Giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Phần trình bày trước phương pháp tổng trọng số tìm kiếm từng nghiệm một - tối ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng số tương ứng của các hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ ng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

NGUYỄN THỊ NHUNG

GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TÓI ư u

ĐA MUC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC• • •

Hà Nôi - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

NGUYỄN THỊ NHUNG

GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TÓI ư u

ĐA MUC TIÊU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC S ĩ TOÁN HỌC• • •

Người hướng dẫn khoa học: TS.Phạm Thanh Hà

Hà Nội - 2015

Trước khi đi vào từng phần cụ thể của khóa luận tốt nghiệp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Phạm Thanh Hà- người đã đưa

ra đề tài, tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này

Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn đôn đốc, tạo điều kiện, hỗ trợ

về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn cao học khóa 17 chuyên ngành toán ứng dụng trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp

ý kiến để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội tháng 10 năm 2015

Học viền

Nguyễn Thị Nhung

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội tháng 10 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nhung

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

DANH MỤC CÁC HÌNH

MỞ Đ Ầ U 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC c ơ BẢN VỀ TỐI ư u ĐA MỤC TIÊU 4

1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian 4

1.2 Các định nghĩa 4

1.3.Bài toán tối ưu đa mục tiê u 10

1.4 Các khái niệm tối ư u 11

1.4.1 T ốiư upareto 11

1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và y ếu 12

1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường 14 1.5 Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 17

1.5.1 Phương pháp rằng buộc 17

1.5.2 Phương pháp tổng trọng s ố 19

1.5.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 20

1 5.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 24

CHƯƠNG 2 CÁC KHÁI NIỆM c ơ BẢN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 34

2.1 Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền 34

2.1.1 Giới thiệu chung 34

2.1.2 Giải thuật di truyền đơn giản 35

2.3 Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) 46

CHƯƠNG 3 GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ư u ĐA MỤC TIÊU 48

3.1 Một số thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu 48

3.1.1 Thuật toán MOGA ( Multi-Objective Genetic Algorithm) 48

3.1.2 Thuật toán SPEA 50

3.1.3 Thuật toán SPEA2 51

3.1.4 Thuật toán NSGA (Thuật toán di truyền sắp xếp các nghiệm không trội ) 54

3.1.5 Thuật toán NSGA-II 55

3.2 Khoảng cách quy tụ - Crowding Distance 57

3.3 So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu 60

3.4 Giải bài toán với thuật toán SPEA2: 61

3.5 Các giải thuật tiến hóa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 64

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

/ ưĩ (*)> /2 (*)) : Vector hàm mục tiêu

X = (x ,, , xn) y e c t o r q Uy ế t đ ị n h

rii : Số lượng đoạn càn mịn hóa thứ i

li : Chiều dài đoạn thứ i

larg Chiều dài trung bình của tất cả các đoạn ở mỗi bước

c : Hệ số nhân

Pi, p2 : Điểm cuối của đoạn

ỗi : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón R+QAxi, Ax2 ; Kích thước của lưới

f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector X và véc tơ tham số cố định p

p : Vector tham số cố định

g(x, p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức YỚi tham số p

h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p

Np Số lượng cá thể trong quần thể/ kích thước tập p

k : Tham số của mật độ tính toán: k = f E

nu : Số nghiệm trội hơn nghiệm u

s : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong pt

Fj ; Biên chứa các nghiệm không trội Với j= 1, , R

Hi =Ri=E(ri) : Kỳ vọng của ĩị

ƠI P h ư ơ n g s a i của Tị

Oij : Hiệp phương sai giữa Tị và Ij

fx e R : Vector giá trị kỳ vọng của li

re R ™ : Ma trận hiệp phương sai của Oịj

Hình 1.1 Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu 10

Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho 11,111 12

Hình 1.3 Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto 21

Hình 1.4 Xác định khoảng cách giữa õi và ỗ2 dựa trên 5j 23

Hình 1.5 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số 26

Hình 1.6 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu 27

Hình 1.7: Minh họa phương pháp Adaptive Weight Sum 28

Hình 1.8: Trong trường hợp 3 chiều, biên Pareto là mặt và mảnh biên Pareto đã được tuyến tính hóa bằng 4 đoạn thẳng nối 4 đỉnh 30

Hình 1.9 Minh họa 3 chiều mô tả ràng buộc đẳng thức bổ sung cho quá trình minh hóa biên Pareto 32

