Điều kiện chính quy guignard và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG QUỐC ĐĂNG ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY GUIGNARD VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN CHUYÊN NGÀN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG QUỐC ĐĂNG

ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY GUIGNARD VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC

TIÊU KHÔNG TRƠN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60460112

2015

Mục lục

1 Điều kiện chính quy Guignard và điều kiện Tucker cho bài toán bán khả vi 31.1 Các định nghĩa và khái niệm 31.2 Điều kiện chính quy Guignard 61.3 Điều kiện Kuhn-Tucker mạnh 9

Kuhn-2 Điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu đa mụctiêu Lipschitz địa phương 132.1 Các khái niệm 132.2 Các điều kiện cần tối ưu 192.3 Các điều kiện đủ tối ưu 26

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của tối ưuhóa Các điều kiện Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toántối ưu đa mục tiêu mà tất cả các nhân tử Lagrange ứng với các thànhphần của hàm mục tiêu là dương và được gọi là các điều kiện Kuhn

- Tucker mạnh Với điều kiện chính quy kiểu Guignard cho bài toántối ưu đa mục tiêu khả vi có ràng buộc bất đẳng thức V Preda và I.Chitescu ([10], 1999) đã phát triển các điều kiện tối ưu kiểu Maeda [8]cho bài toán tối ưu đa mục tiêu bán khả vi Với điều kiện chính quyGuignard, X J Long và N J Huang ([7], 2014) đã thiết lập các điềukiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàmLipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng Đây là đềtài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy em chọn đềtài : “Điều kiện chính quy Guignard và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữuhiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn”

không trơn có ràng buộc bất đẳng thức.

3 Nội dung đề tài

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày các kết quả của V Preda và I Chitescu về điềukiện chính quy Guignard và điều kiện Kuhn-Tucker mạnh cho nghiệmhữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu bán khả vi

Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của X J Long, N J.Huang về điều kiện cần tối ưu và điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữdưới vi phân suy rộng với điều kiện chính quy Guignard

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ VănLưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luậnvăn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã thamgia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồngnghiệp và các thành viên lớp Cao học Toán K7A đã luôn quan tâm,động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2015

Tác giảLương Quốc Đăng

Cho hai vectơ x và y trong Rn, ta sử dụng các quy ước sau:

x < y nếu và chỉ nếu xi < yi, ∀i, i = 1, 2, , n;

x ≤ y nếu và chỉ nếu x < y nhưng x 6= y;

x < y nếu và chỉ nếu xi < yi, ∀i, i = 1, 2, , n

Chúng ta xét bài toán quy hoạch toán học đa mục tiêu sau đây:

g(x) ≤ 0,

trong đó x ∈ Rn, f : Rn → Rp, f = (f1, f2, , fp), g : Rn → Rm, g =(g1, g2, , gm) Kí hiệu

X = { x ∈ Rn| g(x)<0}

là tập chấp nhận được của bài toán (VP).

Giả sử S ⊆ Rn là tập khác rỗng Ánh xạ ϕ : S → R là tiền lồi

bất biến trên S nếu tồn tại hàm vectơ n-chiều η(x, u) trên SxS saocho với mọi x, u ∈ S và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

ϕ(u + λη(x, u)) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(u)

Trong trường hợp này ta nói rằng ϕ là tiền lồi bất biến theo η Mộthàm vectơ k-chiềuψ : S → Rk là tiền lồi bất biến theoη nếu mỗi thànhphần của nó là tiền lồi bất biến trên S theo η.

Bổ đề 1.1.1 [11]

Giả sử S là một tập khác rỗng trong Rn và ψ : S → Rk là hàmtiền lồi bất biến trên S theo η Khi đó,

hoặc là λTψ(x)> 0, ∀x ∈ S, với λ ∈ Rknào đó, λ ≥ 0,

nhưng không thể đồng thời cả hai Ở đây T là ma trận chuyển vị.Giả sử rằng các hàm fi, i ∈ P = {1, 2, , p} và gj, j ∈ M =

Ta nói rằng ϕ : Rn → R bán khả vi tại x0 ∈ Rn là tựa lồi tại x0,

nếu suy luận sau đây đúng với x ∈ Rn :

