Luận văn phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập kontorovich lebedev fourier cosine và ứng dụng

Phép biến đổi Fourier sine;Phép biến đổi Fourier sine ngược; Phép biến đổi Fourier cosine; Phép biến đổi Fourier cosine ngược; Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev; Phép biến đổi Kontorovic

TRẦN HỮU HẢI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIÊU TÍCH CHẬP

KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC

TRẦN HỮU HẢI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIÊU TÍCH CHẬP

KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH TUÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai đã quan tâm, động viên

và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này !

H à N ộ i , n g à y 2 2 t h á n g 6 n ă m 2 0 1 6

rp> _ • 2Tác giá

Trần Hữu Hải

Lồi cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

H à N ộ i , n g à y 2 2 t h á n g 6 n ă m 2 0 1 6

rp> _ • 2Tác giá

Trần Hữu Hải

Phép biến đổi Fourier sine;

Phép biến đổi Fourier sine ngược;

Phép biến đổi Fourier cosine;

Phép biến đổi Fourier cosine ngược;

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev;

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược;

Là không gian các hàm số liên tục trên M+;

Tích chập của hai hàm / và g ; Tích chập của hai hàm / và g với hàm họng 7;

Tích chập của hai hàm / và g đối với phép biến đổi F ; Tích chập của hai hàm / và g với hàm trọng 7 đối với phép biến đổi F ;

V

Lòi mỏ đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi tích chập [ h * f ) của hai hàm h \ ầ f , nếu ta cố định một trong hai hàm, chẳng hạn cố định hàm

h và cho hàm / biến thiên trên không gian hàm xác định Ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập dạng D : f — > ■ g — D { h * f ) trong đó: g { x ) — D { h V /) (re) và D là một toán tử nào đó

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được xây dựng theo kiểu này nổi tiếng nhất là phép biến đổi liên

quan đến tích chập của phép biến đổi tích phân Mellin ([4])

k { x y ) f { y ) d y , X > 0

Tiếp nối ý tưởng này, những năm (1999-2003) GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ) và các

đồng nghiệp đã xây dựng được một lớp phép biến đổi tích phân dạng trên đối với tích chập Fourier cosine ■ '

-Lebedev ( K ) ([] ] ]).

Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) đã xây dựng phép biến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng 7 đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược ( Fc

K ~ l ) từ đó chỉ ra được tính Unita của phép biến đổi này và nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi trong trường

hợp bậc của toán tử D là hữu hạn Với mong muốn

7

g { x )

-d

x 2

được tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài

“Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier cosine và ứng dụng” để nghiên

cứu

Đề tài luận văn Thạc sỹ được trình bày trong 35 trang A4, ngoài phần lời nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1 Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các chương sau

Chương 2 Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân F c , K 1 (2.1) Nghiên cứu sự tồn tại của chúng trên các không gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạng chuẩn của chúng Từ đó đi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) Nội dung chính của chương này là các định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.6

Chương 3 Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi F c , K 1 (2.1) ở chương II Trong trường hợp phép biến đổi này có bậc của toán tử D là hữu hạn để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1

Để tiện theo dõi trong quá trình viết luận văn Chúng tôi đã đưa vào danh mục các kí hiệu toán học ở trang đầu

toán tử D và ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình

của nó là phương trình vi-tích phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trình bày 3 vấn đề chính

Vấn đề 1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân { F c ,

K ~ l )

Vấn đề 2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng [ F c , K ~ l ) với hàm

trọng

Vấn đề 3 ứng dụng giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng F c , K ~ l với hàm

trọng trên không gian L 2 (RI) và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1

Tích chập đối vói phép biến đổi tích phân

Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản về một số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập dùng để nghiên cứu cho hai chương chính của luận văn là chương 2 và chương 3

Tài liệu chính để viết chương này là ([1, 2, 3, 6])

1.1 Một số kiến thức cơ bản

• L ỵ (K) là tập hợp tất cả các hàm / xác định trên (—X), -fx>) sao cho

và L \ (M) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

và L i (R+) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

-t-30

I/ \ L Ì { R ) - j \ f { x ) \ d x

0Z/p(K) là tập hợp tất cả các hàm / xác định trên (—X), -hx>) sao cho

1.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine

Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho hàm f { x ) t Zq(M) Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier

(F ) đối với hàm / được định nghĩa như sau

f { x ) - { F f ) { y ) - —1= Ị e ~ i x y f { y ) d y ] ĩti (1.1)

Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier Và F có phép biến

đổi Fourier ngược (F1-1) được định nghĩa như sau

Phép biến đổi Fourier ngược của hàm / được xác định bởi công thức

l F ~ ' f ) { y ) = - 7 = xíK

V 27T X)

Nhận xét 1.1 1) Vì \ e ± i x y \ — 1 và f { x ) t Z/i(K) nên các tích phân (1.1); (1.2) là hội

tụ với mỗi xel

2) F, F ~ l là các toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.2 ([4]) Phép biến đổi Fourier cosine { F c ) của một hàm / t L i

(M+) là một hàm được xác định bởi công thức

Ị — [ F J ) { x ) - y- J cosx y f { y ) d y, X > 0. (1.3)

0

Phép biến đổi Fourier cosine ngược [ F ~]) của hàm / được xác định như sau

Ị — (F“1/)^) - \ j - j cosx y f { y ) d y, X > 0. (1.4)

0

Nhận xét 1.2 Vì I COSSÍ/I ^ 1, I s i n x y ị ^ 1 và f { x ) e nên các tích

phân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi X M.