Hình 2.1 Sơ đồ lai ghép 1 điểm cắt 36

Hình 3.1: Minh họa bán kính ơshar° 49

Hình 3.2: Minh họa thuật toán MOGA 50

Hình 3.3: Minh họa tính toán độ thích nghi của các cá th ể 52

Hình 3.4.Minh họa cách xóa bỏ các nghiệm nào có ơk nhỏ nhất 52

Hình 3.5 Sơ đồ khối của thuật toán SPEA2 53

Hình 3.6: Minh họa biên chứa các nghiệm không trội và thứ hạng tương ứ n g 54

Hình 3.7 Sơ đồ khối thể hiện thuật toán NSGA-II 57

Hình 3.8 Minh họa khoảng cách quy tụ quanh nghiệm i 57

Hình 3.9 Minh họa các biên và thứ hạng 58

Hình 3.10 Minh họa sự quy tụ của các nghiệm quanh một nghiệm 58

Hình 3.11 Minh họa khoảng cách quy tụ quanh nghiệm X 59

lượng cá thể trong mỗi thế hệ là 50 62Hình 3.13 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá

thể trong mỗi thế hệ là: 50 và số lượng thế hệ tối đa là 5 0 63Hình 3.14 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đàu vào: số lượng cá

thể trong mỗi thế hệ là: 100 và số lượng thế hệ tối đa là 100 63Hình 3.15 Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá

thể trong mỗi thế hệ là: 200 và số lượng thế hệ tối đa là 2 0 0 64

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đặt ra yêu cầu tìm phương án tốt nhất

để đạt được cực tiểu, cực đại nhiều mục tiêu cùng lúc, nếu có một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng

Tuy nhiên trong bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm tăng giá trị tiểu, cực đại của mục tiêu này kéo theo giảm (tăng) cực đại, cực tiểu của mục tiêu khác, do đó việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm

Thông thường cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp các mục tiêu

Trên thực tế có rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt trong kinh tế, kỹ thuật như các bài toán về thiết kế, lập kế hoạch

Thuật toán tiến hóa hình thành dựa trên quan niệm cho rằng: quá trình tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất, và nó tự mang tính tối ưu Quan niệm này được xem là tiền đề đúng, không chứng minh được, nhưng phù hợp YỚi thực tế khách quan Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu

ở chỗ thế hệ sao bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước

Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ bản: sinh sản và chọn lọc tự nhiên Xuyên suốt quá trình chọn lọc tự nhiên, các thế hệ mới luôn được sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ Cá thể nào phát triển hơn, thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn tại Cá thể nào không thích ứng với môi trường sẽ bị đào thải Sự thay đổi của môi trường là động lực thúc đẩy quá trình tiến hóa Ngược lại, quá trình tiến hóa cũng tác động ngược lại làm thay đổi môi trường

Các cá thể mới được sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở thế hệ cha-mẹ Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha-mẹ (di truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến) Di truyền và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình tiến hóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so YỚi hiện tượng

di truyền Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt, nhưng tất cả đều mô phỏng bốn quá trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên

Với những khả năng tiềm tàng của giải thuật tiến hóa Luận văn sẽ tập trung nghiên cứu xây dựng giải thuật tiến hóa để giải quyết bài toán tối ưu đa mục tiêu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền

Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Cài đặt chương trình giải quyết một bài toán ứng dụng tối ưu đa mụctiêu

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền

Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Hệ thống các kiến thức về tối ưu đa mục tiêu và giải thuật di truyền, nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC C ơ BẢN VỀ TỐI ư u ĐA MỤC TIÊU

1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian

Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong cùng một tập hợp hoặc YỚi các phàn tử của tập hợp khác Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta

có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng Trong hình học ta có các quan hệ: đồng dạng, đối xứng, song song, Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ:

kề nhau, liên thông, Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một - nhiều, nhiều - nhiều

Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu Thông qua các khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán

Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R của AxA Ta

gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi

Ký hiệu: aRb hoặc R[a,b) hoặc (a,b) e R gọi là “ a R- quan hệ b”

b R- 1 a <=>bûlì được ăn bởi a

Định nghĩa 1 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là: i) Phản xạ nếu (a, a) 6 R, Va 6 A ( hoặc là a V A (aRa) )

Ví dụ 1.4: Các quan hệ =, 'có cùng tính chất toán học’,

<=, >=, Œ, =>, là phản xạ

ii) Phi phản xạ nếu (a, a) Ể R, Va E A hoặc là VaeA ( -ßR a )

