngợc giúp chúng ta thực hiện công việc này

Biểu thức của biến đổi Z ngợc là:

j

n c

1

) ( 2

x )(

c

n dz Z Z X j

1

) ( 2

1 π

3.1 u nhợc điểm của biến đổi Fourier

Biến đổi Fuorier (Fourier Transform) viết tắt là FT do nhà toán học Pháp Joseph Fourier(1768 - 1830) đề ra từ năm 1812 và trở nên rất quen thuộc

đối với các kỹ s

Mọi hàm chu kỳ liên tục hoặc có một số giới hạn các điểm gian đoạn loại 1 bất kỳ trong miền thời gian t đợc khai triển thành một tổng vô hạn các hàm mũ phức chu kỳ

Tinh thần cơ bản của biến đổi Fuorier thuận là chuyển hàm gốc x(t) trong miền thời gian thành ảnh X(ω) trong miền tần số = 2f theo biểu thức

Tín hiệu x(t ) nhân với hàm mũ phức ở tần số f nào đó rồi đợc tích

phân từ trừ vô cùng thành cộng vô cùng nghĩa là trong suốt thời gian t Theo công thức Euler:

t j t

e jωt = cos ω + sin ω (1.3.3)

Ta nhận thấy phần thực của (3) là phần cos còn phần ảo là sin theo tần

số f Ví dụ dòng điện tần số công nghiệp f = 50 Hz đợc biểu diễn theo thời gian nh hình 1 và phổ biên – tần của nó theo biến đổi FT thuận đợc biểu diễn bằng một vạch theo trục tần số nh hình 1.2

Đặc tính biên – tần hình.1.2 cho ta thông tin là chỉ có một tín hiệu có biên độ ở tần số 50 Hz Do tính đối xứng theo trục tần số ta chỉ cần vẽ theo trục dơng của biên độ Ngoài đặc tính biên – tần ngời ta còn sử dụng đặc tính pha – tần nghĩa là biểu diễn góc pha của tín hiệu theo tần số

Hình 1.2 Tín hiệu trong miền thời gian

Hình 1.3 Đặc tính biên tần của tín hiệu

Nhờ FT, tín hiệu trong miền thời gian đợc biến đổi thành tín hiệu trong miền tần số, nhờ đó ta có thể thực hiện các bộ lọc tần số nhằm thu đợc tín hiệu mong muốn FT trở thành công cụ rất hiệu quả trong việc xử lý tín hiệu chu kỳ Ta cũng nhận thấy các phép đạo hàm và tích phân trong miền thời gian đối với x(t) trở thành các phép đại số với ảnh X(ω) Bây giờ ta xét tín

hiệu phức tạp hơn là tổng của 4 điều hoà tần số 10, 25, 50 và 100 Hz cho theo biểu thức:

x(t ) = cos10ωt + cos25ωt + cos50ωt + cos100ωt (1.3.4)

Có đồ thị thời gian cho trên hình.1.3 và phổ biên độ – tần số của chúng

Biến đổi FT của nó gồm 4 vạch cho ta thông tin rằng tín hiệu có chứa 4 tần số với biên độ cho trớc nhng không nêu rõ khi nào các thành phần tần số

đó tồn tại Tín hiệu này là tín hiệu dừng hay xác lập, nghĩa là không phụ thuộc vào thời gian

Hình 1.5 Phổ biên tần của tín hiệu

Tín hiệu dừng là tín hiệu không phụ thuộc vào thời gian và phổ biên tần của nó chỉ cho biết có tần số f là bao nhiêu mà không quan tâm đến thời điểm xuất hiện của chúng Bây giờ chúng ta hãy xét tín hiệu hình1.5 có tần số thay

đổi theo thời gian, đó là tín hiệu không dừng

Độ lớn của mỗi vạch có khi khác nhau và có thêm một số gợn sóng ở lân cận mỗi vạch So sánh phổ tần hình.1.6 và hình1.4 ta nhận thấy về cơ bản chúng giống nhau nghĩa là gồm 4 vạch Điều đó có nghĩa là biến đổi Fourier