ϕ(x) < ϕ(x0) ⇒ ϕ+(x0, x − x0) < 0

Hàm ϕ được gọi là tựa lõm tại x0 nếu -ϕ là tựa lồi tại x0 Hàm ϕ đượcgọi là giả lồi tại x0 nếu với x ∈ Rn,

ϕ(x) < ϕ(x0) ⇒ ϕ+(x0, x − x0) < 0

Hàm ϕ được gọi là giả lõm tại x0 nếu -ϕ là giả lồi tại x0

Rõ ràng là tính gần tuyến tính kéo theo tính tựa lồi (giả lồi) hoặctính tựa lõm (giả lõm)

1.2 Điều kiện chính quy Guignard

Xét điều kiện chính quy để ta có thể nhận được điều kiện cần Tucker

Kuhn-Nếu x0 là nghiệm chấp nhận được của bài toàn (VP), ta gọi B(x0)

và tương tự, với i ∈ B(x0),

g+j (x0, λh1 + (1 − λ)h2) < 0

Cuối cùng, C(Q(x0); x0) là đóng, do sự kiện là nếu ta lấy một dãy

(hk)k ⊂ C(Q(x0); x0) sao cho hk → h0, ta suy ra

Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2.1, ta có C(Qi(x0); x0) lồi đóng vớimọi i ∈ P Rõ ràng là

Giả sử i ∈ P và d ∈ T (Qi(x0); x0) Ta có dãy (xk)k ⊆ Qi(x0) và dãy

(tk)k trong R với tk > 0 sao cho

Sử dụng (1.4) và (1.5) và tính tựa lồi của các hàm fi, i ∈ P và gj,

j ∈ B(x0), theo giả thiết (A2), với mọi k ta có

fs+(x0, d) < 0, s ∈ Pi, (1.11)cho nên (1.3) đúng Vì vậy, do sự kiện là mọi C(Qi(x0); x0) lồi đóng,

ta có

co T (Qi(x0); x0) ⊆ C(Qi(x0); x0),clco T (Qi(x0); x0) ⊆ C(Qi(x0); x0)

Theo (1.2), chứng minh được hoàn thành với p > 1 Với p = 1, ta lấy

C(Q(x0); x0) thay thế cho C(Qi(x0); x0) và lí luận tương tự ta nhậnđược

clco T (Q(x0); x0) ⊆ C(Q(x0); x0)

Như vậy chứng minh là đầy đủ cho p > 1

Nhận xét 1.2.1

Nói chung, bao hàm thức ngược lại trong Bổ đề 1.2.1 không đúng

Để nhận được các điều kiện cần cho bài toán (VP), ta đưa vào điềukiện

Trong trường hợp khả vi, điều kiện chính quy suy rộng này quy vềđiều kiện chính quy Guignard suy rộng đã sử dụng bởi Maeda [8] Ta

có điều kiện cần sau đây cho nghiệm hữu hiệu

Định lí 1.3.1.

Giả sử x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP); p > 1 vàgiả sử rằng:

(B1) Điều kiện chính quy (GGCQ) đúng tại x0;

(B2) fk, k ∈ Pi, và gj, j ∈ B(x0) là tựa lồi tại x0, fi tựa lõm tại

x0;

(B3) fi+(x0, ·) là hàm lõm trên Rn;

(B4) fk+(x0, ·), k ∈ Pi và gj+(x0, ·), j ∈ B(x0) là hàm lồi trên Rn.Khi đó, hệ

Bởi vì dmk ∈ T (Qi(x0); x0), tồn tại các dãy {xnmk}n ⊆ Qi(x0) và

{tnmk}n ⊆R, với tnmk > 0 với mọi n, sao cho với mọi m, k,

lim

n→∞ xnmk = x0, lim

n→∞ tnmk(xnmk − x0) = dmk (1.18)Nếu

dnmk = tnmk(xnmk − x0)

thì với bất kỳ n, ta có

fs(xnmk) = fs(x0 + (1/tnmk)dnmk) < fs(x0), s ∈ Pi, (1.19)

gj(xnmk) = gj(x0 + (1/tnmk)dnmk) < 0 = gj(x0), j ∈ B(x0) (1.20)Bởi vì x0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP), với bất kỳ n, ta có

Giả thiết (A1) trong Bổ đề 1.2.1 kéo theo giả thiết (B4)

Bây giờ ta trình bày điều kiện cần Kuhn-Tucker sau đây

λ > 0, µ > 0 (1.30)Chứng minh.