1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev

Định nghĩa 1.3 ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu

đầu tiên bởi M J Kontorovich và N N Lebedev trong khoảng

(1.2)

(1938-1939) và có dạng

nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald K v [ x ) của chỉ số ảo thuần túy

V — i y Hàm K v { z ) thỏa mãn phương trình Bessel.

z 2 ~ 7~ ^ + Z - T- - [ z 2 + v 2 ) u - 0 (1.6)

d z z d z

Hàm Macdonald có dáng tiệm cận Tại x> là

(1.7)tại lân cận điểm 0

z v K v { z ) - 2 v ~ 1 T { u ) + o { l ) , z ^ 0 , 1 / 7 ^ 0 (1.8)

K 0 { z ) = - ì o g z + 0(1), z - > 0. (1.9)Ngoài ra hàm Macdonald còn có dạng biểu diễn sau đây

K ị y { x ) — j e ~ x c o s h u c o s y u d u , X > 0. (1.10)

0Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (1.5) ngược là dạng

x

Định nghĩa 1.4 ([4,10]) Cho ư ị { X i ) , Ư 2Ì X 2) là các không gian tuyến tính, V (y) là

một đại số Khi đó,

w : U^Xi) X U1(X1) -X V ( Y )

ư , s ) -X (/* ®)(»)

được gọi là phép toán tích chập Ký hiệu (*).

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính ư (X) vào đại

số v(y) : K : u { x ) - > V { Y )

Tích chập của hai hàm / e U i i X i ) : g e Ư 2I X 2) đối với phép biến đổi tích phân

K là một hàm, ký hiệu (/ * g ) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được thỏa mãn

(1.12)

Khi đó không gian u { x ) cùng với phép toán chập ( * ) trên xác định một đạị số.

Trong phần này chúng ta trình bày một số các kết quả về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng để nghiên cứu các chương sau của luận văn

F l f * g ) { y ) - { F f ) { y ) { F g ) { y ) ] y ^ R

Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép

biến đổi tích phân K với hàm trọng 7(y), ký hiệu [ J * g ) [ x ) và thỏa mãn đẳng thức

1.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân

Trong phần này chúng tôi trình bày tóm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân như sau Xét các phép biến đổi tích phân

K j : ư j { X j ) ^ V { Y ) , j = 1,2,3

F i - Ĩ Á y ) - l K i f j ) l y ) - k j { y , x j ) f j { x j ) d x j e V { Y ) ,

X i

trong đó ư j { X j ) là các không gian tuyến tính và V [ Y ) là đại số.

Định nghĩa 1.5 ([8]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân K I , K 2 ,

K Ị với hàm họng 7i của hai hàm / và ổ là một biểu thức ụ -1 g ^ j sao cho thỏa mãn

đẳng thức nhân tử hóa

K i (7*ỡ) l y ) - l i { y ) l K 2 f ) { y ) l K 3 g ) l y ) , Vy t Y (1.20) Ví dụ

4 ([10])

Cho /,J ĩ L 1 [ R + ) Tích chập với hàm họng 7l y ) — sin y của hai hàm số / g đối với

phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.4) được xác định như sau

+ s i g n [ x — y + l ) g \ x — y + 1 \ — g { x + y + 1)

- s i g n { x - y - l ) g [ \ x - y - 1|) d y (1.21)

Tích chập [ f * g ) thuộc không gian L] (R_) và thỏa mãn đẳng thức nhân

phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng này bằng kỹ thuật cố định hàm h và cho hàm / biến thiên trong không gian hàm xác định và xây dựng toán tử D J > tác

D ™ : L2QM - > L 2 { R + )

Từ đó nhận được tính Unita của phép biến đổi này, cũng như công thức biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng Các kết quả chính của chương này là Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5

Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là ([5,6])

fc-i

1

2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier

cosine, Kontorovich-Lebedev ngược

1

Đinh nghĩa 2.1 ( [ 8 ] ) Tích châp suy rông với hàm trong 7l y ) —

-—-y sinh(7ĩt/)

của hàm h và / với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổi tích phân

Kontorovich-Lebedev ngược được định nghĩa như sau

trong đó K 1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược được xác định ỏ

(1.12) F c là phép biến đổi Fourier cosine được xác định ỏ (1.4)

Nhận xét: Như vậy ta thấy trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) của tích chập

suy rộng (2.1) có hai phép biến đổi khác nhau tham gia là [ F c , K ^ 1 )

Chứng minh Vì sinh(a; minh Vì sinhực + v)e v ) e - U C 0 S ucos!cí[ K x + v ) x±v > —> 0 khi u, Q V — > -|-x>, ta có

V

ị

[ e

-~

u c

h { u ) \ \ f ( v ) \ d u d v

d

-u i;)^ -ucoshíx-

I g— u cosh^x-l-u) g— ] I h [u) 11 / (v) I

Cho nên, [ h * Ị ) { x ) thuộc L(M+) Bây giờ chúng ta chứng minh tích chập suy

rộng (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2) Ta có

(2.7

—h-JO> /*-|-30 ^ /• /~|-30

J -h(u)/(u)ỊJ Lcos ĩXa + v )

+ c o s y { a — v)\e~ UC0sha da^ịdudv.