FT không thích hợp với các quá trình không dừng có tần số thay đổi theo thời gian 2 có tần số thay đổi theo thời gian Biến đổi Fourier chỉ cho ta biết trong tín hiệu đã cho có tồn tại bao nhiêu tần số mà không cho biết khi nào thì tần

số đó xuất hiện Tín hiệu hình1.5 gồm có 4 tần số nhng xuất hiện ở 4 khoảng thời gian khác nhau Trong khoảng từ 0 ữ 300 ms có tần số 100 Hz, trong khoảng từ 300 ữ 600 ms có tần số 50 Hz, trong khoảng từ 600 ữ 800 ms có tần

số 25 Hz, trong khoảng từ 800 ữ 1000 ms có tần số 10 Hz Biến đổi FT của chúng có dạng hình 6 với các gợn sóng ở lân cận các phổ vạch 10, 25, 50 và

ở trạng thái dừng

Đầu tiên hàm cửa sổ đặt tại điểm tín hiệu khởi đầu t = 0 Giả thiết chiều rộng của cửa sổ là T, tại thời điểm này hàm cửa sổ sẽ kéo dài với T/2 giây và nhận tín hiệu với hàm này Nh vậy chỉ chọn T/2 giây của tín hiệu rồi lấy FT của tích này nh lấy FT của tín hiệu bất kỳ Kết quả của biến đổi này là FT trong T/2 giây của tín hiệu Nếu giả thiết trong đoạn này tín hiệu là dừng thì kết quả thu đợc sẽ là biểu diễn tần số của T/2 giây tín hiệu Tiếp theo sẽ nhảy

qua cửa sổ này tới vị trí mới bằng cách nhận tín hiệu và lấy FT của tích Quá trình tiếp tục cho đến khi tín hiệu kết thúc.

Biến đổi Fuorier ngắn STFT đợc định nghĩa bằng biểu thức:

STFTx =t[X(t).w* (t−t' )] exp( − t)dt (1.3.5)trong đó X(t) là tín hiệu W(t) là hàm cửa sổ và * là liên hiệp phức Ta dễ dàng nhận thấy STFT của tín hiệu là FT của tín hiệu nhận với hàm cửa sổ

Để dễ hình dung, chúng ta lấy ví dụ tín hiệu không dừng có đồ thị hình

7 gồm 4 tần số ở các thời điểm khác nhau Trong khoảng từ 0 ữ 250ms là hình sin 300 Hz, và các khoảng ngoài 250ms là các hình sin thứ tự 200Hz, 100Hz

và 50Hz Đó là tín hiệu không dừng và lấy STFT Trục x và y là thời gian và tần số và xét đờng biểu diễn theo thời gian và tần số

Đầu tiên ta nhân thấy đồ thị hình 10 là đối xứng theo giữa trục tần số vì

FT của tín hiệu luôn đối xứng Điều quan trọng là 4 điểm tơng ứng với 4 tần

số khác nhau theo trục thời gian và tần số Bây giờ chúng ta có biểu diễn tín hiệu theo thời gian và tần số, chúng ta không những biết tín hiệu gồm các tần

số nào mà còn biết chúng xuất hiện ở thời điểm nào

Hình 7: Tín hiệu không dừng

Ta biết rằng trong FT không có vấn đề về độ phân giải tần số vì ta biết một cách xác định tần số nào tồn tại cũng nh trong miền thời gian không có vấn đề

về độ phân giải theo thời gian vì đã biết rõ tín hiệu tại từng thời điểm

Hình 8: Biểu diễn tín hiệu theo thời gian và tần số

Ngợc lại, độ phân giải thời gian của FT và độ phân giải tần số trong miền thời gian bằng không vì ta không biết thông tin gì về chúng Trong STFT cửa số có chiều rộng hữu hạn và chỉ bao chùm một phần tín hiệu làm cho độ phân dải tần số trở lên kém hơn Chúng ta chỉ biết dải tần nào tồn tại trong tín hiệu mà không biết chính xác đó là tần số nào Trong FT hàm gốc cho phép nhận đợc độ phân giải tần số tốt bởi vì hàm gốc là cửa sổ có chiều rộng vô hạn nên không thu đợc độ phân giải tần số tốt Vậy tại sao ta không làm cho chiều rộng vô hạn nh trong FT để tạo lên độ phân giải tần số tốt? bởi vì khi sử dụng cửa sổ dài vô hạn trong FT để có độ phân giải tần số tốt ta sẽ mất hết thời gian, hơn nữa để có thể coi tín hiệu là dừng ta phải có cửa sổ đủ hẹp Khi cửa

sổ đủ hẹp thì độ phân giải theo thời gian tốt hơn nhng độ phân giải tần số kém hơn Ta có thể đi đến kết luận rằng trong STFT cửa sổ hẹp tạo lên độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém ngợc lại cửa sổ rộng tạo lên độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém

Trong lĩnh vực vật lý, nguyên lý bất định của Hiesenberg cho mômen

và vị trí chuyển động của các hạt cơ bản có thể áp dụng vào thông tin theo thời gian và tần số của tín hiệu Ta không thể biết các thành phần phổ nào tại thời

điểm nào đó mà chỉ biết khoảng thời gian có tồn tại một giải tần này

Để thấy rõ tác động này, ta hãy tính STFT của 4 hàm cửa sổ có chiều rộng khác nhau hàm cửa sổ này là hàm Gauss có dạng

trong đó b xác định chiều rộng cửa sổ, t là thời gian

Theo hình 9 ta thấy, khi tính STFT của cùng một tín hiệu, nếu b càng nhỏ thì độ phân giải thời gian càng tốt nhng độ phân giải tần số kém hơn Trên

đồ thị 3 chiều ta thấy 4 đỉnh phân cách rõ rệt theo thời gian Mỗi đỉnh bao gồm một giải tần thay cho chỉ có một tần số Bây giờ khi cửa sổ rộng ra thì các đỉnh không phân cách rõ nh trớc nữa theo thời gian nhng giải tần số sẽ phong phú hơn Hình 10 thể hiện đồ thị không gian 3 chiều của tín hiệu

Ví dụ trên cho ta thấy vấn dề nan giải STFT phải đối mặt là phải sử dụng cửa sổ nh thế nào Cửa sổ càng hẹp cho độ phân giải thời gian càng tốt nhng độ phân giải tần số lại kép và ngợc lại Biến đổi sóng WT khắc phục đợc nhợc điểm này

Hình 10: Hình ảnh không gian 3 chiều của tín hiệu đối với b khác nhau

3.3 Biến đổi khối (Block Transform)

Trong một vài ứng dụng và mã hoá biến đổi, tín hiệu đợc phân chia thành các khối gần kề không chồng sát lên nhau Sau đó áp dụng mã hoá biến

đổi trên mỗi khối độc lập Để thực hiện biến đổi, ta dùng một hàm cửa sổ nhân với tín hiệu là một hàm chỉ thị trong khoảng [nT, (n+1)T], chu kỳ hoá mỗi tín hiệu đã lấy cửa sổ với chu kỳ T và áp dụng khai triển nh chuỗi Furier trên mỗi tín hiệu đã lấy chu kỳ

Việc sử lý các khối một cách độc lập gây lên kết quả không mong muốn gọi là hiệu ứng Blocking Hiệu ứng blocking xuất hiện do các mẫu cuối cùng của một khối hầu nh không phù hợp với các mẫu đầu tiên của khối tiếp theo Điều này có thể hiểu là do việc phân đoạn tuỳ ý tại các điểm nT và dẫn

đến vấn đề đờng biên giả tạo Tuy nhiên cũng có những biến đổi đợc sử dụng dựa trên tính đơn giản hoá này Ví dụ biến đổi Karhunen –Loeve và phép tính xấp xỉ của nó là một trong các biến đổi khối đợc sử dụng phổ biến cho các tín hiệu rời rạc theo thời gian

Để hạn chế hiệu ứng blocking, các nhà nghiên cứu đã đa ra phép biến

đổi trực giao xếp chồng LOT Các hàm cơ sở đợc sử dụng trong biến đổi LOT dài hơn chiều dài biến đổi và có sự chuyển tiếp xung quanh giá trị không ở cuối mỗi khối trơn hơn Nh vậy, những hàm cửa sổ của một khối sẽ xếp chồng với các hàm xếp cơ sở xủa các khối gần kề Ban đầu các hàm cơ sở đợc chọn

có chiều dài gấp đôi , khi đó biến đổi LOT của một khối tín hiệu x tính đợc bằng:

X = PTxtrong đó x là khối mở rộng có 2N mẫu, P là ma trận LOT (2NxN)

Để thoả mãn yêu cầu khôi phục hoàn hảo (PR) của hệ thống, ma trận P phải thoả mãn các quan hệ:

PT P = I và PT W.P = 0trong đó I là ma trận đơn vị, W là toán tử dịch có dạng: 

3.4 Phân bố Wigner- Ville

Thay thế khai triển tuyến tính tín hiệu lá khai triển song song tuyến tính

và phân bố Wigner- Ville là một đặc trng cho kiểu khai triển đó Việc biển

diễn song song tuyến tính hay thời gian- tần số bậc hai xuất phát từ ý tởng về phổ công suất tức thời, ví dụ là ảnh phổ Ngoài ra phân bố thời gian- tần số FTf(ω,τ) của một tín hiệu f(t) có biến đổi Fourier F(ω) phải thoả mãn các tính chất đờng biên:

- Tích phân theo τ với ω cho trớc phải bằng F(ω )2và tích phân theo ω

với τ cho trớc phải bằng f(τ )2

- Phải thoả mãn tính chất biến dịch chuyển thời gian- tần số, nghĩa là:

g(t) = f(t-τ).ej ω t thì FDs(ω,τ) = TFDf(ω-ω0,τ- τ0)

- Phân bố Wigner- Ville phải thoả mãn những điều kiện trên và một số

điều kiện khác Phân bố Wigner- Ville cho một tín hiệu f(t) đợc định nghĩa:

Df(ω,τ) = f τ t f τ t .e jωt dt

2

2

Chơng II Biến đổi tín hiệu trong miền sóng con

(Wavelet- transform)

Đ 1 Biến đổi sóng con và các đặc tính cơ bản

1.1.Phơng trình cơ bản của biến đổi sóng con.

Wavelet (tức là sóng nhỏ) ở đây đợc biểu diễn là tín hiệu dao động đặc biệt có biên độ suy giảm rất nhanh đó là điều kiện để hàm cửa sổ này có chiều dài hữu hạn Thuật ngữ sóng nhỏ ở đây chỉ điều kiện hàm dao động và tắt dần nhanh hơn

Hình 11 trình bày dạng sóng đó Biến đổi sóng con đợc phát triển để giải quyết những hạn chế độ phân giải thời gian và tần số của STFT

Hình 11: Biểu diễn sóng nhỏ của Wavelet

Biến đổi sóng thuận WT đợc tiến hành tơng tự nh phân tích STFT nghĩa

là tín hiệu đợc nhận với một hàm(đó là hàm sóng Wavelet) tơng tự nh hàm cửa

sổ trong STFT và phép biến đổi đợc tính toán riêng rẽ với từng đoạn tín hiệu trong miền thời gian Tuy nhiên có hai điểm khác biệt cơ bản giữa STFT và CWT là:

* không tính biến đổi Fuorier của các tín hiệu, do đó mỗi đỉnh đơn sẽ

t t a a a

T gọi là hệ số chuyển dịch đợc sử dụng tơng tự nh trong STFT liên quan

đến vị trí của cửa sổ tơng ứng với thông tin thời gian trong miền biến đổi Tuy nhiên đó không phải là thông số tần số mà là nghịch đảo của tần số

a là hệ số tỉ lệ hay là hệ số co dãn giống nh tỷ lệ xích trên một bản đồ Nếu tỷ lệ xích trên bản đồ càng nhỏ thì thông tin trên bản đồ càng chi tiết và nếu tỷ lệ xích bằng1 thì ta có hình ảnh thật của tín hiệu Tơng tự trong miền tần số nếu tần số thấp (tỷ lệ xích lớn) ứng với thông tin tổng thể của tín hiệu còn tần số cao (tỷ lệ xích nhỏ) ứng với thông tin chi tiết vùng ẩn trong tín hiệu Tín hiệu cosin tơng ứng với các hệ số co dãn a khác nhau đợc trên hình