Ví dụ 1.5: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’, c là phi phản xạ

iii)Đối xứng nếu Va, b 6 A sao cho (a, b) 6 R =* (b, a) 6 R

Ví dụ 1.6: Quan hệ “ = ” là đối xứng

iv) Phản xứng nếu Va, b 6 A sao cho (a, b) E R = ) (b, a) Ề R

Ví dụ 1.7: Quan hệ “ < ” là phản xứng

v) Phi đối xứng nếu Va, b G A sao cho (a, b) E R và (b, a) E R => a = b

Ví dụ 1.8: các quan hệ “ >, <, ÇZ, =” là Phi đối xứng

vi) Bắc cầu nếu Va, b, с E A sao cho (a, b) G R rà (b, c )E R = > (а, с) E R

Ví dụ 1.9: Quan hệ “ >, <, >, = “ là bắc cầu.

vii) Phủ định bắc cầu nếu Va, b, с E A sao cho (a, b) Ể R và (b, c ) Ể R

=> (a, c ) Ế R

Ví dụ 1.10: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không

ăn cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu

viii) Phản bắc cầu nếu: Va, b, с : aRb A bRc => - ,aRc

Ví dụ 1.11: Nếu “ A quen B” và “ в quen C” nhưng “ A chưa chắc quen C” thì quan hệ “ quen” là phản bắc cầu

ix) Liên hợp nếu V a, b eA sao cho a^b=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR

Ví dụ 1.12: Cho A là tập các số chẵn thì quan hệ chia hết là lien hợp.x) Liên hợp mạnh nếu Va, b e A=>(a,b) e R hoặc (b,a) e R

Ví dụ 1.13: Cho A=N Thì quan hệ <, >, là liên hợp mạnh

Định lý 1.1: R là đối xứng khi và chỉ khi R= R- 1

Chủng minh:

=> Giả sử R là đối xứng Thì: (x,y) eR <=>(y,x) eR <=>(x,y) eiỉ-1

<= Giả sử R = R - l Thì: (x,y) eR <^>(x,y) g R - ỉ <^>(y,x) eR

Định nghĩa 1.4: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:

i) R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối

xứng và bắc càu

ii) R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu.

Ví dụ 1.14: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod

Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự Để tiện ta thay đổi quan hệ R là Do đó ta quy ước viết:

a < b thay cho (a, b) G <

a =£ b thay cho (a, b) £ <

với bất kỳ một quan hệ =* là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa chúng như sau:

x < y » x * < ỵ r à y ỉ x (1.1)

x ~ y < = ^ x ^ y r ổ y ^ x (1.2)

Mệnh đề 1.1: Cho < là một tiền thứ tự trên tập A Khi đó:

• Quan hệ -< định nghĩa trong (1.1) là phi phản xạ và bắc cầu

• Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.2) là quan hệ tương đương

Mệnh đề 1.2:

• Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ

• Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng

Định nghĩa 1.5: Một quan hệ hai ngôi < trên A là:

i)Tiền thứ tự tổng quát nếu < là phản xạ, bắc cầu và liên hợp

ii) Thứ tự tổng quát nếu < là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng Như quan hệ < đối với số nguyên là thứ tự tổng quát

iii) Thứ tự yếu chặt nếu < là phản xứng và phủ định bắc cầu

Mệnh đề 1.3:■

Nếu < là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ -<là thứ tự yếu chặt

Nếu < là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó < định nghĩa bởi:

X =< y X < y hoặc ( x < y v ầ y < x )(1.3) là tiền thứ tự tổng.

Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần nếu

là phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng

Định nghĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu =* là phản xứng và bắc càu ( hoặc =* là phi phản xạ và bắc càu )

Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian EuclidRn

Khi đó ta có một số thứ tự trên Rn

Kí hiêu • Định nghĩa Tên gọi

Neu xỉ < yỉ với ỉ= l , , n

Nếu x k < y k hoặc X = y

Neu maxi=l, ,n{xi}<

maxi=l, ,n{ yi}

Thứ tự từng phân yêu Thứ tự từng phàn Thứ tự từng phàn chặt Thứ tự tự điển

Ma x t h ứ tự

Định nghĩa 1.8: Một tập con K Q Rn được gọi là nón nếu:

fix E K với mọi X EKvầJ3 6R ,fi > 0

Ví dụ 1.15: K=R2+ ={x eR2\Xi>0,1=1,2} là nón

Định nghĩa 1.9: Nón k trong Rn gọi là:

Không tàm thường nếu K Ỷ 0 v à K Ỷ R n

Lồi nếu ơXj + (1 - ax2) E K với mọi xh x2 E K và 0 < a < 1

X =} fix <fiy với >0

Do đó: fiu =fi(x - y) =fix - f i y E K ^ y ở i fi >0

Định lý 1.2 : Cho =* một quan hệ 2 ngôi trên Rn là phép nhân vô hướng

Khi đó:

i) 0 E K ^ nếu < là Phản xạ

ii) K ^ ỉồ i nếu < là Bắc cầu

iii) K< nhọn nếu < là Phi đối xứng

Chứng minh'.