Giả sử x0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) Theo định lý 1.3.1,

hệ (1.13)-(1.15) không có nghiệm d ∈ Rn Sử dụng định lý Farkas [9]trong trường hợp lồi, ta nhận được tồn tại λ ∈ Rp, λ > 0 và các sốthực µi> 0, j ∈ B(x0) sao cho với bất kỳ d ∈ Rn,

Chương 2

Điều kiện Kuhn-Tucker cho bài

toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của X J Long và N J.Huang ([7], 2014) về điều kiện cần Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệucủa bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với các ràng buộc bất đẳngthức dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng, với điều kiện chính quy kiểuGuignard Với điều kiện Kuhn-Tucker mạnh và giả thiết về tính lồi suyrộng thì một điểm chấp nhận được sẽ là nghiệm hữu hiệu Các kết quảtrong chương này được tham khảo trong [5], [7]

Giả sử rằng X là không gian Banach thực, không gian đối ngẫu của

X là X∗ được trang bị tô pô yếu* Với bất kỳ A ⊂ X, ta kí hiệu clA,

A Nón tiếp tuyến liên hoặc nón Bouligand của tập hợp A tại x ∈ clA

là

T (A, x) = {d ∈ X : ∃(tn, dn) → (0+, d) sao cho x + tndn ∈ A}.Chú ý T (A, x) là nón đóng trong X

Giả sử f : X → R = R∪ {∞} là hàm giá trị thực mở rộng Đạo hàmtheo phương Dini dưới và trên của f tại x ∈ X theo phương d ∈ X

được định nghĩa bởi

Chú ý rằng nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì f−(x; d) và

∂∗f (x) ⊆ X∗ tại x ∈ X nếu ∂∗f (x) là đóng yếu* và

x ∗ ∈ ∂∗f (x)

hx∗, di, ∀d ∈ X

Định nghĩa 2.1.2

∂∗f (x) ⊆ X∗ tại x ∈ X nếu ∂∗f (x) là đóng yếu* và

x ∗ ∈ ∂ ∗ f (x)

hx∗, di, ∀d ∈ X

Một tập đóng yếu* ∂∗f (x) được gọi là dưới vi phân suy rộng của f

tại x nếu nó là dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x

có dưới vi phân suy rộng không compact tại 0 là [α; ∞) với α ∈R.

Mặt khác, hàm f xác định bởi f (x) = − |x| có dưới vi phân suyrộng không lồi ∂∗f (0) = {1, −1} tại 0

Định nghĩa 2.1.3

quy trên ∂∗f (x) ⊆ X∗ tại x ∈ X nếu ∂∗f (x) là đóng yếu* và

tại x

Giả sử f : X → R là Lipschitz địa phương tại x ∈ X Đạo hàm theophương suy rộng Clarke của f tại x theo phương d ∈ X được xác địnhbởi

Chú ý rằng, với mọi x ∈ X, ∂Cf (x) là một tập compact yếu* khácrỗng của X∗ Hơn nữa, với mọi x và d ∈ X, ta có

f−(x; d) ≤ f+(x; d) ≤ f0(x; d),

cho nên dưới vi phân Clarke ∂Cf (x) là một dưới vi phân suy rộng bánchính quy trên lồi compact yếu* của f tại x Mặt khác, Ví dụ 2.1 của[5] chỉ ra rằng bao lồi của dưới vi phân suy rộng trên của một hàmLipschitz địa phương có thể bao hàm hẳn trong dưới vi phân Clarke

Do đó, với bài toán tối ưu bao gồm các hàm Lipschitz địa phương, cáckết quả về điều kiện cần tối ưu biểu diễn dưới ngôn ngữ dưới vi phânsuy rộng bán chính quy trên và dưới vi phân suy rộng trên là tốt hơnđiều kiện tối ưu biểu diễn dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke

Giả sử f : X → R hữu hạn tại điểm x ∈ X Nếu f là nửa liên tụcdưới tại x thì dưới đạo hàm trên Clarke-Rockafellar của f tại x theophương v (xem [5]) được xác định bởi

Tương tự, nếu f↓(x; 0) < ∞ thì ∂↓f (x) là tập hợp con khác rỗng, lồi,đóng yếu* của X∗ và với mỗi v ∈ X,

là các đạo hàm theo phương suy rộng dưới và trên Clarke của f tại x

theo v Dưới vi phân suy rộng Clarke được cho bởi

Đạo hàm theo phương trên và dưới Michel-Penot f♦(x, ·)vàf♦(x, ·)

là hữu hạn, dưới tuyến tính, ∂♦f (x) là lồi, compact yếu* và

2.2 Các điều kiện cần tối ưu

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn sau:

(MP) Minimize f (x) = (f1(x), f2(x), , fp(x))

x ∈ S = x ∈ X : g(x) = (g1(x), g2(x), , gm(x) < 0 ,

trong đó các hàm giá trị thực fi : X → R, i ∈ I := {1, 2, , p}, và

X Kí hiệu J (x) là tập các chỉ số ràng buộc tích cực tại x ∈ S∗, tức là

J (x) = {j ∈ J : gj(x) = 0}

Định nghĩa 2.2.1

Hàm giá trị vectơ f : X → Rp được gọi là giả lồi mạnh tại x0 ∈ X

nếu với mọi x ∈ X,

và g−j (x) < 0, j ∈ J (x)}

Kết quả sau chỉ ra mối quan hệ giữa nón tiếp tuyến T (Qi(x), x) và

Như vậy, C(Qi(x), x) là lồi với mọi i ∈ I.

Bởi vì fi và gj là Lipschitz địa phương và fi−(x; ·) và gj−(x; ·) với

i ∈ I và j ∈ J (x) lồi, ta có fi−(x, ·) và gj−(x, ·) liên tục Khi đó

Nhận xét 2.2.1.

Chú ý rằng một hàm dưới tuyến tính là một hàm lồi, nhưng điềungược lại không đúng Giả sử, hàm f : [−1, 1] → R được xác định

bởi f (x) = √

[−1, 1] Do đó, Mệnh đề 2.2.1 bổ sung Mệnh đề 3.1 của Li và Zhang [6].Nhận xét 2.2.2

cho Mệnh đề 3.1 của Preda và Chitescu [10] bởi vì điều kiện f tựa lồitại x có thể bỏ được

Để nhận được điều kiện cần của bài toán (MP) cho nghiệm hữu hiệu,

ta cần điều kiện chính quy và Bổ đề sau đây

(i) Điều kiện chính quy (GGCQ) đúng tại x0;

(ii) fi và gj có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên ∂∗fi(x0)

và dưới vi phân suy rộng trên ∂∗gj(x0), với i ∈ I và j ∈ J;(iii) fi+

0(x0; ·) lõm trên X với i0 ∈ I nào đó;

(iv) fi+(x0; ·) lồi trên X với mọi i ∈ I;

(v) gj−(x0; ·) lồi trên X với mọi j ∈ J (x0);

(vi) Tồn tại d ∈ X sao cho g−j (x0; d) < 0 với mọi j ∈ J (x0)

Khi đó, tồn tại các số thực α = (α1, , αp) ∈ Rp+ với α 6= 0 và

Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.1

Do các điều kiện (iv) và (v) và định lý Farkas [9] trong trường hợplồi, ta suy ra tồn tại các số thực α = (α1, , αp) ∈ Rp+ và βj> 0 với

j ∈ J (x0), không đồng thời bằng không, sao cho

Điều này mâu thuẫn với (2.1) Do đó, α 6= 0

Sử dụng điều kiện (ii), ta có

Đặt βj = 0, j /∈ J(x0), ta suy ra kết quả mong muốn Chứng minh làđầy đủ.