12 Ta nhận thấy về toán học nếu hàm f(t) đợc thay bằng f(at) thì khi a>1 hàm

bị co lại còn khi a<1 hàm đợc dãn ra

Bây giờ ta hãy xem xét kỹ phuơng trình (7) Với x(t) là tín hiệu cần phân tích sóng mẹ đợc chọn nh khuôn mẫu cho một cửa sổ của quá trình Các cửa sổ sử dụng đợc co lại hoặc dãn ra và dịch chuyển từ sóng mẹ Hai dạng sóng mẹ thờng sử dụng là sóng Morlet và hàm Mexican hat (cái mũ Mêhico) Khi đã chọn sóng mẹ phép tính bắt đầu với a=1 và biến đổi sóng đợc tính với giá trị của a nhỏ hơn và lớn hơn 1 Tuy nhiên, tuỳ theo loại tín hiệu, không nhất thiết phải phải tính hết phép biến đổi Trong thực tế, tín hiệu có miền thời gian hạn chế do đó thờng sử dụng một số giá trị của a Để thuận tiện quá trình

đợc khởi đầu với a=1 và tiếp tục tăng a nghĩa là phân tích từ tần số cao tới tần

số thấp Giá trị đầu tiên sẽ tơng ứng với sóng bị nén nhất và khi a tăng lên thì sóng dãn ra Sóng đợc đặt ở khởi đầu tín hiệu với t=0 Hàm sóng có a=1 đợc nhân với tín hiệu rồi tích phân trong suốt thời gian Kết quả tích phân này đợc nhân với hằng số 1/sqrt(a) nhằm mục đích chuẩn hoá sao cho tín hiệu đợc biến

đổi có cùng mức năng lợng ở cùng một giá trị a Kết quả cuối cùng là giá trị của phép biến đổi với t=T và a=1 trong mặt phẳng thời gian- hệ số tỷ lệ Sóng

ở hệ số tỷ lệ a=1 đợc dịch chuyển sang bên phải với giá trị ở t= T, a=1 trong mặt phẳng thời gian tần- số Quá trình đợc lặp lại cho đến khi kết thúc tín hiệu Một điểm trên mặt phẳng thời gian- hệ số co dãn với a=1 đã tính toán xong Sau đó s đợc tăng một lợng đủ nhỏ Vì biến đổi sóng thuận là liên tục cả

T và a phải tăng liên tục với bớc đủ nhỏ Quá trình đợc lặp lại với mỗi giá trị của a Khi quá trình kết thúc với mọi giá trị của a biến đổi sóng thuận đợc tính toán xong Hình 13 mô tả chi tiết quá trình này với a=5 và a=20 còn t0=20 và 140

Bây giờ chúng ta hãy xét tín hiệu không dừng trên hình 14 Tín hiệu này gồm 4 tần số 30 Hz,20 Hz,10 Hz và 5 Hz Hình 15 là biến đổi sóng của tín hiệu này ứng với hệ số co dãn nhỏ hơn (tần số cao) tần số giảm theo hệ số co dãn, do đó đoạn ứng với s gần bằng không ứng với tần số cao nhất và đoạn ứng với s cao ứng với tần số thấp nhất Lu ý rằng tín hiệu 30 Hz (tần số cao nhất) xuất hiện đầu tiên và nó xuất hiện hệ số co dãn thấp nhất và ở các dich chuyển từ 0 tới 30 Tiếp theo là thành phần 20 Hz và cứ thế tiếp tục Thành phần 5 Hz xuất hiện cuối trục dịch chuyển và ở hệ số co dãn cao hơn

Khác với STFT có độ phân giải không đổi ở mọi thời điểm và mọi tần

số, biến đổi sóng WT có độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém

ở các tần số cao, còn độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém ở

các tần số thấp Trên hình 16 ta thấy các hệ số tỷ lệ thấp hơn (tần số lớn hơn)

có độ phân giải s tốt hơn ứng với độ phân giải tần số kém hơn

Hình 12: Tín hiệu với hệ số co dãn a khác nhau

Hình 13: Qua trình tính WT với a= 5 và 20, t0=20 và 140

Hình 14: Tín hiệu không dừng

Ta lu ý trờng hợp đặc biệt khi sóng mẹ f(x) = exp(jx) và T = 0 thì biến sóng thuận trở thành:

Hình 15: biểu diễn không gian của WT

đó là số diểm của mẫu tính toán

Biến đổi sóng ngợc IWT (Invert Wavelet Transform) là qúa trình tìm lại dạng tín hiệu x(t) từ các thành phần sóng ban đầu sau khi đã co dãn và chuyển dịch Về toán học IWT đợc biểu diễn theo công thức:

A(t)=C12 (τ,a)a12 (t aυ)dτ.da

λ τ

ψ

Trong đó C là hăng số phụ thuộc vào dạng Wavelet

Ta có thể tóm tắt thuật toán biến đổi sóng thuận đã trình bày bằng sơ đồ hình 16 để chuyển hàm gốc f(t) thành các thành phần biến đổi sóng

++

WH(a2,τ2)

WH(a1,τ1)f(t)

Giai đoạn phát triển các hệ số co dãn a

Biến đổi ngợc IWT (Inverse Wavelet Transform) đợc biểu diễn bằng sơ đồ hình 17 để tìm lại hàm gốc f(t) từ các thành phần biến đổi sóng của chúng

H×nh 2.1 Sù kh¸c nhau cña STFT vµ wavelet transform

+ §iÒu biªn Gaussian ( Morlet)

( ) 2 / 2

. t t

o e

ω ω

( ) 2 2

2

2

) 4 / ( sin

2 2 /

ω

ω ω

0 C¸c gi¸ trÞ kh¸c

) 2 / (

1.2 Miền biểu diễn của biến đổi sóng con và các đặt tính.

1.2.1 miền biểu diễn.

Hình 2 - 2 Miền biểu diễn của biến đối wavelet

ứng với mỗi mức tỉ lệ j của ω thì cho ta một giá trị tơng ứng của t là

b0.0

012345678t

2,3 2,6

x * (t)

t087654321

b2,3W2,3(t)

t087654321

b2,2W2,2(t)

t087654321

b2,1W2,1(t)

123456780t

b2,0W2,0(t)

b1,1W 1.1(t)

123456780t087654321-0.5

b1,0W 1.0(t)

t0.508765432

b0,0W 0.0(t)

1t08765432

1.2.2 Tính chất của phép biến đổi wavelet và đặc điểm của nó.

-24-kk765432100,4212,433210

b0.0

012345678t

2,3 2,6

x * (t)

t087654321

b2,3W2,3(t)

t087654321

b2,2W2,2(t)

t087654321

b2,1W2,1(t)

123456780t

b2,0W2,0(t)

b1,1W 1.1(t)

123456780t087654321-0.5

b1,0W 1.0(t)

t0.508765432

b0,0W 0.0(t)

1t0876543

o 2 2

3 3

−

Hình 2 - 3 Một wavelet và phép biến đổi của chúng

a) Điều biên Gaussian Morlet

b) Đạo hàm bậc hai Gaussian.

c) Shannon.

kk765432100,4212,433210

b0.0

012345678t

2,3 2,6

x * (t)

t087654321

b2,3W2,3(t)

t087654321

b2,2W2,2(t)

t087654321

b2,1W2,1(t)

123456780t

b2,0W2,0(t)

b1,1W 1.1(t)

123456780t087654321-0.5

b1,0W 1.0(t)

t0.508765432

b0,0W 0.0(t)

1t087654321t(mức tỷ lệ m)

0

Ψ(ω)1

21

21

10

1.2

1

ψ

Hình 2.4 Wavelet haar và wavelet con của nó

Từ hình (2.3) và (2.4) chúng ta có thể suy ra tính chất của wavelet nh sau

* Tính chất 1: ψ(ω) = 0 với ω = 0 hoặc tơng đơng ∫ψ( )t dt = 0

* Tính chất 2: Chúng là giải thông của tín hiệu

* Tính chất 3: Chúng phân rã tiến tới 0 với thời gian

- Tính chất 1: là điều kiện chất nhận đợc của wavelet Đó là điều kiện

đảm bảo cho biến đổi wavelet là có biến đổi ngợc Tính chất 2 là sự kế thừa của tính chất 1 Sự phân rã nhanh của ψ(t) là không cần thiết và lý thuyết cho

ψ(t) là wavelet Tuy vậy ψ(t) trong thực tế là phải chịu đợc nén, có sự xác định

vị trí thời gian tốt

Nếu so sánh (2.2) với (1.20) chúng ta thấy sự giống nhau giữa ψ(t) của CWT và h(t).e jωt của STFT Có 4 hớng đợc nhìn từ bài toán tích phân (2.2) nó tính toán kết quả bên trong hoặc sự tơng quan chéo của s(t) với

a a

+ Nó là đầu ra của bộ lọc thông dải của xung trả lời

a a

của đầu vào

s(t) ở thời điểm τ/a Hình(2.3) là đúng với công thức (2.2) Nó cũng tính toán kết quả bên trong hoặc sự tơng quan chéo của tín hiệu tỉ lệ s(at) ở giá trị τ/a không đổi