(i): Giả sử quan hệ: =* là Phản xạ

Khi đó: X với X ERn = ^x - X = 0 E K <

(ii): Giả sử quan hệ < là Bắc cầu và Cho u, r E к <

Do о фи nên X < у v à y nhưng X ф у Điều này vô lý.

Định nghĩa 1.10: Cho к là nón Ta định nghĩa thứ tự theo nón là:

Mệnh đề 1.5: Cho к là nón và thứ tự theo nón =*K trong (1.12) là phép nhân vô hướng và cộng trong Rn Hơn nữa:

i) là phản xạ nếu 0 £ к

ii) <K là bắc cầu nếu К lồi

iii) là phi đối xứng nếu К nhọn

C h ứ n g minh: Cho X, y, z E R n v ầ O < ß E R với X <к у Ta có: у - X Е К

1.3.Bàỉ toán tối ưu đa muc tiêu

Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu đa mục tiêu

dưới dạng sau: Minựi[x), ,fk (x)} (i^), sao cho- x<zX

Trong đó:

x: là biến quyết định

X = ỊxeM" / g .(x)<0;/ỉ .(jc) = 0,7 = l, ,p <nỊ là không gian quyết định

f t : M" -> M với i = 1 là các hàm mục tiêu

Đặt: 7 = = (*), ,/* (x))eR*| là không gian hàm mục tiêu

Định nghĩa 1.11: Một nghiệm / e I của bài toán (Pi) được gọi là

nghiệm lý tưởng nếu: f i ( x ) ^ e X , i ={1

Nói một cách khác một nghiệm mà nó thỏa mãn tất cả các hàm mục tiêu cần tối ưu ứng YỚi miền chấp nhận được là X Thực tế thì những nghiệm như vậy rất ít tồn tại Nếu đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ ‘ mềm dẻo’ hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto

ĩ x /

Hình 1.1 Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu

Định nghĩa 1.12: Một nghiệm x = (x1,x2, ,x ) được gọi là trội hơn

nghiệm y = (yl,y2, ,yn) ký hiệu là: x s y,nểu: r ’

Định nghĩa 1.13: x = (xl,x 2, ,x ) được gọi là nghiệm không trội hơnnghiệm y = ( y l , y 2, , y ) nếu VxeX, không tồn tại y & x sao cho: y>-x X

1.4 Các khái niêm tối ưu

1.4.1 Tối ưu pareto

Định nghĩa 1.14: Một nghiệm x ' e l được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto nếu không tồn tại một nghiệm x jtx * e X sao cho X trội hơn X*. Nghĩa là: / ( * ) < / ( * ’)

Tính chất

i) Nếu x là nghiệm tối ưu Pareto thì / (x*) gọi là điểm hữu hiệu

ii)Nếu xl, x 2e X và f { x ) < f ( x 2) thì ta gọi * trội hơn X2 và / ( * ) trội

hơn f [ x 2)

iii) Tập hợp tất cả các nghiệm tối ưu Pareto X* € X và tập các điểm hữu

hiệu y = f (jt*) G Y làn lượt là: X ar và 7eff

Định nghĩa 1.15: Các định nghĩa tương đương khác

X là nghiệm tối ưu Pareto nếu:

i) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: / (jc) trội hơn /(**)

ii) Không tồn tại một nghiệm x e X sao cho: (x*) e -R* \{o}

iii) f ( x ) - f (x ) e RK\ { - < l ị o ị v E l

iv) /( ;r ) n ( /( * ) - R ,) = { /( * -)}

v) Khôngtồntại / ( x ) g / ( x ) \ ị / ( x ') Ị sao cho

vi) / (x) < / (x*) với X e X nghía là: f { x) = f (x* Ị

Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ỉi,ỉỉỉ

1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu

Định nghĩa 1.16: Nghiệm X*E X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto nếu không tồn tại một nghiệm X € X sao cho:

f(x) « f(x*)i = {1, k}

Khi đó: Điểmy =f(x*) E Y gọi là điểm hữu hiệu yếu.

Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu làn lượt ký hiệu là:

Xw-par và Yw-eff

Định nghĩa 1.17:

Nghiệm X* E X được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không

tồn tại một nghiệm X G X và X ^ x * sao cho: f ( x ) < f(x * ).

Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là: x s.par

Từ định nghĩa ta nhận xét rằng:

Yeff Yw.ẹff

y *-s-par ^*-par -**-w-par

Định nghĩa 1.18: Cho X c R n , một ánh xạ / : X —> R và X EX Khi đó: L<(f(x))= { X E X I f(x) < f(x x)} được gọi là tập mức của/ tại x

L = (f(x) )= { x E X \f(x ) =f(x )} được gọi là mặt mức củ a/tại X L<( f ( x)) = L<(f(x~))\L=(f(x~)) = { x e x \ f ( x ) < f(x~)} được gọi là

tập mức chặt của / tại x

Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: L=(f(x )) cL < (f(x ))

Định lý 1.3 : Cho X* E X v ầ định nghĩayq = f q (x*) khi đó:

1) X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:

(1): “ X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”

không tồn tại một nghiệm X 6 X và X Ỷ X* sao cho: /(x) < /(x*) không tồn tại một nghiệm X E X và X ý: X* sao cho:

fq(x) < fq(x*) với tỉ = ^’k

<^> không tồn tại một nghiệm X G X và X Ỷ X* sao cho:

(2) “ X* là nghiệm tối ưu pareto”

không tồn tại một nghiệm x eX sao cho

f q M < f q (* ) với q = l,k và với / (*) < / [x ) với j = {ì, ,k}

o không tồn tại một nghiệm x eX sao cho

* e f | 4 ( y q ) và X E Ì < (>>,) và j = {l Ả:}

« n 4 ( ^ ) = n ^ U )

q=\ q=1

1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường

Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu X* là một nghiệm tối ưu Pareto thì nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khi vẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác Do đó để cải thiện một hay nhiều giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị của các hàm mục tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp

Sự thỏa hiệp giữa các tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm

giá trị của hàm mục tiêu fj trên đơn vị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu fj.

Định nghĩa 1.19: (Geoffrion 1986)

X* E X được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu X* là

nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi i rà V X G X thỏa

mãn /i(x) < /i(x*) và tồn tại một chỉ số j sao cho /j(x*) < / j (x) Hơn nữa:

Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại X* là: y* = /(x*) gọi là điểm hữu hiệu chính thường

Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữa tất cả các hàm mục tiêu.

k

Ta xét bài toán lồi sau đây: min ^ Ẳị/ị (*) (P2)

i= ì

Thì (P2) gọi là bài toán trọng tổng số

Trong đó: Ải với i = 1, k là các trọng số không âm đối với các hàm

Để thấy rằng X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số

M thích hợp sao cho có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối tính tối ưu của X* đối YỚi bài toán tổng trọng số

Định lý 1.5: Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng /li: Rn —> R là

hàm lồi, i = Khi đó bất đẳng thức hi < 0 YỚi i = l - ,- k- không có

Chứng minh:

Do định lý 1.5 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này là đủ

Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Nghĩa là có một số

M >0 sao cho: vi = 1 , к thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm:

= 1 .k với X* là nghiệm tối ưu của bài toán (*)

1.5 Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.5.1 Phương pháp rằng buộc

a) Mô hình bài toán: Cho một bài toán đa mục tiêu YỚi p mục tiêu

^ Ị ấ( Ạ / 2W / , w |

Sao cho X e R"

Trong đó: X = ) e l " là không gian quyết định

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán rằng buộc là: Maxf )

Sao cho x = (xỉ, ,x )eR"

f k ( Xl, ,xn) > L k

k = \ , , h - \ , h , h + l, ,p

Trong đó mục tiêu thứ h được tùy ý lấy max Công thức này là bài toán đơn mục tiêu Do đó có thể giải được bằng phương pháp đơn hình cho bài toán quy hoạch tuyến tính,

b) Thuật toán:

Bước 1: Xây dựng một thỏa hiệp

- Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu với các ràng buộc tương ứng.Gọi nghiệm ứng với mục tiêu thứ k là: x k =(xf, ,**) với Sau đó

tính giá trị của p hàm mục tiêu này đạt được tại các ỵk tương ứng, ta gọi là:

f l ( x ĩ ) , f 2 ( xị ) , , f p ( xk p )

- sắp xếp p giá trị tương ứng với p mục tiêu vừa tính được ở trên vào trong bảng Ở đây, hang ứng với các X , ,xk và cột là nhãn của mục tiêu.Bảng thỏa hiệp cho một bài toán với p hàm mục tiêu

¥ r r \

Tìm sô lớn nhât và nhỏ nhât trong cột thứ k, lân lượt kí hiệu là M k,nk

Bước 2: Quy ước một bài toán quy hoạch được cho ở (2.1) tương ứng với bài toán ràng buộc của nó

Bước 3: Chọn giá trị của Lk YỚi kệ-h trong đoạn [nk,Mk] ra r phần bằng

nhau

Lk có thể nhận một trong r giá trị sau:

Lk = n k +- ^—Ạ M k - n k) , t = 0 , \ , , r - \

Bước 4: ứng với mỗi giá trị của Lk ta giải bài toán (2.2) và mỗi bài toán

cho một nghiệm chấp nhận được Trong những nghiệm này ta chon nghiệm tốt nhất

1.5.2 Phương pháp tổng trọng số

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dạng tổng quát được phát biểu:

Afỉ'n{./;(x),/2 (x)Ị sao cho xeK"

Trong đó: X = (jCp ,X )eR" là không gian nghiệm.