Nhận xét 2.1 Toán tử tích chập suy rộng với hàm họng đối với hai phép biến đổi tích

phân F c , K ~ l (2.1) không có phần tử đơn vị

Thật vậy dùng phản chứng Giả sử tồn tại e £ -) là phần tử đơn vị

trái của toán tử tích chập suy rộng (2.1) tức là

■

+ Jo

- [ cos(yí)Le-ucosh(i+i;) H- e- u c o s K t - v ) \dt Jo (2.10)

(2.11

Do K [ y sinh (7T y ) ) không tồn tại theo công thức 9.7.4 ([7]) Suy ra không tồn tại e

(z) phần tử đơn vị hái Suy ra không tồn tại phần tử đơn vị cho tích chập (2.1)

2.2 Các bất đẳng thức chuẩn

Trong phần này chúng tôi hình bày một số các bất đẳng thức dạng chuẩn đối với

tích chập suy rộng (2.1) trên một số các không gian hàm khác nhau Chẳng hạn L i

định lý dạng Young’s đối với tích chập suy rộng (2.1)

Định lý sau đây cho ta đánh giá bất đẳng thức chuẩn của tích chập suy rộng (2.1)

hên không gian L i (M+) và còn nhận được đẳng thức Parseval.

Định lý 2.2 ( [ 6 ] ) C h o h £ Lp 1,/3(M-ị-) v à g £ Zq(M+), 0 < ạ ^ 1 K h i đ ó tích chập suy rộng (2.1) tồn tại với hầu hết X > 0, thuộc Li(M+) VÀ đánh giá sau là đúng

(2.13)

Do

(2.12

Hơn thế, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) là đúng Hơn nữa, nếu 0 < /3 <■ 1 thì tích chập (2.1) thuộc CQ(R-H) và đẳng thức Parseval xảy ra với mọi X > 0

0 0

X' X' x>

0 0 0

X 30 X

^ — h { u ) f [ y ) K i y { u ) (cos(a; +- v ) y + cos{x — v ) y ) dudvdy lĩ u

4 f3

0 0 0X

Từ đó ta nhận được đẳng thức Parseval (2.14), và định lý đã được chứng minh.

Trên không gian Lp’7(M+) chúng ta cũng có đánh giá bất đẳng thức chuẩn cho

tích chập suy rộng (2.1)

Định lý 2.3 ( [ 6 ] ) C h o 1 < p < X) l à m ộ t s ố thực và q là số mũ liên hợp của

nó, nghĩa là - + - — 1 Khi đó với h E Z/pP,/3(K-|-) và f E L q { M + ) , tích

chập suy rộng ịh * / j (2.1) cũng được xác định như một hàm liên tục bị chặn trên

Hơn nữa, thuộc Lp’7(M+), với 1 ^ r < X), 0 < 7 ^ 1 cho trước

thì

â đ ă y C a : 1 ^ { Ị ^ ĩ ) Y

Chứng minh

Sử dụng biểu diễn tích phân (2.15) cho hàm K Q { U ) , bất đẳng thức Holder, và hiển

nhiên eucoah(.z-Hh e ucosh[x-v) ^ 2e~ u với tất cả u, X, V dương, ta có

,0 0

— x '

- Ị —r^r -K ~ l [ h \ { y ) ự c f ) { y )

c o s { x y ) d y 7Ĩ J y sinh 7T y

Do đó, tích chập suy rộng được xác định rõ ràng là một toán tử bị chặn và đánh giá

(2.17) đúng Hơn nữa, ta có

Suy ra (2.16) Định lý đã được chứng minh

Định lý Young’s đã được phát biểu cho tích chập Fourier, chúng tôi xin nhắc lại

như sau:

Định lý Young’s ([9]) Cho p , q , r là các số thực trong (1; x>) sao cho

h — 2 và cho h (x) t L p (K), / [ x ) b L q (K) , k { x ) t L r (M) Khi đó ta

có

trong đó ị h * f j là tích chập Fourier, F là phép biến đổi tích phân Fourier được xác

định ở (1.2), (1.14), (1.15) Bây giờ chúng ta phát biểu định lý dạng Young’s cho tích chập suy rộng (2.1) Tuy nhiên các không gian hàm được sử dụng ở đây hoàn toàn khác, cũng như hệ số của bất đẳng thức nhận được ở đây là phức tạp