Ví dụ sau đây minh họa điều kiện của Định lý 2.2.1 đúng, trong khiđiều kiện của Định lý 3.1 trong [6] là không đúng

Rõ ràng ∂∗f1(0) = {0, 1} là một dưới vi phân suy rộng bán chính quytrên của f1 tại x0 Tương tự, ta có thể kiểm tra rằng ∂∗f2(0) = {−1, 1}

tại x0 = 0 và dưới vi phân suy rộng trên của g tại x0 = 0 Điều nàykéo theo điều kiện (ii) của Định lý 2.2.1 thỏa mãn

Do đó, tất cả các điều kiện của Định lý 2.2.1 thỏa mãn Khi đó, talấy

0(x0; ·) lõm trên X với i0 ∈ I nào đó;

(iii) fi+(x0; ·) lồi ∀i ∈ I;

(iv) gj−(x0; ·) lồi trên X, ∀j ∈ J(x0);

(v) Tồn tại d ∈ X sao cho g−j (x0; d) < 0, ∀j ∈ J (x0)

Khi đó, tồn tại các số thực α = (α1, , αp ∈ Rp+) với α 6= 0 và β =(β1, , βm) ∈ Rm+ sao cho

2.3 Các điều kiện đủ tối ưu

Trong định lý sau đây, ta sẽ trình bày điều kiện đủ để một nghiệmchấp nhận được là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP)

Định lí 2.3.1

Giả sử x0 ∈ S là nghiệm chấp nhận được của bài toán (MP).Giả sử các hàm f và g là giả lồi mạnh và tựa lồi tại x0 Nếu tồntại các số thực αi > 0 và βj> 0 với i ∈ I và j ∈ J sao cho

Do (2.3), ta nhận được βj = 0 với j /∈ J(x0) Từ đó suy ra

Kết luận

Luận văn đã trình bày các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệucủa bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với hữu hạn ràng buộc bấtđẳng thức với điều kiện chính quy kiểu Guignard của Preda-Chitescu(1999) cho trường hợp bán trơn và của Long-Huang (2014) dưới ngônngữ dưới vi phân suy rộng Nội dung của luận văn bao gồm:

- Khái niệm hàm bán trơn, hàm bán trơn gần tuyến tính và các hàmbán trơn tựa lồi;

- Khái niệm dưới vi phân suy rộng, dưới vi phân Clarke, dưới vi phânMichel-Penot;

- Điều kiện chính quy kiểu Guignard cho bài toán tối ưu đa mục tiêuvới ràng buộc bất đẳng thức;

- Điều kiện cần Kuhn-Tucker mạnh cho nghiệm hữu hiệu của bàitoán tối ưu đa mục tiêu với các hàm bán khả vi;

- Điều kiện cần Kuhn-Tucker và điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệudưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng

Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với cácđiều kiện chính quy khác nhau là đề tài đã và đang thu hút nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu

Tài liệu tham khảo

Tài liệu Tiếng Việt[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học

[4] M Guignard (1969), Generalized Kuhn-Tucker conditions formathematical programming, SIAM Journal on Control, vol 7,232-241

[5] V Jeyakumar and D T Luc (1999), Nonsmooth calculus, imality, and monotonicity of convexificators, J Optim TheoryAppl., vol 101, No 3, 599-621

min-[6] X F Li and L Z Zhang (2005), Stronger Kuhn-Tucker type ditions in nonsmooth multiobjective optimization: locally Lips-chitz case, J Optim Theory Appl., vol 127, 367-388

con-[7] X J Long, N J Huang (2014), Optimality conditions for ficiency on nonsmooth multiobjective programming problems,Taiwanese Journal of Mathematics, vol.18, No 3, 687-699

ef-[8] T Maeda (1994), Constraint qualifications in multiobjective timization problems: Differentiable case, Journal of Optimiza-tion Theory and Applications, vol 80, 483-500

op-[9] O L Magasarianm (1969), Nonlinear Programming, Hill, New York, NY.

McGraw-[10] V Preda, I Chitescu (1999), On constraint qualification in tiobjective optimization problems: Semidifferentiable case, Jour-nal of Optimization Theory and Applications, vol 100, No 2, 417-433

mul-[11] T Weir and B Mond (1988), Preinvex functions in objective optimization, Journal of Mathematical Analysis andApplications, vol 136, 29-38