Ta chuyển bài toán trên thành một bài toán tổng sau:

Minf = wỉf ỉ (*) + w2f 2 (x) + + w / (x) sao cho xeR"

ứ ng với mỗi bộ trọng số Wi ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto

Ví dụ 1.16: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:

Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàm mục tiêu như sau:

w = (wl, w2) (0,1) (0.2, 0.8) (0.4, 0.6) (0.6, 0.4) (0.8, 0.2) (1,0)/ l ( x l , x2) ~ 6 -2.2 -4.45 2.53 -0.76 -6/ 2 ( x l , x 2 ) ~ -0,5 0.11 0.3 1.97 -0.88 3.5

muc tiêu

a) Khái niệm c ơ sở

Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác định hiệu quả biên Pareto đối YỚi bài toán tối ưu hai mục tiêu và đây cũng chính là cơ sở giúp ta nghiên cứu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Phần trình bày trước phương pháp tổng trọng số tìm kiếm từng nghiệm một - tối ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng

số tương ứng của các hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ người giải Phương pháp này thường sinh ra trên biên Pareto rất ít các nghiệm tối ưu và đặt biệt là sẽ không tìm ra nghiệm tối ưu Pareto trên miền không lồi

Mục đích chính của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non- Pareto

Môt sổ kỉ hiêu:• •

f = ( f l (x),f2(x)) : là vector hàm mục tiêu.

X = (xl, ,xn) : là vector quyết định

/i : Chiều dài của đoạn thứ i.

larg : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước

Pi, p2: Điểm cuối của đoạn.

ỗj: Khoảng cách từ các điểm trên biên Pareto đã được tuyến tính thành từng đoạn đến nón +R q

Axi, Ax2: Kích thước của lưới.

Hình 1.3 Tuyến tính hóa các đoạn trên bỉên Pareto

Trong phần này ta phát biểu bài toán tối ưu 2 mục tiêu dưới dạng như

sau

minw ^ + (1 - w) ^ ^ sao cho x eX

/ 2W f 2(x) Trong đó: X = { X ERQ\g(x) < ; h(x) = 0 rà w €[0,1]}

/ j (jc),/2 (x): là các hàm chuẩn hóa tương ứng của /i(x) và /2(x)

b) Phương pháp tổng trọng sổ chấp nhận được dành cho bài toán 2 muc tiều:

Sau đây là các bước chi tiết để giải bài toán tối ưu 2 mục tiêu bằng phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được:

Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu trong không gian hàm mục tiêu

Khi xi* là vector nghiệm tối ưu cho từng bài toán một mục tiêu /i(x) với i =

fN : là điểm Nadir và được định nghĩa là: f N = \_ff , f 2N ] (3)

Và fiN = max[fỉ(xl *), fi(x2 *)] (4)

Bước 2\ Giải bài toán đa mục tiêu bằng phương pháp tổng trọng số với

số nhỏ của phép chia n0 Ta sẽ lấy no = 5~10 Từ đó tính giá trị của trong số w

theo công thức: Aw=—

n0

Bước 3: Tính toán độ dài của các đoạn giữa tất cả các nghiệm lân cận

nhau trên biên Pareto Xóa các nghiệm trùng nhau Khi sử dụng phương pháp tổng trọng số để tìm nghiệm tối ưu sẽ xảy ra trường hợp các nghiệm tối ưu

trùng nhau khi đó khoảng cách Euclid giữa chứng là 0, trong các nghiệm này chỉ có duy nhất một nghiệm tối ưu nằm trên biên Pareto sẽ được chọn.

Bước 4: Xác định số ỉượng đoạn cần tinh lọc (liên quan với chiều dài

trung bình của tất cả các đoạn), nếu đoạn nào dài hơn thì cần phải được tinh lọc hơn Việc tinh lọc trên biên Pareto được xác định dựa trên độ dài tương

1

đối của các đoạn: n = cho mỗi đoạn thứ i

Trong đó ni: là số lượng càn lọc đối với đoạn thứ i

li: là chiều dài của đoạn thứ ỉ

larg: là chiều dài trung bình của tất cả các đoạn

C:là hệ số nhân, ta thường lấy giá trị của c = [1,2]

Nếu ni > 1 thì thực hiện bước 6

Đoạn trên biên P areba

can đuực tuyên tĩnh hóa

(a) Đoạn tuyển tính hóa / , .