Sự giải thích khác nhau của công thức (2.2) làm nổi lên những biện pháp khác nhau của phép biến đổi wavelet là sự chọn lựa biện pháp là tuỳ theo

t0,5

2

2

10

2 ψ t −

84

còn tơng quan chéo giữa s(t) và wavelet là tơng tự nhau về đầu ra của băng

trong bộ lọc thông giải xung trả lời

a a

và đầu ra (nh ta thấy trong hình

(2.4) Một vấn đề nữa là cần nhắc lại là tỉ lệ s(t) đợc đi qua giải thông giống nhau (hình 2.6), là phép biến đổi giống nhau đợc thực hiện đơn giản nh phép biến đổi wavelet nhanh ( fast wavelet transform) nếu có một cách đơn giản cho tỉ lệ s(t) Sự đánh giá cao s(t) và giới hạn tỉ lệ cho việc nén đợc thực hiện bởi hai khối sau mỗi khối tỉ lệ trong hình (2.6) nó trở thành bộ lọc thông thấp

sự tiêu hao cơ bản của phép biến đổi wavelet nhanh mà ta sẽ nghiên cứu ở mục sau

Hình 2.5 Mạch lọc băng của biến đổi wavelet transform

Có bốn loại khác nhau của biến đổi wavelet và không có tên cụ thể cho từng loại biến đổi đó Cách gọi tên cách loại khác nhau này tuỳ theo từng tài liệu và từng thời điểm ở đây chúng ta thống nhất gọi tên chúng thích hợp nhất là:

+ Biến đổi wavelet liên tục

a

t t s a a

0 0

2 /

) ,

t a

τψ

1 1

t a

τψ

1 1

Hình 2.6 Sơ đồ biến đổi wavelet nhanh

Cho hệ số tính toán a0 = 2 và τ0 là đợc sử dụng thông thờng kết quả trong dãy nhị phân mở rộng của 2-m và dịch dyadic của 2m.n

+ Biến đổi wavelet thời gian rời rạc (DTWT)

( ) ( )

n m

0 0

2 /

) ,

ở đây là thời gian rời rạc của công thức (2.9) với t = T.k và thời gian lấy mẫu là T = 1 Tơng tự nh dãy Fourier rời rạc ở đây cả thời gian và tần số đều rời rạc Chú ý ao = 2, có một đầu ra cho tất cả 2m mẫu khi 2-m.k là số nguyên

+ Biến đổi wavelet rời rạc (The discrete wavelet transform)

( ) ( )

n m DPWT( , ) 2 m/ 2 2 m.

ở đây wavelet rời rạc ψ(k) có thể, nhng không cần thiết là bản dịch mẫu của bản sao liên tục Đó là nó có thể là một phơng pháp chấp nhận đợc mà ψ(k) không thể có mẫu thời gian liên tục Khi ψ(k) là rời rạc của ψ(k) thì DWT

đồng nhất với DTWT với ψ(k) ở công thức (2.9) Trong trờng hợp nay thì

t-ơng đt-ơng với việc DWT là biến đổi Fuorier

Hình 2.7 Tần số thay đổi và thời gian biến đổi

Hình 2.7 thể hiện cho ta vai trò của tỉ lệ (thời gian độ rộng cửa sổ) trong

sự điều khiển thời gian và biến đổi tần số trong việc phân tích tín hiệu s(t) bao hàm hai tam giác nhọn ở thời gian tách biệt của ∆T và hai đờng hình sin ở tần số riêng biệt của ∆f với ∆f < ∆T cửa sổ thứ nhất có bề rộng nhỏ hơn ∆T

và có thể vì vậy nó tách 2 góc nhọn nh hình vẽ trên Cho biết ở thời gian mỗi góc nhọn xuất hiện

Nhng nó không thể tách rời hình sin Vấn đề quan tâm nữa là cửa sổ mà

có bề rộng lớn hơn ∆T có thể tách hai đờng hình sin nhng không thể tách hai góc nhọn

Bằng việc chọn tỷ lệ khác nhau cho wavelet con trong (2.2) Biến đổi wavelet có thể đạt đợc độ phân giải mong muốn về thời gian hoặc tần số mà

nó không vi phạm nguyên tắc không chắc chắn: ∆t*.∆w vẫn là giới hạn thấp

∆T

∆Ts(t)