-Đạt được £>J vá S-ĩ (c) Các nghiệm mói đạt cĩưrtc trang

mỉen châp nhận được

Xác định khoảng cách giữa ổị và S 2 , dựa trên ỎJ

Hình 1.4 Xác định khoảng cách giữa 5| và §2 dựa trên ỗj

Sx = ỔyCosỡ^ = ổ2 sin ớ

Và 0 được tính như sau: 6 = tan 1 Py-Py

Bước 7: Giải bài toán tối ưu con:

M in w fỉ (*) + (l - w ) / 2 (*)

J ( x ) Z P * - ô i

7 ỉ ( x ) < p ^ - s 2

h(x) = 0, g(x) < 0, w E [0,1]

Trong đó P ị , Pị là vị trí X và y tương ứng của các điểm cuối

Sau đó ứng với mỗi ni đã xác định trong bước 4 Ta tính toán wi cho

môi miên châp nhận được ẢW; = —

nt

Bước 8: Tính chiều dài của các đoạn giữa các nghiệm lân cận nhau

Xóa các nghiệm trùng nhau

- Nếu chiều dài của tất cả các đoạn nhỏ hơn chiều dài đã được chỉ định thì kết thúc thuật toán

- Nếu có một đoạn mà chiều dài lớn hơn tất cả các chiều dài thì lặp lại bước 4

1 5.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.5.4.1 Giới thiệu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được

Phần này giới thiệu phương pháp “Tổng trọng số chấp nhận được” cho bài toán tối ưu hóa nhiều mục tiêu Xuất phát từ phương pháp “tổng trọng số chấp nhận được” dành cho bài toán hai mục tiêu - xác định một cách hình thức không gian nghiệm tối ưu Pareto, tìm nghiệm trên tập không lồi và bỏ qua các nghiệm tối ưu non-Pareto Tuy nhiên phương pháp này chỉ có thể giải bài toán tối ưu với 2 hàm mục tiêu Tổng trọng số chấp nhận được là phương pháp mở rộng của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu để giải bài toán tối ưu với nhiều hàm mục tiêu Trong phần trước thì phương pháp Tổng trọng số đã được trình bài để xấp xỉ tập nghiệm Pareto một cách

nhanh chóng Đồng thời mạng lưới các điểm trên biên Pareto cũng được xác định hay tập nghiệm Pareto được chia ra thành nhiều đoạn biên Pareto nhỏ Sau đó mỗi đoạn trên biên Pareto được lọc bớt đi bằng cách áp thêm các ràng buộc đẳng thức thông qua điểm giả Nadir và các nghiệm tối ưu Pareto chấp nhận được trên từng đoạn của không gian hàm mục tiêu.

Phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được sẽ sinh ra các đoạn nằm trên biên Pareto có sự phân bố tốt trên tập nghiệm Pareto, đồng thời phương pháp này cũng cho phép chúng ta tìm nghiệm đối với tập không lồi

/i* : Điểm anchor thứ i

Pj :Vector vị trí của nghiệm chấp nhận được thứ j trên từng đoạntuyến tính nằm trên biên Pareto cần được mịn hóa

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu được phát biểu như sau: min /(x, g)Sao cho: g(x, g) < 0

h(x, g) = 0

Xi,LB <Xị <Xi'UB với i = 1, n

Trong đó: x i>LB và x i)UB; là các biên dưới và biên trên của các biến thứ i

tương ứng

1.5.4.2 Các khái niệm cơ sở

Đặt trưng cơ bản của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là ỉàm mịn một cách chấp nhận được biên Perato.

Trong giai đoạn thứ nhất, phương pháp này xác định hình dạng gồ ghề lúc đầu của biên Perato Bằng tính toán kích thước của từng đoạn nằm dọc theo biên Perato (là một đoạn thẳng ưong trường hợp 3 chiều), sau đó ta tiến hành mịn hóa biên Pareto ữong không gian mục tiêu đã được xác định.

Giai đoạn tiếp theo, các đoạn này được xem là miền chấp nhận đối với bài toán con - Sub- Optimizaton bằng cách thêm vào các ràng buộc (trong phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu, miền chấp nhận được khi tìm kiếm thêm thì được xác định bằng cách thêm 2 ràng buộc bất đẳng thức) Sau đó chúng ta giải bài toán con - Sub-Optimization trong các miền chấp nhận này để đạt được nhiều phương án tối ưu Pareto hơn Khi tập các phương án tối ưu Pareto mới được xác định, thông qua việc tính toán để xác định kích thước của từng đoạn trên biên Pareto được xem như là quá trình làm mịn biên Pareto Bước này được lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm Pareto tối ưu nhất.