Cửa sổ

đầu tiên

∆T

∆Ts(t)

t

( ) ( )

dt t S t

2 2

ω ω ω ω

d S

d S

2

2 2 2

Sau đó ta có Ψ(t/a) sẽ đợc ∆t = a δt và ∆w = δω/a Bằng việc thay đổi a, thay

đổi ∆t và ∆ω có thể đã đợc kết quả của chúng là không đổi

Đ2 các dạng biến đổi sóng con

2.1 Biến đổi wavelet với hạt nhân haar.

1 0 ≤ t ≤ 0,5

Ψ(t) = -1 0,5 ≤ t ≤ 1

0 các giá trị khác

Wavelet Haar là trơng hợp đặc biệt của wavelet Daubedies Đồ thị của

Ψ(t) và Ψ(ω) là trong hình (2.3) Bây giờ

S A

b a

< S(t), ( )≥   + 

2 2 2

1

20

b a t

ψ

< S(t), ( ) ≥   + 

2 2

2 / 2

1 0

b a

b a

0 ≤ t ≤ 0,5

−2+ 2 

b a

0,5 ≤ t ≤ 1

vµ cho m ≥ 1

< S(t), ( ) ≥   + 

2 2

2 / 2

1 0

b a

−

1 2

1 2 2 2

b a b a

−

1 2

1 2 2 2

b a b a

0

2

2 2

t s

rộng 2m có thể cần đợc nhỏ tuỳ ý với m đầy đủ phủ định) Sự thoả mãn cao hơn có thể đợc tổng hợp để giữ cho s(t).

2.2 Biến đổi wavelet với hạt nhân Shannon.

Biến đổi wavelet mẹ là

) 2 / sin(

n t

m

m m

2 cos 2 / 2

2 / 2

sin 2 )

Rõ ràng ψmn(ω) và ψkl(ω) không trùng lên nhau cho c ≠ m Bằng chứng

là trong kết quả đặc tính của biến đổi Fourier mà trong trạng thái đó là:

2

1

2

cos 2 2

2 )

m ml

mn

m

m

d n m t

π ψ

π

(2.2.18)Sau đó ψmn(t) và wavelet trực giao

Hai wavelet trên là đối diện nhau trong giới hạn đặc tính của chúng Wavelet haar có vùng vị trí thời gian tốt, nhng lại lớn về tần số Phổ của nó là không từ ω → ∞ Nó không chịu nén trong miền tần số Trong sự khác nhau,

wavelet Shannon không chịu nén trong miền thời gian và phân rã nhanh = 1/t Sau đó nó có sự xác định vùng thời gian nghèo, vùng tần số của nó thì tôt bởi vì nó có phổ của bộ lọc thông giải là lý tởng Có các wavelet trực giao giữa hai loại wavelet Shannon và wavelet Haar cho cả miền thời gian và tần số

Đ3 biến đổi sóng con nhanh (FWT)

3.1 Cơ sở của phép biến đổi Fourier nhanh.

Fourier rời rạc ( Fast Fourier Transform viết tắt là FFT), các thuật toán này ngày càng khảng định vai trò của mình trong sử lý tín hiệu

Tầm quan trọng của FFT là rất lớn vì những lý do sau:

- FFT nâng cao tốc độ, độ mềm dẻo, độ chính xác của sử lý số tín hiệu

- FFT đã mở ra một lĩnh vực ứng dụng rất rộng lớn của phân tích phổ Viễn thông, thiên văn, chuẩn đoán y học, FFT đã khai thác lợi ích của nhiều ngành toán học mà trớc đây ngời ta cha khai thác hết







- FFT đã đặt nền móng cho việc tính toán nhanh các biến đổi khác nh: Biến đổi Walsh, biến đổi Hadamard, biến đổi Haar, biến đổi wavelet.

3.1.1 Phép biến đổi rời rạc.

N

π 2

.Giả sử chúng ta có dãy hàm mũ phức nh sau:

ek(n) = nk

N j

e e

π

Vậy:

e0(n) = eN(n) Tơng tự ta có:

e1(n) = eN+1(n)

e2(n) = eN+2(n)

e3(n) = eN+3(n)