Hình 1.5 sau so sánh phương pháp Tổng ưọng số cổ điển với phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu cho củng một bài toán mà cỏ miền phẳng và không lồi.

Hình 1.5 Bỉên Pareto tìm được bằng phưomg pháp tổng trọng số

Hình 1.6 Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng sổ chấp

nhận được hai mục tiêu

Ta thấy rằng ràng buộc bất đẳng thức như là biên cho việc xây dụng miền chấp nhận được không phù hợp đối YỚi bài toán tối ưu đa mục tiêu Miền chấp nhận được đối với việc mịn hóa trong trường hợp 2 chiều có thể được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách đặt 2 ràng buộc bất đẳng thức song song đến mỗi trục mà khoảng cách đã được chỉ định từ điểm cuối YÌ biên Pareto là đường cong 2 chiều và luôn có 2 điểm cuối đối YỚi mỗi đoạn thuộc biên Pareto

Tuy nhiên trong trường hợp lớn hơn 2 chiều thì biên Pareto sẽ là một siêu phẳng (nếu có nhiều hơn 3 hàm mục tiêu), và điều này trở nên rất khó để thiết lập các ràng buộc cho bài toán con - Sub-Optimization trên từng đoạn thuộc biên Pareto vốn đã được lựa chọn và mịn hóa sao cho chấp nhận được

Vì các đoạn trên biên Pareto có thể có những hình dạng tùy ý và số cạnh của mỗi đoạn biên Pareto rất đa dạng Hơn nữa, khi số đỉnh lớn hơn số chiều của không gian hàm mục tiêu, thì tất cả các đỉnh hoặc cạnh liên kết các đỉnh này

có thể không nằm trong cùng một mặt phẳng hay siêu phẳng, do đó rất khó để thiết lập các ràng buộc cho bài toán con - Sub- Optimization và để mịn hóa thích hợp trong các giai đoạn tiếp theo

Điếm giả Nadir

t

Nghiệm hiện tại

Hình 1.7: Minh họa phương pháp Adaptive Weight Sum

1.5.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục

Trong phần này chứng ta trình bày chi tiết các thủ tục cho việc thực hiện phương pháp tổng ữọng số chấp nhận được đa mục tiêu.

Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu.

Khi xi* là vector nghiệm tối ưu đối với hàm mục tiêu fi thứ i Điểm Utopia f u được định nghĩa như sau:

tiêu

f U = [ fỉ(xl*) f 2 (x2*) fm (xm*)]

Điểm giả Nadừ JN được định nghĩa là:

Trong đó: Môi thành phân Ji được xác định bởi:

Điểm anchor /ỉ* thứ i được định nghĩa như sau:

fi* = [ fỉ(xi*) f2(xỉ*) fm (xi*)]

Và bây giờ hàm mục tiêu chuẩn / được xác định bởi

(6)

Bước 2: Tối ưu nhiều mục tiêu sử dụng cách tiếp cận bằng phương

pháp tổng trọng số với số lượng phân chia nhỏ - n0

Đối với bài toán 3 hàm mục tiêu, hàm mục tiêu tổng/roíữl với các trọng

số wi đạt được như sau:

L u a = w [■w i f i + ( ! - w ) f i ] ■+ í 1 ■ - w 2 ) / 3

= w2/ 1 + ( l - w 1)w2/ 2+ ( l - w 3) / 3,w, G[0,1]

Một cách tổng quát, hàm mục tiêu tổng / " ; của m hàm mục tiêu được

xác định bởi: f mtotal = w mAfZãì + ( 1_ Wm-1 )fm ’m ^ 2

»0,-Trong phần trình bày này, ta sử dụng cùng một giá trị của trọng số wi

Có một lược đồ để xác định giá trị của trọng số wi một cách có hệ thống, điều này sẽ giúp ích rất nhiều trong việc tạo ra nghiệm có sự phân bố tốt hơn Tuy nhiên trong phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được thì đẳng thức (10) có thể được dùng đến duy chỉ một lần và sau đó quá trình mịn hóa sẽ được áp dụng đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu xấp xỉ

Bước 3: Loại bỏ các nghiệm trùng nhau Vì khi sử dụng phương pháp

Tổng trọng số có thể sinh ra ra các nghiệm trùng nhau này Khoảng cách Euclid giữa các nghiệm này là 0 và trọng số các nghiệm trùng nhau này chỉ